具有极值独立性的重尾时间序列

,zheζ0,hvφh≤xφhyh)P(x>x)=P(x>x)z∞P(z>(x/u)y,zeζ0,1≤(x/u)φy,。..,zheζ0,h≤(x/u)φhyh)F(du)=P(v>x)P(x>x)z∞P(z>v-1y,zeζ0,1≤v-φy,。..,zheζ0,h≤v-φhyh)x(dv)。通过与（4.1）的证明相似的论证，我们得到了limx→∞p(x>xy,x≤xφy,。..,xh≤xφhyhx>x)=e[(Z)α+]Z∞p(Z>v-1y,zeζ0,1≤v-φy,。..,zheζ0,h≤v-φhyh)αv-α-1dv。因此条件标度指数为κH=φ,给定x>x islimx→∞p(Xh≤xκhyx>x)=Z∞p(Z>v-1,zheζ0,h≤v-κhy)αv-α-1dv。如果α>1,我们可以应用Lemma2.3得到xxh的limx→∞e(Xh)+xκhx>x=αe(Z)α-κh+e[(Z)+]e[x](α-κh)e[(Z)α+]e[x](α-κh)e[(Z)α+]e[x](α-κh)e[xκh]采用与第3.1节类似的计算，我们得到“xx{x≤±xx}Xhbh(x)δ#=e”vδ(1+φh)zxδ(1+φh){vz≤±x}#eheδpH-1j=0φj±h-jie[zδh]，如果FZ是Z的分布函数，则P(v>x)e“vδ(1+φh)zxδ(1+φh){vz≤x)ze”vδ(1+φh)uxδ(1+φh){v≤x/u}#FZ(du)≤δ(1+φh)zu-δ(1+φh)P(v>x/u)P(v>x)uFZ(du)≤c^δ(1+φh)-αzuα+1-δ(1+φh)FZ(du)。如果选择δ<α，α<δ(1+φh)<α+1，则条件（2.6）符合5.2随机具有重尾创新的剧烈波动过程假定xt=σtzt，其中{Zt，t∈Z}是一个I.I.D.尾指数α，σtis非负，e[σqt]<∞对某些q>α和{σt}和{Zt}是独立的。然后，利用Breiman引理，Xtis正则变化，且具有极值独立性:p(x>x)→e[σα]_fz(x),和p(x>x,xh>x)=o(_fz(x)),其中fz是z的分布函数。对于任意整数h>0，我们得到x→∞pxx>y,x≤y,。..,xh≤yhx>x=e[σαFZ(y/σ)··FZ(yh/σh)]yαe[σα]。（5.3）特别地，limx→∞p(xh≤yhx>x)=e[σαfz(yh/σh)]e[σα]。另请注意:limx→∞p(xh>yhx>x)=E'Aσα_fz(yh/σh)E[σα]=fz(yh)E[σασαh]E[σα]=fx(yh)E[σασαh]E[σαh]E[σαα]，如yh→∞。因此，极限条件分布与无条件分布是尾等价的。关于该模型的极值行为的更多细节，我们参考[DM01]和[KS13]。5.3重尾新息和杠杆的随机波动率过程xt=σtzt，假定波动率σ为正函数，σt=p∞j=1cjηt-j,p∞j=1cj<∞,{(Zt，ηt)}为I.I.D。当α>1时，应用Lemma2.3得到limx→∞e[(Xh)+x>x]=e[(Z)+]e[σhσα]e[σα]。序列，但对于每一个t，Zt、ηt可能是相依的。这意味着波动率σ与每t的新息zt无关，但σt可能依赖于{Zj,j<t}。这就允许了一些杠杆：今天的价值影响未来的波动性。我们仍然假定Zi的分布随指数α的变化而规律性变化。对于每一个t，zt，σt，都是独立的，因此，如果E[σqt]<∞对于某个q>α，Breiman引理适用，我们得到(x>x)'Ae[σα]_fz(x)。现在考虑联合超越的概率。由于σhand Zmay是相依的，所以我们有，P(x>x,xh>x)=P(zσ>x,zhσh>x)=e·e·c·fz(x/σh){zσ>x}·c·fz(x)e·σαh{zσ>x}=o(·fz(x))。（在最后一部分，使用有界收敛参数。）因此，在没有杠杆作用的情况下，仍然存在极值独立性，但联合超越概率的衰减率是由σ-hand z之间的依赖关系所定的。在附加的假设下，我们可以得到极限条件分布。假定ηj=log(Zj)-e[log(Zj)]，σ(x)=ex，0<cj<1。definitne～σj=exp{pj-1i=1ciηj-i-cje[log(Z)]+p∞i=j+1 ciηj-i}。然后，xj=～σjzcjzj，通过相同类型的变元，我们得到：对于(y,...,yh)∈[1,∞)×Rh,limx→∞p(x>xy,x≤xcy,..,xh≤xchyh x>x)=z∞p(σ>yu-1,z～σ≤yu-c,..,zh～σh≤yhu-ch)αu-α-1du,条件标度指数依赖于h:κh=ch。

