非等价信念与主观均衡泡沫

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摘要翻译：
本文建立了一个动态平衡模型，其中Agent表现出一种强烈的信念异质性：他们对零概率事件不一致。结果表明，有些令人惊讶的是，在这种情况下，均衡存在，关于零集的分歧自然导致均衡资产定价泡沫。泡沫是主观的，因为它们被一些但不一定是所有的代理人感知。与现有模型形成对比的是，泡沫的产生没有超出标准偿付能力约束的贸易限制。
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英文标题：
《Non-Equivalent Beliefs and Subjective Equilibrium Bubbles》
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作者：
Martin Larsson
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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英文摘要：
  This paper develops a dynamic equilibrium model where agents exhibit a strong form of belief heterogeneity: they disagree about zero probability events. It is shown that, somewhat surprisingly, equilibrium exists in this setting, and that the disagreement about nullsets naturally leads to equilibrium asset pricing bubbles. The bubbles are subjective in the sense that they are perceived by some but not necessarily all agents. In contrast to existing models, bubbles arise with no restrictions on trade beyond a standard solvency constraint.
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关键词：Quantitative Restrictions disagreement Applications equilibrium

非等价信念与主观均衡泡沫。本文建立了一个动态平衡模型，其中Agent表现出一种强烈的信念异质性：他们对零概率事件不一致。结果表明，有些令人惊讶的是，均衡存在于这种环境中，而关于nullsets的分歧自然导致均衡资产定价泡沫。泡沫是主观的，因为它们被一些但不一定是所有的代理人感知。与出口模式ls相比，泡沫的产生是在没有贸易限制的情况下产生的，超过了a.s.tandard SolvencyConstraint.1。自从Santos和Woodfo rd(1997)和Loewenstein和Willard(2000，2006)的工作以来，人们已经很好地理解，在相当宽泛的经济假设下，正净供给的资产的均衡价格必须等于其基本价值，即相关现金的smallestreplication成本的减少。因此，这种模型不能用来描述理性的资产定价泡沫，泡沫被定义为市场价格和基本价值之间的楔子，是n均衡机制的结果。另一方面，现实市场中泡沫的出现使得人们需要建立一个能够适应泡沫的均衡模型，并在此模型中分析泡沫的性质。到目前为止，这是通过在标准制定中引入市场摩擦，如交易限制来实现的。这阻止了投资者利用或扩大套利，并允许泡沫持续存在（见下文的文献回顾）。本文以一种间接的方式偏离了经典框架。代理人不受交易约束，而是被赋予异质信念，这种异质信念被带到一个相当极端的程度：代理人甚至对零概率事件不一致。