维纳-霍普夫蒙特卡罗模拟技术在Levy中的应用 处理路径函数，如首次通过时间、下冲时间和 超调量

这一名称来源于这样一个事实，即它们的特征指数φ可以推广到C上的亚纯函数。特别是，β-族的一个成员具有密度π的L\'evy测度，其给定形式为π(x)=1{x>0}ce-αβx(1-e-βx)λ+1{x<0}ce-αβx(1-eβx)λ(5.1),其中αi,βi>0,ci≥0,λi∈(0,3）。对于我们的模拟方法，我们需要知道Xe(q)和Xe(q)的规律；它们很容易得到，如下所示（参见。库兹涅佐夫[20]了解更多细节）。用通常的记号B(x)，(y)=γ(x)γ(y)/γ(x+y)和ρ(x)=ddxlogγ(x),L\'Evy-Khintchine表象的特征指数（1.1）可写成ε(z)=σz+iρz-cβbα-izβ,1-λ-CβBα+Izβ，1-λ+γ，其中γ=CβB(α,1-λ)+CβB(α,1-λ)，ρ=CβB(α,1-λ)(ρ(1+α-λ)-ρ(α))-CβB(α,1-λ)(ρ(1+α-λ)-ρ(α))-a。对于任何q>0,方程ζ7→q+'A(iζ）有许多实数和简单的零点，其位置如下:ζ-∈(-βα,0）,ζ+∈(0,αβ),ζ-k∈(β(K-α),β(k+1-α)),对于k≤-1ζ+k∈(β(α+K-1),β(α+k))。最后，在上述记号下，给出了Xe(q)和Xe(q)的特征函数，其形式为:θ+q(z)=e[eizxe(q)]=yn≤01+izβ(n-α)1+izζ-n,θ-q(z)=e[eizxe(q)]=yn≤01+izβ(n-α)=yn≥01+Izβ(n+α)1+Izζ+n。（5.2）为了实现WHMC模拟技术，我们需要从随机变量Xe(q)和Xe(q)中取样。因此，这就需要截断IN(5.2)的产品表示。（请注意，这适用于任何亚纯L\'evy过程，因为在这种情况下，尽管存在由函数ζ7→q+(iζ）生成的双根和极点，但+q和-q具有相同的乘积形式）。例如，如果我们在N个因子之后截断参数，那么我们可以从随机变量XNe(q)中取样，特征函数为参数XNe(q)，N(z)=e[eizxne(q)]=nyn≥01+izβ(N+α)1+izζ+N。(5.3)XNe(q)的样本很容易得到，这是因为（5.3）中的乘积的每个因子都可以改写为1+Izβ(n+α)1+Izζ+n=ζ+nβ(n+α)+1-ζ+nβ(n+α)1+Izζ+n-1。上面只不过是一个零原子加上一个有缺陷的负指数分布的测度的特征函数，即ζ+nβ(n+α)δ+1-ζ+nβ(n+α)e(-ζ+n)，(5.4),根据这样的测度可以很容易地得到样本。因此，XNe(q)定律可以表示为独立随机变量的和，其概率度量如（5.4）所示。类似的构造对于上确界也是有效的。上面的观察提供了一个非常直接的方法来模拟一般Meromorphicl\'evy过程的上确界和内确界，而且，据我们所知，是新颖的。此外，在Ferreiro-Castilla和Schoutens[14]中，我们还得到了由截断乘积引起的均方误差:ehxe(q)-XNe(q)→i≤(ζ+N+1)≤β(α+N)。O(n-2)。最近研究亚纯L\'evy过程的文献通常反演Xe(q)和Xe(q)的分布函数，这两个函数也可用于生产样品（参见Kuznetsov[20])。然而，这些分布函数是用总和表示的，因此在这种方法中也必须应用截断。此外，截断后的分布函数必须进行数值反演。由于这种情况必须非常明显地发生，这不可避免地会引入额外的错误，因此很难分析这种错误是如何导致最终结果的。5.2布朗运动的首次通过时间在本节中，我们把X作为标准布朗运动。我们的目标是提出一些证据来证明这样一个事实，即“普通的”蒙特卡罗（即，通过对X的抽样增量对X的随机游走近似）在接近通过时间时产生了一个明显的偏差，正如在导言中已经提到的那样。众所周知，当s>0时，Xe(q)和-Xe(q)均服从指数分布，均值为1/√2q。当s>0时，Xe(q)和-Xe(q)均服从指数分布。因此，WHMC的模拟技术和τu的近似实现是很简单的。

