多企业投资网络中的最优抵押品

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摘要翻译：
我们研究了一个网络上的投资市场，其中每个代理（顶点）可以投资于与她相关的任何企业，同时从与她相关的其他代理那里为其公司的企业筹集资金。未能筹集到足够的资本导致公司违约，无法投资于其他公司。我们的主要目标是研究抵押品合同在处理战略风险方面的作用，这种风险可以在一连串违约中传播到整个网络的系统性风险。本文采用机制设计的方法，求解了融资方提供给投资者的最优担保合同方案。这些契约旨在维持作为唯一纳什均衡的有效投资水平，同时使总抵押品最小化。我们的主要结果对比了网络环境和非网络环境（投资者和资本筹集者的集合是分离的）。我们证明，对于非循环投资网络，网络环境不需要任何额外的抵押品，系统风险可以通过筹资者和投资者之间的最优双边抵押品契约得到充分的处理。不幸的是，循环投资网络的情况并非如此。我们表明，双边契约不足以解决系统性风险，市场将需要一个外部实体为所有资本筹集者设计一个全球抵押品方案。此外，即使在简单的循环投资网络中，与相应的非网络环境相比，维持有效投资水平作为唯一均衡的最小总抵押品也可能任意地高。此外，我们证明了计算复杂性的结果，无论是对单个企业和网络。
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英文标题：
《Optimal Collaterals in Multi-Enterprise Investment Networks》
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作者：
Moshe Babaioff, Yoav Kolumbus, Eyal Winter
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory        计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Social and Information Networks        社会和信息网络
分类描述：Covers the design, analysis, and modeling of social and information networks, including their applications for on-line information access, communication, and interaction, and their roles as datasets in the exploration of questions in these and other domains, including connections to the social and biological sciences. Analysis and modeling of such networks includes topics in ACM Subject classes F.2, G.2, G.3, H.2, and I.2; applications in computing include topics in H.3, H.4, and H.5; and applications at the interface of computing and other disciplines include topics in J.1--J.7. Papers on computer communication systems and network protocols (e.g. TCP/IP) are generally a closer fit to the Networking and Internet Architecture (cs.NI) category.
涵盖社会和信息网络的设计、分析和建模，包括它们在联机信息访问、通信和交互方面的应用，以及它们作为数据集在这些领域和其他领域的问题探索中的作用，包括与社会和生物科学的联系。这类网络的分析和建模包括ACM学科类F.2、G.2、G.3、H.2和I.2的主题；计算应用包括H.3、H.4和H.5中的主题；计算和其他学科接口的应用程序包括J.1-J.7中的主题。关于计算机通信系统和网络协议（例如TCP/IP）的论文通常更适合网络和因特网体系结构（CS.NI）类别。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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英文摘要：
  We study a market of investments on networks, where each agent (vertex) can invest in any enterprise linked to her, and at the same time, raise capital for her firm\'s enterprise from other agents she is linked to. Failing to raise sufficient capital results with the firm defaulting, being unable to invest in others. Our main objective is to examine the role of collateral contracts in handling the strategic risk that can propagate to a systemic risk throughout the network in a cascade of defaults. We take a mechanism-design approach and solve for the optimal scheme of collateral contracts that capital raisers offer their investors. These contracts aim at sustaining the efficient level of investment as a unique Nash equilibrium, while minimizing the total collateral.   Our main results contrast the network environment with its non-network counterpart (where the sets of investors and capital raisers are disjoint). We show that for acyclic investment networks, the network environment does not necessitate any additional collaterals, and systemic risk can be fully handled by optimal bilateral collateral contracts between capital raisers and their investors. This is, unfortunately, not the case for cyclic investment networks. We show that bilateral contracting will not suffice to resolve systemic risk, and the market will need an external entity to design a global collateral scheme for all capital raisers. Furthermore, the minimum total collateral that will sustain the efficient level of investment as a unique equilibrium may be arbitrarily higher, even in simple cyclic investment networks, compared with its corresponding non-network environment. Additionally, we prove computational-complexity results, both for a single enterprise and for networks.
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2022-4-20 21:35:13 上传

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关键词：抵押品 投资网 Applications Architecture Coordination

