单分形信号产生的多重分形效应

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

摘要翻译：
本文用多重分形减值波动分析法（MF-DFA）定量地研究了在分析时间序列中的多重分形现象时可能遇到的虚假多重分形信号的电平。所研究的效应是由于所使用的数据序列的有限长度而出现的，并被数据最终可能包含的长期记忆所放大。我们给出了这种表观多重分形背景信号的详细定量描述，即广义Hurst指数值扩展的阈值$δH$或多重分形谱宽度的阈值$δAlpha$,在此阈值以下，系统的多重分形性质仅是表观的，即不存在，尽管是$δAlphaneq0$或$δHneq0$。我们发现这种效应对于较短的或持续的序列是非常重要的，并且我们认为它与自相关指数$\\γ$是线性的。其强度随时间序列长度按幂律衰减。本文还研究了在不同长记忆水平的有限时间序列中，基本线性和非线性变换对初始数据的影响。这提供了额外的一组半分析结果。所得到的公式在多重分形的任何跨学科应用中都有重要意义，包括物理、金融数据分析或生理学，因为它们允许将“真正的”多重分形现象与表观的（人工的）多重分形效应分开。它们应该是一个有用的首选工具，以决定我们是否在特定情况下对具有真正多尺度特性的信号进行处理。
---
英文标题：
《On the multifractal effects generated by monofractal signals》
---
作者：
Dariusz Grech and Grzegorz Pamu{\\l}a
---
最新提交年份：
2013
---
分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
英文摘要：
  We study quantitatively the level of false multifractal signal one may encounter while analyzing multifractal phenomena in time series within multifractal detrended fluctuation analysis (MF-DFA). The investigated effect appears as a result of finite length of used data series and is additionally amplified by the long-term memory the data eventually may contain. We provide the detailed quantitative description of such apparent multifractal background signal as a threshold in spread of generalized Hurst exponent values $\\Delta h$ or a threshold in the width of multifractal spectrum $\\Delta \\alpha$ below which multifractal properties of the system are only apparent, i.e. do not exist, despite $\\Delta\\alpha\\neq0$ or $\\Delta h\\neq 0$. We find this effect quite important for shorter or persistent series and we argue it is linear with respect to autocorrelation exponent $\\gamma$. Its strength decays according to power law with respect to the length of time series. The influence of