非等价信念与主观均衡泡沫

“没有第一类套利”的LARSSONcondition，以及“没有有界风险的无界交易”，参见（Kar atzas and Kardaras，2007)。没有这个条件，就不能实现效用最大化，因此这个条件也是必要的，有时也是均衡可能的必要条件。历史概率测度。从计量经济学的观点来看，人们喜欢挑出一个特定的概率测度p*作为h i storical或object probabilitymetar，至少在原则上可以通过使用对潜在经济变量的长期观察的统计方法来确定它。在我们的解决中，p*的选择变得非常微妙，因为nullsets的选择是不明确的。实际上，(2.1)的意义恰恰是，在τk之前，没有任何统计方法可以判定{τk≤T}是否为空集，因此，该模型可以用两种不同的方法来解释：P可以作为历史测度，但任何一个PK，也都是一个有效的选择。根据所做的选择，直接作用的代理人在他们的信仰中会是“错误的”。一旦选择了p*，也就有可能将泡沫分为“虚幻的”或“真实的”。例如，在一个二代理的情况下，其中P P,一个代理1感知到一个气泡，而代理2没有。如果我们假定P*=P，那么代理人1所感知的泡沫在他所感知的（有限的）套利是虚幻的意义上是合理的，并且是由于未能解释某些灾难性情景而产生的。另一方面，如果我们取P*=P，那么确实存在有限的套利，这个时间是由代理人2不必要的谨慎行为造成的，他们对冲永远不会发生的情况。本文讨论了绩效评估背景下的虚幻套利（Jarrow and Protter,2013）。在这一节中，我们给出了几个经济的例子，其中代理人对零集不agee，并且存在资产价格泡沫。我们还讨论了在事件{τk≤T}上导致一个a-gent k破产的交易策略的性质。为了使t个例子尽可能显式化，我们总是考虑两个对数利用的Agentsu(x)=u(x)=log(x)。一种风险资产，乐观的代理。让我们考虑一个有一个r isky资产的经济体，其中第一个代理人对该资产的未来股利流持乐观态度，而第二个代理人持“中性”观点。红利过程遵循几何布朗运动，dt=dexpvxt-vt，其中X是P下的布朗运动，d>1，v>0。设τ是时间Dthitsone,(4.1)τ=inf{t∈[0,t]:dt=1},definez1t=dt:/τ-1d-1。这是一个从z=1开始的非负鞅，因此我们可以通过dp=z1tdp来证明主体1的信念。agent 2的信念由P=P给出。这给出了一个经济和abeliefs结构，该结构符合上面发展的g eneral框架，其中P pholds，但等价性失败。对PI选择的解释是，代理人1是乐观的，因为他不相信股息过程会低于1。因此，在均衡状态下，我们期望agent 1试图利用他认为agent 2不必要的谨慎行为。根据例1，平衡量很容易计算：命题5。两个代理人的均衡市场风险价格分别为θ1t=θt+Vdtdt-1,θ2t=θt,其中(4.2)θt=V-1{t<τ}Vdtdt-1+Ww(d-1),均衡利率由rt=ρ-vθt给出，s tock价格为st=Dtη(t),η(t)如（2.18）所示。特别地，当股票价格波动率为v>0时，标记et是完全的。注意，风险的“参考”市场价格θtis有界，这意味着第二个代理人的风险的主观市场价格θ2t是相同的。然而，当t增加到τ时，乐观代理人的市场风险价格爆炸到+∞。

如下文所示，这对接近τ的代理人1的投资行为产生了后果。其次，θ2t先于τ的符号取决于两个代理人的相对初始财富。实际上，从（4.5）中可以得出，对于t<τ，θ2t>0ho lds当且仅当w/w<d-1。因此，如果乐观的代理人从一开始就控制着经济，那么股票价格的增长潜力变得如此强大，以至于代理人2愿意为投资股票而承受负成本（换句话说，支付）。另一方面，中间层向相反的方向移动，这意味着投资者需要hig h收益率才能将资金投入无风险资产。如果在ot她的手上我们有w/w>d-1，那么θ2t<0。从乐观代理人1的观点来看，事情看起来是不确定的。无论初始财富分配如何，他的风险的主观市场价格θ1都是正的。此外，代理1会认为均衡利息r太高。