多企业投资网络中的最优抵押品我们研究了一个网络上的投资市场，在这个市场中，每个代理人（顶点）可以向与其相关的任何企业投资，同时还可以从与其相关的代理人那里为自己的企业筹集资金。未能筹集到Su-Cient capital导致基金违约，无法投资他人。我们的主要目标是检验担保品合约（collateralcontracts）在处理战略风险方面的作用，这些风险可以在一连串的违约中传播到整个网络的系统性风险。本文采用机制设计的方法，求解了融资方与投资者之间的最优担保合同方案。我们的主要结果将网络环境与非网络环境（投资者和资本筹集者的集合不相交）进行了对比。我们证明，对于非循环投资网络，网络环境不需要任何额外的抵押品，系统风险可以通过筹资者和投资者之间的最优双边抵押品契约得到充分的处理。不幸的是，cyclic InvestmentNetworks的情况并非如此。我们发现，双边契约无法解决系统性风险，市场将需要一个外部实体为所有筹资者设计一个全球抵押品方案。此外，与相应的非网络环境相比，即使在简单的循环投资网络中，将维持作为唯一均衡的e-cient水平的融资的最小总抵押品也可能任意地高。此外，我们还证明了计算复杂性的结果，无论是对于单个企业还是对于网络。1引进公司和投资实体筹集资金进行有益的投资企业往往面临战略风险。投资者可能会拒绝投资，因为他们担心，由于其他投资者拒绝投资，投资者无法筹集资本。这可能会将投资游戏锁定在一个错误协调的平衡中。当这些投资在一个投资网络中相互联系时，这种战略风险会在整个网络中传播，并可能对整个市场产生影响。本文的目的是研究这种网络环境，揭示它们可能面临的系统性战略风险，并说明如何通过最优的担保方案来弥补这种风险的负面后果。与标准风险不同，标准风险可能来自于我们几乎无法控制的各种力量，战略风险是由于多种均衡而产生的，通常可以通过多种手段来缓解。在我们的背景下，这些激励措施将采取担保物的形式，担保物将保证投资，因此不会在均衡路径上支付。在A*的框架内，这项工作已发表在2022年ACM网络会议文集(www.\'22)上。https://doi.org/10.1145/3485447.3512053.\\microsoft Research,Israel。电邮:moshe@microsoft.com.…The Rachel and Selim Benin计算机科学与工程学院，以色列耶路撒冷希伯来大学。电子邮件:yoav.kolumbus@mail.huji.ac.il.§，英国兰开夏郡兰开斯特大学经济系。以色列耶路撒冷希伯来大学理性研究中心和经济系。email:eyal.winter@huji.ac.il。单一融资，投资者的战略考虑只涉及考虑该基础企业的其他潜在共同投资者的决定，以及他们的决定的后果。在投资网络的框架下，参与者的考虑范围更广。