basic linear and nonlinear transformations applied to initial data in finite time series with various level of long memory is also investigated. This provides additional set of semi-analytical results. The obtained formulas are significant in any interdisciplinary application of multifractality, including physics, financial data analysis or physiology, because they allow to separate the \'true\' multifractal phenomena from the apparent (artificial) multifractal effects. They should be a helpful tool of the first choice to decide whether we do in particular case with the signal with real multiscaling properties or not.
---
PDF下载：
--> English_Paper.pdf (684.39 KB)

2022-4-16 14:55:06 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Multifractal Quantitative Mathematical Econophysics Applications

在单分形信号产生的多重分形信号上，我们定量地研究了多重分形信号分析（MF-DFA）中分析时间序列中多重分形现象时可能遇到的虚假多重分形信号的水平。所研究的e-hited ect是所使用的数据序列长度的结果，并被数据最终可能包含的长期存储器额外放大。我们给出了这种表观多重分形信号的定量描述，即广义Hurst指数扩展的阈值或多重分形谱的阈值，在此阈值下，系统的多重分形性质仅为零，即：在广义Hurst指数扩展的阈值或多重分形谱的阈值处，系统的多重分形性质仅为零，而在广义Hurst指数扩展的阈值处，系统的多重分形性质仅为零。d o不存在，尽管是Δα6=0或ΔH6=0。我们认为这对sh和持久的s er是非常重要的，并且我们认为它与自相关指数γ是线性的。它的强度随时间序列的长度按幂律衰减。本文还研究了线性和非线性变换在不同长m emory水平下对初始数据进行线性和非线性变换的效果。这是一组附加的半解析结果。所得公式对多重分形的任何跨学科应用都有重要意义,包括p物理学，纳米数据分析或生理学，因为它们允许将真正的多重分形现象与表面的多重分形现象分开。它们应该是一个有用的工具，可以用来决定我们在特定情况下是否对具有真正多重分形特性的信号进行处理。关键字：多重分形，时间序列分析，自相关，多重分形分解分析，广义Hurst指数，复杂系统spacs:05.45.tp，05.45.df，89.75.da，05.40.-a，89.75.-k，89.65.gh，02.60.-x，89.20-a*dgrech@ift.uni.wroc.pl_l_gpamula@ift.uni.wroc.pl_l_gpamula@ift.uni.wroc.pl_l_l_gpamula在平稳和单分形时间序列的最简单情况下，用两点自相关函数cs://h@xi@xi+si对记忆序列进行了修正，其中xi，(i=1，…，L)是序列中的数据，L是其长度，hi是给定信号中所有数据的平均值，而xi=xi+1-xiare序列增量。在这种情况下，CS[1,2]CS(2-γ)(1-γ)S-γ在大时滞的渐近极限中表现出幂律形式，(1)其中标度指数γ(0≤γ≤1)与信号中的记忆水平有关，并描述了完全自相关（持久）信号的边界和完全不相关增量的边界。