分数G-白噪声理论，分数的小波分解 G-布朗运动与投标报价在融资中的应用 不确定性

对于C1,2-解，如果σ>0，可以在[17]、[10]和[40]中得到（52）在粘性解意义下的存在性和唯一性。BG(t)直到t的随机路径信息与B(t)相同，在不丧失一般性的情况下，我们仍将F表示为BG(t)直到t的路径信息。考虑流程BG(t)，我们需要[·]:H-→R aseg[\\(BG(t)]=u(t,0)，t∈(0,+∞)并且对于每个t，s≥0和0<t<···<tn≤teg[\\(BG(t),···）,BG(tN),BG(t+s)-BG(t)]:=EG[ρ(BG(t),···,BG(tN))]式中ψ（x,···,xN)=eg[（x,···,对于0<t<t<···<ti<+1<···<tn<+∞,本文利用G-热方程（52）的比较定理和SU-Heat方程的比较定理，推导出G关于FTIaseg[（BG(t),BG(t)-BG(t),···,BG(ti+1)-BG(ti),···,BG(tN)-BG(Tn-1)fti]:=ψ（BG(t),BG(Tt)-BG(Tn-1))的条件期望：（x,···,xi,BG(ti+1)-BG(Tn-1),其中，φ（x,···,xi,BG(ti+1)-BG(Tn-1),G（x,···,xi,BG(ti+1)-BG(Tn-1)函数(·)的Blinear性质，我们一致地得到了一个次线性期望。在次线性期望下，BG(t)是一个g-布朗运动，BG(t)为N（{0},[σt,σt])分布。我们称Eg[·]为(Ω，H)上的g-期望。不失一般性。我们把BG(t)表示为双边G-布朗运动。在第2节中有类似的论证，我们将Banach空间（Hp,K·kp)命名为LpG(Ω,Hp,EG）,BG(t)是LpG(Ω,Hp,EG）中的G-布朗运动,因此，BGH(t)：=ZrMhi(0,t)(s)dBG(s)=ZrMhi(0,t)(s)dB(s)-ZrMhi(0,t)(s)φ(s)dsis a在g-期望下的fGBm。为了消除fGBm中的漂移，我们需要求解公式ZrMhi(0,t)(s)φ(s)ds=g(t)。即ZtMhφ(s)ds=g(t)。因此，其中(mhφ)(t)=G′(t)φ(t)=(M-1Hg′)(t)。如果G′(t)=A在[0,t]φ(t)=Am 1-Hi(0,t)(t)=A(sin(π(1-h))à(3-2h))2'A(-h)cos(π(-h))à(3-2h))″t-t-t+h+h#，并且对于0≤t≤tφ(t)=A(sin(π(1-h))à(3-2h))2à(-h)cos(π(-h))h(t-t)-h+h+h，定理8(G-Girsanov定理）假定在次线性条件下期望空间(Ω,h,E）随机过程BH(t)是Hurst指数h∈(0,1）的fGBm,那么存在g-期望EG，这样，在g-期望空间(Ω，H，BG(t):=B(t)-ztφ(s)ds是一个G-布朗运动，记号为B(t)=B(t),andBGH(t)：=ZrMhi(0,t)(s)dB(s)-ZrMhi(0,t)(s)φ(s)dsis a fGBm在g-期望下具有漂移RrMhi(0,t)(s)φ(s)ds=g(t),和φ(t)=(M1-Hg\')(t)5金融应用我们从具有等价概率测度{(S\'(R),S(R),F,Pθ):θ∈θ}的概率空间族出发，其中Pθ是一个诱导概率，而B(t)是参考空间中的标准布朗运动(S\'(R),S(R),F,P）,F是由布朗运动B(t)构造的增广函数，(σθt)t≥0是由θ∈θ参数化的未知过程，θ是非空凸集。这里σθt表示过程σθtb(t)波动性的不确定性，我们假定假设1(H)假定(σθt)t≥0是Ft的适应过程，并且满足σθt∈[σ,σ]，对于所有θ∈θ,我们设[X]=supθ∈θeθ[X]，其中eθ是概率pθ的对应线性期望。因此((S\'(R),S(R),F,bE)是一个线性期望空间，Denis，Hu和Peng[13]证明了σθTB(t)是一个次线性期望空间((S\'(R),S(R),F,bE)中的G-布朗运动，我们表示B:=σθTB(t)。