从一开始就很不清楚平衡是否存在于sucha环境中；一个反对意见将在短期内讨论。我们的贡献是证明，有点令人惊讶的是，这确实是可能的。其次，一旦找到均衡，资产定价泡沫自然会产生。日期：2021年9月14日。关键词。资产定价泡沫，动态平衡，不等价信念。瑞士金融研究所，洛桑学院。电子邮件:Martin.Larsson@ep th.ch.我要感谢Michalis Anthrope los、Julien Hugonnier、Rober t Jarrow、Semyon Malamud、Lo rianoMancini和Paul Schneider进行了非常激动人心的讨论和有价值的评论。关于平衡的存在，可以给出一个简单（但不正确）的论点来暗示事情是无望的。假定有两个agent的n均衡，其中agent 1赋予T事件D（“衰退”）正概率，而agent 2赋予T事件D零概率。然后，代理人1愿意购买保险，例如以正价格购买指标资产1da。代理2很乐意提供这种资产，因为他对它的估值为零。但是，当价格为正时，代理2想要扩大他的位置，这违背了个人最优性，并与均衡的存在性相矛盾，这是一个关键的问题。因为，为了实现建议的交易，代理必须随着时间的推移动态地进行交易，以确保在任何时候都交付正确的金额。代理1相信该金额将是零或一，而代理2相信该金额将是零。尽管如此，代理2的头寸可能在内部运行，这阻止了他在没有破产风险的情况下在内部增加头寸。这与众所周知的机制是合乎逻辑的，该机制允许泡沫存在而不违反套利规则。

当然，代理2将尽可能扩大他的头寸，这意味着在某些情况下，他将非常接近破产--如果D确实发生了（尽管代理2认为这是不可能的），他将破产。结果是，这最后一个陈述完全具有一般性，它使我们能够获得一个一致性均衡；它使我们能够处理另一个不舒服的问题，即当一个他认为不可能发生的事件发生时，代理人会做什么。关于这一点的详细讨论在第2.3节中给出。一旦处于平衡状态，导致气泡的机制可以理解为fo lows。代理计算资产的基本价值，因为复制现金所需的最小成本几乎肯定会减少。然而，当对空集有分歧时，“几乎肯定复制”的概念在不同的代理之间会有所不同。因此，可能会发生这样的情况，即一个代理对其他代理认为可能的一些场景分配零概率。在这种情况下，他不必复制t软管方案中的现金流，因此可以以较低的成本进行复制。这导致了对原教旨主义价值的分歧，从而自动地产生泡沫，因为所有代理人必须就（内生性和观察到的）市场价格达成一致。因此，气泡和基本值都是主观的，因为它们依赖于计算它们的主体的信念。事实证明，这种依赖关系仅通过nullsets实现。特别地，这意味着如果allagents ag ree是关于零集的，即使信念在其他方面是异构的，也不会存在泡沫。一旦信念的等价性被放弃，一系列新现象就会出现。我们通过各种明确的例子来分析这些问题。上面讨论的“低迷”情况是在一个代理人在股票股利不能低于某一给定水平的意义上是乐观的情况下正式确定的（见4.1节）。这一代理人将通过做空无风险资产和持有股票作为抵押品来利用一个被认为的泡沫，以避免破产。如果股息过程仍然低于给定的水平，代理人就会破产。气泡的存在意味着相对于这个代理人的信念，没有同等的马汀加柠檬存在。然而，另一个代理看不到任何气泡，对他来说，可以找到一个等价的（真的）鞅测度。第4.2节载有关于同一主题的变体。我们还研究了一个具有两个主体s的经济，其中两个主体都同时感知e泡沫（见4.3节）。在这种情况下，泡沫要么持续到没有代理人破产，要么在较早的时间点破裂。另一个例子（第4.4节）涉及一个两个代理人、两个股票的经济，在这个经济中，两个代理人都感觉到了泡沫。这里出现了另一个有趣的现象：两个代理人不仅同意泡沫的存在，他们还同意市场上泡沫的统计性质，即在两个代理人的信念下，泡沫的（无条件）规律是相同的。让我们简要概述一些相关文献。与之关系最为密切的一篇论文是(Hugonnier，2012)，其中表明，理性a sset定价泡沫可能产生非均衡，在这种情况下，一些但不是全部的代理人面临贸易限制。以类似的方式，有几篇论文认为投资组合的限制导致了错误的定价，例如(Cuoco，2004；Basak and Cuoco，1998；Basak a nd Croitoru，2000)。如果没有这样的约束，并且有同质的信念，只要代理人必须保持非负财富，泡沫就不可能出现（Loewenstein和Willard，2000)。