投资基金不仅要考虑共同投资者的投资动机，还要考虑共同投资者的潜在资不抵债，而资不抵债又取决于其他投资者对该共同投资者企业投资的动机。我们对单个企业投资的正式模型假设，如果所筹集的资金足够高，以支付企业运营成本，那么筹资基金就会有某个企业承诺一定的回报率。有一组潜在的投资者，每个人都有机会在企业中投资一些投资者指定的金额，并需要决定是否投资。如果所做的投资不能覆盖运营成本，企业就会违约，投资者的回报为零。如果没有违约，那么企业的回报将按投资比例分配给投资者。因此，投资者对这些投资的负债仅限于其企业的成果，即使其拥有其他资金也是如此。为了消除可能使投资者不愿意投资的战略不确定性，向投资者提供抵押品合同，约束由战略风险引起的损失。目的是在投资博弈的唯一均衡中找到一个最优（最小总额）抵押品方案，保证所有投资者选择投资（因此不会发生违约）。我们的网络投资博弈模型扩展了单个企业模型，并存在违约级联的基本附加问题。与单个企业不同，在一个投资网络中，每个投资者可能有多个企业的投资机会，对于每个企业，她必须决定是否投资。此外，这些投资者中的一些人实际上是在为自己的企业筹集资金，如果他们不筹集Su CientCapital可能会违约。当一个基金违约时，它立即撤回所有投资，我们假设最坏的情况是违约基金的零回收，这在文献中很常见（参见，例如，[8，13])。我们假设网络是外生给出的，它代表了这些组织之间现有的业务关系。单个企业案例中最关键的问题是，已经违约的企业不能对其他企业进行投资，这可能会造成违约的混乱。因此，在网络环境中，每个投资者原则上不仅要评估其他共同投资者投资的动机，还要评估其中一些生态投资者可能违约和失败投资的可能性。网络抵押品问题寻求最优（最小总）抵押品方案，以保证在网络投资博弈的唯一均衡中，对于e-CientEnterprises子网络，所有投资者都选择投资于所有企业（因此不发生违约）。重要的是，这些抵押品必须克服违约连锁的系统性风险。有关模型的全部细节和对优化问题的正式认识，请参见第2节。我们的分析从描述这些最优方案开始，即那些在唯一均衡中最小化为维持e-cient投资的预期结果而提供的总体抵押品的方案。我们证明了当完全投资可以通过担保契约建立为唯一均衡时，一个最优方案产生一个优势可解对策。即通过严格控制策略的迭代消除得到唯一均衡（第3节详细介绍）。第4节主要研究单企业网络。我们刻画了最优方案，表明在这样的网络中一定存在最优方案。另外，我们还证明了n个投资者的企业的最优方案的求解问题是NP难的。然后，我们在第5节回到一般的网络游戏。

在研究网络环境的系统性战略风险敏感性时，我们的结果突出了循环网络和非循环网络之间的重要区别。当网络是非循环的时，我们证明了整个市场存在一个最优的担保方案，该方案可以表示为每个企业一个较小方案的集合，这样每个投资者承诺其潜在投资者的担保与假设这些投资者没有外部义务的担保是相同的，因此如果提供激励，所有投资者都可以投资。在设计抵押品方案时，投资者会把整个市场看成是由自己和潜在投资者组成的，而忽略了其他所有因素。给出了如何计算无环网络的最优方案和控制策略的迭代消除阶数。迭代的顺序依赖于网络的结构，在无环网络中，迭代的顺序由网络的拓扑顺序诱导。特别是，迭代从不持有自己的企业的投资开始，并以确保在做出每个决定时不再考虑违约的方式继续进行。从计算的角度出发，在每个企业最多有d个潜在投资者的n个非循环网络中，我们证明了该解可以在O(2ddn)时间内得到。特别地，当d是一个常数时，它是多项式的。不幸的是，在循环网络下，一个整体最优的抵押方案可能不能归结为一个最优方案的集合--每个企业一个。事实上，我们表明，对于某些（简单）循环网络，防范系统性战略风险所需的总抵押品要比仅考虑自身投资者时所提供的总抵押品高得多。这意味着，在循环网络下，防范系统性战略风险可能不是分散的，因为它需要外部实体来解决潜在的错误协调。此外，在循环网络中，完全投资是一个均衡，但对于任何抵押品方案都不能建立为唯一均衡。这些结果来自于这样一个事实，即向潜在投资者提供抵押品，忽略违约的可能性，并不是确保所有投资者都投资的一个重要工具。最后，我们证明了循环在计算方面引入了进一步的困难：我们证明了在循环网络中寻找一个最优抵押品方案是NP困难的，即使每个问题的解都是已知的。我们通过给出最小反馈顶点集问题的一个约简来证明这一点。关于进一步的细节，请参见第5.3节。文献讨论：在单个企业的情况下，我们的模型类似于[14]。两个模型之间的主要区别在于这样一个事实：在这里，我们通过不在均衡路径上支付的抵押品来保护投资，而不是通过对投资施加更高的利率来保护投资。另一个DI存在的Erence是在违约的原因中。在[14]中，当所筹集的资本总额低于一个随机阈值时，违约是随机的，并被分割。相反，当运营成本超过总投资资本时，违约就会发生。我们引入了更简单的单企业模型，使我们能够关注投资网络，而不仅仅是单个企业问题。文[4]研究了一个独立的单企业投资博弈。我们的模型和分析的基本特征。最重要的是，我们研究了具有异质投资者的网络环境，并考虑了这些网络的机制设计问题。系统性风险被广泛地研究在银行间负债网络的背景下。我们参考了两个关于这篇文献的调查[8，16]，并在下面提到几个更接近我们上下文的作品。

