单分形信号产生的多重分形效应

同样的方法对于单分形和多重分形数据的结果是相似的，对于所有多重分形数据也会出现相似程度的偏差。我们考虑了两种描述多重分形的方法，即广义Hurst指数法和基于h Older指数的多重分形谱分析法。在这两种情况下，数据的多重分形阈值都是通过广义Hurst指数的扩展或多重分形谱的宽度来估计的。阈值在时间序列中随自相关水平线性增长，随序列长度按幂律衰减。我们在数值上估计了这种表观多重分形的水平，并用简单的半解析公式捕捉到它。此外，在文章的第二部分，我们讨论了非线性变换的单分形数据所揭示的多重分形性。在这种情况下，原始数据中的长程自相关所引起的参数大小也伴随着时间序列的这种非线性变换所引起的参数聚类。最后一个E&ect改变了不同大小的缩放特性，并且不会在数据长度的限制下消失。人们还必须记住非线性变换带来的不确定性，特别是当只搜索变换数据并且目标是原始数据序列的多重分形性质时。在所有情况下，通过简单的非线性变换，给出了描述时间序列性质的多重分形FSE阈值或非多重分形modified的可用公式。我们还提供了所有公式在95%水平上的统计结果，这使得它们在实际应用中能够得到可靠的估计。我们相信这些公式在任何科学领域中都有足够的通用性，当人们质疑数据的多尺度特性时。最后，还应将预测的FSE多重分形偏差与实际多重分形记录的例子进行比较。人们普遍认为多重分形性是金融市场的一个特征，因此我们可以考虑指数序列。本文从文献[1]的一般研究中提取了各种价格指数的多重分形特征。[68]。通过对文献[68]所揭示的实数指数序列的参数应用等式（17）的公式，我们很容易发现，对于许多世界市场，多重分形确实是标度性质随时间尺度变化的结果。然而，在有些市场上，观察到的多重分形特征主要是由（如菲律宾、台湾、德国）或甚至完全由（爱尔兰）生成的。在菲律宾、台湾、泰国、德国、西班牙和希腊的价格指数中，近80%的多重分形偏差是由多重分形FSE偏差引起的。在参考中。[62]报道了DJIA时间序列的FSE（对尺寸替代数据的FSE值）在L￣30000处的计算值为φh=0.22±0.04,与等式（17）在95%Con水平下对φh=0.23的预测结果一致。对于其他类型的真实数据，如地震学、气象学或地球物理学，多重分形FSE偏差的重要性也是无可争议的。参考文献中的地震记录。[38,39]暗示了在H￣0.9处L￣2的广义Hurst指数σH≈0.53（见[38]中图3）或谱宽σα≈0.70（见[39]中图5）的多重分形扩展，而由Eqs.(17)和（20）计算出的偏差在σα情况下占该值的40%以上，在σH情况下占30%以上。气象学和地球物理学中的许多记录显示出高度的非平稳性，因此作者在本文中将重点放在更窄的q(-5<q<5)范围上。

本文所引用的气象记录的多重分形定量特征（见[43])对湿度、温度、太阳辐射和最大飑线的影响很小(α0.02÷0.07)，对降水、风速和气压的影响更大(α0.20÷0.28,L≈2,H≈0.6÷0.7)。然而，在这种情况下，为了与FSE多重分形偏差进行更好的比较，我们必须考察当用较低的矩q求值时，本文得到的公式是如何变化的。shedin即将发表的文献[69]揭示了这一问题。因此，多重分形偏差（或表观多重分形）可能在观察到的多重分形传播中起着重要作用，尤其是当考虑短而持久的时间序列时。在许多情况下，它加剧了主要多尺度现象与根本不是多尺度起源的背景（偏见）之间的分离。因此，人们应该特别小心地从基于对观察到的ΔH或Δα值的解释的多重分形分析中得出深远的结论。参考文献[1]M.S.Taqqu,V.Teverovsky和W.Willinger,Fractals 3,785,（1995）。[2]Science中的Fractals,Springer,2版，A.Bunde和S.Havlin,Springer,Berlin,（1996）.[3]H.E.Hurst,Trans.我。SOC。CIV.英格。116（1951）770.[4]B.B.Mandelbrot,J.R.沃利斯，水转。第5号决议，第2号，(1969)321。[5]J.W.Kantelhardt,E.Koscielny-Bunde,H.H.A.Rego,S.Havlin,A.Bunde,Physica A 295（2001）441.详细研究见会议文件[63]。Peng,S.V.Buldyrev,S.Havlin,M.Simons,H.E.Stanley和A.L.Goldberger,Phys.Rev.E 49,1685（1994）.Peng,S.Havlin,H.E.Stanley,和A.L.Goldberger,混沌5,82（1995）.