分数G-白噪声理论，分数的小波分解 G-布朗运动与投标报价在融资中的应用 不确定性

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摘要翻译：
Peng[41]提出了不确定条件下度量风险的G-框架。本文定义了分数G-布朗运动(fGBm)。分数G-布朗运动是一个零均值的中心G-高斯过程，在亚线性意义上具有平稳增量，Hurst指数$h\\in（0,1)$。该过程具有平稳增量、自相似性和亚线性意义上的长区间依赖性质。这些性质使分数G-布朗运动成为数学金融学中一个合适的驱动过程。利用紧支撑小波构造fGBm的小波分解。我们发展了分数G-white噪声理论，定义了G-IT-O-Wick随机积分，建立了分数G-IT-O公式和分数G-Clark-Ocone公式，导出了G-Girsanov定理。为了应用G白噪声理论，我们考虑了由FGBM驱动的G-Wick-It\\o型SDE模型的金融市场。fGBm模型下的金融资产价格具有波动性不确定性，利用G-Girsanov定理和G-Clark-Ocone定理，我们得到了贴现后的欧式未定权益的次线性期望是该权益的买卖价格。
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英文标题：
《Fractional G-White Noise Theory, Wavelet Decomposition for Fractional
  G-Brownian Motion, and Bid-Ask Pricing Application to Finance Under
  Uncertainty》
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作者：
Wei Chen
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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英文摘要：
  G-framework is presented by Peng [41] for measure risk under uncertainty. In this paper, we define fractional G-Brownian motion (fGBm). Fractional G-Brownian motion is a centered G-Gaussian process with zero mean and stationary increments in the sense of sub-linearity with Hurst index $H\\in (0,1)$. This process has stationary increments, self-similarity, and long rang dependence properties in the sense of sub-linearity. These properties make the fractional G-Brownian motion a suitable driven process in mathematical finance. We construct wavelet decomposition of the fGBm by wavelet with compactly support. We develop fractional G-white noise theory, define G-It\\^o-Wick stochastic integral, establish the fractional G-It\\^o formula and the fractional G-Clark-Ocone formula, and derive the G-Girsanov\'s Theorem. For application the G-white noise theory, we consider the financial market modelled by G-Wick-It\\^o type of SDE driven by fGBm. The financial asset price modelled by fGBm has volatility uncertainty, using G-Girsanov\'s Theorem and G-Clark-Ocone Theorem, we derive that sublinear expectation of the discounted European contingent claim is the bid-ask price of the claim.
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关键词：不确定性 布朗运动 投标报价 确定性 不确定

