多企业投资网络中的最优抵押品

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另外请注意，某个投资机会的抵押品xkicannot a改变了任何参与者对投资机会的效用，除非抵押品的这种变化导致参与者i改变了对投资的决定xki（来自任何其他投资的效用是投资项目的函数，而不是抵押品的明确函数，投资项目反过来又是策略项目的函数，而不是抵押品的明确函数）。引理8（剩余的边形成圈）：考虑引理7所描述的过程，输入为{n,X,Z,a}，图G=(V，E)，由在该过程中未消除的这组边所诱导的子图表示。如果Gis不是空图，那么Gis中的每个顶点都是G中有向圈的一部分。证明：矛盾地假设在G中存在一个不属于任何直接循环的顶点vin G，那么，在G中存在一个“死端点”，即有零输出度，或者在G中存在一条从VT到死端点的路径。在任何一种情况下，死端点的策略都可以被消除，因为它在原始网络G中的所有输出边都是被投资的，因此它不是默认的，并且在所有投资中更愿意与完整的抵押品合作。这是一个矛盾，因为在迭代分界过程中没有消除这些策略。引理9：当且仅当存在一个非平凡子图，其中每个顶点都是cyclevertex，并且对于该子图中的每个企业，该企业的成本高于该子图外所有投资于该企业的参与者的投资。证明：假设一个唯一均衡不能由抵押品诱导。引理8证明，在对满络的支配策略进行迭代消除后，仍然存在一个子图，其中每个顶点都是GN中循环的一部分，并且不能消除其他策略（对应于G的边）。自相矛盾地假设有一个顶点vin G，该顶点的企业成本低于或等于子图Gwho以外所有参与者的总投资。由于迭代消除了G以外的所有投资（对应于边），具体来说，在Gare以外的VTO顶点的所有输出边都投资于边。因此，企业的成本是完全覆盖的，而不是默认的。由于在G中的循环顶点上，她认为另一个企业的投资机会是G，因为没有违约，并且有这个投资机会的全部抵押品，所以她对这个投资的策略可以被取消（她更喜欢合作），这与取消后剩下的子图是相反的。另一方面，如果我们假设一个唯一的均衡可以由抵押品诱导，那么存在一个非平凡的子图Gin，它的每个顶点都是一个循环顶点，并且对于Gn中的每个企业来说，该企业的成本高于Gn以外的所有参与者在该企业投资的总投资，这无疑是矛盾的。因为对于GInvestments中来自Gnant外部的每个顶点，如果Gdefect W.R.T.中的所有其他顶点，则Gis中的每个顶点都默认为Gdefect W.R.T.他们所有的投资机会，因此更喜欢为了suchstrategic profections而叛逃。因此，在G的边所对应的所有投资机会中，没有一个投资机会是可以消除的。由于命题2，这与唯一平衡的存在是矛盾的。