在目前的研究中，除了非负财富限制之外，泡沫是在没有任何贸易限制的情况下产生的。另一条研究线考虑了资产价格的外生指定的无套利模型。在这里，泡沫（或相对套利）是通过构造发生的，没有任何均衡机制证明它们的存在。代表性论文包括（Sin,1998；Heston et al.，2007；Jarrow et al.，2006，2010；Fernholz et al.，2005；Fernholz and Karatzas，2010；Ruf,2011）。我们的研究结果对这类模型的解释有影响，因为泡沫在我们的环境中是次要的：一些人感知到了它们，而另一些人则没有。因此，在一个给定的资产定价模型中出现泡沫的根源，原则上可能是由于对历史概率度量的错误描述，将零概率分配给实际上可能不是不可能发生的情况（如违约或市场崩溃）。本文应被视为有助于理解均衡价格形成机制在多大程度上支持了这种外生特定定价模型。第三个研究领域是一个处理具有异质信念的一般均衡模型的大型机构，其中的一个小样本是（Basak,2000,2005；Berrada et al.，2007；Jouini and Na pp,2007；Cvitani\'c et al.，2012)。然而，所有这些论文都假设代理人同意零可能性事件，其结果是没有泡沫发生。不等价信念发生在（Epstein and Ji,2013）中，在模糊波动性的背景下，尽管该论文的背景与我们非常不同。本文的其余部分结构如下。第二节描述了模型的建立和平衡。在不对等信念的背景下，一个重要的问题是，一些代理人可能在适当的时候变得资不抵债。这导致我们不能引入没有复活的概念。第三节论述了泡沫的产生，特别是对主观泡沫的概念进行了严谨的界定。第4节给出了例子，第5节给出了结论，所有的证明都推迟到附录中。在本文中，我们研究了由n维布朗运动X=(X,....,Xn)生成的有界时间集[0,T]的概率空间(Ω,F,F,P）具有Ft)0≤T≤T.P下的Exp ectatio n表示为E[·]，我们用速记符号4 M.Larssonet[·]=E[·Ft]。对于int egr函数f，我们写出Baf(s)ds=R[a,b)f(s)ds。特别地，每当b≤a.2，这个量就等于零。非等价信念均衡考虑一个具有异质信念的多Agent经济，其中Agent可能对零PR易失性事件存在分歧。在很大程度上，这种材料与众所周知的发展是平行的。然而，信念的非等价性产生了某些微妙的问题，将对此进行一些详细的评论。需要强调的是，信念异质性是我们的模型从标准的中间消费动态平衡模型中唯一的一个分支，例如在（du（e）,2001）.2.1中所描述的模型中，我们的模型是从中间消费的标准动态平衡模型中分离出来的，而不是从中间消费动态平衡模型中分离出来的，而不是从中间消费动态平衡模型中分离出来的。代理和偏好。有限多个代理，索引为k=1,2,。..,K,在时间间隔[0,T]内，从消耗中最大化效用。ag的偏好是由他的信念给出的，它由概率测度pk P、时间偏好率ρ>0（为了简单起见，我们认为所有主体的时间偏好率ρ>0）和效用函数uk:(0，∞)→r决定。假定uk:(0，∞)→r是连续的可持续的、严格递增的、严格凹的，并且满足于零和零的条件。这些假设是标准的。效用代理k从消费计划c=(ct)0≤t≤tis givenbyUk(c)=ek zte-ρtuk(ct)dt，只要右侧是好的，否则为-∞。这里的EK[·]表示PK下的预期。这种偏好结构是标准的研发，除了P Pkis没有假设。