分数G-白噪声理论，分数G-布朗运动的小波分解，以及买卖定价在不确定性金融中的应用山东大学经济学院数量经济研究所，250100,中国济南，Chinaweichen@sdu.edu。本文对分数G-布朗运动(fGBm)进行了研究。分数次G-布朗运动是零均值平稳增量的次线性中心G-高斯过程，其Hurst指数H∈(0,1）。该过程具有平稳增量、自相似性和亚线性意义上的长区间依赖性质。这些性质使得分数g-布朗运动在数学上是一个合适的驱动过程。利用紧支撑小波构造了fGBm的小波分解。我们发展了分数G-White噪声理论，推导了G-It O-Wick随机积分，建立了分数G-It O公式和分数G-Clark-Ocone公式，并导出了G-Girsanov定理。为了应用G-白噪声理论，我们考虑了FGBM驱动的SDE的G-Wick-IT型市场模型。fGBm模型的金融资产价格具有波动性不确定性，利用G-Girsanov定理和G-Clark-Ocone定理，我们推导出折现后的欧式未定索偿权的次列式是索偿权的买卖价格。关键词分数布朗运动，Gexpect，分数G噪声，小波分解，波动性不确定性、灯芯制品，G-it O-Wick随机积分，分数G-BlackScholes MarketMSC-Claasi：60E05，60H40，60K，60G18，60G22Jel-Claasi：G10,G12,G131引言随机过程BH(t)是平稳增量的连续高斯过程[BH(t)BH(s)]=[T2H+S2H-T-S2H],H∈(0,1）,(E[·]是某种线性期望）,最初由Kolmogorov[28](1940)在湍流研究中以“Wienerspiral”的名义引入,该过程具有自相似性质：对于a>0律(BH(at),t≥0)=律(aHBH(t),t≥0),后来Hurst[23](1951)和Hurst、Black和Simaika[24](1965)等人的论文致力于研究--尼罗河的长期库容，已发表，参数H得名为“赫斯特参数”。现在的分数布朗运动(fBm)来源于Mandelbrot和Van Ness的另一篇开创性论文[33](1968)，其中考虑了关于分数布朗运动的随机演算。分数布朗运动具有相似性和长范围相依性，它被用来描述各种各样的自然和物理现象，如流体力学、自然图像、宽带网络、电信和股票市场的特征建模。Bachelier[4](1900)的论文中提出了对一个资产的连续时间随机模型。他提出用布朗运动加线性漂移来模拟股票的价格，这种模型的缺点是资产价格可能变为负值，股票价格越高，相对收益越低。Samuelson[45](1965)提出了更现实的模型ST=Sexp((μ-σ)+σBT)，这是金融工程的基础。Black和Scholes[7](1973)利用Samuelson模型，通过连续复制交易，导出了欧式看涨期权价格的显式公式。由于成功的期权定价理论，以及Merton[34](1973)给出的相关最优投资问题的简单求解，这类模型迅速流行起来。然而，Samuelson模型也有其局限性，迄今为止已经有许多努力来建立更好的模型。卡特兰等人。[11](1995)讨论了在建立股票价格变动模型时应考虑长期依赖性的经验证据，并提出了萨缪尔森模型的分数版本。

对于H∈(，1)分数高斯噪声BH(k+1)-BH(k)表现出长程依赖关系，在Mandelbrot\'sterminology中也称为Joseph效应[32](1997)；对于H=fBm是半线性的且所有关联在非零时都为零；对于H∈(0),关联和为零，这对其他应用来说不那么有趣[11](1995)。Hu和§Ksendal[25](2003)在白噪声概率空间(S\'(R),F）中发展了分数白噪声理论，用分数布朗运动驱动的Wick-It O型随机微分方程，用Hurst指数H∈(，1)对市场进行了建模，并计算了欧式期权在该市场中的价格和重复投资组合。Elliott andHoek[15](2003)推广了Hu和óksendal[25]关于分数布朗运动的工作，其中所有指标的过程在相同的概率测度下包括H∈(0，1),用一个由分数布朗运动和驱动的SDE来描述市场，并在这样的市场中发展了欧式期权定价。在不确定的市场中，资产价格的不确定性来自漂移不确定性和波动性不确定性。对于漂移不确定性，Chen和Epstein[9](2002)在概率框架中提出用Peng在[36](1997)中引入的g-期望对随机效用进行鲁棒估值。Karoui、Peng和Quenez在[27]和Peng在[37](1997)中提出了对欧式未定权益的BSDE、asbid-ask动态定价机制的解所定义的时间一致条件g-期望。Delbaen、Peng和Gianin([12])(2010)证明了任何相对于参考概率绝对连续的一致且时间一致的风险测度都可以用g-期望来逼近。在概率框架中，Avellaneda、Levy和Paras[3](1995)和Lyons[31](1995)最初研究了波动性不确定性模型，在风险中性概率测度中，他们直观地将欧式未定权益的买卖价格定义为一族等价概率对应的优劣关系。经济学中存在不确定性，没有人知道它的概率分布。几乎所有的金融市场都存在波动性不确定性(VIX、S&P500、Nasdaq、Dow Jones、Eurodollar和DAX等），波动性不确定性是估值中最重要、最有趣和最开放的问题（参见[46](2011))。在波动性不确定性下的相干风险度量问题（参见[2](1999))的激励下，彭发展了波动性不确定性的过程，称为次线性期望空间(Ω，H，e)中的g-布朗运动。在次线性期望空间中，g-布朗运动是g-期望下的g-鞅，用g-布朗运动建模的市场是不完全的。Epstein和Ji[16]利用g-框架研究效用不确定性在经济学中的应用，Chen[9]在g-布朗运动驱动的SDE模型的不确定市场中给出了欧式未定权益的时间协调g-期望买卖定价机制。本文考虑发展不确定条件下的分数g-白噪声理论。本文给出了G-white噪声空间中Hurst指数H∈(0,1）的分数G-布朗运动(fGBm)BH(t),它是一个中心G-高斯过程（参见Peng[43])，在亚线性意义上具有平稳增量，用fGBm对市场进行建模更符合实际。

