维纳-霍普夫蒙特卡罗模拟技术在Levy中的应用 处理路径函数，如首次通过时间、下冲时间和 超调量

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摘要翻译：
本文应用Kuznetsov等人最近建立的Wiener-Hopf Monte Carlo(WHMC)模拟Levy过程的方法。[17]路径函数，特别是第一次通过时间、过冲、下冲和通过时间之前的最后一个最大值。这些函数有许多应用，例如在金融（利维模型中奇异期权的定价）和保险（利维保险风险过程的破产时间、破产时的债务和相关数量）中。该技术适用于任何Levy过程，其运行的下确界和上确界在一个独立的指数时间内计算，允许从。这包括经典的例子，如稳定过程，谱单边Levy过程的子类和大的新家族，如亚纯Levy过程。最后给出了一些例子。所说明的一个具体方面是，WHMC模拟技术在近似第一次通过时间方面比基于Levy过程抽样增量的“普通”蒙特卡罗模拟技术表现得更好。
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英文标题：
《Applying the Wiener-Hopf Monte Carlo simulation technique for Levy
  processes to path functionals such as first passage times, undershoots and
  overshoots》
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作者：
Albert Ferreiro-Castilla and Kees van Schaik
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最新提交年份：
2014
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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英文摘要：
  In this note we apply the recently established Wiener-Hopf Monte Carlo (WHMC) simulation technique for Levy processes from Kuznetsov et al. [17] to path functionals, in particular first passage times, overshoots, undershoots and the last maximum before the passage time. Such functionals have many applications, for instance in finance (the pricing of exotic options in a Levy model) and insurance (ruin time, debt at ruin and related quantities for a Levy insurance risk process). The technique works for any Levy process whose running infimum and supremum evaluated at an independent exponential time allows sampling from. This includes classic examples such as stable processes, subclasses of spectrally one sided Levy processes and large new families such as meromorphic Levy processes. Finally we present some examples. A particular aspect that is illustrated is that the WHMC simulation technique performs much better at approximating first passage times than a `plain\' Monte Carlo simulation technique based on sampling increments of the Levy process.
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关键词：蒙特卡罗模拟 Levy 蒙特卡罗 蒙特卡 Applications