当数据中存在噪声或非平稳性时，直接计算相关函数和γ指数更容易得到证明。因此，为了避免这一问题，通常采用一种替代方法，即考虑累积数据中的结果，即序列中的结果xt=pti=1xi(t=1,...,L）。根据[5]H=1-γ(2)来测量XT与γ相关的标度Hurst指数H[3,4]。这样，任何对H(0.5≤H≤1)的测量都可以映射到相应的γ值。这种记忆间接分析的最突出的例子是DFA[6,7,8]。公式（1）中的标度律在DFA内被powerlawF(τ)τh(3)所代替，其中F(τ)是信号在适当长度τ的时间窗内围绕其局部趋势的平均结果。

一个有详细的定量描述:f(τ)=2n2nxk=1f(τ，k)(4)其中f(τ，k)=ττxj=1x(k-1)τ+j-pk(j)(5)这里N=[L/τ]代表对其进行去分离过程的非重叠盒的数目，Pk]是在第k个时间窗口中对初始数据进行修改并从这些数据中减去的多项式趋势。DFA的应用仅限于其记忆特性在单标度指数下得到很好描述的系统。这种方法在所谓的多重分形系统[9]-[14]中很常见，其中小的和大的都遵循不同的标度律（例如见[5，15]-[17])。在后一种情况下，人们必须采用更一般的描述方法，对多重分形数据中与记忆性质有关的问题的充分理解仍处于争论之中。由于自然界普遍存在多重分形不变现象，时间序列的多重分形性质得到了广泛的研究。它的存在来自湍流[18,19]、天文学[20]、气候现象[22]、生理学[23]、文本结构[24]、物理学[25,26]直到文献[27]-[33]的经验数据，没有涵盖关于这些现象的许多其他出版物。值得强调的是，对多重分形测量的准确性、适用性和可靠性问题的回答对于计算机模拟或预测方法的发展至关重要[14]。多重分形是数据序列化中最常用的量化多重分形性质的技术之一(MF-DFA)[17]。MF-DFA方法能够消除数据中的多项式趋势，这使得它优于其他面向多重分形的技术，如结构函数分析[34]或高阶自相关函数[35]。研究多重分形性质的常用方法也是小波变换模极大值法[36]。WTMM消除多项式趋势类似于MF-DFA，但更容易实现。此外，它可能会给出有偏见的结果，并经常产生虚假的多重分形[37]。MF-DFA到目前为止已经应用于许多科学问题，仅举几个例子：地震学[38,39]、宇宙学[40]、生物学[41,42]、气象学[43]、医学[44]、音乐[45,46]、地球物理学[47]和气象学[48]-[54]在这里远非详尽无遗。让我们提醒一下，MF-DFA的主要成分是时间序列信号在大小τ的窗口内围绕其局部趋势的q加权值Fq(τ)。更准确地说，它被定义为已在DFA中使用的F(τ)的q阶矩(q∈R)，对于Q6=0,Fq(τ)=(2n2nxk=1[f(τ,k)]q/2)1/q(6),对于q=0,f(τ)=exp(4n2nxk=1ln[f(τ,k)])(7)。在MF-DFA中，幂律关系Fq(τ)=τh(q)(8)是广义Hurst指数h(q)[17]的基础，方程（8）与方程（3）一致，因此h(2)=h返回主Hurst指数值。多重分形性质可以作为多重分形谱(α,f(α))[9]，也被称为h-旧的描述。这两种描述通过关系式[55,56]α(q)=h(q)+QH′(q),f(α)=q(α-h(q))+1(9)联系在一起。通常用h(q)谱的展开即:Δh=h(-q)-h(+q)，(q>0)或用多重分形谱的宽度f(α)，Δα=α(-q)-α(+q)来计算多重分形的强度，这两个量在极限q→∞处重合。在平稳信号的情况下，h(q)具有单调性[17]，谱f(α)具有倒抛物线形式。它的spreads对应于Δα值。值得强调的是，多重分形是一个值得深入研究和应用的有趣而有前景的现象。另一方面，在许多实际情况中，区分系统的“真实”多重分形性质和直接由基于MF-DFA的记录所产生的“明显”多重分形现象是非常微妙的，而且通常是非常困难的任务。