同时，我们在小波族上构造了fGBm的小波分解，在次线性期望空间（或G-white噪声空间）(S\'(R),S(R),E）中发展了分数G-white噪声理论，考虑了G-white噪声空间上的fGBm，定义了分数G-white噪声，并建立了关于fGBm的分数G-It随机积分。导出了分数阶G-IT公式，对分数阶Malliavin微分导数进行了修正，并证明了分数阶G-Clark-Ocone公式。此外，我们给出了G-Girsanov定理。将我们的理论应用于fGBm BH(t)驱动的G-Wick-It O型随机微分方程的市场模型中，证明了欧洲未定权益贴现的次线性期望是欧洲权益的买卖价格。2我们在次线性空间中定义了Hurst指数H∈(0,1）的fGBm。我们证明了fGBm是一条具有H指数[0,H)的连续随机路径，并且在线性意义下具有自相似性和长区间相依性。在此基础上，利用紧支撑小波建立了fGBm的小波分解。在秒内。3提出了分数G白噪声理论。在秒内。4给出了G-Girsanov定理。在秒内。5.我们将我们的理论应用于由fGBm BH(t)驱动的Gwick-it O型随机微分方程模型的金融市场，得到了欧式未定索赔的买卖价格。2分式G-Brownian motion2.1次线性期望和分式G-Brownian MotionLetΩ是一个给定的集合，设H是一个包含常数的实值函数的线性空间。空间H也称为随机变量空间。定义1次线性期望E是一个泛函E:H-→R满足(i)单调性:E[X]≥E[Y]如果X≥Y，(ii)常数保持性:E[c]=c对于c∈R，(iii)次可加性：对于每个X，Y∈H,E[X+Y]≤E[X]+E[Y]，(iv)正齐性:E[λX]=λE[X]，对于λ≥0。三(Ω,H,E）被称为次线性期望空间(Ω,H,E）：如果X.X,E.,Xn∈H,则对[x]Cb,Lip(Rn),x(x.x,…,Xn)∈H,其中Cb,Lip(Rn)表示函数φ满足φ(x)-φ(y)≤C(1+xm+ym)x-y的线性空间,对x，y∈R,某些C>0,m∈N依赖于φ。对于每个p≥1,我们取Hp={x∈H,e[Xp]=0}为零空间,并将H/Hpa表示为商空间。我们设KXKP:=(E[Xp])1/P，并将H/HPP推广到它的完备项BHPunderK·KP。在K·kp下，次线性期望E可连续推广到Banach空间（bHp,K·kp）。在不丧失一般性的情况下，我们将Banach空间（bHp,K·Kp)表示为LpG(Ω,H,E）。对于次线性期望空间的G-框架，我们参考了[38]、[39]、[40]、[41]、[42]和[43]。本文假定μ、μ、σ、σ是非负常数，使得μ≤μ、σ≤σ.定义2设x、x是次线性期望空间(Ω,H,E）中的两个随机变量，Xand Xare称为同分布，表示为xd=xif e[φ(X)]=e[φ(X)],对于φ∈CB,Lip(Rn)。在次线性期望空间(Ω,H,E）中，一个随机变量Y被称为独立于另一个随机变量X，如果E[φ(X,Y)]=E[E[φ(X,Y)]X=X]。定义4（g-正态分布）Arandom变量在a，b≥0的情况下称为g-正态分布ifaX+b_x=pa+bX，其中X是X的独立副本。关于次线性空间(Ω,H，e)上的随机变量X的注释1H,E）,有四个典型的参数来表征X,μ=ex,μ=-e[-X],σ=ex,σ=-e[-X],其中[μ、μ]和[σ、σ]分别描述X的均值和方差的不确定性。如果X是g-正态分布，那么μ=ex=μ=-e[-X]=0,我们将g-正态分布表示为N（{0},[σ、σ])。

如果X是极大分布，则σ=ex=σ=-e[-X]=0，我们将极大分布表示为N([μ，μ],{0}）。5我们称(Xt)t∈RA-次线性期望空间(Ω,H,E）上的D维随机过程，如果对于每个t∈R，Xtis是H中的D维随机向量。6让(Xt)t∈Rand(Yt)t∈RBE-次线性谱空间(Ω,H,E）上的D维随机过程，对于每个t=(t,t,...,tn)∈t，fxt[i]:=E[ix(Xt)]，l_8∈CL Lip(rn×d)称为Xt的N维分布。X和Y是无穷分布的，即xd=Y,iffxt[8]=fyt[8]，λT∈T和λπ∈CL.lip(rn×d),其中T:={T=(T,T,...定义7亚线性期望空间(Ω,H,E）上的过程（Bt）t≥0称为G-布朗运动，如果满足以下性质:(i)B(ω)=0；(ii)对于每一个t,s>0，增量Bt+s-btis G-正态分布于N（{0},[sσ,sσ],且与（Bt,Bt,...）无关。,Btn）,对于每一个n∈n和t，t，...,tn∈(0,t]；定义8一个过程(Xt)t∈ron一个次线性期望空间(Ω,H,e）,如果对于每一个t∈R,Xtis g-正态分布N（{0},[σt,σt]),其中0≤σt≤σt,Xtis g-正态分布N（{0},[σt,σt]),则称为中心GGaussian过程。[41]中的注2 Peng构造了g-框架，它是不确定条件下风险度量和定价的有力而优美的分析工具。在[43]中，彭德研究了非线性期望空间中的G-高斯过程，复值非线性期望空间下的q-布朗运动，提出了一种新的Feynman-Kac公式作为Schrodinger方程的解。从现在起，在这一节中，我们开始定义一个双边g-布朗运动和一个分数g-布朗运动，进一步构造了分数次G-Brown运动，给出了分数次G-Brown运动在线性条件下的基本性质和长区间相依性质。