Salbert Ferreiro-Castilla*和Kees van Schaik\\11月7日在本文中，我们应用Kuznetsov等人最近建立的用于L\'evy过程的Wiener-Hopf Monte Carlo(WHMC)模拟技术。[22]路径函数，特别是通过时间、过冲、下冲和通过时间之前的最后一个最大值。这类函数有许多应用，例如在投资（L\'evy模型中奇异期权的价格）和保险（L\'evy保险风险过程的破产时间、破产时的债务和相关数量）中。该技术适用于任何L\'evy进程，其运行在一个独立的指数时间内，允许采样。这包括经典的例子，如稳定过程，子类的光谱单边L\'evy过程和大的新家族，如亚纯L\'evy过程。最后给出了一些例子。一个特别的方面是，WHMC模拟技术（如果它适用的话）在近似通过时间方面比基于L\'evy过程采样增量的“普通”蒙特卡罗模拟技术表现得更好。关键字：Wiener-Hopf分解，Monte Carlo模拟，多级Monte Carlo,L\'Evy过程，外部期权定价，L\'Evy过程，超调，保险风险过程数学学科分类(2000):65C05,68U20,60G511引言X:=(Xt)t≥0是L\'Evy过程，即从0开始具有CADLAG路径（右连续，左极限）和平稳的独立增量的（实值）随机过程，其规律我们用P表示。L\'Evy过程可以被认为是一个带有漂移的布朗运动，其中添加了独立的复合泊松过程序列；在某种程度上，它的小跳跃可能是不可加和的。L\'Evy-Khintchine公式表明，对于所有t≥0和z∈R的特征指数，定义为e[eizXt]=e-t(z),可以表示为(z)=σz+iaz+zr\\0}(1-eizx+1{x<1}izx)π(dx),(1.1)*直接ci o d\'inversions,Banc Sabadell,Carrer del Sena,12,Sant Cugat del Vall`es 08174,spain.电子邮件:aferreiro.c@gmail.com（部分由英国皇家学会牛顿国际奖学金支持）.曼彻斯特大学数学学院，牛津路，曼彻斯特M139PL,英国。电子邮件:kees.vanschaik@manchester.ac.uk，其中σ，a∈R和πa测度在R\\{0}上满足yingr\\{0}(xó1)π(dx)<∞。如详细介绍见thetextbooks Bertoin[4]、Kyprianou[23]或Sato[29]。在几个参数中感兴趣的是forme[f(τu，Xτu-u，u-xτu-，u-xτu-)，(1.2)的量，其中τu是X在电平u>0上的经过时间，即τu:=inf{t>0xt>u}，Xτu-u被称为过冲，u-xτu-是下冲，而u-xτu-是经过前的最大值。在这里和整个过程中，我们对所有t≥0都使用了通常的记号xt:=sups≤txs，xt:=infs≤txs，以下是（1.2）应用的一些例子。在数学分析模型中，由L\'evy过程驱动的模型是经典的Black&Scholes模型的流行扩展，用于对商品进行定价（参见Cont和Tankov[9]，Schoutens[30]或Schoutens和Cariboni[31])。在这类模型中，对于一个适当选择的L\'evy过程X，假定期权的支付权所依据的期权指数演变为st=exp(Xt)。在这类模型中，永久美式期权的“公平”价格通常由期权命中时间和超调量的共同规律决定。此外，所谓的障碍选择在实践中是普遍的工具。“香草”版本授予持有者未来时间的Payo g(XT)，前提是X没有或根据产品的变化，在此期间跨越了某个屏障。因此Payo线是(XT，XT)的函数。

最初的WHMC模拟技术处理这对，请参见下面的进一步内容。这类选项的许多更“异国情调”的版本也很受欢迎。例如，在跨越障碍发生时，可能会支付一定的回扣。离散障碍期权存在于只有在[0,T]的某些子阶段才观察到障碍交叉事件的情况下，巴黎障碍期权存在于只有当X至少在“错误”方度过了给定的一段时间后障碍条件才出现的情况下。此外，在精算科学中，所谓的L\'evy保险风险过程是经典的Cram\'er-Lundberg模型（参见Lundberg[25])的流行扩展，用于研究由同质保险产品组合产生的保费减去索赔的累积净额的演变。参见Asmussen[1]，Kluppelberg等人。[18]或宋和冯德拉·切克[33]。如果保险风险过程为-x，初始资本u则τu对应于发生的时间，即累积净变为负值的时间。此外，-(xτu-u)对应于破产时的债务，xτu-u和u-xτu-给出了关于破产事件性质的信息--直接原因是单一的大额索赔还是许多小额索赔的累积--并且确切地说，u-xτu-给出了在实际事件发生之前破产有多近的信息。这些例子说明了（1.2）的几个用法。据我们所知，目前可以使用另外两种方法之一来评估像（1.2）这样的数量。