[8]A.Bunde,S.Havlin,J.W.Kantelhardt,T.Penzel,J.H.Peter,和K.Voigt,Phys.Rev.Lett.85,3736（2000）.[9]T.C.Halsey,M.H.Jensen,L.P.Kadano,I.Procaccia,B.I.Shraiman,Phys.Rev.A 33（1986）1141.[10]H.G.E.Hentschel,I.Procaccia,Physica D 8（1983）435.[11]S.Ghashghaie,W.Breymann,J.Peinke,P.Talkner和Y.Dodge,Nature 381,767（1996）.[12]R.N.Mantegna和H.E.Stanley,Nature 383,587（1996）.[13]B.B.Mandelbrot,Sci.AM.298,70（1999）.[14]J.W.Kantelhardt,载“复杂性与系统科学百科全书”,Springer,2009,Chap.“分形与多重分形时间序列”,pp.3754-3778.[15]胡凯，P.CH.Ivanov,Z.Chen,P.Carpena,H.E.Stanley,Phys.E 64（2001）011114.[16]陈志，P.CH.Ivanov,K.Hu,H.E.Stanley,Phys。Rev.E 65（2002）041107.[17]J.W.Kantelhardt,S.A.Zschiegner,E.Koscielny-Bunde,S.Havlin,A.Bunde,H.E.Stanley,Physica A 316（2002）87.[18]M.H.Jensen,L.P.Kadano,A.Libchaber,I.Procaccia,J.Stavans,Phys.莱特牧师。55（1985）2798.[19]J.-F.Muzy,E.Bacry,A.Arneodo,Phys。莱特牧师。67（1991）3515.[20]F.S.Labini,M.Montouri,L.Pietronero,J.Phythque IV 8（1998）Pr-115 PR-118.[21]K.Ivanova,H.N.希雷尔，E.E.Clothiaux,N.Kitova,M.A.Mikhalev,T.P.Ausloos,物理A 308（2002）518532.Y.Ashkenazy,D.R.Baker,H.Gildor,S.Havlin,地球物理.雷特号。30（2003）2146.[23]P.C.Ivanov,L.A.N.Amaral,A.L.Goldberger,S.Havlin,M.G.Rosenblum,Z.R.Struzik,H.Stanley,Nature 399（1999）461.[24]M.Ausloos,将原始文本和翻译文本映射为频率和长度时间序列的广义Hurst指数和多重分形函数，Arxiv:1208.6174v1[物理数据][25]C.Amitrano,A.Coniglio,P.Meakin,M.Zanetti,Phys.Rev.B 44（1987）4974.[26]H.E.Stanley,P.Meakin,Nature 335（1988）405.[27]A.Fisher,L.Calvet,B.Mandelbrot,美国/港元汇率的多重分形性，Cowles Foundation讨论文件1166,1997.[28]K.Ivanova,M.Ausloos,Eur.菲斯。J.B 8（1999）665.[29]K.Ivanova,M.Ausloos,Physica A 265（1999）279.[30]M.Ausloos,K.Ivanova,Comp.菲斯。Commun.147（2002）582.[31]T.Di.Matteo,T.Aste,M.M.Dacorogna,Physica A 324（2003）183.[32]A。

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给出了两种时间序列长度L=2,2,三种自相关参数γ=0.1,0.5,0.9和q=-15,-10,-5,0,+5,+10,+15（自下而上）的结果。所有图符合建议的标度范围为τ=20至τ=L/4.0.40.50.60.70.80.8101416h(q)ql=212γ=0.1γ=0.5γ=0.90.40.50.60.8-8-81416h(q)ql=220γ=0.1γ=0.5γ=0.9(a)0.20.40.60.81012141.6h(q)ql=220γ=0.1γ=0.5γ=0.9(a)0.20.40.60.81.1.2F(α)αγ=0.1γ=0.5γ=0.90.40.40.60.8=0.5γ=0.90.40.60.8=0.40.60.8=0.40.60.81.2F(α)αγ=0.1γ=F(α)αL=212L=220γ=0.1γ=0.5γ=0.9(b)图3:FFM中产生的具有不同自相关性质的单分形信号的广义Hurst指数(a)和奇异谱(b)。