在次线性期望空间(Ω,H,e）上，当两个独立的G-Brown运动(B(1)t)t≥0和(B(2)t)t≥0B(t)=B(1)(t)t≥0B(2)(-t)t≤0(1)时，我们考虑了一族与Kolmogorov（见[28])和Manbrot提出的分数次Brown运动(fBm)相对应的不确定连续过程，称为边G-Brown运动（fBm）（见[33])，我们将其定义为分数G-布朗运动(fGBm):定义10设H∈(0，1)、中心G-高斯过程(BH(t))t∈ron次线性空间(Ω，H，e)称为分数G-布朗运动，其Hurst指数为H,如果(i)BH(0)=0；(ii)E[BH(s)BH(t)]=σ(t2h+s2h-t-s2h),s,t∈R+,-e[-BH(s)BH(t)]=σ(T2H+S2H-t-S2H),s,t∈R+,（2）我们将分数次G-布朗运动表示为FGBM，我们可以很容易地检验(B(t))t∈RISG-布朗运动，2.2移动平均表示类似于fBm的Mandelbrot-Van Ness表示，我们给出了fGBm关于G-布朗运动的移动平均表示如下定理1设H∈(0,1）,对于t∈R,Hurst指数H的分数G-布朗运动表示为asBH(t,ω)=CWHZR[(t-s)H-1/2+-(-s)H-1/2+]dB(s,ω)，(3)其中CWH=(2hsinπHγ(2H))1/2γ(H+1/2)和(Bt)t∈RIS是一个双边G-布朗运动。显然BH(0)=e[BH(t)]=0,对于s=t，证明（2）中的方程是微不足道的。从第7和第9项出发，利用G-It O随机积分([41])和积分变换，我们得到：对于s>t E[BH(s)BH(t)]=2πsinπHà(2H)~n(H+)σ{Z-∞[(S-U)H-1/2-(-U)H-1/2][(T-U)H-1/2-(-U)H-1/2]du+ZT(S-U)H-1/2(T-U)H-1/2Du}=σ(S2H+T2H-S-T2H)-2πsinπHà(2H)'A(H+)σ{Z-∞[(S-U)H-1/2-(-U)H-1-/2][(t-u)h-1/2-(-u)h-1/2]du+Zt(s-u)h-1/2(t-u)h-1/2du}，因此我们证明了（2）中的第一个方程，其他情况也可以用类似的方法证明。我们可以证明（2）中的第二个方程，上面方程中的e[·]被-e[-·]代替，因此我们证明了（2）。

2.3分式g-布朗运动的性质11在次线性期望空间(Ω,H,E）中，一个过程(Xt)t∈Ris，当a>0时，ifX(at)d=aHX(t)具有自相似性质。（4）定理2在(Ω，LpG(Ω)，e)中具有Hurst指数H∈(0，1)的fGBm BH(t)具有以下性质(i)H-自相似性质BH(at)d=aHBH(t)。(ii)fGBm(BH(t))t∈RIS是一条具有平稳增量的连续路径，对于β∈[0,H)序H-旧连续且几乎不存在H-旧连续的γ>H阶，即，对于α≥0，E[BH(s)-BH(t)α]=E[BH(1)α]t-SαH,-E[-BH(s)-BH(t)α]=-E[-BH(s)-BH(t)α]=-E[-BH(1)α]t-SαH。从第10条证明(i),fGBm是一个中心的G-高斯过程，由E[BH(at)]=A2HE[BH(t)]和-E[-BH(at)]=-A2HE[-BH(t)]我们证明了H-自相似性质。(ii)很容易检验BH(s)-BH(t)和BH(s-t)服从G-正态分布n（{0},[σ(t-s)2H,σ(t-s)2H]),fGBm(BH(t))t>0具有自相似性质，由此我们导出我们用与-E[-·]相似的论点证明了该定理。对于H∈(0,1)E[(BH(n+1)-BH(n)))BH(1)]=σ[(n+1)2H-2N2H+(n-1)2H],(5)-E[-(BH(n+1)-BH(n))BH(1)]=σ[(n+1)2H-2N2H+(N-1)2H]，Hurst指数为H的fGBm(BH(t))t∈R(Ω,H,E)(i)中的定理3（长程相关）。(6)(ii)当H∈(1/2,1）时，存在长区间相关，即0<r(n)<r(n),±n∈n；当H=1/2时，存在不相关，即r(n)=r(n)=0,且当H∈(0,1/2)limn-→∞r(n)=limn-→∞r(n)=r(n)=0,其中(n)=e[(BH(n+1)-BH(n))BH(1)]和r(n)=-e[-(BH(n+1)-BH(n))BH(1)]分别是BH(n+1)-BH(n)-BH(n)]的上下自相关函数。.(i)从下一节fGBm的构造（见下一节（28））我们得到E[(BH(n+1)-BH(n))BH(1)]=σZR[MHI[n,n+1](x)MHI[0,1](x)]dx,(7)-E[-(BH(n+1)-BH(n))BH(1)]=σZR[MHI[n,n+1](x)MHI[0,1](x)]dx。(8)definnec\'H=[sin(πH)'A(2H+1)]-1/2ch，其中ech=[2à(h-)cos(π(h-))]-1[sin(πH)'A(2H+1)]1/2，类似于下一节中对运算符MH的definition12，我们表示m\'在definitionmh中具有用c\'hing替换chy的运算符。对于0≤a<b和0<H<1,通过Parseval定理Zr[m′hi[a,b](x)]dx=2πzr[\\m′hi[a,b](ζ）]dζ=2πzrζ1-2hdi[a,b](ζ）dζ=2πzrζ1-2hdi[a,b](ζ）dζ=2πzrζ1-2H[e-ibζ-e-iaζ-iζ]dζ=sinπHà(2H+1)(b-a)2H,由此注意（7）和（8）我们可以证明(i)。