由于在WHMC模拟技术中，一个时间步长需要wo个样本，即一个来自Xe(q)和一个来自Xe(q)（参见第3节），所以我们取步长的一半（即1/(2n))作为plainMonte Carlo的时间步长，图1显示了对于t∈[0,50]的t7→P(τ≤t)的曲线图。图2显示了bothplain Monte Carlo和WHMC模拟技术的误差。请注意，如果我们减小step0510152025303540455000.10.20.30.40.50.60.70.80.9图1：布朗运动x.0510152025303540455000.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.00160.0180.002(25,1 04）（50,1 05）（100,1 06）（25,104）Pl A i n MCWH MCFigure 2：平原MonteCarlo和WHMC模拟技术的τ的cdf近似值的绝对误差。坐标(n，m)代表步长1/n(1/(2n)表示平原蒙特卡罗），样本数m。对于平原蒙特卡罗近似，样本数大大增加，相应的误差仍然比WHMC模拟技术所达到的误差大几个因素。5.3收敛速度我们现在认为X是一个无漂移纯跳跃过程，属于第5.1小节所述的β-族。特别地，对于i=1,2,α=1和α=2,我们选择了L\'evy测度（5.1）中的Coe-cients为beci=βi=λi=1。Imakex的ci、βi、λiMakex的选择值与方差伽马过程相似，方差伽马过程是一个流行的模型（关于方差伽马过程与β-族的关系，见Schoutensand van Damme[32]）。为了使过程不对称，并保证模拟路径的数量能够越过设置为u=1的屏障层，我们还设置了监控时间t=1。这些参数的变化不会在下面的图中造成明显的变化。图3和图4中的图运行了一个蒙特卡罗估计的重新序列，该估计是对捕获通过时间、过冲、下冲和捕获通过前最后一个最大值的连续近似水平的估计。特别是，图3描述了预期的“tn`(κ(n`)U:/n`)-tn`-1(κ(n`-1)U:/n`-1)#,对于n`=2`,而`=4，....,10。该图使用对数标度显示了坡度1的明显递减率。这个收敛速度是由定理4.1和三角不等式中的结果决定的，因此图3是定理4.1的数值证据。在图4中，我们继续对过冲、下冲和最后一个最大值进行相同的实验。4 5 6 7 8 9 10-13-12-11-10-9-8-7-5-4-3-2-1 XτU:/t-uu-x(τU:/t)-u-x(τU:/t)-图4：通过前过冲、下冲和最后一个最大值近似的连续电平中的均方误差（使用对数刻度）。我们从数值上观察到，对于超调和对于下冲以及通过前的最后一个最大值，递减率非常接近于1/2,即E“V(N`/t)κ(N`)UN`-V(N`-1/t)κ(N`-1)UN`-1#.N1/2。以上是Cauchy序列的一个特殊选择，因此不能证明收敛性V(N`/t)κ(N`)u:/N`-ul-→(xτu:/t-u)，但表明上述收敛性是合理的，并指出了其可能的收敛速度。根据图4.5.4可以对超调量和通过时间前的最后一个最大值得出相同的结论。通过时间和超调量的联合规律我们用一个例子得出结论，即vesidv(u,y,q):=e[e-qτu{xτu-u≤y}]。（5.5）这个表达式既取决于通过时间，也取决于超调量。事实上，它是引言中提到的五重定律的隐含版本，参见。（1.3）。