下面我们将讨论这些替代方案以及它们与WHMC模拟方法的比较。第一种是“普通”蒙特卡罗模拟方法，即模拟随机漫步的路径，其增量对于一些小h>0具有与XH相同的规律，作为X路径的近似值。然而，对于已知Xhis规律的L\'evy过程X只有很少的例子，在其他情况下，它必须近似，通常通过数值傅立叶反演。这引入了数值不准确和额外的潜在费用计算步骤。另一个缺点是众所周知的问题，模拟通过时间的经验定律从一个非常重要的偏差中消除，这种偏差随着h的消失而消失得非常慢，这是由于随机游走方法错过了网格点之间的水平线上的漂移。参见Broadie等人。[6]及其中的参考文献。WHMCsimulation方法并没有将ER从这种偏置中消除，因为该方法模拟的是对(X，X)的路径，而不仅仅是X。请参见第5.2小节。尽管我们所知的这种二重性只记录在布朗运动中，但由于任何L\'evy过程都可以分解为一个独立的和，其中一个分量是布朗运动，所以没有理由期望这个问题对（1.2）中涉及的其他量的更一般的L\'evy处理器的意义更小。应该提到的是，在Firenance中使用的L\'evy过程的一些突出例子不允许直接应用我们的方法。例如，Merton的跳变模型(seeMerton[26])，其中驱动的L\'evy过程X是一个漂移的布朗运动加上一个具有正态分布跳变的复合泊松过程。由于Wiener-Hopf因子在这种情况下并不清楚，WHMC不能应用，而普通的蒙特卡罗可以。这同样适用于流行的CGMY（见Carr et al[8])和NIG（见Barndor el-Nielsen[3])模型；然而，由于对于给定的h>0不能得到XH的精确定律，因此需要额外的模拟技术（见Chen et al[10]和Glasserman和Liu[16])，并且在普通蒙特卡罗方法中引入了一个额外的误差。

关于最多的例子，值得提及的是，β-族的参数化（我们的方法对其是直接的L\'evy过程的一个特殊子类，见5.1小节）使得CGMY和NIG过程可以作为β-过程的一个极限得到（见Kuznetsov[20]中的第4小节）。对于这种情况，一个专门的研究将有助于决定是否WHMC模拟方法比简单的蒙特卡罗方法的优点，如前一段所述，超过了WHMC方法只适用于实际驱动的L\'evy过程的近似的缺点（参见。Ferreiro-Castilla和Schoutens[14]或Schoutens和vanDamme[32]在这个方向上得到了一些结果。第二种方法是利用Doney和Kyprianou[12]的五重定律，它可以写为:q=q=qpxe(q)∈U-dz[0，uüy],q=q=q=xe(q)∈U-dz[p-xe(q)∈Dy-zπ(dx+y)(1.3)。这里和整个e(q)表示一个指数分布的随机变量，均值为1/q，与x无关。因此，如果我们知道Xe(q)和Xe(q)的定律--这正是我们的模拟方法可以实现的条件--我们可以用这个结果来计算（1.2）。然而，为了从上面的表达式中得到τu，我们需要在q上反转右边，这通常不是一个非常直接的操作，例如，当X是亚纯L\'evy过程时，Xe(q)和Xe(q)的定律如何依赖于q见第5节。此外，求取（1.2）还需要计算一个可能的四维积分，对此通常需要一种数值方法。由于我们在本文中提出的模拟方法是一种直接逼近（1.2）的简单、易于实现的方法，仅以Xe(q)和Xe(q)定律作为输入，因此在一般情况下，似乎没有理由不喜欢它而不喜欢五重拉瓦尔特纳特。回到本文的重点，在Kuznetsov等人。[22]引入了Wiener-Hopf Monte Carlo(WHMC)模拟技术，它允许从(XT，XT)律的良好近似律中取样，前提是可以从Xe(q)和Xe(q)中取样。将该方法推广到多级模型，并对inFerreiro-Castilla等人进行了理论分析。[13]。在这篇文章中，我们观察到WHMC模拟技术之后的主要思想也可以用于从(τu，xτu-u，u-xτu-，u-xτu-)(1.4)的近似中产生样本，而不仅仅是从(XT，XT)的近似中产生样本。事实上，不仅(1.4)，而且对(X，X)中的任何函数都可以由方法cf处理。备注3.4.一旦这一观察得到证实，就只需应用通常的设置：产生大量这样的样本，对每个样本应用函数f，并计算得到的平均值，以获得（1.2）的近似值。为了简单起见，在续集中，我们将把（1.4）称为四元组。本注释的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了最初的WHMCsimulating技术，并讨论了底层思想如何对路径函数有用。第三节是主要结果，描述了如何用Xe(q)和Xe(q)得到（1.4）的近似，以及这个近似在分布上收敛于（1.4）的精确律。在第4节中，我们探讨了通过时间近似的收敛速度，因为这是（1.2）中涉及的关键量。我们将证明[(bτnu-τu)]=O(n-1)，其中bτnu是用扩展的WHMCsimulating技术给出的τuas的近似。我们还将表明，扩展的WHMC模拟技术允许多级版本逼近τu，这种增强使算法最优。