证明：（命题3）：我们证明了该命题所描述的迭代过程在投资博弈中等价于完全押注严格占优策略的迭代消除，到达空图等价于到达全合作策略Profigure,从而引理7证明可行押注矩阵存在当且仅当迭代过程到达空图。承担所有投资的全部抵押品。非企业参与者（图表中的尖峰）有一个主导策略来投资他们所有的投资机会。在消除这些策略后，如果我们假设有可能通过抵押品诱导一个唯一均衡，那么存在一个企业参与者k，她的一个投资按迭代消除的顺序紧随其后，并且她已经筹集了su-cient资本来避免违约（否则她更愿意叛逃）。由于有充分的抵押品，不是无违约的玩家k更喜欢投资她所有的投资机会。在这种情况下，如果我们移除k并将k拥有的每一个投资机会从一个新的尖峰节点中替换为相同的机会，则按消除顺序排列的决策就不是a的，因为在这两种情况下，这些相同的投资都成功地执行了（没有缺省）。同样的道理也适用于按消去顺序的下一次投资，一旦我们在迭代消去的末尾达到全合作策略，命题中描述的迭代过程已经移除了原始图的所有顶点。另一方面，如果我们假定不可能通过抵押品诱导唯一均衡，那么，根据引理9，存在一个平凡的子图，其中每个顶点都是循环顶点，对于该子图中的每个企业，该企业的成本高于该子图以外的所有参与者投资于该企业的总投资。在这种情况下，该命题所描述的迭代过程不能到达空图，因为在迭代过程中不能删除该子图中的任何顶点。B附加证明1第3节的证明：（引理1）：假定xki+pj∈Akxj≥zk1+αk-。由于CKI=0，如果玩家i投资，那么UKI=RKI。由于单调性，如命题1所述，可以证明，如果只有参与者AKé{i}投资，则RKI≥xki（单调性表明Rkican只随更多参与者的合作而增加）。即我们需要证明rki=max0,xki(1+αk)→1-zkxki+pj∈Akxkj≥xki。根据我们的假设，(1+αk)→1-zkxki+pj∈Akxkj≥(1+αk)→1-zkzk(1+1/αk)=1，因此Rki≥xki。因此，玩家i更喜欢合作。其次，确定只有玩家AKé{i}投资，UKI≥XKI。同样，当CKI=0时，如果玩家i投资uki=rki，企业返回玩家i的结果是:rki=xki(1+αk)[1]zkxki+pj∈Akxkj≥xki。AsZk，αk>0，这就引出方程（4）。证明：（引理2）：假定xki+pj∈Akxkj≤zk。企业k给玩家II，如果她投资k的回报是:max0，xki(1+αk)1-ZKXKI+PJ∈AKXKJ。玩家i的效用等于scki，所以我更喜欢只与一个完整的抵押品合作。接下来，通过矛盾假设xki+pj∈Akxkj>zk。企业对i的回报为:rki=max0,xki(1+αk)1-zkxki+pj∈Akxkj→>0。玩家i从k得到的回报为非零。我们可以选择cki=xki-rki，然后选择uki=xki，acontradiction。因此，方程（5）成立。证明：（引理3）：对于j S.T。xkj=0根据规定抵押品为零，该语句成立。接下来，对附带最小化问题的任何解决方案c进行搜索。注意，这样的解也是一个极小的附带矩阵。用K表示与企业K中的投资机会相对应的边集（K的出边），用FK表示K中所有边集，其中K给出完全抵押品。

设σ为占优策略迭代消除边的一阶。考虑参与者i，使得(k，i)是k（边(k，i))中按σ顺序的投资机会。以投资边的Aithe集表示，当σ中(k，i)之前的所有边都是合作边，σ中(k，i)之后的所有边都是缺陷边，且denoteaki=aik。玩家i严格地倾向于合作W.R.T。因此她不可能违约（否则我宁愿叛逃）。如果i∈FK，则该陈述对此边成立（i有完全抵押品）。否则，如果xki+pj∈Akxkj≤Zk，那么，通过引理2，i也必须得到完全侧边，是对i/∈fk的一个矛盾。因此，当输入为整数时，XKI+PJ∈AKXKJ≥Zk+1,因此对于αK>Zkit认为XKI+PJ∈AKXKJ≥Zk+1>Zk(1+1/αK),引理1意味着激励玩家i合作的最小旁枝为零。这一论点对以σ为顺序的k的所有下列投资都成立。由此我们得出企业k中每个投资机会的最优解不是完全的就是零。B.2对第4节的证明：（引理4）：由引理1,i有一个严格的最优答复合作蕴涵xi+pj∈axj≥z1+α.在玩家i加入并进行合作后，对于每一个玩家m/∈A{i}，它持有XM+XI+PJ∈AXJ≥Z1+α，因此，根据引理1，玩家m有一个严格的最佳回答，可以在零次的情况下进行合作。证明：（命题4）：固定玩家的任意顺序σ。对于σ是导致全合作均衡的严格占优策略的迭代定界顺序，我们要求玩家σ有一个严格占优策略来合作，并且假定σ合作，玩家σ的严格最佳回答是对玩家σj>2的任何行动进行合作，使用等式(1)，这就得到了下面的一组方程组:Cσi+Rσi=Cσi+max0,Xσi(1+α)→1-zpσj≤σixj≥XσiCσi≥xσi-max0,Xσi(1+α)→1-zpσj≤σixj，其中等式是因为最坏的情况下企业回报RσIto玩家σi，当只有在她之前的玩家和她自己合作时，如果她合作，那么在这种情况下，她的回报至少是xito使她更愿意投资。通过非负保络的假设，我们得到:Cσi≥xσiH1-max 0,min 1,(1+α)→1-zpσj≤σixji,其等价于:Cσi≥xσi·max 0,min 1,1-(1+α)→1-zpσj≤σixj,等价给出了每个玩家σi的最小保络。证明：（定理1）：方程（7）直接从命题4中得到，条件是A中的玩家按优先策略迭代消除的顺序出现（任意顺序），然后是B中的玩家，其指数按递增顺序排列。在投资金额相等的玩家子集的情况下，迭代定界σ的顺序总是可以置换的，使得每个这样的子集中的玩家将按照其指数的递增顺序排列。这个操作不改变对称的押注和。现在考虑一个最优解，其中A是具有完全押注的玩家集，而B=AC。如果B中只有一个玩家，则B中玩家排序的条件很小。如果B中至少有两个玩家，为了矛盾的目的，假设条件没有被充分利用。然后，有两个玩家il，iswith investments l>s，按照迭代消元的顺序为连续的玩家，即σil=σ=+1。