同样地，对于k6=，我们也不在pkandp之间强加任何绝对连续性关系。在描述代理人可用的消费计划和投资策略之前，我们建立了一些关于代理人信念的符号。letzkt=et dpkdp,0≤t≤t,是与Pk相关的密度过程，且取τk=inf{t∈[0,t]:zkt=0}（我们照例设inf=∞。）虽然在这一阶段还不清楚，但稍后将显示τk对应于代理人k的破产时间。很容易证明:P(τk≤T)>0成立当且仅当Pkand P不等价，(2.1)pkft'A{T<τk}pft{T<τk}对所有T∈[0,T]成立，这意味着Pkand P“严格地在τk之前等价”。这通常会使我们推导出各种感兴趣的性质对于所有0≤t≤t，pk-a.s成立，当且仅当它们对于所有0≤t<τk，p-a.s成立。接下来，请注意我们有(2.2)Pk(τk≤t)=eπzkt{τk≤t}=0。由于前面对τk≤t的解释a是破产时间，这个简单的意思是代理人k认为他永远不会破产。下面的假设总是有效的。我们有P(maxkτk=∞)=1。给定τk的上述解释，这个假设意味着总有一个试剂在时间T之前保持溶剂状态。注意，这并不排除对所有k而言eP(τk≤T)>0的情况，只要在世界的每一个状态中，都存在某个k（取决于状态），对其τk=∞。假设1不是一个真正的限制，因为它可以通过用(P+···+PK)/k.2.2代替P来实现。资产和战略。我们现在描述的消费计划和投资策略可供代理。除了关于空集的分歧之外，该框架还是标准的。市场由n个单位净供给的股票和一个零净供给的moneymarket账户组成。第I只股票是一个股息率过程di=(Dit)0≤t≤t，其动力学由Dit=di0+ztdisaisds+ztdisv isdxs给出，对于外生给定的r值漂移ai=(ait)0≤t≤t，rn值波动率vi=(Dit)0≤t≤t，假定满足可积条件(2.3)zt ait+kvitk\\dt<∞p-a.s.这意味着股息过程是严格正的。对于一定的漂移a=(at)0≤t≤t，波动向量v=(vt)0≤t≤t，总的股息率D=(Dt)0≤t≤t，由Dt=d1t+···+dnt表示，因此可以写成(2.4)Dt=nxi=1dit=D+ztdsasds+ztdsv sdxs，股票的市场价格S=(S1t,..,Snt)0≤t≤t，以及无风险利率r=(rt)0≤t≤t在内生均衡中确定；前者在IT过程类中的形式为(2.5)Sit+ZTdisds=Si0+ZTsisμisds+ZTsisσisdxs,0≤t≤t,具有可积条件ZT rr+kμtk+trace(σtσt)_dt<∞p-a.s.这里μt=(μ1t,..,μnt),σtis是矩阵的r owsσit。我们让(2.6)S0T=exp ZTRSDS 6 m LARSSONdenote t he货币市场账户的价值。MAR-KET投资组合被命名为ST=S1T+···+SNT，我们关注市场完全的均衡。在目前布朗运动的个数与风险资产的个数重合的情况下，这对应于σtbeing可逆P dt-a.e。

由此得到唯一的风险市场价格，即θt=σ-1t(μt-rt1),Ztkθtkdt<∞p-a.s.相关的（可能是非归一化的）状态价格密度为(2.7)ζt=ζexp-ztrsds-ztθsdxs-ztkθskds,其特征性质是：de协调的股票价格是局部鞅；的确，根据it o公式，(2.8)ζtsit+ztζsdisds是局部p-鞅。虽然在均衡状态下存在有限套利权，但我们总是可以安全地假定风险过程的最大价格和状态价格密度a s以上存在，因为这是代理人效用最大化问题的最优解具有最优值的极小条件；参见（Karatzas and Shreve，1998；Du-e，2001)，以及（Karatzas and Kardar as，2007)的详细讨论。我们将k：th agent的状态价格密度写成ζkt，它只在τk之前被修正。它由(2.9)ζkt=ζtzkt,0≤t<τk给出。由于（2.1）这意味着它对所有0≤t≤t,pk-a.s是可修正的。鉴于（2.8）,Bayes规则（见附录引理2）表明ζktsit+rtζksdisds是一个局部pk鞅。一个交易策略是一对(φ，π)=(φt，πt)0≤t≤tof可预测过程，其中φ=(πt,...,πnt)给出在t时刻货币市场账户上的投资金额，而πt=(πt,...,πnt)给出在股票上的投资金额。这些过程必须满足yztφSRS+πS(R)KS+KσSπSK(R)DS<∞PK-A.S.