最后，在5.2节中收集了扩展的WHMC模拟技术的实现、一些例子和一些数值结果，这些结果支持了理论上的主张，并揭示了其实用的一面。我们简单地回忆一下Kuznetsov等人介绍的WHMC模拟技术。[22]并讨论如何将该设置用于路径函数。修复一些t>0。库兹涅佐夫等人的想法。[22]是利用时间轴上的“随机网格”和Wiener-Hopf因子构造了(Xt，Xt)联合律的近似，如下所示。回想一下e(λ)表示一个指数分布的随机变量，其均值为1/λ，与X无关。对于任意n≥1，用ANI.I.D将X所处的概率空间扩大。序列{ei（n/t）}i≥1,并在k≥1的情况下构造一组网格点asg(0,n/t):=0,g(k,n/t):=kxi=1ei(n/t)。（2.1）对于任意n个随机点的集合{0=g(0,n/t)<g(1,n/t)<...}在时间轴上形成一个网格，网格点之间的距离形成一个I.I.D.序列。指数分布随机变量；等价地，网格点可以看作速率为n/t的泊松过程的到达时间。为了方便起见，我们仍然用P来表示X和网格的定律。使用这种“随机网格”的想法是Carr[7]在Black&Scholes模型中计算美式看跌期权价值的上下文中提出的。这种设置从(Xt，Xt)的近似中取样的有用性依赖于以下三个事实。首先，著名的Wiener-Hopf因式分解告诉我们，对于任何l\'evy过程X和q>0，我们有(Xe(q),Xe(q))d=(Xe(q)+Xe(q)，Xe(q))。（2.2）其次，利用X的平稳独立增量，可以证明上述等式可以在以下意义上得到推广：对于任意n(Xg(n，n/t),Xg(n，n/t))d=(V(n/t)n，J(n/t)n)，其中V（n/t)n，J（n/t）n，是一个新的概率空间上的随机变量，它的定律可以用Xe（n/t）和Xe（n/t）的定律直接表示。参见下面的定理2.1。定理2.1（Kuznetsov et al.[22，定理1])。假设λ>0。设S(λ)=I(λ):=0且(S(λ)I)I≥1（即(I(λ)I)I≥1)是I.I.D的序列。普通法等于Xe(λ)定律的随机变量（Resp.Xe(λ))。那么对于任意n∈n(Xg(n,λ),Xg(n,λ))D=(V(λ)n,其中V(λ)n和J(λ)n迭代为V(λ)=J(λ)=0,对于i≥1:V(λ)i=V(λ)i-1+S(λ)i+i(λ)i，J(λ)i=maxnJ(λ)i-1,由于g(n，n/t)a.S.→t按大数定律为n→∞,并且由于X不在规定的时间跳跃，我们有(Xg(n，n/t),Xg(n，n/t))a.S.→(Xt，Xt)为n→∞,因此对于大n，(V(n/t)n，J(n/t)n)定律提供了(Xt，Xt)联合定律的近似。第三，特别是近年来出现了许多L′evy过程族，其中Xe（n/t）和Xe（n/t）的定律以足够明确的形式已知，可以从它们中取样。除了稳定过程等经典例子外，我们还可以提到一类谱单侧L\'evy过程，对其所谓的标度函数足够明确（参见Hubalek和Kyprianou[17]、Kyprianou[23]或Kyprianou等[24])、MeromorphicL\'evy过程（参见Kuznetsov等[21])和Vigon[34]技术，这些技术是从已知的梯形高度过程构造新的L\'evy过程（因此，通过Wiener-Hopffactorization，用已知的Xe（n/t）和Xe（n/t）的定律）。现在让我们讨论上述设置如何用于从4元组中产生样本。这个想法很简单：在（2.1）中定义的‘随机网格’不仅满足g(n，n/t)a.s.→t为n→∞,而且对于任何序列k(n),使得k(n)∈{0,...,n}和k(n)t/na.s.→s∈[0,t]为n→∞,我们又通过大数定律g(k(n),n/t)a.s.→s.s。因此，如上所述，对于大n,(V(n/t)k(n),J(n/t)k(n))定律提供了(Xs，Xs)定律的近似。

从这个意义上说，“随机网格”在区间[0,t]内变得稠密。此外，从定理2.1可以明显看出，由于V和J的迭代性质，从对（V（n/t）n,J（n/t）n）中获得样本需要从向量（（V（n/t）,J（n/t））,..,（V（n/t）n,J（n/t）n）中产生样本。因此，构造(Xt，Xt)的近似律会自动地产生向量((X，X)，(x1/n，x1/n)，..，(Xt，Xt))的近似律--参见下面的命题2.2-因此，至少直观地清楚地表明，我们也应该能够近似一个像（1.2）这样的量。这在定理3.1中被证明是严格的。要克服的缺点是，在“随机网格”上的收敛性不如在传统的确定性网格上明显。命题2.2。设X是一个L\'evy过程，λ>0，并回忆定理2.1中定义的V和J以及（2.1）中随机网格的定义。