最近，人们发现了一些与所谓的虚假和破坏多重分形有关的新特征[57]-[59]。结果表明，多重分形信号中的加性白噪声或色噪声、短期记忆或周期性的存在，可能会显著地改变其所有数据长度的观测多重分形特性。这种干扰的加入通常存在于许多复杂系统的观测记录中：物理、科学、生理学、地质学、气候动力学、网络传输等。所有实际序列也包含数据集合。由于短信号中的统计量较小，与多重分形性质无关的偶然结果也会影响到结果函数FQ，甚至可能超过与多重分形性质有关的结果。另一方面，由于MF-DFA算法可能无法将短时间序列中的大值与被剔除的长趋势区分开来，因此可以抑制短时间序列中大值的存在。在这两种情况下，与长得多的信号所获得的相应值相比，所观察到的φhspread都增加了。这就提出了一个关于多重分形的限制的问题，在自相关或不相关的数据中，即使它们没有受到前面提到的附加分形的污染，它们也是自然地被标记的。原始数据的非线性变换也具有注册的多重分形性质，通常会放大它们。因此，在复合系统的“真”多重分形图像和观测到的数量性质之间的联系，即使在系统中没有多重分形，也可能表明多重分形的存在，这仍然是一个有趣的和尚未完全理解的问题。这显然取决于用于量化多重分形现象的技术。本文将MF-DFA作为一种常用的时间序列多重分形特征的研究方法，对MF-DFA方法中观测到的时间序列多重分形特征进行了深入的研究。在文献中已经提到了多重分形中的尺寸。[60]。此后，几位作者探讨了这一问题（参见参考文献[58，61，62])，但尚未对这一现象进行一般性研究。本文将特别强调由信号中的长记忆和对初始单分形数据所做的基本变换引起的明显的观察到的多重分形e-ects的放大，这些e-ects应与虚假或损坏的多重分形区别[57,59]，即给定的数据序列被各种e-ects污染，如噪声、短期记忆、信号中的周期性等，改变多重分形pro h(q)或f(α)谱的形状。后者E在所有长度的数据L上都具有Willa的ECT多重分形，而当L→∞时FSE将消失。注意，在实践中，人们总是处理数据集，因此，如果在MF-DFA中获得的结果表明系统中的多重分形性，则人们应该确切地知道它们的coondencee水平，即:ΔH6=0或Δα6=0。在我们的会议论文[63]中已经对这一问题进行了初步的定量分析，多重分形时间序列将包含多重分形FSE偏差（即与这些序列的多重分形性质无关的广义Hurst指数值的阈值扩展），至少类似于长度和持续程度相似的复杂得多的单分形序列。对于合成生成的单分形数据，我们将处理更简单、涉及参数更少、更清晰的数据，作为在各种信号中寻找最小多重分形FSE偏置阈值的工具。本文从广义Hurst指数(q)的分析入手，对单分形级数中的FSE进行了描述。然后在第3节中把这一描述推广到termsofδα中的多重分形谱的另一种方法。

这两节都给出了门限值的详细分析，在门限值下，复杂系统的多重分形性质是显而易见的。第四节讨论了线性变换数据的相应的半分形现象。从实际的角度来看，一个有趣的现象是单分形数据中的非线性变换所产生的多重分形偏差，在第5节中描述了这一现象。如果只有来自这些系统的易失性系列数据，人们必须知道这种偏差的强度，才能在原始的、未变换的数据（以及一般的非复杂系统）中获得多重分形性质的证据。2基因r ali Hurst指数的性质从广义Hurst指数[17]的角度出发，定量地描述了非相关数据和显式自相关引起的长记忆时间序列的多重分形背景的预期水平。我们的方法是基于傅立叶滤波法(FFM)[64]，它直接在自相关指数γ的各自选择中对存储层进行整形（见式（1））。为了检验FFM在生成具有给定持久性水平的时间序列时的准确性，我们检查了在精心构造的序列中复制预先假定的自相关性质的过程。由等量引起的缩放。（8）也是非常令人满意的（见图2）。MF-DFA技术的性能严格依赖于q----序值Fq(τ)与盒尺寸τ之间的幂律标度（见等式（8））。精确地提取广义赫斯特指数h(q)需要很好地确定线性对数Fq(τ)对数τ的标度范围，这是由等式（8）中的幂律引起的。在图2中给出了不同信号区长度对变形参数q值的期望幂律依赖关系。我们考虑了数值生成的长度为L=2n，(n=9,10,..,20）的单分形时间序列的系综，其自相关指数值γ=0.1,0.2。.、0.9、1.0，每个都包含10个独立的实现。因此，γ指数的分布均匀覆盖在1/2≤H≤1范围内。