为了看到这一点，我们应用It O的公式16 m.larsss导出了agent 1的状态价格密度的动力学，给出了ζ1t=ζ/z1t。因此，从乐观的代理人的角度来看，正确的利率应该是ρ-Vθ1t。这与均衡状态下的实际利率有关，即rt=ρ-Vθt=(ρ-Vθ1t)-Vdtdt-1。当t增加到τ时，所感知的利率错误特性e爆炸，这是关于股票泡沫和无风险资产泡沫的相对大小的陈述，正如代理人1所感知的：无风险资产的泡沫在相对条件下是最大的。这一直觉得到了下面的结果的支持，这一结果涉及到了许多交易策略。命题6。第k个agent(k=1,2）的平衡策略为φktπkt=wkt1-θkt/vθkt/v,0≤t<τk。此外，在{τ≤t}上，我们得到了p-a.s.,limt↑τπ1t=-limt↑τφ1t=ww(d-1)-1sτ。这一结果清楚地表明了Agent1是如何利用已知气泡的。股票和无风险资产都有泡沫，所以理想的代理人喜欢卖空这两种资产。然而，由于维持非负财富的可受理性要求，这样的严格要求是不可行的。相反，代理人1卖空其中一项资产（在本例中是无风险资产），而ma则在另一项资产（股票）中持有多头头寸，以保证可接受性。此类担保交易在(Hugonnier，2012，第3节）中有详细讨论。他做空无风险资产而做多股票的事实证明了先前的直觉，即无风险资产有更大的泡沫。Itis也与代理1的解释一致，即对DT持乐观态度。在f行动中，命题6引导我们重新解释我们对代理人1信念的解释：他对股票股利的表现相对于无风险者的表现是乐观的。命题6还表明，虽然投资于两种资产的财富比例随着t增加到τ而爆炸，但这种行为是由分母消失引起的。枚举数，即在两种资产中持有的金额，在它们收敛于某些参数的意义上表现良好。这个限制投资组合的净值为零。然而，在严格的τ之前的每一个瞬间，代理人1确信他的高度杠杆地位最终会导致利润，因此他继续交易，直到他的财富为零。然后，他在股票（多头）和r ISK无资产（空头）中持有的o固定头寸相当于从代理人2那里获得的贷款，用于购买该股票的股票。在τ，代理人1被迫平仓，E有选择地将所持股票交给代理人2，从而平仓。最后，我们讨论了等价鞅测度和无套利问题。

由于在P下存在明显的正泡沫，在3.1节中的讨论表明相对于P不可能存在等价的局部鞅测度。另一方面，Agent2的市场价格为f风险，这意味着相对于p4.2存在等价的truemartingale测度。一个风险资产，一个悲观的代理。前面的例子可以很容易地得到这样一个情况n，其中agent 1是pess i mistic：取d<1，设τ被（4.1）分解，并且setz1t=1-dt:/τ1-Das。赋予代理1信念pdp=Z1TdP，然后他将分配零概率t o事件的红利过程上升到1。命题5和命题6仍然保持不变；然而，d-1现在是负数而不是正数，t<τ时dt-1也是负数。因此，当t增加到τ时，悲观者1的市场风险价格将爆炸到-∞。此外，在{τ≤T}上给出主体1的极限最优量（见命题6)aslimt↑τπ1T=-limt↑τφ1T=-ww(1-D)-1sτ的表达式，我们看到悲观的人会试图通过卖空股票而不是无风险资产来利用（感知的）泡沫。这再次与我们关于股票分红相对于无风险资产的执行情况的信念的解释一致。一个风险资产，两个代理人都觉察到泡沫。在这个例子中，我们考虑一个有风险资产和两个代理人的经济，其中的信念结构是这样的，即两个代理人同时看到泡沫。这是通过让代理1像以前一样乐观，并假设代理2在股息过程不可能大幅下移的信念下运作来实现的。这些“大的下行”将通过相对的drawd拥有来解释。由此产生的经济的一个有趣的附加特征是，最初由gent1感知的UBJ泡沫可能会在agent2破裂之前破裂。现在来看看具体情况。设X是P下的布朗运动，v>0,d>1,d=t=dexp vxt-vt,以及τ=inf{t∈[0,t]:dt=1},z1t=dt:/τ-1d-1,dp=z1tdp。派息过程的相对降额由rddt=1-dtd=t表示，其中dut=max 0≤s≤tds.18 m.LARSSONFix一个常数κ∈(0,1）,设τ为相对降额达到1-κ.