请注意，在第2节中描述的算法对于（1.2）中的任何函数f都是相同的，因此，为了完整起见，我们在这里只提供了（1.2）的一个简单示例。请注意，(1.2)的任何综合数值分析都需要一些关于光滑性的假设，例如见Ferreiro-Castilla等人。[13]对E[F(X，X)]的误差分析，其中F是一致Lipschitz的。的确，上面的数量是保险文献中使用的Gerber-Shiupenalty函数的简单版本（参见例如[2]和其中的参考文献）。对于亚纯l\'evy过程，可用一个封闭形式的表达式来表示v--这是选择这个例子的范围--根据函数ζ7→q+(iζ）的根和极点，3 4 5 6 7 8 9 100 0.020.040.060.080.10.12 E xa c t Va l u H M c图5：3 4 5 6 7 8 9 100 0.020.040.060.080.10.120.140.160.18 E xa c t Va l u eW H M c图6：whmc模拟方法v(0.15,0.15,1）对步速（对数标度）的近似。库兹涅佐夫[21]中的定理3。我们选择与第5.3小节相同的X。图5和图6描述了我们的算法的性能，因为我们减少了指数步进率1/n。我们设置监测时间t=10，以使过程在大多数样品中跨越屏障。（注意，τui被定义为当进程继续运行时的时间，在像这样的无意义的实现中，我们不得不考虑τut。然而，由于指数衰减，在（5.5）中，对于t足够大的情况，可以忽略用τubyτut代替τu的e-ect）。图5和图6中的两个曲线图都显示了与[13，14，32]中的结果和收敛速度一致的类似行为--它只近似于联合分布(Xt，Xt)--以及5.3节中的结果。这进一步表明4元组的近似表现出与先前工作中导出的(Xt，Xt)近似相似的行为。参考文献[1]Asmussen,S.(2000)破产概率。世界科学文献[2]Avram,F.和Palmowski,Z.和Pistorius,M.R.（2011）关于Gerber-Shiu函数和有惩罚函数存在的Levy风险过程的最优股利分配。预印本。arxiv.org/abs/1110.4965.[3]正态逆高斯型Barndor-Nielsen过程。Finance Stoch.2,41-68.[4]Bertoin,J.(1996)L\'Evy过程。剑桥数学教程121。剑桥剑桥大学出版社。[5]Borodin,A.N.和Salminen,P.（2002）布朗运动手册-事实和公式。Birkh-auser Verlag,Basel.[6]Broadie,M.和Glasserman,P.和Kou,S.G.(1999)连接离散和连续依赖期权。金融斯托克。[7]Carr,P.（1998）随机化和美国人PUT。芬牧师。学习。11（3）,597-626。[8]Carr,P.,Geman,H.,Madan,D.B.和Yor,M.（2002）资产收益的结构：一项实证研究。J.公共汽车。[9]Cont,R.和Tankov,P.（2004）具有跳跃过程的金融模型。Chapman&Hall/CRC,Boca Raton,FL.[10]Chen,Z.,Feng,L.和Lin,X.(2012)从特征函数和应用上模拟L\'evy过程。ACM T型。康普特。S.22,1-26。[11]Doney,R.A.(2004)关于L\'evy过程的随机界。安。普罗巴布。Doney,R.A.和Kyprianou,A.E.（2006）L\'evy过程的超调和超调。阿普尔。普罗巴布。16,91-106。[13]Ferreiro-Castilla,A.,Kyprianou,A.E.,Scheichl,R.和Suryanarayana,G.（2012）基于Wiener-Hopf分解的L\'evy过程的多级蒙特卡罗模拟。预印本。ARXIV.org/ABS/1210.5868[14]Ferreiro-Castilla,A.和Schoutens,W.（2012）β-Meixner模型。J.康普特。应用数学。236,2466-2476.[15]贾尔斯，M.B.（2008）多级蒙特卡罗路径模拟。欧珀。第56（3）,607-617号决议。[16]Glasserman,P.和Liu,Z.

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