每一个得到的数量都是在这样的统计集合上平均的。广义Hurst指数profectionle h(q)的widthΔh被限制在边值q=±15。注意，-15≤q≤+15的范围足够大，可以检查从大到非常小的数据的多尺度特性（见图3）。关键的数值数据以图4-7中的一系列图表示，其中h±h(±15)和qh-h+，(h->h+)。首先，对不相关的艺术数据进行了研究。它们是从高斯分布(γ=1)中得到的，也是独立地得到的自相关信号。图4a给出了两种不同长度的时间序列:L=2和L=2的广义赫斯特指数h(q)的边值h±.这些图不仅说明了Shuing过程得到的结果与高斯分布相同（这是应该预料的），而且还揭示了H±s值对数据长度的依赖关系。中间长度的相应图没有显示出来，因为它们看起来在性质上是相同的，即h±s不随γ变化，而h±s依赖于L。这样，对于没有记忆的信号，可以研究广义Hurst指数对数据长度的铺展量Δh（见图5a)。

在对数-对数尺度上绘制的数据证明了在一定的实常数Candη下，θhh(γ=1)与数据序列长度Lh(L)=cl-η(10)之间存在幂律依赖关系。接下来，在保持L不变的情况下，我们转而研究长记忆单分形信号的h(±15)边值与自相关指数γ的关系。对于选择的长度L=2和L=2，这种依赖关系的例子如图6a所示。剩余长度的情况（由于空间不足而未显示）已经由我们检查过，看起来类似。它们都表明在整个γ值范围内h(±15)与γ之间存在极好的线性关系。因此，我们得到了Δh(γ,L)=A(L)γ+B(L)(11)，其中A(L)和B(L)仅是L的函数。边界条件，即Δh(L)和Δh(L)h(γ=0,L）的形式允许指定这种关系的几何形状。在γ=0的FFM方法中，由于存在奇异性，所以不能直接求出profielle@h(L)。因此，我们对所有长度的线性esh(±15)对γ进行外推，直到γ→0点，以得到ΔH(L)值的集合。它如图6a所示。图7a中的对数-对数标度与时间序列长度的关系图表明，对于完全持久的时间序列(γ→0，在方程（11）中插入方程（10）和方程（12）,我们得到了对方程（11）的解析式。在实际应用中，对于由FSE引起的多重分形偏置和由于数据中存在长内存而引起的多重分形偏置，95%的增益电平的形状是很重要的。其公式相同，但根据1σ不确定项σcp，σηp与cp和ηp参数的关系计算，其中p=0,1分别对应于边界条件γ=0和γ=1。其中还必须包括从系列统计中产生的标准差。式（10）和式（12）中给出的公式必须用特定的95%偏置水平取f=1.65的φh95%p(L)=Cpexp(f(σcp+Sp))l-ηp+fσηp(14)来代替。引入c95%p=Cpexp(f(σcp+Sp))(15)和η95%p=ηp-fσηp(16)的符号，得到多重分形FSE偏置的95%偏置水平pro=φh95%(γ),L)=c95%l-η95%γ+c95%l-η95%(1-γ)(17)对于所有输入等式（15）和等式（16）的不确定项的10个单分形时间序列进行统计的最佳结果如表1所示。这些结果也可概括为图8。在单分形数据序列中，以γ值表示的persistencylevel为函数，在95%Cound水平上计算出FSE多重分形阈值。点水平线表示的阈值完全与FSE相连，而不是由数据中的最终自相关引起的a。连续倾斜直线描述了由存在的长期记忆放大的FSE多重分形阈值，并由等式（17）预测。当广义Hurst指数的分布进入这条线以上的区域（在95%的范围内）时，对于连续的givenlength序列才可能出现“真”多重分形，这种多重分形与系统中各种标度指数的存在有关。这一结果从数量上澄清和推广了文献[58]中关于这种阈值存在性的陈述:CηCηC95%η95%C95%η95%0.6030.1750.4530.1240.6310.1710.4840.120表1：根据等式（13）和（17）对描述多重分形非持久性时间序列的FSE阈值的COE收集的结果。3在多重分形谱分析中，前一节的所有内容都可以很容易地转化为f(α)奇异谱性质。