给出了L=2和L=2的两种自相关能级。误差条对应于10个GeneratedSeries的统计量。0.40.50.60.80.91γL=2h(-15)h(+15)0.40.560.70.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.80.0.91γL=2α最大αmin0.40.50.60.70.80.91γL=2α最大αmin0.40.50.60.80.80.91.100.10.0.0.80.80.91.100.10.0.0.0.0.0.0.0.70.0.1γL=2α最大αmin0.40.50.60.80.80.80.91.100.10.0.0.60.80.80.91.10(b)对于两个长度为L=2,2的时间序列，在存在长记忆(γ<1)的情况下，对其进行消去。与数据长度的依赖关系是可读的。0.040.050.060.070.080.090.10.20.30.0.4长度(a)0.070.080.090.10.20.30.40.50.60.7length(b)，图5：广义Hurst指数(a)的prepand@h和h的prepand@α-旧参数(b)与无记忆信号的对数比例数据的长度。显着地显示了参数与数据长度之间的幂律依赖关系。结果收集在表1和表2中的中心值及其95%的控制水平。后者标记为蓝色顶线。0.40.50.60.70.80.91γL=2h(-15)h(+15)0.40.560.70.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.1.0.1γL=2α最大αmin0.40.50.60.70.80.0.91.1γL=2α最大-术语记忆。图形显示了边值h±h(±15)与αmin/maxonγ指数之间的线性依赖关系。将线外推到γ=0点被解释为完全自相关信号的边值(C(τ)→1，τ)0.040.050.060.070.080.090.10.20.30.30.40.50.60.7length(b)图7：完全自相关时间序列(γ=0)的扩展的hof广义Hurst指数(a)和h-older参数与数据长度的关系。绿线表示幂律对数比例，蓝线对应于统计结果的95%对数水平。Fittedparameters收集在表1中(a)和表2中(b)。在MF-DFA.0.050.10.150.20.250.30.3500.0.0.0.60.0.810.20.250.30.350.40.451.95.90.85.80.75.70.65.60.55.50γHL=2L=2L=2图8：不同数据长度L=2,L=2和L=2下的ΔH和ΔαFSE多重分形阈值的例子。对于自相关指数为γ的序列，连续的斜线描述了在95%控制水平上观测到多尺度的最小阈值。Hurst指数的相对值在顶轴上标记。

虚线水平线表示对应的多重分形FSE阈值仅由数据长度而不是由数据中可能的自相关性决定。L=2-0.50.51.55.50 0.2 0.4 0.6 0.8 H+HHC+HCHD+HD(c)-0.50.51.52.500.10.20.30.40.60.70.80.911.95.90.85.80.80.75.7065.60.55.50γHαminαmaxαcminαcmaxαdminαdmax(d)L=2-0.50.51.552.500.20.40.60.85.65.55.50γHH+hhc+hchd+hd(e)-0.50.51.552.500.10.0.0.0.0.0.0.0.0.0.80.911.95.85.85.70.65.65.55.50γHαminαmaxαcminαdminαdmax(f)图9：具有长期记忆长度为L=2,2,2的初级、积分和双列序列的广义Hurst指数(a)和h-旧参数(b)的边值。图形显示了边值h±h(±15)与αmin/maxonγ指数之间的线性依赖关系。将线外推到点γ=0解释为完全自相关信号(C(τ)→1,τ)0.10.20.30.40.50.60.70.80.9长度(a)0.10.20.30.40.60.70.80.9长度(C)0.0010.010.1长度(C)0.020.040.060.080.10.20.40.60.8长度(d).图10:propediated Hurst指数(a)(C)和h的旧参数(b)(d)与数据长度的关系。