若α>1，则Lemma2.3再次应用，得到Limx→∞另见[RZ13，引理8.4].定理6.1。设(E，d)是一个完备的局部紧可分met r ic空间。设μnbe是弱收敛于E上一个概率测度的非齐次(i)如果是一个一致有界的连续函数序列，它在E的紧集上一致有界收敛于一个函数，则在E上是连续有界的，limn→∞μn(μn)=μ(μ)。(ii)设F是拓扑空间。如果GNS是一个一致有界连续函数序列F×E，并在F×E的紧集上一致收敛到函数g，则g在F×E上是连续有界的，且该函数序列在F的紧集上一致收敛为g(u，v)μn(dv)。我们从证明(i)开始。设C是SUPn≥1K∞nK∞≤C和K∞K∞≤C,Fixsome=>0,且K是一个紧集，且μ(Kc)=0和μ(Kc)≤3/(2C)。letkπ={x∈E d(x，K)≤θ}且设φ是一个连续函数，使得对于allx∈E，0≤ρ(x)≤1,如果x∈K，则ρ(x)=1；如果x/∈K，则ρ(x)=0。μn(Ωn)-μ(θ)=μn(θn)-μn(θ)+μn(θ)-μ(θ)。由于弱收敛，limn→∞μn(θ)=μ(θ)，所以我们只需要考虑μn(θn)-μn(θ)。利用上面给出的函数φ,我们得到了μn(θn)-μn(θ)≤μn(θn)-μn(θn)+μn((1-ρ)θn)≤μn(θ(1-ρ)TMn)+2cμn(1-ρ)).由于在紧集上，θn一致收敛于σ，且函数1Ωφ是有界连续的，我们得到了SUPn→∞μn(θn)-μn(θ)≤2cμ(1Ω)≤2cμ(1Ω)≤2 cμ(Kc)≤.由于θ是任意的，所以证明了(i)。现在证明了(ii)。definne Ln(u)=regn(u,v)μn(dv)、Ln(u)=reg(u,v)μn(dv)和L(u)=reg(u,v)μ(dv)。由于g是有界的且连续的，所以该定理的第二部分暗示了在F的紧集上_ln一致收敛于L。我们现在证明了在F的紧集上Ln-1nn收敛于zerouniformly。修复uth>0，并设ké如上所示。由于gnand g是均匀有界的，所以存在C>0这样的LN(u)-_ln(u)≤SUPV∈KàGN(u,v)-g(u,v)+2C~2。对于F的任意紧集S,GN一致收敛于S×K~3到g,thuslim SUPn→∞SUPU∈SLN(u)-LN(u)≤2C~2。由于μ是任意的，这证明了LN-_ln在F的紧集上一致收敛于0。我们需要下面的引理，即LN_(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤0。设π和G如假设2所示，定义核πx和gbyπxf(u)=z∞f(v)π(xu,b(x)dv),Gf(u)=z∞f(uκv)G(dv)=z∞f(v)G(u-κdv)。引理6.2。设f,fx,x>0，是[0,∞)上一致有界的连续函数。证明了(i)Fx在[0,∞)的紧集上一致收敛到f；(ii)或Fx在(0,∞)的紧集上一致收敛到f且G（{0}）=0。则πxFx在(0,∞)的紧集上一致收敛到GF。修正一些正实数0<a<a。由于b在指数为正的情况下有规律地变化，所以在不丧失一般性的情况下，我们可以假定b在(a，∞)上是递增的，并且是正的。然后，比值b(xu)/b(x)在[a,a]上一致有界，即0<supx≥1supa≤u≤ab(xu)b(x)<∞。（6.1）修复一些uth>0。则存在Supx→∞Supa≤u≤aπ(xu,(b(x)aπ,∞))≤l,Supa≤u≤Ag((uκaπ,∞))≤l。（6.2）此外，如果G（{0}）=0，则还存在η>0，即supx→∞supa≤u≤aπ(xu,[0,b(x)η])≤l,supa≤u≤ag([0,uκη])≤l。（6.3）现在设fx，f和引理的陈述一样。