(ii)从（5）我们得到rnèH(2h-1)n2h-2e[bh(1)],n-→∞,=1/2.和∞∑n=1rn=e[bh(1)]limn-→∞((n+1)2h-n2h-1)<∞,H∈(0.1/2)；=0；H=1/2；=∞,H∈(1/2,1）,我们还可以推导出rn的类似表达式，从而改进了证明。2.4分数阶g-布朗运动的小波分解我们考虑在周期紧支撑小波族（见[14]和[19])上展开fGBm：{ψj,k:x-→∑l∈Zψ(2j(x-l)-k),j≥0,0≤k≤2j-1}（9）,其中φ是一个母小波，我们用φ(x)表示它的周期尺度函数。假定小波ψ属于Schwartz类S(R)；该小波φ具有N(≥2)个消失矩，即z∞-∞tnψ(t)dt=0。按照惯例，如果j=-1,0≤k≤2-1-1均表示k=0,我们表示-ρ-1,k(t)=φ(x-k),0≤k≤2-1-1。则周期化小波族{2j/2ψj,k(t),j≥-1,0≤k≤2j-1}（10）构成L(t)的正交基，其中t:=R/z(1周期）。对于α>0，我们将Liouville分数积分表示为(iαf)(x):='A(α)Zt(t-x)α-1f(x)dx,(11),而Riemann-Liouville分数积分与Marchaud分数积分一致如下(iαmf)(x):='A(α)Z+∞-∞[(t-x)α-1+-(-x)α-1+]f(x)dx,(12)定理4 fGBm过程BH(T)存在小波展开，即对于H∈(0，1)BH(T)=CWH∞∑j=-1j-1∑k=0μj,k(iαm'Aj,k)(T)(13)其中α=H+,cwh=(2H sinπHà(2H))1/2à(H+1/2),μj,k=2-(h-)jεj,kandεj,kare I.I.D.G-正态分布为BH(1)→N({0},[σ,σ])。证明。(i)我们表示(13)asF(t)=CWH∞∑j=-1j-1∑k=0μj,k(iαmψj,k)(t)的右手边。

在不丧失一般性的情况下，我们可以将F(t)改写为F(t)=Cwh∞∑n=-1fn(t)εn，(14)其中{fn}∞n=-1表示L(R)的可数Riesz基{2-(H+1)j(iαm'Aj,k)(x)}j≥-1，k=0,1,···,2j-1（见[47])。为了证明上述方程的右边是一个广义过程，即F(u)=z∞-∞F(t)u(t)dt，对于±u∈S(R)，(15)我们只需证明kfkh-1=kcwh=1=kcwh=1=kcwh=1∞∑n=-1fn(t)εnkh-1<∞。（16）根据次线性期望的表示定理（见[41])，存在一族线性谱{eθ:θ∈θ}，使得e[X]=supθ∈θeθ[X]，对于X∈H。（17）因此，利用Kolmogrov的收敛性critera我们得出KCWH∞∑n=-1fn(t)εnkH-1<∞。（18）因此，利用Plancherel定理<F,u>=2πz∞-∞bf(ζ）bu(ζ）dζ=2πz∞-∞F(ζ）(1+ζ）-1/2bu(ζ）(1+ζ）1/2dζ≤2πkfkh-1kukh-1<∞。其中u(ζ=R∞-∞u(t)e-itζdt是u的傅立叶变换。(ii)我们证明了{BH(t),t∈R}是一个平稳增量的中心广义g-高斯过程，即，当均值为零时，Ebh(u)BH(v)=σz∞-∞z∞-∞(t2h+s2h-t-s2h)u(t)v(s)dtds,-e[-BH(u)BH(v)]=σz∞-∞z∞-∞(t2h+s2h-t-s2h)u(t)v(s)dtds。（19）从分数阶积分（12）的认识出发，我们有bh(u)=cwhz∞-∞∞∑j=-1j-1∑k=0-(H+)jεj,k(iαm∑j,k(t)u(t)dt=-1j-1∑k=0-(H+)jεj,kz∞-∞u(t)z∞-∞[((iαδ)(t-x))+-((iαδ)(-x))+]ψj,k(x)dxdt,其中(iαδ)(t-s)=(t-s)α-1~n(α).g-正态分布εj,k(j=-1,0,1,...；k=0,...2J-1)是独立的，我们推导出EBH(u)BH(v)=E[BH(1)](CwH)∞∑J=-1J-1∑k=0-(2H+1)JZRZR[((iαδ)(t-s))+-((iαδ)(-s))+]u(t)ψj,k(s)DSDTZRZR[((iαδ)(t-s))+-((iαδ)(-s))+)v(t)ψj,k(s)DSDT=σ(CwH)ZRZR[((iαδ)(t-s))+-(iαδ)(-s))+-(iαδ)(-s))+u(t)dtZRv(t))∞∑j=-1j-1∑k=0<((iαδ)(t-s′))+-((iαδ)(-s′))+，2(h+)jψj,k(s′)>L(R)-(H+)jψj,）(t-t\'))+-((iαδ)(-t\'))+((iαδ)(s-t\'))+-((iαδ)(-t\'))+dt\'idsdt.以下根据定理1的证明，我们有σ(CwH)zr((iαδ)(t-t′))+-((iαδ)(-t′))+((iαδ)(s-t′))+-((iαδ)(-t′))+dt′=σ[t2h+s2h-t-s2h]，我们得到了（19）中的公式。用类似的论证，我们可以证明（19）中的第二部分，从而证明（13）中的右手是一个广义的fGBm，从而改进了定理的证明。注3为构造G-正态分布随机向量，如BH(1)，Peng在[41]中提出了零均值的中心极限定理。