然后(Xg(0,λ)，Xg(0,λ))，..，(Xg(k,λ),Xg(k,λ))^d=(V(λ),J(λ)),。.，(V(λ)k,J(λ)k)。（2.3）证明。这是对Kuznetsov等人的定理1证明的直接适应。[22]，我们把它包括在这里是为了完整。证明是通过K上的归纳法。由于（2.2）的原因，fork=1是真的。设k≥2。我们有，其中Y是X的独立副本，我们使用符号Xs，s:=sups≤u≤sxu:(Xg(0,λ),Xg(0,λ))，..，(Xg(k,λ),Xg(k,λ))=(Xg(0,λ),Xg(0,λ)),。.，(Xg(k-1，λ),Xg(k-1，λ)),Xg(k，λ),max x0，g(k-1，λ)，Xg(k-1，λ)，g(k，λ)，d=(Xg(0，λ)，Xg(0，λ))。.，(Xg(k-1，λ),Xg(k-1，λ))，Xg(k-1，λ)+Ye(λ)，max x0,g(k-1，λ)，Xg(k-1，λ)+Ye(λ)..，(V(λ)k-1,J(λ)k-1),V(λ)k-1+S(λ)k+I(λ)k,maxnJ(λ)k-1,V(λ)k-1+S(λ)ko=(V(λ),J(λ)),。.，(V(λ)k-1,J(λ)k-1）,(V(λ)k,J(λ)k),其中第二等式利用X具有平稳的独立增量，第三质量利用（2.2）和归纳假设以及序列(S(λ)i)i≥1和(i(λ)i)i≥1的认识。还有另一个启发式正义支持骨架{Xg(k,n/t）}k≥0作为计算路径量的L\'evy过程的goodrandom行走近似。从Doney[11]可以推断，对于所有k>0，随机变量mk:=supg(k,n/t)≤t<g(k+1,n/t)xt和mk:=infg(k,n/t)≤t<g(k+1,n/t)xt可以写成mk=S(n/t)+Y(+)k，mk=I(n/t)+Y(-)k，其中{Y(+)k}k≥0和{Y(-)k}k≥0是与{Xg(k,n/t)}k≥0分布相同的随机游动，且分别与S(n/t)和I（n/t）无关。由于对于g(k,n/t)≤t<g(k+1,n/t)，很清楚mk≤xt≤mk，所以Doney[11]中的导子断言，有可能通过两个随机游动来“随机”地限定x(k)的上下路径，这两个游动在分布上与命题2.2中构造的骨架相等，但具有不同的随机起点。在启发式上，命题2.2中产生的therandom walk在用于近似x的路径量时应该特别有用。3 4元组的近似分布我们现在展示了在上面的第2节中介绍的设置如何也可以用于生成4元组的非近似分布。其思想是通过对包围它的随机网格(2.1)的点子进行近似，即k(n)∈n，使得对于所有n∈n，g(k(n)-1,n/t)≤τu≤g(k(n),n/t)，并利用这些网格点求出涉及上冲和下冲的泛函。定理3.1。设X是任意L\'evy过程。修复一些t>0和u>0。回想一下定理2.1中的V和J。对于所有n∈nκ(n)u:=inf{k∈{0,....,n}J(n/t)k>u}（这里我们通常理解inf=∞)。然后我们有n→∞TN(κ(n)u:/n),V(n/t)κ(n)u:/n-u,U-V(n/t)(κ(n)U-1)n,U-J(n/t)(κ(n)U-1)n d-→τu:/t,Xτu:/t-u,U-X(τu:/t)-,U-X(τu:/t)-,U-X(τu:/t)-。（3.1）在我们证明上面的主要结果之前，让我们证明两个技术引理，为了完整起见，这里再现了一个众所周知的结果，第二个引理是将出现在定理3.1的证明中的算术。引理3.2。

假设Z是一个服从均值为1/θ的非指数分布的只有正跳跃的复合泊松过程。然后对任意u>0且ε∈[0,u)P(zτu-u>ε)=P(u-zτu->ε)=e-θε证明。在第n次跳跃时，firerst通过u的事件发生的条件是，这个跳跃现在是从u下面的一个独立的随机水平上跳过u并遵循指数分布。因此，使用内存不足属性，超调的结果如下。对于下冲u-zτu-，可以以同一事件为条件，利用下冲是u与n-1个独立指数分布随机变量之和之间的di值，得到证明。引理3.3。设X是一个L′evy过程，T是一个随机时间，(a(n))n≥1是一个事件序列，(T(n))n≥1是一个随机时间序列，如(n)(T(n)-T)p-→0为n→∞。(i)如果对于所有n，我们在a(n)a.s.上有T(n)≥T，则(n)(XT(n)-XT)p-→0为n→∞。(3.2)(ii)如果对于所有n，我们在A(n)A.s.上有T(n)<T，thenA(n)(XT(n)-xt-)p-→0和1A(n)(XT(n)-xt-)p-→0为n→∞。（3.3）证明。对于(3.2)，ε>0，且设ε>0，则有P(1a(n)XT(n)-XT>ε)=P(1a(n)(1{T(n)∈[T,T+ε]}+1{T(n)>T+ε]})XT(n)-XT>ε)≤psups∈[0,ε]XT+s-xt>ε！