等效地，这是派息过程成为其运行最大值水平的分数κ.即我们有(4.3)τ=inf{t∈[0,t]:rD dt=1-κ}=inf{t∈[0,t]:dt=κD*t}。现在通过相应的密度过程给出了agent 2的信念。引理1。求出一个processszbyz2t=dtàτ-κdàtàτ(1-κ)d dàtàτdκ1-κ，则我们有(4.4)τ=inf{t∈[0,t]:z2t=0}。此外，Zis a m artingale[0,t]上的一个m Artingalez2t=1+ztz2s{s<τ}dsdsds-κds。我们现在设dp=z2tdp。在t hese信念下，代理2将认为相对下降1-κ-或更多是不可能的。在这一点上，我们应该暂停并强调P(max(τ,τ)≤t)>0成立，这违反了假设1。如前所述，这很容易通过替换P byeP=(P+P)/2来弥补，例如。此外，特定选择ofeP并不影响由此产生的内部、代理人特定的风险市场价格或均衡股票价格。各剂产生的气泡成分也与选择的OFEP无关。因此，对于所有时间t<max(τ，τ)，我们可以像往常一样使用原始测度P进行outall计算。考虑到这一点，现在可以找到平衡量。命题7。两个代理人的均衡市场风险价格分别为θ1t=θt+VDTDT-1,θ2t=θt+VDTDT-κDut，(4.5)θt=V-VDTWZ1T+WZ2TWD-1{t<τ}+W(1-κ)DDutκ1κK{t<τ}！均衡利率由RT=ρ-vθt给出，s tock价格为ST=DTη(t)，η(t)如（2.18）所示。特别地，股票价格波动率为v>0，因此标记et是完全的。

根据命题6中的经验给出了均衡策略，我们在该股票中有以下限制持有量:limt↑τπ1t=WWSτz2τd-1在{τ<τ}上，p-a.s.(4.6)limt↑τπ2t=WWSτz1τκ1-κdd→τκ1-κ-1在{τ<τ}上，p-a.s.(4.7)在性质上与前面的例子相似：r isk的主观市场价格在接近各自破产时间时爆炸（在本例中均为+∞）。对于投资于股票和无风险资产的o pt ima l部分，这是成立的。对于每个代理人k，在无风险资产t中持有的最优部分结束于-∞闭t oτk，这意味着两个代理人都希望利用无风险资产上的泡沫。这与f行为一致，即他们都对股息过程持乐观态度：代理人1认为股息不可能低于1，而代理人2认为股息不可能比历史最高值大幅下跌。让我们来评论一下这个例子中出现的主观股价泡沫。它们由(4.8)bkt=ζtet“ztàmax(τ,τ)τkζsdsds#,t<τk,pk-a.s.给出。由于P(τ<τ)>0和P(τ<τ)>0,所以直接说明在0时刻，天体感知到一个非零气泡。而且，当agent 2在τ时刻破产时，Gent1所感知到的气泡将会消失。同样，由agent 2感知的气泡在时间τ消失。然而，有一种直接的，相当平淡无奇的方式，代理1看到的UBJ次品气泡可以破裂。为了理解这一点，考虑停止时间σ=inf T∈[0,T]:d*T=κ.如果σ发生时bo T h代理仍然存在于经济中，即在事件{σ<τττ}上，我们必然有τ≤τ。事实上，对于t≥σ，我们有dut≥1/κ，这意味着如果红利过程要下降到dt=1，它必须通过κdut≥t，从而触发τ，这表明{σ<τττ}上τ≤τ。因此，通过(4.8)，我们得到Bt=0,t∈[σ,t]，p-a.s。在{σ<τττ}上。另一方面，严格地在σ之前，两个主体都看到严格的正气泡。总而言之，我们已经展示了一个泡沫（由一个代理人感知）是如何在严格意义上的破产时间之前的某个时间破裂的。两个风险资产，两个代理人都很乐观。la st例子考虑了一个有两个风险资产的经济，其中两个代理人都要求两个股利过程的成分都很大。这导致了这样一种情况，即他们都认为资产存在泡沫，尽管他们在任何给定的情况下对泡沫的大小意见不一。有趣的是，20 m.Larson，他们对aggr egate泡的统计性质的看法在某些条件下可能是一致的。我们将P下的聚集t e红利建模为一个带漂移的几何布朗运动，其中v=(v，v)∈R,a∈R,X=(X，X)是P下的二维标准布朗运动。