设{Xi}∞i=1是次线性期望空间(Ω,H,E）上的Rd-值随机变量序列，e[X]=-e[X]=0,并假定Xi+1d=Xi，Xi+1与{X，...3分数G-噪声和分数G-它O公式3.1G-白噪声空间上的分数G-布朗运动S(R)表示在可微实值函数中快速递减的Schwartz空间，设S\'(R)是S(R)的对偶空间，<·，·>表示对偶运算，对f∈L(R)用阶跃函数逼近<f,ω>:=ZFDB(ω)，(20),其中B(ω)=B(·，ω)是B(1)'AN({0},[σ，σ]的双边G-布朗运动）。则(S\'(R),S(R),E）是次线性期望空间。注4关于G-框架和G-It O随机积分定理，我们参考Peng\'Spaper[40],book[41]和其中的参考文献。如果0≤S≤t-1,如果t≤S≤00，则将I[0,t](S)作为指示函数I[0,t](S)=1；否则（21）定义以下过程～BT(ω):=<I[0,t](·),ω>，(22)则(～BT)t∈RIS-具有～BT'An({0},[σt,σt])的双边G-布朗运动。在不丧失一般性的情况下，对于t∈R，我们将BTA表示为双边G-Brownian运动～BT。对于H∈(0，1)，我们将以下算子MHis定义为函数f∈S(R)上的算子MHis定义为[MHF(y)=Y1/2-Hf(y)，y∈R，(23)，其中G:=ZRE-IXYG(x)Dx表示Fourier变换。对于0<H<，我们haveMHf(x)=CHZRf(X-T)-f(x)T3/2-HDT，(24)，其中ech=[2~n(H-)cos(π(H-))]-1[sin(πH)'A(2H+1)]1/2.对于H=we haveMHf(x)=f(x)。（25）对于<H<1，我们haveMHf(x)=CHZRf(t)t-x3/2-HDT。

（26）我们定义H(R):={f:MHf∈L(R)}={f:Y-H f(y)∈L(R)}(27)={f:kfkLH(R)<∞},其中kfkLH(R)=kMHfkL(R)，则算子MH可以从S(R)推广到LH(R)。对于H∈(0,1）,考虑以下过程～BH(t,ω):=<MHI(0,t)(·),ω>(28)那么，对于t∈R，它是一个中心的G-Gaussian过程（参见Peng(2011)[43])，其中～BH(0)=E[～BH(s)～BH(t)]=σ[ZrMHi(0,s)(x)MHI(0,t)(x)Dx]=σ[T2H+S2H-S-T2H]，-E[-～BH(s)～BH(t)]=σ[ZrMHi(0,s)(x)MHI(0,t)(x)Dx]=σ[ZrMHi(0,t)(x)Dx]=σ[ZrMHi(0,t)(x)Dx]=σ[ZrMHi(0,设f(x)=∑jaji[tj,tj+1](x)为阶跃函数，则<MHf,ω>=zrf(t)dBH(t)，(29)并可推广到所有f∈LH(R)。我们还得到了ZrF(t)dBH(t)=ZrMHF(t)dB(t)，f∈LH(R)。（30）3.2分数G-NoiseRecall Hermite多项式shn(x)=(-1)nexdndxne-x,n=0,1,2,···我们将Hermite函数表示为:～hn(x)=π-((n-1)！）-hn-1(√2x)e-x,n=1,2,···则{～hn，n=1,2,···}是L(R)和～hn(x)≤(cn-如果x≤2√nce-γxif x>2√n)的正交基，其中C和γ是与n无关的常数。definiei(x):=m-1h～hi(x),i=1,2,···那么{ei,i=1,2,···}是LH(R)的一个正交基。对于某些n≥1和αi∈n={0,1,2,···},我们将J表示为所有的多指数α=(α,···,αn)的集合,对于α∈JHα(ω)=πni=1hαi(<～hi,ω>)=πni=1hαi(<～hi,ω>)=πni=1hαi(zr～hidb(ω)),其中(B(t,ω))t∈ris为双边g-布朗运动。将～hα表示为因子...与[26](1951)关于它的基本结果的陈述相似，我们将zrα～hαdbα:=hα(ω)。（31）定义13我们定义空间LH(Rn)如下:LH(Rn):={f(x，...，xn)是(x，...，xn)MnHf∈L(Rn)}的对称函数，其中MnHf表示应用于f的每个变量的算子MHis，我们将Kfk LH(Rn):=Zrn(MnHf)ds。（32）对于f∈LH(Rn),我们得到了zrnfdB nh:=Zrn(MnHf)dB n.得到了随机变量f∈LG,H(S\'(R),S(R),e）,当且仅当f=mh∈LG(S\'(R),S(R),e）.Hermite函数的F_mHin项的展开式:f(Mhω)=∑αCαHα(ω)=∑αCαHα(ω)=∑αCαHα(<MHe,ω>)...HαN(<MHen,ω>)=∑αCαHα(<e,mhω>)=∑αCαHα(<e,mhω>)..hαn(<en,mhω>)。因此，F(ω)=∑αcαhα(<e,ω>)。Hαn(<en,ω>)=∑αCαHα(ω)。对于F∈LG(S\'(R),S(R),E）,我们有F(ω)=∑αCαHα(ω)=∑n∑α=ncαZrn～Hαdb n=∑n∑α=ncαZrneαdb nmhaase等。[1](2000)，Holden et al.[21]，Elliott&Hoek[15](2003)在概率框架下给出了Hida空间(S)和(S)*的定义。这里我们将G-Hida空间(S)和(S)*定义为如下第15(i)我们将G-Hida空间(S)定义为具有以下展开式的所有函数ψ,(S):=∑α∈JAαHα(ω)(33),(S):=∑α∈JAαα！(2n)kα<∞对于所有k=1,2,··,其中(2n)γ:=(2·1)γ(2·2)γ··(2·m)γMIFγ=(γ,γ,··）,(ii)我们将G-Hida空间(S)*定义为对于某个整数q∈(0,+∞)的Folwowing展开式Φ(ω)=∑α∈JbαHα(ω)(34)的集合，即KΦk-q,(S)*:=∑α∈Jbαα！