文献中认为多重分形谱宽Δα是衡量多重分形的另一个有用尺度。类似于ΔH(L,γ)分析，人们可以要求多重分形谱宽度Δα与信号长度L及其持续水平γ的依赖关系。这些结果是通过应用于前面讨论和计算的广义Hurst指数值的等式（9）得到的。图3b给出了单分形信号的多重分形谱(α，f(α))的例子，并给出了强自相关信号、中自相关信号和弱自相关信号的三种情况，表明了两种不同长度的数据:L=2和L=2。与前面一样，本文将检验随机信号(γ=1)中获得的Δα特性。图4b显示了α参数的最小αmin、最大αmax值，表明其对γ缺乏依赖性。这再一次证明了舒ing手术的可行性。与Lobeys之间的依赖关系是图5b所示的幂律关系式，其常数为d、ζ。这一关系式的95%符合水平由类似于等式（14）的等式给出，αmin/max被视为γ的函数的边值在图6b中给出了特定长度L=2和L=2的边值，以与图6a中h(±15)的前一个定义相对应。对所有其他长度（未显示）的线性依赖性也被观察到。一旦我们重复了我们在第2节中所做的与对Δα(L,γ)依赖关系相同的方法，并考虑到第二边界条件Δα(L)ΔΔα(L,γ=0)（见图7b)，我们就得到了描述多重分形谱宽度特征的公式，类似于方程（13）中的公式，即Δα(γ,L)=dl-ζγ+dl-ζ(1-γ)。（19）表示FSE多重分形阈值的95%一致性水平的该公式的推广，再现了等式（17）的结果，将分别读入Δα95%(γ，L)=d95%l-ζ95%γ+d95%l-ζ95%(1-γ)(20)在H旧描述中，对于持久和不相关数据的FSE多重分形阈值的定义coe_cients的值收集在表2中。相应的阈值如图8所示（见右轴）。dζdζd95%ζ95%d95%ζ95%0.6860.1290.572 0.0890.7840.1200.6700.079表2：用多重分形扩展量来描述持续和不相关时间序列的多重分形FSE阈值的结果（见式（19）和（20））。4.多重分形的大小对早期转化的医学数据有许多实际数据的记录，直接从等式（3）或等式（8）中分析初级时间序列的幂律可能是非常重要的。例如，它是一个情况下，当XT包含somelarger的结果或非平稳性。对累积或集成（在连续情况下）数据的讨论，即xtptt=1xt，通常会减少我们必须面对的问题的规模。另一方面，现实的时间序列在时间上变化非常缓慢。在这种情况下，直接从级数增量来研究其内部结构是比较方便的，而不是从级数增量来研究其内部结构。在某些应用中也实现了初始数据的其他更复杂的非线性变换（例如，波动性）。因此，人们可能会问，上述变换是如何解决前文所述的多重分形FSE偏差的形成，特别是非线性运算后数据序列的多重分形性质的。我们在这一节中讨论数据的积分和离散化问题，这两个问题都是以离散的方式表示的。

下一节讨论了基本的非线性变换的情况，而对更复杂的非线性变换的扩展在我们单独的出版物[65]中进行了数值处理。对变换前塑造initialdata持久性水平的同一组输入参数进行了分析，即γ=0.1，0.2，..，0.9，1.0和10个固定长度的模拟时间序列(L=2，2，..，2，2，2，2)的相同统计序列。为了区分变换级数所得的数量与变换前数据计算的初等量，我们引入了分别对应于数据初等级数积分或离散的指数(c)和(d)。本文给出了单分形序列经积分(HC±)或离散(HD±)后得到的广义Hurst指数的边值，以及图6中重复的原始序列的结果。它们是由长度为L=2,2和2的FFM中的三个有限生成级数的γ指数的函数（见图9）。我们看到，对于这两种变换，我们都用新的coe cients Ac(d)L)和Bc(d)，再现了方程（13）对γ的线性依赖关系，即hc(d)(γ,L)=Ac(d)L)γ+Bc(d)L)(21)。与原始数据相比，积分级数的广义Hurst指数的范围更宽，而二分级数的广义Hurst指数的范围更窄。方程（21）中公式的边界条件可以用与前面第3节相同的方法找到。对于完全自相关的数据，在图9中使用了外推到γ→0的方法。