然后将单个红利过程建模为聚集红利的分数，Dit=ψitdt,i=1,2,其中分式φ,φ由φ1t=ψ+Ztψ1s(1-ψ1s)vψdxs,φ2t=1-ψ1t给出，对于某些向量vψ,Randφ（0,1）。上述关于ψ的随机di方程在开单位区间（0,1）内有一个唯一的强解n值，见（Menzly et al.，2004)。因此，保证了红利过程是好的且严格正的。特别地，it o的公式意味着每个disatifes(4.9)dditdit=v+(-1)i-1(1-ψit)vψdxt+a+(-1)i-1(1-ψit)vvψdt。为了解释这两个主体的信念，我们设置τk=inf{t∈[0,t]:xkt=-1}，zkt=1+Xk,tàτk,k=1,2,de DP=Z1TdP和DP=Z2TDP。Girsanov定理的一个应用给出了下面的结果，它说明了两个代理人是如何感知股利过程的。二元过程sxt=x1tx2t！=x1t-rt1+x1sdsx2t！是p下的双向运动。同样，二元过程xt=x1tx2t！=x1tx2t-rt1+x2sds！是p下的双向运动。

Pk下的红利过程Dand满足dditdit=v+(-1)i-1(1-ψit)vψdxkt+a+(-1)i-1(1-ψit)vVψ+(v+(-1)i-1(1-ψit)vρ)ek1+xkt dt，其中eks是r中的第k个单位vec tor。将命题8的统计结果与方程（4.9）进行比较，发现Pand的漂移在P+P、pr下都大于P，pr在P+vρ>0和v-vρ>0的分量是不相等的。从这个意义上说，特工们都很乐观。注t如前例所示，我们有P(max(τ，τ)≤t)>0成立，违反了假设1。正如我们所说的，只要我们注意只考虑次数t<max(τ，τ)，我们仍然可以在P下工作。命题9。两个主体的均衡风险市场价格分别由θkt=θt+1+Xktek,t<τk,其中θt=v-w(1+x1t:/τ)+w(1+x2t:/τ){t<τ}w{t<τ}w,t<max(τ,τ)给出。均衡利率由rt=ρ+a-vθt给出。注意，在这个例子中，风险市场价格和利率都不是给定的。我们得到的结果表明，在一定情况下，两个主体可能同意aggr egate泡沫的（无条件）分布。换句话说，两个代理人不仅同意市场组合存在泡沫，而且同意统计公关操作。假设v=(1,1）和W=W=W。然后给出了代理人k所感知的市场投资组合上的泡沫bkt=wζtη(0)ZTP(τk≤sft)e-ρsds,t<τk。结论：本文建立了一个动态平衡模型，该模型与标准范式的唯一区别是信念结构，其中主体对零概率事件存在分歧。目的是证明在这样的环境中可以存在一个平衡。在par ticular中，我们讨论了与这样一个事实有关的一致性问题，即如果一个事件发生时，一个主体应该能够修正他的信念，而这个事件最初被认为是不可能的。第二个贡献是证明了在这个模型中，一个sset定价泡沫是自然产生的。泡沫是主观的，因为它们被一些而不是所有的代理人感知到，而且这些代理人可以把均衡价格的一部分归因于泡沫。在均衡状态下出现泡沫的所有以前的模型中，除了一个标准的偿付能力约束之外，还要求缩减投资组合。在本文件中，没有额外的限制；相反，气泡是由对空集的不一致引起的。为了说明可能出现的一些现象，本文分析了几个明确的例子。特别是，它显示了代理人如何试图利用感知泡沫Viacollaterized多空策略。此外，所有的代理人可以同时看到气泡，他们甚至可以同意气泡在ma r Ketportfolio上的无条件分布。当某个主体破产时，泡沫也会破裂，但也会在某个主体破产时破裂。附录a证明了以下引理是关于非等价概率测度的贝叶斯规则。这是本文所使用的一个关键的数学工具。引理2。对于概率度量P，definitnez=depdp，a nd设gp_f为asub-σ-foundeld。对于ANYEP可积随机变量Y,在{E[ZG]>0}上有[YG]=E[ZG]E[ZYG],p-A.S.,其中[·]注意到期望欠EP。具体地说，取A={e[zg]>0}，它遵循ee[yg]1ais p-a.s。独一无二的。证明。这种证明与等价测度的情况相似。例如，D eta ils可以是fo und（Larsson,2012,引理12）。命题1和命题2的证明是标准的，并依赖于P下的鞅警报表示蕴涵PK P下的鞅表示这一事实。为了完备起见，给出了t个证明的轮廓。命题1的证明。