其中μKs是股票在Pk下的漂移向量，可通过Girsanov定理得到（注意波动率是由绝对连续的概率测度来表示的）如果关联的wealt h过程是非负的，Wt(φ,π)=φt+1πt≥0,0≤t≤t,pk-a.s.，Protter,2005,Theore m III.41)给出了μ，σ，Zkbyμkt=μt+z-1ktσtdhx,Zkitdtfort∈[0,t],pk-a.s.给定一个消费计划c≥0,一个时间点T∈[0,T],和一个ft可测的随机变量Wt（时间twealth）,如果一个策略(φ，π)的财富过程满足(2.10)Wt(φ，π)=Wt+ztt(φsrs+πsμs-cs)ds+zttπsσsdxs,T≤T≤T,pk-a.s.存在这样一个stra(φ，π)的消费计划被称为pk-可行（giv en time twealth Wt）,并被(φ，π)所满足。注意，上述概念实际上依赖于Pkin General。但是，这种依赖关系仅通过nullsets，并不是所有Pkare都等价的。在这种情况下，所有代理都可以访问相同的策略集。以下（基本上是标准的）结果描述了PK可行消费计划的静态预算限制。(i)消费计划c=(ct)0≤t≤tis pk-可行给出n次twealth Wtif且仅当ζktekt zttζkscsds≤Wt,pk-a.s。(ii)设cts是非负ft-可测随机。存在一个PK-自投资策略（具有零消耗和时间twealth Wt)，使得其财富过程W满足Wt=CTif，且仅当ζktekt[ζktct]≤Wt,pk-a.s.第k个代理人被赋予某些正的初始财富wk>0，其形式为无风险资产的αk0单位和股票的αk=(αk1,...,αkn)单位（非负）。为了保证与市场清算的兼容性，我们要求α+···+αk0=0,α1i+···+αki=1,i=1,。...N.在给定初始财富WK的情况下，代理人使其期望效用Uk(c)比所有PK-可行的消费计划c最大化。根据命题1,k：thagent的优化问题为:maxc≥0ek ztze-ρtuk(ct)dt s.t.ζk0ek ztζktctdt≤wk.2.3。个人最优和没有复活。在这一小节中讨论了在非等价信念的上下文中出现的两个重要问题。

由于Pk(τk≤T)=0,第k个agent不能区分T≥τk的消费计划（交易策略也是如此）,由此产生的优化器的非唯一性是令人不安的：如果τk<T，经济活动的等价条件是通过复制μbyμk,而X by xk=x-rz-1 sdhx,Zki,这是在Pk下的非维布朗运动。可以用适当的可积性要求来代替容许条件，保证ζktwt(φ,π)+rtζksws(φ,π)ds是Pk下的鞅。然而，正如在（Hugonnier,2012,脚注7）中所讨论的那样，由此产生的平衡并不是由这样一个修正而得到的。8 m.larsson在τk之后继续，而第k个作用体的作用是平衡的一部分。这就需要一些规则来确定agent k a fterτk的行为。我们的第二个问题加强了对这种规则的需要，它产生于以下事实：最优消费计划是由agent在时间0时制定的，当他不相信τk会发生时。如果还是出现了τkdoes，那么强迫代理人坚持他相信τknon发生似乎是不令人满意的。对他来说，更合理的做法是改变自己的信仰，继续交易。但是这些新的信念应该如何确定呢？即使一个令人信服的选择是可能的，为什么代理从一开始就没有预料到对这些新信念的潜在需求？幸运的是，有一个简单而自然的方法来解决这些问题。它依赖于下面的结果，即agent K所面临的效用最大化问题的最优解。命题2。给出了第k个Agent优化问题的最优PK-可行消费计划(2.11)Ckt=ik ykζkteρt={t<τk},其中Ik=(U\'k)-1,选择yki使ζ-1 k0ek[rtζktcktdt]=wk（这总是po ssible）,相关财富Proces ss（2.12）wkt=ζktekt zttζkscksds,0≤t≤t,pk-a.s.优化器cks对pk dt-a.e是唯一的。等价。这个结果有如下的结果，它证实了我们先前的主张，τk发挥代理人破产时间的作用。推论1。设ckbe为第k个Agent优化问题的任意最优消费计划，设Wkbe为相应的财富过程。