+P(1a(n)(T(n)>T+ε))，其中第二项在假设下消失为n→∞,而根据正确的连续性和路径正则性选择足够小的ε可以任意变小。显然（3.3）以类似的方法紧随其后，且(xs-)s≥0的左连续性。定理3.1的证明。证明是通过构造一个辅助随机向量，它在分布上等于（3.1）的左手边，并且在概率上收敛于（3.1）的右手边，从而得到陈述的主张。为了定义辅助随机向量，我们可以引入以下量:k(n)X:=inf{k∈{0,....,n}Xg(k,n/t)>u},k(n)g:=inf{g(k,n/t)g(k,n/t)>τu},σ(n)+:=1{k(n)X<∞}g(n,n/t)+1{k(n)X<∞}g(n,n/t)+1{k(n)X=∞}g(k(n)x-1,n/t)+1{k(n)X=∞}g(k(n)X=∞}g(n,n/t)以上变量之间的一些关系。注意，我们可以写{k(n)x<∞}σ(n)+=1{k(n)x<∞}k(n)g。（3.4）的确，在事件{Xg(k,n/t)≤u}上，一方面我们有τu≥g(k,n/t)和hencek(n)g>g(k,n/t)；另一方面，我们有k(n)x>k，因此σ(n)+>g(k,n/t)。在事件{Xg(k,n/t)>u}上，由于X在给定时刻不跳，在g(k,n/t)也不跳，因而τu<g(k,n/t),所以k(n)g≤g(k,n/t)；综上所述，在事件{Xg(k，n/t)≤u}上，我们有k(n)g,σ(n)+>g(k，n/t)；在事件{Xg(k，n/t)>u}上，我们有k(n)g,σ(n)+≤g(k，n/t)，这证明了(3.4)，因为k(n)g和σ(n)+只能在随机网格上取值。再者，我们有{k(n)x<∞}σ(n)-<1{k(n)x<∞}τu,（3.5）由于在事件{k(n)x<∞}上，通过构造σ(n)-≤τu，由于X和{g(k，n/t)}nk=0是独立的，所以σ(n)-=τu不能发生。现在，根据这些定理，我们得到了tn(k(n)Xn),Xσ(n)+-u,u-xσ(n)-d=tn(κ(n)u:/n),V(n/t)κ(n)u:/n-u,u-v(n/t)(κ(n)u-1)n,u-j(n/t)(κ(n)u-1)n,这是将相同的泛函应用于(2.3)(λ=n/t)的左右手的结果。因此，如果我们把tn(k(n)X:/n),Xσ(n)+-u，u-xσ(n)-，u-xσ(n)-p-→τu:/t，Xτu:/t-u，u-x(τu:/t)-u，u-x(τu:/t)-表示为n→∞，(3.6)，那么就足以表明左手边的每个分量不概率地收敛于右手边的对应分量。为了证明(3.6)a.s.→t在概率上的收敛性，请注意，当ceg（n,n/t)a.s.→t为n→∞时，我们有{k(n)x=∞}(t-τu:/t)≤1{k(n)x=∞,τu<t}ta.s.-→0为n→∞,类似地{k(n)x<∞,τu≥t}tnk(n)x-t≤1{g(n,n/t)>τu,τu>t}ta.s.-→0为n→∞,因此证明{k（n,n/t)>τu,τu>t}ta.s.-→0为n→∞就足够了(n)x<∞,τu<t}tnk(n)x-τup-→0为n→∞。（3.7）为证明(3.7)，设ε>0，取0=T<T<。...

<tn=t，使得对于所有i.则p{k(n)x<∞,ti-ti-1<ε/2,τu<t}tnk(n)x-τu>ε=nxi=1p{k(n)x<∞,τu∈[Ti-1,ti)}tnk(n)x-τu>ε≤nxi=1pTi-1-Tnχ(n)(Ti-1)>ε+pTnχ(n)(ti)-ti>ε,（3.8）其中对于任意x≥0χ(n)(x):=inf{k≥0g(k，N/t)>x},固定1≤i≤N,设k(N)=N(Ti+ε/2)/t和k(N)=N(Ti-1-ε/2)/t,然后我们渗出tnχ(n)(ti)-ti>ε≤P(χ(n)(ti)>k(n))=P(g(k(n),n/t)≤ti)→0(3.9)P Ti-1-Tnχ(n)(Ti-1)>ε≤P(k(n)>χ(n)(Ti-1))=P(Ti-1≤g(k(n),n/t))→0(3.10)为n→∞,因为大数定律保证了g(k(n),n/T)A.S.-→Ti+ε/2>Ti，g(k(n),N/T）A.S.-→Ti-1-ε/2<Ti-1。最后，我们用（3.8）中的（3.9）和（3.10）来总结（3.7）。对于（3.6）的第二个组成部分，我们再次使用g(n)的收敛性，n/t)→t和X不在规定的时间跳跃的事实注记{k(n)X=∞}Xσ(n)+=1{Xg(n,n/t)≤u}Xg(n,n/t)a.s.-→1{xt≤u}xt=1{τu≥t}xt。将此与1{k(n)X<∞}a.s.→1{τu<t}一起使用，可以证明{k(n)X<∞,τu<t}(xσ(n)+-xτu)p-→0作为n→∞。借助于引理3.3中的（3.2）和回顾（3.4）检验σ(n)+=k(n)g>τuon{k(n)x<∞}，如果我们证明{k(n)x<∞,τu<t}(σ(n)+-τu)p-→0作为n→∞。