一旦我们知道任何pk-鞅都可以写成关于xk=x-rz-1 sdhx，Zkis的随机积分，这是在pk下的n维布朗运动，论证就像在标准情况下（见(Karatzas andShreve，1998，Theorm3.5)，f或实例）一样进行。这是t rue by（Jacod and Shiryaev，2003，定理III.5.24)。命题2的证明。固定一个效用函数u(·)，设a(w)为给定初始财富w的p-可行的ll消费计划c≥0的集合。由于命题1给出E[rtζtctdt]≤ζwf或anyc∈A(w),对于任意y≥0,我们得到supc∈A(w)e zte-ρtuk(ct)dt≤supc∈A(w)e zt-ρtu(ct)dt-y e ztζtctdt-ζw=supc∈A(w)e zte-ρtu(ct)-yζtct-dt+yζw≤e zte-ρtu(ct)-yζtct-dt+yζw=e zte-ρtu(ct)-yζtcyt-dt+yζw=e zte-ρtu(ct)dt+yzt-e=(u\')-1(yζteρt)是函数x7→e-ρtu(x)-yζtx的逐点最大值，现在选择y≥0，使e[rtζtcytdt]=ζw。稻田条件暗示这总是可能的。然后由命题1得到Cy∈A(w),得到SUPc∈A(w)e zte-ρtuk(ct)dt≤e zte-ρtu(cyt)dt，从而得到cyis最优L。同样的论证在P，ζ和u(·)分别被Pk，ζk和uk(·)所代替时也进行了，只不过我们现在将cyt=(u\'k)-1(yζkteρt)1{t<τk}。这给出了（2.1）。PK DT-A.E.唯一性来源于映射C7→Uk(c)的严格凹性。财富过程的形式（2.12）是命题1和CY最优性的结果。推论1的证明。由于ckis是最优的，命题2中的序条件（2.11）和唯一性断言得到CKT=Ik(YKEρTζT/ZKT)f或A.E。t<τk,pk-A.S.由（2.1）这个a lso成立p-A.S.关于cknow的陈述如下，因为min0≤t≤tζt>0，limt↑τkzkt=0,p-a.s.和limy→∞ik(y)=0。现在考虑wk。再次利用（2.1）我们推导出（2.12）中的等式对于0≤t<τk,p-a.s成立。因此，对于t<τk，我们有，p-a.s.，wkt=ζktekt zttζkscksds=ζktztzktett=zks{s<τk}ζkscks ds=ζktzttzktet=zks{s<τk}ζkscks ds=ζtet zτktζscksds。(a.1)24 m.这里第二个等式使用Pk(s<τk)=1和Tonelli定理，第三个使用Bayes规则（引理2)，最后一个等式使用对于t<τk来说ζt=ζktzktt。我们推导了ζtwkt=et zτkζscksds-ztζscksds,t<τk,p-a.s.再加上ζtp的正性和所有鞅都是连续的事实，从而得到了abo ut wk的主张。命题3的证明。根据假设，自适应性质（2.10）成立，μkandPK分别被μkandPK和P所取代。它的公式意味着ζtwt+rtζscsds是局部鞅，因此是一个上鞅，因为它是非负的。因此ζ也是上鞅，因此一旦它达到零就被吸收（根据推论1，这发生在τk。）通过ζt的正性，wt也成立。对于allt∈[τk,T]，p-a.s，它得到rtτkζscsds=0，这意味着ctis在那里为零，至少直到P dt-a.e。回到（2.10）,我们看到t hatσtπt=0,因此πt=0,在[τk,t],P dt-a.e.对于(ii)部分，简单地说明（利用（2.9）和命题（2））ZtζTCKTDT=ZteζTCKT{T<τK}DT=EK ZTζKTCKTDT=wk。因此，由于命题1,CKS是p-可行的（初始财富为wk）。命题4的证明。个人财富过程是由命题2和命题3决定的。利用等式(A.1)，我们发现它们满足(A.2)wkt=ζtet zttζscksds,0≤t≤t,p-a.s.（回想一下ckt=0对于t≥τk）但任何均衡股价都必须满足w1t+···+wkt=st,这就得到了市场组合的表达式（2.16）。此外，ζtst+rtζsdsds是真鞅，这将意味着（2.15）。的确，对于每一个i，ζtsit+rtζsdisds是一个（非负）局部鞅，因此是一个真鞅，因为它是由鞅ζtst+rtζsdsds支配的。由于0≤sit≤st=0，我们推导出（2.15）。