然后我们得到Havelimt↑τkckt=limt↑τkwkt=0,p-a.s。在{τk≤T}上，推论1表明，当T达到τk时，第k个代理人将破产，其消费将减少到零。这个“应该”意味着财富过程被吸收，因为没有外部资本注入发生。这反过来会迫使代理人停止消费和停止交易。下一个结果表明，如果agent k所采用的策略是自适应的，并且对P是可接受的，而不仅仅是对PK是可接受的，那么这个直觉是正确的。结果还表明，(2.11)给出的最优消耗pla n确实具有这一性质。命题3。(i)设c是对代理人K最优的任何PK-可行消费计划，如果c是P-f易化的，由(φ，π)构成，且具有财富过程W，则下列无复活性质成立s P DT-A.E。[τk,T]:wt=0,ct=0,φT=0,πT=0。(ii)（2.11）中给出的pk-可行消费计划CK-是p-可行的。注意推论1表明，当一个绅士的信念被证明是错误的时，他不可能有“积极的惊喜”。也就是说，如果一个最初被认为不可能发生的事件发生了，代理人永远不会看到财富的意外增加--他总是会资不抵债。这一事实与均衡无关，而是最优消费计划和交易策略结构的结果。平衡。前面的结果表明，第k个代理人在τ之后的行动是以一种非常自然的方式固定下来的：如果他的消费要保持“全局”可行（即在P下可行），他就必须停止消费和交易。

另一方面，我们也看到，在τk之前，要求p-可行性并不能得到最优行为。这就促使他遵循对平衡的认识。认识1（平衡）。均衡是一组形式为（2.5）和（2.6）的价格过程(S，S)，连同消费计划和交易策略{ck,(φk,πk):k=1,。..,K}使得下列条件成立：（一）最优性：对于每个K,CK是对主体K最优的，p-可行的，并且由(φK,πK)构成。（二）Marke t clearin G:φ+···+φK=0,π+··+πK=S,C+··+Ck=D。我们现在可以使用与经典情形中相同的方法求解平衡，该方法具有齐次信念（或异次但等价信念）。因此，我们只给出一个粗略的轮廓。可以理解，假设1是充分的，命题2和3意味着最优消费计划是由规则条件（2.11）给出的。对k求和，进行ma rket清除，并用表达式(2.9)，得到(2.13)dt=xk:t<τkik zktykeρtζ。现定义Φ(y；v，...,vk)=xk:vk>0 ik yck，设x7→Φ-1(x；v，..,vk)为y7→Φ(y；v，..,vk）的逆。如果不是所有的§karezero，Inada条件暗示存在逆（也见（Karatzasand Shreve,1998,第172页）中的讨论。）根据（2.13）我们得到(2.14)ζt=Φ-1dt；Zktykeρt:k=1，.只要右侧是具有绝对连续漂移的严格正连续半鞅，就可以得到一个有效的候选状态价格密度ζ。把它代入代理人的预算约束（由命题2约束），得到一个y的方程组。.，yK，它的解完全指定了ζ。这反过来又通过（2.7）产生风险的利率和市场价格。y的存在唯一性。...,yKcan与经典情况一样，见例如（K aratzas and Shreve,1 998)o r（Basak,2000）。在我们下面考虑的例子中，明确地找到了解决方案。在给定国家定价10M的情况下，可以计算出均衡股价；在下面的命题中给出了结果。命题4。在均衡状态下，股票价格由(2.15)SIT=ζtet zttζsdisds给出，其自动形式为（2.5）。市场组合的价值为(2.16)st=ζtet zttζsdsds,在此条件下，我们通过构造得到了一个候选统计量e价格密度ζ和候选市场价格Si,以及满足w+···+wk=s和c+···+ck=D的最优财富过程wk、消费计划ck.因此，只需要验证MAR ket是完全的（即σTISP DT-A.E.可逆的），以及o pt ima ltrading策略(φK,πK)满足市场出清。内生完备性的问题是一个diuth-cult问题，尽管在这个方向上有一些结果，见（Anderson andRaimondo,2008；Hugonnier et al.，2012；Kramkov,2013）。我们不在这里进一步讨论它。至于策略的市场清算，这是在市场完全存在的情况下，财富过程的市场清算的结果。这一事实的众所周知的证明是同构的。