对于任一ε>0，回顾（3.8）中[0,t]的划分，上述极限成立。则p{k(n)x<∞,τu<t}(σ(n)+-τu)>ε=nxi=1p{k(n)x<∞,τu∈[ti-1，ti)}(σ(n)+-τu)>ε≤nxi=1pü(n)(ti)-ti-1>ε=nxi=1pü(n)(ti)-ti>ε(3.11)其中对于任意x≥0ü(n)(x):=inf{g(k),N/T)≥0g(k，n/t)>x}。由于θ(n)只不过是一个具有指数跳跃的复合泊松过程在x上的经过时间，我们从引理3.2中可以看出，(3.11)的右手边确实随着n→∞而消失。对于(3.6)的第三个和第四个分量，(xσ(n)-xτu-)p-→0和1{k(n)x<∞,τu<t}(xσ(n)-xτu-)p-→0就足够了，因为n→∞是{k(n)x<∞,τu<t}(xσ(n)-xτu-)p-→0。回顾（3.5）来检查引理3.3中（3.3）的假设，如果我们证明{k(n)x<∞,τu<t}(σ(n)-τu)p-→0为n→∞,则上述两个极限都成立。为此，我们可以对（3.11）中的论点应用明显的类似方法，但我们现在需要使用x-sup{g(k,n/t)≥0g(k,n/t)<x}，而不是从对σ(n)-和（3.5）的认识中可以看出。然而，这个表达式只不过是一个复合泊松过程的下冲，在x上有指数跳跃，因此引理3.2再次适用于得到结果。备注3.4。从设置和上面的证明中可以清楚地看出，4-tuple中的条目除了可以表示为对(X，X)的路径函数之外没有什么特别之处。这种类型的任何其他函数也可以通过该方法处理，通过对称性，对(X，X)的路径函数也可以处理。但是值得注意的是，依赖于X和X的路径功能不能（通常）被当前的方法处理，因为对于这对(Xe(q)，Xe(q))没有（2.2）的类似物。有人可能会争辩说，WHMC模拟方法的一个弱点是我们用随机变量g(n，n/t)代替了规定的时间t，以及由此引起的先验误差。在费雷罗-卡斯蒂利亚等人案中。[13]对二元分布(Xg(n，n/t)，Xg(n，n/t))进行了全面的误差分析，并根据g(n，n/t)的矩导出了收敛速度。对于二阶矩为零的L′evy过程，推导出[(Xg(n,n/t)-xt)]=O(n-1/2)。令人放心的是，WHMC模拟技术明显优于“普通”蒙特卡罗时，运行至上线参与。参见以下5.2小节。4第4段通过时间的收敛速度（1.2）中涉及的所有量最终取决于第4段通过时间。为了对基于定理3.1的构造的Monte Carlo格式的正确性有一些认识，我们现在导出了近似通过时间的收敛率。

从定理3.1κ(n)Ud=k(n)x，其中k(n)x与x在相同的概率空间上。定理4.1。用与定理3.1相同的符号，我们得到了“tn(k(n)x:/n)-τt#≤2tn证明。注意定理3.1的证明中k(n)的另一个证明是k(n)x:=inf{k∈0,...,n}g(k,n/t)>τu}，因此，以τu为条件，k(n)x服从截断泊松分布。让我们写α=τ/t，以简化符号，并用N:={Nt}t≥0表示一个速率为N/t的泊松过程。我们写出了“tn(k(n)x:/n)-τu:/tτu#=euto(1-α:/1)τu p k(n)x=∞τu{z}(I)+e k(n)xn-α:/1！τu p k(n)x≤nτu{z}(II)”。（4.1）我们注意到，当τu≥t(α≥1)时，项(I)消失，因此(I)≤1{α<1}(1-α)pk(n)x=∞τu=1{α<1}(1-α)P(nτu>nτu)≤1{α<1}(1-α)P(nτu>nτu)n≤n,(4.2)其中最后一个等式是由观察到nτu具有参数τun/t=αn的泊松分布和单边Chebyshev不等式，即对于均值为μ和方差为σ的实随机变量Z，P(z-μ≥a)≤σσ+a而得出的。我们将(II)中的概率因子定义为1,注(II)≤1{α≥1}nxi=1 in-1e-αn(αn)II！+1{α<1}nxi=1 in-αe-αn(αn)II！≤1{α≥1}e(1-α)nαnnxi=1 in-1e-nnii！+1{α<1}∞xi=1 in-αe-αn(αn)II！≤1{α≥1}e(1-α)nαnn+1{α<1}αn≤n,（4.3）其中最后一个等式来自(1+x)≤exforx≥0。下面的声明是指出（4.2）和（4.3）是独立于τu的上界，并应用（4.1）中的塔性质。元组其余部分的收敛速度似乎不太容易推导，这是由于元组（1.4）中其他条目的误差更多地依赖于x的路径。Brie Chity说明了这是一个有点微妙的问题，如果x是任何带有跳变的l\'evy过程，它似乎保持maxk≤nxg(k,n/t)-xkt/nà(4.4)不会随着n→∞而消失。（这一主张目前只得到数值证据的支持。）事实上，如果随机网格和过程X的联合实现是这样的：在setJn中至少有一次X的跳跃:=[k≤n(min{g(k，n/t),kt/n},max{g(k，n/t),kt/n}]，那么（4.4）中的期望内的随机变量以该跳跃平方的大小为界。