为了证明Sitis确实是（2.5）式的，我们对某些X-可积过程写出ζtsit+ztζsdisds=et ztζsdisds=s+zt sdxs，它的存在性得到鞅表示定理的保证。对上面的左右两边整数1/ζ并重新排列项（并使用Si的正性）导致了形式（2.5）的表达式。例1的证明。由于uk(·)=log(·)对于所有的k我们有Φ(ζ；§，..。，k)=ζ-1(§+···+k)，因此通过(2.14)，ζt=dte-ρtyz1t+··+ykzkt。这肯定是非负半鞅，并且在假设1下严格为正。在对数设置中，常数yk，可以用预算约束约束的等价性和规则条件显式地计算。实际上，wk=e ztζscksds=ykzte-ρse[Zks]ds=1-e-ρtykρ，所以yk=η(0)/wk。这给出了（2.17）。此外，利用Zk的鞅性质（在P下），我们从（2.16）和（2.17）推导出st=dtztte-ρ(s-t)ds=dtη(t)，即（2.19）。方程（2.20）直接来自命题2。与（2.12）一起得到f或t<τk,wkt=ζktekt zttykeρsds=cktη(t)。注意，由于没有复活性质，这个表达式对t≥τk也是有效的，它给出了（2.21）。为了证明（2.23）,firefrst no t e,总股利由dt=de zasds+zv sdxs t给出，这意味着dt=de-z(as-kvsk)ds-zv sdxs t。因此，通过Yor的f ormula,ζt=w+···+wkdη(0)e-ρte-z(as-kvsk)ds-zv sdxs tezγsdxs t=w+···+wkdη(0)e-z(ρ+as-kvsk+vsγs)ds-z(vs-γs)dsxs t。最后，(2.24)-(2.25)从ZKI是一个在τk达到零的非负鞅这一事实出发。方程（2.26）由此导出O的公式，以及等式ζkt=ζt/zkt，t<τk。定理1的证明。对于t<τk,writeFt(c)=ζtet zttζscsds=ζtet zτktζscsds+ζtet ztτkζscsds,用与(a.1)相同的计算结果表明，右项等于Fkt(c)，从而证明了该定理。26 M.命题5的Larsson证明。在对出现在（2.22）和（2.24）中的过程γ和γK进行筛选后，结果来自于实施例1。这很容易通过It O公式应用于“参考”态价格密度ζt=dtη(0)e-ρt wdt:/τ-1d-1+w（通过（2.17）得到）来实现。命题6的证明。由（2.20）和（2.21）给出了agent k的最优财富过程，它的公式和σt=v意味着当t<τk时πkt/wkt=θkt/v,因而φkt=1-θkt/v。为了证明π1t和φ1t的极限，注记limt↑τπ1t=limt↑τw1tθtv+w1tdtd-1=limt↑τw1tdt-1dt，因为θtis有界，limt↑τw1tdt=0。我们现在计算右边的极限。为此，请注意(2.19)、(2.21)、(2.2)和（2.17）意味着对于t<τ，我们有(A.3)w1tst=cktdt=wz1tη(0)eρtζtdt=wz1twz1t+wz2t。重新安排这个方程，并利用Zand zyeerdsst-w1t=w1tz1twwz2t=w1tdt-1ww(d-1)的定义，将极限设为t↑τ，我们推导出limt↑τw1tdt-1=ww(d-1)-1sτ，从而得到由于dτ=1的结果。引理1的证明。从（4.3）可以清楚地看出（4.4）成立。此外，我们得到了2T≤Dutótττ-κDutótττ(1-κ)dDutótτDκ1-κ=dutótτd1-κ≤Dàtd1-κ.由于D是一个正鞅，上述界与Doob的p=1/(1-κ)的Lp-不等式一起得到(a.4)Ehsup0≤t≤tz2Ti≤d-peh(dut)pi≤d-pp-1pe[DpT]<∞。由于DTis是对数正态分布，因此具有幂矩。我们现在可以证明Zi是一个鞅，这将完成引理的证明。