然后，通过一致有界假设和（6.2）,存在C>0,使得对于u∈[a,a],πxfx(u)-πxf(u)≤za^fx(v)-f(v)π(xu,b(x)dv)+C.在情形(i)中，假定fx一致收敛于[0,∞)的紧集上，因此先前的有界suldslim supx→∞supa≤u≤aπxfx(u)-πxf(u)≤C.由于p是任意的，所以该有界suldslim supx→∞supa≤u≤aπxfx(u)-πxf(u)=0。（6.4）在情形(ii)中，我们必须进一步分解积分intora^=rη+ra^η，并利用界（6.3）得到(6.4)，我们现在证明了πXF在(0，∞)的紧集上一致收敛到GF。用ft(u,v)=f(vb(t)/b(t/u))定义函数fton(0,∞)×[0,∞)。利用正则变函数的一致收敛性，在(0，∞)×[0，∞)的紧集上一致收敛到f(uκv)。ft(u)=r∞ft(u,v)π(t,b(t)dv)。根据定理6.1的(ii)项，FT收敛于(0，∞)的Gf一致紧集。注意，通过变量的变化，我们可以写出πxf(u)=zf(v)π(xu,b(x)dv)=zf vb(xu)b(x)π(xu,b(xu)dv)=zfxu(u,v)π(xu,b(xu)dv)=Fxu(u),所以πxf在(0，∞)的紧集上一致收敛到G。定理3.1的证明。我们必须证明，对于所有h≥1，limx→∞pxx≤y,Xb(x)≤y,。..,Xhbh(x)≤yhx>x=P(y≤y,y≤y,...,yh≤yh)。（6.5）证明是通过对H的归纳法。我们从在h=1的情况下证明（6.5）开始。回想一下，x(x)的分布定义了测度vxby vx(du)=F(xdu)/F(x)。设f是[0,∞)上的有界连续函数。f xb(x)x>x=z∞u=1z∞v=0f(v)π(xu,b(x)dv)vx(du)=z∞u=1πxf(u)vx(du),因此我们必须证明limx→∞z∞πxf(u)vx(du)=z∞gf(u)αu-α-1du。（6.6）我们知道测度vx在(0，∞)上模糊地收敛于Pareto测度αu-α-1du。Bylemma6.2（应用于fx=f，从而不需要假定G({0}）=0),πxf在(0，∞)的紧集上一致收敛Gf。因此，应用定理6.1(i)我们得到（6.6）。现在考虑高维分布。根据b(x)=x的约定，定义了跃迁核πx,hon[0,∞)×[0,∞)hbyπx,h(u,du)=hyi=1π(Bi-1(x)ui-1,bi(x)dui)。对于[0,∞)h上有界连续的f,definneπx,hf(u)=zu∈[0,∞)hf(u)πx,h(u,du）,则e f xb(x)，...,Xhbh(x)x>x=z∞u=1πx,hf(u)'Ax(du),还证明了核Ghon(0,∞)×[0,∞)hbyGhf(u)=z∞··z∞f(u,）。..,呃）hyi=1g(u-κi-1 dui).对于任意有界连续函数f。我们必须证明的是，对于[0,∞)H上的任意有界连续函数f，πx,hf将(0，∞)的单里昂紧集收敛到Ghf。根据定理6.1(i)，这将产生所需的结果。对于h=1，这就是我们刚刚证明的。假定对于h≥1，且[0,∞)h,πx上的任意有界连续函数f,hf收敛于(0,∞)的单里昂紧集。在不丧失一般性的情况下，我们可以假定函数f是形式f(u，)。.，uh+1)=f(u)f(u，...,uh+1),其中fand分别在[0,∞)和[0,∞)h上连续有界。然后回顾了bh=bh-1tob,πx,h+1f(u)=z∞f(u)πb(x),hf(u)π(xu,b(x)du)=πx(fπx,hf)(u)。（6.7）利用归纳法假设，序列函数fπx，Hff在(0，∞)的紧集上一致收敛于连续有界函数FGHF。因此，在(0，∞)的紧集上，H+1F一致收敛于G(fGhf)=GH+1FF=GH+1F。7结束语本文将条件极值的概念放在单变量时间序列的背景下。我们引入了时间序列{Xt}的条件标度指数κHH。如果时间序列是平稳的，其维数边缘分布是正则变化的，则κH∈[0,1]，且κH<1意味着二元分布(X，Xh)的极值独立性。我们给出了马尔可夫链和其他时间序列模型的条件，这些模型通常用于金融计量经济学中。这项工作是一个正在进行的关于极端独立时间序列的项目的一部分。我们现在讨论几个可能的未来研究领域。向量值时间序列。