注意，我们可以从具有随机边际效用u not(x)=Φ-1(x；zkte-ρt/yk:k=1,...,k）和信念P的代表a gent中看到状态价格密度ζtas。它可能不可能构造新的信念sep和确定性的代表性效用函数eu(x)tha t导致相同的状态价格密度ζt。这个主题在Jouini and Napp，2007)中进行了讨论。示例1（Lo Garitimic investors）。对于所有k假设uk(·)=log(·)。在这种情况下，人们可以为许多感兴趣的平衡量提供显式表达式。不出所料，这些表达式与在异质但等价信念的情况下得到的表达式是相同的，参见(Basak，2005)。

在附录中给出了以下陈述的证明。“参考”状态价格密度由(2.17)ζt=dtη(0)e-ρt(WZ1t+···+wKZKt)给出，其中我们得到(2.18)η(t)=1-e-ρ(T-T)ρ.m arket投资组合的均衡值为(2.19)st=dTZTTE-ρ(S-T)ds=dTη(t)，这是对数投资者模型中的典型情况。k：th agen t的均衡消费和weal过程分别为(2.20)ckt=wkeρtζktη(0)，0≤t<τk，(2.21)wkt=cktη(t)，0≤t≤t。最后，我们考虑了风险θt和θkt的市场价格和利率。由于wz1t+···+wKZKtis是一个正鞅，存在一个x-积分b l e proceSsγ=(γt)0≤t≤tsuch(2.22)wz1t+···+wkzkt=(w+···+wK)ezγsdxs t,其中e(·)t表示随机指数。对于过程γ，我们有(2.23)rt=ρ+at-vt(Vt-γt)和θt=vt-γt。此外，对于某些过程γk=(γkt)0≤t<τk，我们有(2.24)zkt=ezγksdxst，即p-a.s.，(2.25)ztkγkskds<∞对于t<τk，butzτkkγkskds=∞。然后，由(2.26)θkt=θt+γkt=vt-γt+γkt，t<τk3给出了k：the agent的个体态价格密度。均衡泡沫上面描述的具有非等价信念的均衡环境产生了均衡中的泡沫，这些泡沫是主观的，在某种意义上，只有一些主体知觉到它们的存在。本节讨论这一现象。我们将引入一个现金流C的基本价值时间t：它是t在时间间隔[t,t]内几乎肯定复制该现金流所需的最小时间，使用一个自适应的可接受策略。这种认识是标准的，是一个完整的市场环境，参见例如（Loewenstein a nd Willard,2000；Jarrow et a L.,2006；Heston et al.,2007；Hug onnier,2012）。由于赋权剂可能存在赋权零集，所以它们的基本赋权概念也可能存在赋权零集。考虑到这一点，在pki下的基本值是c变成pk-可行的最小时间t财富超过[t，t]。我们用Fkt(c)表示这个量。由命题1和方程（2.1）给出fkt(c)=ζktekt zttζkscsds,0≤t<τk,p-a.s。我们用Ft(c)表示在参考测度P.12M.Lars下计算出的基本价值。股息支付交易资产的泡沫被定义为在均衡状态下内生给定的市场价格与其基本价值之间的直接关系。因此，由第k个代理人感知的股票和市场投资组合上的泡沫由bkit=sit-fkt(Di),bkt=st-fkt(D)给出。类似的分析对于无风险资产也是有效的。事实上，它可以被看作是在时间T的衍生化，没有中间的现金流。通过命题1和方程（2.1）,我们分别用fk0t和Bk0t表示它的基本值和气泡,a r e givenbyfk0t=ζktekt[ζkts0t],Bk0t=s0t-fk0t。在（Hugonnier,2012,Section 3）中详细讨论了为什么气泡的存在实际上与最优选择一致,而不存在（无限）套利。从这个意义上说，泡沫是主观的：它们依赖于代理人的信仰。然而，这种依赖关系被限制在空集上，因为每当两个主体对零概率事件达成一致时，他们也对气泡的大小达成一致。这是下列定理的一个结果，该定理给出了原教旨主义值之间的关系，从而给出了气泡，在给定的信念下计算出来。定理1。对于每个k=1，，现金的fundam值可以表示为follows。...