因此，(4.4)只有在JN中没有跳变时才会消失。然而，作者进行的一些数值实验表明，当n→∞时，Jn的Lebesgue测度趋向于t，这表明这一要求不成立。然而，尽管（4.4）的消失将有助于根据定理4.1的精神导出元组其他条目的误差界，但这不是一个必要条件。实际上，很可能是（4.4）不消失，而元组中剩余条目的期望方差消失。在第5节中可以找到一些数值结果，表明确实是这样，并得到了经验数值收敛性。4.1 Ferreiro-Castilla等人通过时间的多能级Monte Carlo格式。[13]在假定f是一致Lipschitz的情况下，将第2节中介绍的原始WHMC模拟技术，即近似E[f(Xt，Xt)]形式的量，推广为多级MonteCarlo算法。原则上，文中给出的samemultilevel方案也可以用来逼近(1.2)，只要X具有适当的二阶矩（且随机元组逼近收敛于均方误差）。给出这种格式的全部细节超出了本文的范围，我们请读者参考Giles[15]的多级蒙特卡罗方法的一般理论和Ferreiro-Castilla等人。[13]适用于L\'evy过程的Wiener-Hopf方案的规定。然而，由于我们在上述定理4.1中导出了通过时间近似的收敛速度，我们也可以导出多能级形式的收敛速度。

对于下面的讨论，只要考虑f:[0,t]→R Lipschitz,constant1,functionx n,L∈n,且集合n`=2`n对于`=0,就足够了。.我们来写efn`:=f tn`(κ(n`)u:/n`)。多级蒙特卡罗算法提出了根据e[fnL]=e[fn]+lx`=1e[fn`-fn`-1]的右手边用e[fnL]估计e[f(τuót)]。（4.5）换句话说，蒙特卡罗估计量的多级版本建议在（4.5）右边的每个期望中执行规则蒙特卡罗估计量，作为E[f(τu:/t)]的近似，即E[f(τu:/t)]≈bfm(n,L)ml:=mmxi=1fn，(i)+lx`=1M`M`xi=1fn`，(i)-fn`-1,(i).其中M(n,L):={M`}L`=0是每个水平中的蒙特卡罗试验，而fn`，(i)表示fn`中的i样本。下面的定理描述了这种方法的好处：定理4.2(Ferreiro-Castilla et al.[13])。设t>0且N`=N`，对于某些`，N∈N，假定存在正常数α，β>0，且α≥(β:/1)使得(i)E[fn`-f(τu:/t)]。n-α`(ii)V(fn`-fn`-1)。N-β`(iii)E[CN`]。n`，其中cn`表示计算单个样本fn`的成本。然后，对于每一个v∈R>0，存在一个值L和一个序列M(n，L)={M`}L`=0，这样就有了bfm(n，L)mli。v和e bfm(n,L)ml-f(τu:/t)。v-,如果β>1,v-log,如果β=1,v-2+(1-β)/α,如果β<1。在下面的第五节中，我们对属于所谓亚纯L′Evy过程类的L′Evy过程X进行了一些数值模拟（参见第5.1节）。它是由Ferreiro-Castilla等人推断出来的。[13]任何应用于（2.3）中产生的随机游动的泛函都满足上述条件(iii)。关于f的Lipschitz假设和三角形不等式与定理4.1一起保证了β=1，因此，由上述定理4.2提供的f(τu:/t)的多级蒙特卡罗估计在对数下是最优的。注意，在β=1的情况下，偏差对算法的收敛性不起作用。即本文所提出的方法用于量E[f(τu:/t)]的多级Monte Carlo估计是最优的。5数值实现在本节中，我们讨论了一些实现的例子。我们的目的是表明该方法易于实现，比“普通”蒙特卡罗方法（参见5.2小节）有明显的优势，并给出了该方法收敛速度的一些直观性。已经有其他研究强调了WHMC模拟技术在计算时间方面的数值性能（参见Ferreiro-Castilla et al.[13]或Schoutens和van Damme[32])，至少对于某些t>0的初始设置依赖于(Xt，Xt)近似量化（参见第2节）。因此，为了进一步了解WHMC模拟技术是如何执行的，我们在这里重点进行了一次模拟分析，我们省略了最终取决于所处理的特殊问题的速度比较。5.1β-家族除了5.2小节之外，我们选择X作为L\'evyprocesses的β-家族的一员来执行数值实验。这是Kuznetsov等人最近引入的所谓亚纯L\'evy过程族的一个子类，类似于θ-过程（Cf.Kuznetsov等人[19])和一般超几何L\'evy过程（Cf.Kuznetsov等人[22])。亚纯L\'evy过程是非常丰富的：有界变化和无界变化的路径，以及活动跳跃和活动跳跃都可以生成。根据三重态（参见(1.1))，亚纯L′Evy过程可以用任一σ，a和任一L′Evy测度来刻画，这些测度可以写成（可能是）在r<0andr>0上指数分布的混合。