(2n)-qα<∞。(S)*与(S)*之间的对偶关系如下：对于∑(ω)=∑α∈JAαHα(ω)∈(S),Φ(ω)=∑α∈JBαHα(ω)∈(S)π<<，Φ>>:=∑α∈Jα！AαBα。对于Fi(·)∈(S)πFi(ω)=∑α∈JC(i)αHα(ω),i=1,2,我们将它们的wick乘积(Fàf)(ω)=∑α,β∈JC(1)αC(2)βHα+β(ω)=∑γ∈J∑α+β=γC(1)αC(2)β=γC(1)αC(2)β！Hγ(γ))定义为ω)。（35）从fGBm BH(t)的混沌展开出发，我们得到了BH(t)=<MHI[0,t],ω>=<I[0,t],mhω>=<∞∑k=1(I[0,t],ek)LH(R)ek,mhω>=∞∑k=1(MHI[0,t],mh~hk)L(R)<ek,mhω>=∞∑k=1(I[0,t],mh~hk)L(R)<ek,mhω>=∞∑k=1(I[0,t],mh~hk)L(R)<ek,mhω>=∞∑k=1(i[0,t],mh~hk)L(R)<ek,ω)，其中ε(k)=(0,0,···,0,1,0,···,0)，第k项为1，否则为0，且k=1,2,···。我们用如下展开式得到了H分数G噪声WH(t)。17 H分数G噪声关于fGBm BH(t)的展开式为WH(t)=∞∑k=1mH～hk(t)Hε(k)(ω)。

（36）对于H=，g-布朗运动B(t)的分数g-噪声W(t)称为g-白噪声，对于<H<1的分数g-噪声WH(t)称为分数g-黑噪声，对于0<H<，h-分数g-噪声WH(t)称为分数g-粉红噪声，然后可以证明对于所有t的WH(t)为dbh(t)dt=WH(t)。（37）注5长程相关定理3刻画了H-分数G-噪声，特别是它的不确定性。分数阶G-黑噪声具有持久的长记忆性，分数阶G-平波噪声在次线性意义上具有负相关并快速交替变化其值，分数阶G-白噪声具有I.I.D.g-高斯序列。分式G-噪声的性质使其具有很强的自然背景([29]、[32]、[44]和[18])。引理1对于所有t,对于H∈(0,1）,H-分式G-噪声WH(t)在G-Hida空间(S)*中。根据第12条，并注意到~hk(y)=√2π(-i)k-1-1~hk(y)我们从Hille[20](1958)和Thangavelu[35](1993)中推导出mh~hk(t)=2πzreiyty-h~hk(y)dy=(-i)k-1√2πzreiyty-h~hk(y)dy，~hk(y)≤(ck-，如果y≤2√kce-γy，其中C和γ是与k和y无关的常数。Thusmh～hk(t)≤C“z"ak-2‰ky-hdy·k-+[(z-2‰k-∞+z+∞‰k)y-he-γydy]#≤ck-+-h.因此，我们有kwh(t)k-q，(S)=∞∑k=1mh～hk(t)(2k)-q≤C∞∑k=1k-+-h-q≤C，对所有t和q>一致有界。因此，我们对引理的证明进行了改进。定义18假设∈(S)*是Y(t)=WH(t)在(S)*中可积的，我们说Y是dBH可积的，我们定义了Y(t)=Y(t,ω)关于BH(t)byZRY(t)dBH(t):=Zry(t)→WH(t)DT的分数阶G-It O-Wick积分。（38）利用Wick微积分导出2ZTBH(t)dBH(t)=(BH(t))-T2H。(39)3.3分数阶G-It O公式在fGBm驱动的分数阶随机微分方程BH(t)dx(t)=X(t)^(α(t)dt+β(t)dBH(t))，t≥0,X(0)=X。（40）我们将上述分数阶随机微分方程写在(S)^dx(t)dt=X(t)^[α(t)+β(t)WH(t)]dt中，(41)用Wick积公式我们得到X(t)=X(0)^exp^ztα(S)ds+ztβ(S)dBH(S)，(42)即tβ(S)dBH(S)+ZTα(S)DS-ZR(MH(β(S)I[0,t](S)))DS。定理5假定f(s,x)∈C1,2(R×R)，分数阶G-It O公式为:f(t,BH(t))=f(0,0)+zt f f s（s,BH(s))dBH(s)+hzt f x（s,BH(s))s2h-1 ds。（44）证明。Letg(t,x)=exp(αx+β(t))(45)，其中α∈R为常数，β:R-→R为确定性可微函数。SetY(t)=g(t,BH(t)),theny(t)=expδ(β(t)+αBH(t)+αt2h),用Wick微积分在(S)*中，Y(t)是以下分数式SDE(ddtY(t)=Y(t)β′(t)+Y(t)δ(αwh(t))+Y(t)hαt2h-1,Y(0)=exp(β(0)),hencey(t)=Y(0)+zty(S)β′(S)ds+zty(S)αdBH(S)+HZtY(S)αs2h-1ds,即atg(t,BH(t)）=g(0,0)+ZT g S（S,BH(S))DS+ZT g X（S,BH(S))dBH(S)+HZT g X（S,BH(S))S2H-1 DS。（46）对于f(t,x)∈C1,2(R×R),我们可以将函数g(t,x）在（45）中的线性组合的序列fn(t,x）,即fn(t,x）,fn(t,x)t,fn(t,x)x,fn(t,x)x分别点聪明地收敛于f(t,x),f(t,x)t,f(t,x)x,f(t,x)x,f(t,x)x,inC1,2(R×R),则fn(t,x)对所有n满足（46）。当ZT fn x（s,BH(s))dBH(s)=ZT fn x（s,BH(s))_wh(s)_d(s)-→ZT f x（s,BH(s))_wh(s)_d(s)_n-→∞时，我们证明了该定理。3.4分数微分法与Aase等人的微分法相似。[1](2000)、Hu&Ksendal[25](2003)和Elliott&Van der Hoek[15](2004),我们得到了白噪声空间(S\'(R),S(R),E）上函数的分数阶微分。