集合BH(t)是在((S\'(R),S(R),,F,P）中Hurst指数H∈(0,1）的fBm,然后很容易证明σθTbH(t)是Hurst指数H在(Ω，F，bE)中的fGBm，我们把它表示为BH(t)。我们考虑一个不完全市场，它包含一个带dp(t)=rP(t)dt的债券P(t)，0≤T≤T，(53)P(0)=1，且其价格S(t)具有不确定波动性且满足由AFGBM驱动的下列SDE的股票:DS(t)=S(t)^[μdt+dBH(t)]=S(t)^[μ+wh(t)]dt，0≤T≤T,(54)S(0)=x,等价于一族SDE,其中θ∈θds(T)=S(T)π[μdt+σθtdbh(T)]=S(T)π[μ+σθtwh(T)]dt,0≤T≤T,(55)S(0)=x,其中WH(T)是关于fBm BH(T)的分数阶噪声。利用G-Girsanov定理，在次线性期望空间LpG(S′(R),S(R),EG)(p≥1)中存在g-期望EG[·]和g-布朗运动BG(T),这样BG(T)=(μ-R)T+B(T)=(μ-R)T+B(T),即T）。（56）在EGBGH(t)=(μ-r)t+BH(t),（或WGH:=(μ-r)+WH(t))下，(57)是具有Hust指数H的fGBm，φ(t)=(r-μ)M1-Hi(0,t)(t),则我们得到(t)=S(t)[rdt+dBGH(t)]=S(t)[r+Wgh(t)]dt，0≤t≤t(58),它的公式(t)=xexp(rt+BGH(t)-t2h)是SDE(58)的解，假设一个投资组合π(t)=(u(t)，v(t))t））是一对FHT适应的过程，其中FHtis增加fGBm BGH(t)。对应的财富过程是wπ(t)=u(t)P(t)+v(t)S(t),其中如果wθ(t)对所有t∈[0,t]下有界，π被称为可容许的，并且π是自定义的ifdwπ(t)=u(t)dP(t)+v(t)S(t)[rdt+dBGH(t)]=rwπ(t)dt+v(t)S(t)→wgh(S)ds。e-rtwπ(t)=wπ(0)+zte-rsv(S)S(S)→wgh(S)ds。假定存在负且fht-可测的未定权利ζ,（如）在市场上的到期日t>0，将我们的分数G-Clark-Ocone定理应用于e-rtζ(ω),得到了e-rtζ=eg[e-rtζ]+zt～emh[e-rtdhtζfht]=wgh(t)dt，(59),其中，我们得到了g-分数马利亚文微分运算器23中的拟g-条件期望。在概率框架上，由[15]bbh(t)=μrσθtt+BH(t)中给出的Girsanov定理，(orbWH(t):=μrσθtt+wh(t))(60)是关于度量bpθ的fBm pθ(ω)=exp[<φθ,ω>-kφθk]其中φθ(t)=φ(t)/σθt。我们可以将方程（60）改写为σθtbbh(t):=(μ-r)t+σθtbh(t),（或σθtbwh(t):=(μ-r)t+σθtwh(t))。definitie[X]:=supθ∈θebpθ[X],X∈H,其中ebpθ[·]是对应于概率度量bpθ的线性期望。Denis,Hu and Peng[13](2010)证明了在次线性期望E[·]下，σθTBB1/2(t)是次线性期望空间(S\'(R),S(R),EG）上的G-布朗动项。注意，在次线性期望空间(S\'(R),S(R),EG）上，tbg(t)d=σθTbb1/2(t)和BG(t)是g-布朗运动，thuseg[·]=e[·],即，EG[X]=supθ∈θeBpθ[X],X∈H。（61）在次线性期望空间(S\'(R),S(R),EG）上证明σθTbBH(t)是fGBm是很容易的。利用Girsnov变换（60）,股票价格过程（55）可以改写为asdS(t)=S(t)^[rdt+σθtdbbh(t)]=S(t)^[r+σθtbwh(t)]dt,0≤T≤T,S(0)=x。Elliott和Hoek[15],Hu和Ksendal[25]证明了Ebpθ[e-rtζ]是索赔的价格，而V(T)=S(T)-1e-r(t-t)(σθT)-1eeθh[～dhtζfht]决定了投资组合，这样-rtζ=ebpθ[e-rtζ]+zteeθh[e-rtdhtζ]+wgh(T)dt，(62)其中θ是准条件期望，～dhtis是在[15]中定义的分数马利亚文微分算子。从（61）我们得到了eg[e-rt][61]因此，注意(59)，eg[e-rtζ]是索赔ζ的投标价格，其中v(T)=S(T)-1e-r(t-t)～emh[dhtζfht]决定了超级套期保值中的投资组合。类似地，我们可以推导出-eg[-e-rtζ]=infθ∈θebpθ[e-rtζ]，(64)是索赔的要价。参考文献[1]Aase,K.,§ksendal,B.,Privault,N.和Uboe,J.（2000）Eclark-Haussmann-Ocone定理的白噪声推广及其在数学解释中的应用，金融学。4,465-496。[2]Artzner,Ph.,Delbaen F.,Eber J.M.（1999）风险的一致性度量，数学金融学。9,73-88。[3]Avellaneda,M.,Levy,A.和Par\'as,A.

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