k:ft(c)=Fkt(c)+ζtet ztτkζscsds,0≤t<τk,p-a.s。这种分解的解释很简单：代理人k进行净现值计算时考虑的支付较少；事实上，它只包括先于τk的现金流失（当然，在Pk下，这几乎肯定等于投资，见（2.2）。）特别是，一个交易资产，其股利流在τK之后继续，将被代理人K认为是高估的。对于无风险的a股和股票来说（通常）都是这样，这意味着它们的价格将有泡沫成分。f下跌的结果是该定理的直接后果。一种说法是，每个绅士都会以这样一种方式进行投资，从他自己的信仰的角度来看，他的投资组合没有泡沫。这是应该的，因为代理人不会通过部分投资于自杀策略来扔掉财富。第二个推论表明，更少的空集意味着更大的泡沫。最后，第三个推论给出了交易资产上的均衡泡沫的表达式。推论2。每个均衡财富过程WK，在P或PK下均不存在泡沫成分。推论3。若τk≤τp（即pk pp）,则bkit≥b2,对于0≤t<τk,p-A.S推论4。第k个主体所感知的个股、市场组合和无风险资产上的泡沫分别为bkit=ζtet ztτkζsdisds,bkt=ζtet ztτkζsdsds,bk0t=s0t1-ektζkts0tζkts0t。相反，当对空集有分歧时，气泡就会出现。此外，虽然代理人可以不同意泡沫的说法，但他们仍然可以同意泡沫存在（除非经济中只剩下一个代理人）：当所有k的Pk(τk≤T)>0时，泡沫就会发生，这当然与假设1不相容。下面将讨论这类例子。再次证明例子1中的对数投资者的设置，并确信在经济中只有K=2个代理人。推论4表明，市场投资组合上的主观泡沫是bkt=ζtet ztτke-ρsη(0)(Wz1s+wZ2s)ds=wíζtη(0)et ztτke-ρsz=sds,t<τk,其中，y={1,2},6=k。对于s econd等式，我们用zks=0fo r s≥τk.3.1。无套利条件和等价鞅测度。我们现在对等价鞅测度问题进行了评论。在目前的情况下，代理k的一个等价局部鞅e测度(ELMM)是一个概率测度Q'APK，使得贴现的股票价格过程Sits0t+Ztdiss0sds,0≤t≤t是关于Q的局部鞅。如果这些过程是真鞅，则称Q为等价m a rting ale meas ure(EMM)。ELMM和/或EMMS的存在与各种无套利类型的条件密切相关：ELMM的存在等同于NFLVR条件（“没有风险消失的免费午餐”，见Delbaen和Schachermayer(1994，1998))，而EMM的存在等同于NFLVR条件以及Merton的无支配条件（见Loewenstein和Willard(2000)和Jarrowand Larsson(2012)，以讨论这一事实及其与市场e-ciency的联系。）在大容量市场情况下，资产定价泡沫对股票价格的存在与NFLVR是一致的，但不是没有支配性的，对无风险资产存在泡沫的情况是不存在的。在完全市场环境中，ELMM的唯一候选密度过程是局部鞅ζkts0t。因此，根据推论4，无风险资产上存在非零泡沫，就排除了ζkts0t是真鞅，从而排除了等价概率测度的密度过程。因此，没有ELMM可以存在，并且NFLVR失败。尽管如此，市场可以处于均衡状态。但是，由于一个状态下的价格密度ζktexists,弱14m。