为此，我们将使用（Cheridito et al.，2012,引理2.4）（另见samereference中的等式(4.1))，它声明(a.5)rddt=-ZTddsd://s+log d://t-log d。现在，定义两个过程yt=1-κ(1-κ-rddtτ),λt=1-κlog d://tτd。使用rDDtone的定义，即z2t=etyt。此外，(a.5)产生dsyt=1+1-κzt{s<τ}ddsdès-d log dès，因此根据乘积规则，我们得到z2t=1+ztz2s{s<τ}dsdèsdàs+dysys=1+1-κztz2s{t<τ}d log duts-d log dutsys+ddsysduts.但是ddutt，因此d log dutt，只对集合{t:dt=dutt}充电，在这个集合上我们有t=1。因此，上面括号中的两项对消，我们得到了Z2T=1+ZTZ2S{S<τ}dDs(1-κ)ysd*S=1+ZTZ2S{S<τ}ddsds-κd*S。由此，从(a.4)的角度来看，Z2是一个局部鞅，因而是一个真鞅。证明了该定理。命题7的证明。这个证明与命题6的证明相似，所以我们省略了一些细节。让我们只指出如何获得极限（4.6）和（4.7）。从m(A.3)（见命题6的证明）出发，我们得到了{τ<τ}上的limt↑τw1 tz1t=limt↑τw1tz2t=wwsτz2τ,{τ<τ}上的相似的limt↑τw2 tz2t=wwsτz1τ。此外，我们还得到了等式w1 tdtdt-1=w1 tz1tdt-1，t<τ,w2 tdtdt-κdut=w2tz2td-κt=w2tz2td-κt(1-κ)dd±tκ1κ，t<τ。结合这些表达式，利用k=1,2的limt↑τkwktθt=0,我们推导出limt↑t=limt↑τw1tθ1tv=limt↑τw1tdtdT-1=wwsτz2τdτd-128m.LARSSONon{τ<τ},以及aslimt↑τπ2t=limt↑τw2tθ2tv=limt↑τw2tddT-κdτt=wwsτz1τdτ(1-κ)ddττκ1-κk{τ<τ}。同时利用dτ=1和dτ=κdπτ给出（4.6）和（4.7）。命题8的证明。这是Girsanov定理的直接应用，见(Protter，2005，定理III.41)。命题9的证明。正如命题5和命题7的证明一样，这是例1中给出的表达式的应用。我们省略了细节。命题10的证明。例2中的表达式和事实zkt=1+Xk,tàτkyieldbkt=wàζtη(0)et ztτke-ρs(1+x~l,sàτ~)ds,t<τk，其中，θ6=k。由于x，x是独立的，我们得到了Ztτke-ρs(1+x~2,sτ~)ds=Zteté{τk≤s}e-ρs(1+x~2,sτ~)ds=Ztp(τk≤s Ft)e-ρsds，从而给出了所要求的表达式forbkt。其次，利用XandX的独立性，我们得到了对于依赖于其最后一次变元到时间t的路径的泛函F的P(τk≤sft)=F(s；t,Xk）。此外，通过x1,t:/τ+X2,t:/τ,ζ只依赖于x，x.由于这个表达式是由指数1和2的置换而得到的，所以从第8位出发，可以得到{X1,tàτ+X2,tàτ，x1t:t∈[0,t]}的联合律与{X1,tàτ+X2,tàτ，x2t:t∈[0,t]}的联合律在P下是一致的，这是该命题的证明。参考SR。安德森和雷蒙多。连续时间市场均衡：内生动态完全市场。经济计量学，76(4):841-907，2008.巴萨克。具有异质信念和外部风险的动态均衡资产定价模型。经济动力学与控制学报，24(1):63-95，2000。巴萨克。资产公关

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