我们将证明，对于这样的一对棋子，以下成立之一：（一）两个棋子的抵押品都为零，它们可以按σ的顺序切换，而不需要累加抵押品之和；（二）所有抵押品之和可以通过切换这两个棋子在σ中的顺序并通过命题4重新计算抵押品来减少，这导致了与最优性假设的矛盾。在棋子的抵押品为零的情况下，从引理4来看，棋子的抵押品也为零的情况下，从引理4来看，棋子的抵押品为零的情况下，从引理4来看，棋子的抵押品为零的情况下，棋子的抵押品也为零。此外，由于l>s，从引理1中可以看出，在替换后计算出的最小侧向量中，有可能将Island和ilin的阶转换为σ，并且侧向量仍然为零，这两个侧向量中的每一个侧向量都是可能的。剩下的情况是两个玩家都有正抵押品的情况，以及isis的抵押品为正和ilis的抵押品为零的情况。注意，由于玩家isand Ila是顺序σ中的连续玩家，根据命题4，如果我们在isand Il之间切换，在他们之前或之后的其他玩家的抵押品在σ中不会改变。因此，从这样的替换中，唯一的di和erence在总的抵押品中是di和erence在这两个球员的抵押品中。以递减顺序σIL<σisby成本(l，s)表示两个参与者的抵押品之和，以我们假定的成本(s，l)表示两个参与者的抵押品之和，并表示所有参与者j，s，t的投资之和。σJ<min(σIL,σ为）为x。当两个络脉均为正时，两个代价分别为：代价（l,s)=l[1]-(1+α)1-ZX+l[+s]1-(1+α)1-ZX+l+s]和代价（s,l)=s[1]-(1+α)1-ZX+s[+l[1]-(1+α)1-ZX+s+l]。条件是:cost(s，l)-cost(l，s)=z(1+α)(s+l+2x)sl(x+l)(x+s)(x+l+s)>0。如果第一个玩家的抵押品为正，而第二个玩家的抵押品il为零，则:cost(s，l)=s[1]-(1+α)1-zx+s]，以及：cost(l，s)=l·max 0,[1]-(1+α)1-zx+l[l].成本（s,l）-成本（l,s）为:s[1]-(1+α)1-Zx+s[1]>0，或:(L-S)[α+Z(1+α)(X+s)(X+l)>0。因此，在弱意义上，我们总是可以通过按迭代消去的顺序切换任何一对具有部分抵押品的连续玩家来减少所有抵押品的总和，从而使指数最小的玩家（因此投资金额较大或相等）获得抵押品。证明：（推论1）：当xa≥xb时，根据我们可以在最优解a<b中假定的定理。因此，每美元抵押品满足:①1-(1+α)1-zxa+pj≤axj>③1-(1+α)1-zxa+pj≤bxj.即玩家a的每美元抵押品较高。由于a的投资额至少等于B的投资额，所以a的绝对抵押品和每美元抵押品都高于B。证明：（引理5）：确定抵押品最小化问题的任何最优解。表示Bys*在该解中具有完全抵押品的玩家集合。其他的玩家有零抵押品，引理3。假设存在一个具有严格大于不在S*中的任何投资的投资的Il∈S*。假设任何玩家都是/∈S*。它有一个投资<L。表示X=(Pi∈S*XI)-L。由于S*是一个解决方案，因此与零抵押品配合。ByLemma 1:s+(X+l)≥Z(1+α)。即l+(x+s)≥Z(1+α)。因此，如果我们切换iland is的零和全抵押品，根据引理1，两个参与者仍然倾向于投资，根据引理4，其他人跟随，但总抵押品是x+s，小于x+l，这与最优性假设相矛盾。证明：（引理6）：回想一下（均匀）背包问题得到的是输入整数{xi}ni=1和一个整数阈值r，并要求在约束条件下，在pi∈sxi≤r下，找出一个使pi∈txiis最大化的indecis集T。表示X=pi∈[n]xi。

集合T是阈值为r的背包问题的解当且仅当集合K=[n]\\T是阈值为T=x-(r+1)的逆背包问题的解。