通过这种方法我们可以揭示出@hc(d)(L)和@hc(d)(L)关系，如图10、11所示，它们具有与等式（10）和（12）中未变换数据相同的幂律形式，即:hc(d)L)=Cc(d)l-ηc(d)(22)和hc(d)L)=Cc(d)l-ηc(d)(23)，从而导致关系式sac(d)L)=Cc(d)l-ηc(d)(24)Bc(d)L)=Cc(d)l-ηc(d)(25)上述关系式中的coe的结果收集在积分级数的表3和di级数的表4中。在95%的控制水平下，用类似于第2节的方法计算的结果也被指出。这些值完全决定了变换后的单分形级数的FSE多重分形，可以简单地用等式（13）和（17）中相应的coe替换为Cc(d)p，ηc(d)p，CcηCCCηCCC(95%)ηC(95%)Cc(95%)ηC(95%)0.5800.1010.7010.1080.8130.1220.7360.112后总结出来。表3：表4：表4的结果。（22）和（23）描述了在10个独立实现的集合上完成的集成数据的多重分形FSE偏置。Cdηdcdηdcd(95%)ηd(95%)Cd(95%)ηd(95%)133.565 0.885 7.7530.539 134.267 0.952 7.930 0.555表4：表4的结果。（22）和（23）描述了在10个独立实现的集合上完成的增强数据的多重分形FSE偏置。将这些参数转换成H旧的奇异性谱性质是直接的。一旦重复连续的步骤，我们就得到了图右侧所示的一系列孪生图第9-11条。它们将多重分形FSE偏差的期望水平与信号数据的长度L联系起来，并将其持续水平γ:αC(d)(γ，L)=Dc(d)l-ζC(d)γ+Dc(d)l-ζC(d)(1-γ)。（26）在这里，同样的符号使指数(c)或(d)与累积或间接数据的情况有明显的对应关系。表5-6收集了在等式（26）和它的扩展中出现的95%符合标准的参数值。图12中的图表收集了来自MEQS的半解析公式的结果。（21）,（24）,（25）。

这里用与图8相同的表示法，DcζCDCζCDC(95%)ζC(95%)Dc(95%)ζC(95%)0.6630.0930.8330.0930.7450.1000.8600.096表5：表6：方程（26）中的coe-cients的结果描述了在10个独立实现的集合上进行的积分数据的多重分形FSE偏差。方程（26）中的coe-cients的结果描述了在10个独立实现的集合上进行的积分数据的多重分形FSE偏差。5基本非线性变换引起的多重分形已知，即使初始数据是完全单分形性质的，非线性变换也会引入一个额外的多重分形E ect[66,33]。人们应该确切地知道非线性操作在数据上引入的多重分形性的水平，因为人们在许多实际应用中处理已经转换的数据--例如，作为波动性。特别是，如果只有能够揭示多重分形性质的变换序列，那么在原始未变换数据中发现多重分形性质是一个很大的挑战。这一问题将在下文讨论，在这一节中，我们将只讨论时间序列增量的两种非线性变换:ΔXI→ΔXI和ΔXI→(ΔXI),它们是波动率序列建模的基础。我们的目标是对由这些变换产生的多重分形序列的数值模拟结果进行半解析分析。对于不同长度的单分形数据和不同的长期记忆水平，这将像以前一样进行。在这一点上，我们扩展了文献[66]中对Δxi→(Δxi)变换的分析，如前文所述，我们开始绘制变换数据的多重分形边，以特定的级数长度对自相关参数γ。这些关系是在图1中对“xi→xi”和“xi→(xi)”变换提出的。对于数据序列长度L=，分别为13、14。...,2.这些图表中可见的统计不确定性是在5·10独立产生的持续时间序列的集合上计算的。对于转换和所有数据长度，都注意到两个区域的明显区别。我们看到，在左区，边缘值H±(γ)随γ非线性下降，而在右区H±(γ)保持不变。在进一步分析中，上述区域间的交点应记为γ*±，其中？对应于H±(γ)点。在计算主Hurst指数H的情况下，在[66]中已经讨论过对于δxi→(δxi)变换的交点γ*H，并得到γ*H=0.5的值。为了确定多重分形情况下的交叉点，我们给出了图15，其依赖关系为γ±(L)。我们可以清楚地看到，随着L的变化，γ*±γ值变化很弱。对于Δxi→(Δxi)变换，γ*-增加到γ*-≈0.6,而γ*+下降到γ*+≈0.42。对图所示的星等变换(Δxi→Δxi)进行了定性和定量的相似观测。15a.