绿线表示对数尺度的幂律，蓝线对应于95%常数由统计数据产生的Elevel。拟合参数收集于表3-6.0.10.20.30.40.50.60.70.80.9长度(a)0.10.20.30.40.50.60.70.80.9长度(b)0.00010.0010.010.1长度(c)0.020.040.060.080.10.20.40.60.8长度(d).图11：与图相同。10,仅适用于不相关的数据(γ=1)。0.050.10.150.20.250.30.3500.0.0.40.0.85.75.65.65.50γHL=2L=2L=2(a)0.050.10.150.20.250.30.3500.0.0.0.60.0.810.20.250.30.350.40.451.95.80.85.70.65.65.65.55.50γHL=2L=2L=2(b).图12：积分(a)和di-erentiated(b)时间序列的ΔH和ΔαFSE多重分形阈值示例。记法同图8.0.40.560.70.80.91.10 0.2 0.4 0.6 0.81γL=2h(-15)h(+15)0.40.50.60.80.91.100.0.4 0.60.81γL=2h(-15)h(+15)0.40.560.70.80.91.100.0.4 80.91.100.20.40.60.81γL=2h(-15)h(+15)图13:ΔXI→ΔXI变换后数据的多重分形处理结果。给出了不同长度的变换持久时间序列的多重分形序列的H±Edgevales图。计算中取每对长度L和持续水平γ产生的5·10时间序列的统计系综，所得统计不确定度为每个h±1值0.40.550.60.70.80.91.10 0.0.40.50.60.70.80.91.10 0.0.40.60.0.81γL=2h(-15)h(+15)0.40.50.60.70.80.91.10 0.0.40.0.60.81γL=2h(-15)h(+15)0.40.50.60.70.80.91.10 0.4 0.6 0.8 1γL=2h(-15)h(+15)0.40.50.60.70.80.91.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1γL=2h(-15)h(+15)图14：与图13相同，但对于Δxi→(Δxi)变换，0.20.40.60.8长度γ*+γ*(a)Δxi→Δxi0.20.40.60.8长度γ*+γ*(b)Δxi→(Δxi)图15:H±-对自相关标度指数γ的线性和非线性依赖区域之间的交叉点γ±±.

(a)和(b)两部分分别表明了这种与数据长度的依赖关系，即对区域γ>γ*的数据序列长度而言，0.040.050.060.070.0080.10.20.30.40.50.60.70.8 length@h(γ>γ*,L)xi(xi)(a)0.00010.0010.010.1 length(b)xi→xi0.00010.0010.010.1 length(c)xi→(xi)。图16：多重分形profilire@h的扩展表示为区域γ>γ*的数据序列长度的函数。图(a)显示了等式(27)，而底图(b)和(c)在对数-对数尺度下，对于所考虑的两种变换来说，都是对L的依赖关系的幂律性质。θxi→θxi0.51.5长度(a)0.51.5length(b)图17：在γ<γ*区域中，在θxi→θxi变换后，数据的多重分形特性边的q指数值a±s的结果（见等式（28））。图(a)显示了a+对L的依赖关系，而图(b)显示了A-值的这种关系。对Lin对数线性尺度的极弱依赖性证明了这两个参数都可以假定为常数。误差条表示确定度。xi→(xi)0.51.5length(a)0.51.5length(b)图18:与图17相同，但对于xi→(xi)变换，0.10.20.30.40.50 0.2 0.4 0.6 0.8 11.95.90.85.85.75.65.65.50γHL=2L=2L=2L=2L=2L=2(a)xi→)0.0.40.60.0.811.95.30.30.40.500.20.40.0.811.95.90.85.75.65.60.55.50γHL=2L=2L=2(b)xi→(xi)图19:ΔH多重分形扩展的例子源于(a)xi→→)在原始数据中，各种数据L=2,2,2,2,2表示为持久化水平(γ)的函数的XI和(b)→XI→(ΔXI)变换。Hurst指数的各自值在TOPAXIS上标记。在部分重叠的区域中可以看到两种不同的行为：一种是在γ<γ*+（左）下的非线性下降，另一种是在γ>γ*-（右）下的δh(γ)=const。γ*+<γ<γ*-的过渡区也很明显。