我们说F在γifD(H)γF(ω):=Limε-→0F(ω+εMHγ)-F(ω)ε存在于G-Hida空间(S)*中，D(H)γF(ω)称为F在γ方向上的方向MH-导数。如果存在一个映射θ:R-→(S)*,使得(MH"e(t))·(MHγ)(t)是(S)*可积的，且D(H)γF(ω)=<F,γ>MH，其中<F,γ>MH:=RR(MH"e(t))·(MHγ)(t)dt,则F:S′(R)-→R是MH-可微的。然后我们定义(H)tF(ω):=HωF(t,ω)=(t,ω),我们称D(H)tF(ω)为F在t处的马利亚文导数或随机MH-梯度。假设k∈{1,2,...},对于n=0,1,2,...Fn∈BLH(Rn)。本文给出了G(MH)的射影拓扑，并给出了G(MH)=tkgk(MH)=tkgk(MH)的射影拓扑。假设q∈{1,2,...}，给出了G(MH)的射影拓扑。我们说形式展开式Q=∞∑n=0zrngndB nh(x),其中gn∈BLH(Rn),n=0,1,2,..属于空间G-q(MH)IFkqkg-q=∞∑n=0n！kmnhgnkl(Rn)e-2qn<∞。定义Gutor(MH)=s∞q=1Gutor(MH)并给出Gutor(MH)的归纳拓扑。那么G*(MH)是G(MH)的对偶空间。对于Q∈Gπ(MH)和G(MH)definitne<<Q,>G=∞∑n=0n！<MnHgn,MnHfn>L(Rn)。假设Q=∞∑n=0ZrNgn(s)dB nh,单位为G*(MH)。本文给出了q关于fmht=σ{BH(s),0≤s≤t}作为~emh[QFMHt]:=∞∑n=0zrngn(s)In,(0，t)(s)dB nh(s),其中，(0，t)(s)=I(0，t)(s)··I(0，t)(sn)。如果~emh[QFMHt]=Q，我们说Q∈G_*(MH)是fmhtmetarable的。注意，如果h6=拟g-条件期望~emh[BHFMHs]=BH(s)6=e[BHFMHs]。假设F=∑αcαHα∈G_*(MH)。然后F在t处的随机mh-梯度由:dhtf(ω)=∑αcα(∑iαihα-εi(ω)ei(t))=∑β(∑icβ+εi(βi+1)ei(t))hβ(ω)表示。从现在起我们表示=htq:=～emh[DHtQFMHt]。定理6（多项式的分数G-Clark-Ocone公式）假定P(x)=∑αcαxα，x=(x，...，xn)，是一个多项式。考虑fi∈LMH(R),1≤i≤n,和X(t)i(ω)=ztfidbh(ω)=<MH(i(0,t)fi),ω>.当xt=(X(t),...,X(t)n)假定F=put(X(t)),则F=e(F)+zt～emh[DHtFFMHt]dbh(t)。（47）证明。从准G-条件期望的定义23中，我们看到F是fmhtmetable的，soF(ζ）=～emh[FFMHT]=∑αcα～emh[XFMHT]δα=put(XT),因此我们得到了zt～emh[FFMHT]dbh(t)=zt～emh[n∑i=1(pxi)π(X)fi(t)fmht]dbh(t)=ztddtp^(X(t))dt=p^(X(t))-p^(X(0))=f-e[F]。使用Aase等人的类似论点。[1](2000),Hu&üksendal[25](2003)和Elliott&van der Hoek[15](2004),我们可以建立以下分数G-Clark-Ocone定理定理7(FractionalG-Clark-Ocone定理）(a)假设Q∈G*(MH)是Fmhtmeasurable,则DHtQ∈G*(MH)和~emh[DHtQFMHT]∈G*(MH)几乎对所有t.~emh[DHtQFMHT]_wh(t)在S*中是可积的，Q=e[Q]+zt~emh[DHtQFMHT]_wh(t)dt。(48)(b)假定Q∈LMHis fmhtmetarable。则~emh[DHtQFMHT](ω)∈L1,2mh(R)（fl1,2mh(R)是Elliott&Hoek[15]中的类似物）和Q=e[Q]+zt~emh[DHtQFMHT]dbh(t)。（49）4 G-Girsanov定理本节我们将构造G-Girsanov定理，它是文[9]从偏微分方程出发，文[25]从SDE的角度提出的一个特殊情况下的类似定理。对于φ∈L(R),设BG(t):=B(t)-ZTφ(s)ds,（50）,其中B(t)是次线性空间(Ω,H,F,E）中的G-布朗运动，FT=σ{B(s),s≤t}。我们将构造一个时间一致的G期望EG,并将次线性期望空间(Ω,H,E）转移到次线性期望空间(Ω,H,EG）,使得BG(t)是一个G-布朗动子(Ω,H,EG）,得到一个次线性函数G(·)如下:G(α)=(σα+-σα-),±α∈R。（51）对于给定的π∈CB,lip(R),我们将u(t,x）表示为下列g-热方程tu-g(xxu)=0,(t,x)∈(0,∞)×R,(52)u(0,x)=π(x)的粘性解。注6除σ=0外，g-热方程（52）是一类特殊的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，也是Barenblatt方程（见[5]和[6])。