交叉值γ*-在这里保持不变(≈0.6)，而γ*+≈0.5。为了确定确切的多重分形扩展线@h(γ，L)，让我们转向区域γ>γ*。在这种情况下，@h(γ>γ*,L)h-(γ>γ*-,L)-h+(γ>γ*+,L)用于图中的两种考虑的变换。16.这些图表明，对于图16b，c中的两种变换来说，关系式是ΔH(γ>γ*,L)=Cl-η+ζ,（27）,其中ΔH(γ>γ*,L)-ζ在对数-对数尺度上与L成线性关系。不出所料，非线性变换增加了一个多重分形E-ect，它与FSE相反，在一定长度内不会消失。因此，多重分形的宽度受其渐近值(ζ）的限制，仅依赖于所应用的非线性变换。7用于考虑的两种转换。EQ的修正结果。

（27）以及它的95%的统计值在图16a中给出（见顶部的蓝色曲线）。参数ζ可以解释为通过非线性变换所引入的多重分形ECT的实际量。我们可以清楚地看到，标度参数η以及在L→∞极限处的渐近值ζ,对于Δxi→(Δxi)变换具有较高的值。因此，后一种变换引入了更强的观察到的多重分形E。变换CηζC95%η95%ζ95%xi→xi1.6990.3760.0402.0120.3740.043‰xi→(xi)16.4040.6430.11817.0310.6320.126表7：通过对等式（27）求出的参数值，以及它们的95%预测水平，是由统计和预测未知数得出的。人们也可以尝试半解析地描述γ<γ*区域。我们从无花果的一系列图中发现。13,14,在此区域中，q′-指数公式是求解非线性下降H±(γ<γ＇)H±(γ<γ＇±，L)=H±(γ>γ＇±，L)expq′{-a±(L)(γ-γ＇±)}（28）的最佳候选公式，其中[67]expq′(-x)=H1-(1-q＇)xi1-q＇(29)通过使firift的均方误差最小，对于两种考虑的变换，q′′=1.6。数值A±(L)决定多重分形边缘H±γ的q′-指数衰减的形状，γ±±γ是H±γ的非线性和常数行为区域之间的实际交叉点，而数值A±(L)决定了多重分形边缘H±γ的q′-指数衰减的形状，而γ±(L)则决定了多重分形边缘H±γ的非线性和常数行为区域之间的实际交叉点。交叉值收集在表8中。17和18证明了对于这两种变换，在统计不确定度范围内a±(L)都可以取为常数。因此，γ<γ*与数据长度的依赖关系完全由扩展的σh(γ>γ*,L）决定。表8:q-指数公式(eq.(28))中的γ-±(L)参数与95%(L)γ*+95%(L)γ*-95%(L)γ*-95%(L)@xi→q-xi0.520.630.530.63±xi→q-xi)0.400.610.420.61参数的结果，以及95%(L)水平的对应值均归入表9.表8：q-指数公式(eq.(28))中的γ±(L)参数的结果。参数的不确定度为±0.01。变换a+a-a+95%a-95%xi→xi0.95±0.83±0.94±0.84±xi→(xi)0.87±1.02±0.84±1.03表9:q-指数公式（方程(28))中的a±(L)参数和95%的控制水平阈值的结果。q′不应与MF-DFA方法中出现的q混淆；传统的g四舍五入表示法在sa ke中也使用了类似的表示法。这里指的是将等式（2 8）独立于由时间序列的5·10个独立模拟的统计不确定性调整的数值估计值H±(γ<γ±±L)。（27）和（28）对于不同长度的数据而言，在persistencylevelγ上的persistencylevelγ的依赖关系在图中给出。19.γ高于和低于交叉值时，存在明显的两种行为。由于两个交叉值不重合(γ*+<γ*-)，过渡区是可见的。6结束语在本文的第四部分，我们定性和定量地说明了在单分形序列中观察到的多重分形序列是如何出现的。这种多重分形，我们称之为多重分形偏差，应该与记忆依赖于时间尺度而引起的“真正的多重分形”区别开来，从而与数据在不同时间尺度上的尺度特性有关。本文给出的定量研究结果进一步推动了文献[58]中所提出的广义Hurst指数扩展的研究，即如果获得了σh=0.2，σα=0.3，则不能说明多重分形性。虽然foundresults明确地指合成的单分形序列，但它们在实际应用中是重要的，在实际应用中通常观察到多重分形数据。