考虑一个d维向量值时间序列{Xt,t∈Z}，使得对于每个h≥0，(h+1)d维向量(X，..，Xh)随指数-α有规律地变化。对于一个相对紧的Borel集C∈RH+1\\{0}（可能有进一步的正则性条件），我们可能对(X，..，Xh)的极限分布感兴趣，假定X∈xC，其中xC={xy,y∈C}且X是大的。在极值依赖的情况下，向量(X，..，Xh)的指数测度提供了必要的信息。在极端独立的情况下，它是无用的，我们必须考察标度函数b,的存在性。..,BHA使得XB(x)的条件分布。.给定x∈xC时，Xhbh(x)收敛于一个适当的概率分布。集合C的选择由所考虑的问题决定。如果关注事件是kXk大，或者如果关注事件是某个线性组合（一个投资组合）大，那么它可以是Rd上某个正规k·k的单位球的补，如果关注事件是kXk大，或者如果关注事件是半空间如C={y∈Rday+···+Akyd>1}，那么它可以是Rd上某个正规k·k的单位球的补。我们也可以考虑单变量时间序列和各种条件化事件，如{y>x,...,yk>x}(k+1个连续值较大），或{max{y,...,yk}>x}（k+1中至少有一个较大值），或这些事件的任何组合。同样，在极值依赖的情况下，适当的标度由多元正则性给出，整个信息由指数测度给出。在极值无关的情况下，对极值滞后必须使用极值标度函数，极限分布不是由指数测度给出的。下一步显然是提供有效的统计程序来估计条件标度指数、标度函数、条件极限分布和其他利益的数量，如CTE。正如在极值理论中通常一样，这些均衡性不能用经验来估计，因为它们只适用于很少有观测结果的领域。因此，需要在可用数据范围之外进行外推，必须对半参数估计进行修正。例如，我们可以用[ctesph(x)=xκH mh]估计mh（定义在(2.13))和κHand，然后用[ctesph(x)=xκH mh]估计数据范围外的x的cte+h(x)。条件极限分布和标度函数的非参数估计，以及条件标度指数的半参数估计是我们未来研究的主题。感谢Holger Drees和Anja Janssen在上海举行的第八届EVA会议上对参考文献[JD13]的交流和富有成效的讨论，这些讨论旨在纠正和改进本文的初步版本。我们也感谢一位副编辑和一位匿名裁判，他们帮助整理和改进了该报。参考文献[ADEH99]菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。一致的风险度量。数学金融，9(3):203-228，1999。Patrick Billingsley。概率测度的收敛性。纽约，威利，1968年。Bojan Basrak和Johan Segers。规则变化的多元时间序列。随机过程。Appl.,119（4）：1055-1080,2009.[DM01]Richard A.Davis和Thomas Mikosch.随机波动过程的点过程收敛性及其在样本自相关中的应用。应用概率学报，38A:93-104，2001。概率、统计和地震学。[文献11]Bikramjit Das和Sidney I.Resnick。对极端组件的条件：锥体上有规律变化的模型一致性。伯努利，17(1):226-252,2011.[GR06]Christian Gourieroux和Christian Y.Robert.随机单位根模型。《计量经济理论》，22(6):1052-1090,2006。Janet E.He与Ernan和Sidney I.Resnick。具有非极值分量的随机向量的极限律。

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