调查[16]将系统风险的来源分为两类：直接外部性和多重均衡系统中的自我反馈。我们的工作在概念上与后一种类型有关，然而，在系统风险文献中通常研究的均衡比我们考虑的概念更重要。在债务清算模型中，均衡与清算过程的一个固定点有关。在这个过程中，网络顶点（银行）不做决策。相反，在我们的环境下，投资机会网络引起投资者的agame,均衡是博弈的纳什均衡。本文研究的问题是在网络投资机会环境下，在复杂的多人博弈中如何设计激励机制，以获得期望的均衡结果。从这个意义上说，我们的方法与机制设计和算法机制设计[19]的方法更加密切相关，特别是与机制设计文献中研究在博弈中获得期望结果的最小干预模型（如[17，18])的工作更加密切相关。在[21]中，作者研究了在[20]模型下通过投资组合压缩消除银行网络中的网络周期的E-ect。他们对激励的讨论在概念上与我们的方法接近，但所研究的问题是直接的。[21]中的问题考虑了外部冲击引起的systemicrisk，本着[9，20]的精神，而我们研究的是投资者决策的战略环境，我们关注的是由战略风险引起的系统风险。银行负债网络和投资环境之间的另一个障碍是，在我们的环境中，银行对投资者的负债比银行更有限。这使得投资网络更容易受到系统性风险的影响，因为在投资者遭受损失的情况下补偿他们的义务越轻，意味着这些投资者偿还自己债务的资源就越少。[15]也讨论了周期在解决问题中的作用。他们的模型描述了除了负债之外还包括股权联系的银行网络，从而概括了[9,13,10]的模型。作者证明，在其模型中，可偿还性-股权清算问题的多解的存在性与循环债务关系有关。鉴于所有的投资都已经完成，他们通过回顾救助来找出因冲击而产生的违约级联。与[15]中的清算问题不同，我们研究了一个博弈，在这个博弈中，个人做出投资决策，而抵押品被设计成能满足这些投资决策。在[22]中，将[9，20]中的债务清算问题推广到讨论银行网络，其中也包括信用违约互换(CDS)形式的衍生环节，这些环节与抵押品有一些相似之处。在CDS中，投资者或贷款人向第三方卖方购买类似保险的合同，以应对投资接受者违约的情况。与投资者购买的CDS合约不同，在我们的案例中，融资机构向其重点投资者提供抵押品，以激励他们在投资场所进行投资。此外，通常情况下，CDS是一种比抵押品更有限的担保形式，因为契约的执行取决于出售CDS的第三方的偿付能力。事实上，在系统性风险的背景下，违约导致CDS合约的触发可能与CDS卖方自身的违约相关。关于银行间负债网络的另一个相关工作讨论了内生性网络形成模型[3,11,1,2,12]。

我们工作的主要结论是，我们关注战略风险和由此产生的系统性风险，而这些工作考虑了外部冲击引起的系统性风险，重要的是，我们研究了一个机制设计问题，其中担保品合同被用来诱导作为唯一结果的e-cient均衡。担保品合同是最古老和最基本的金融证券形式之一。Bernanke和Gertler的经典著作[6,5]，强调了抵押品在investmentmarkets中的作用，表明了高抵押品数量如何导致更高的投资，而无抵押品数量的减少可能引发投资的减少。在他们的模型中，机制是由于信息不完全而引起的投资者代理成本；当筹集资金的抵押品减少时，这些成本就会增加。在我们的模型中，抵押品合同保证了一个明确的抵押品投资者，因此，由于理性参与者的战略考虑，即使在完全信息的环境中，抵押品和投资之间也存在类似的关系。据我们所知，我们的工作是将抵押品合同作为激励投资和处理系统性战略风险的战略环境中的机制设计工具来研究。2模型2.1投资GameConsider是一个具有n个顶点的投资网络，其中每个顶点代表一个顶点。A可能有一个“投资企业”，它也可能作为一个“投资者代理”，考虑对网络中其他投资者的企业的投资。具有投资企业的每一个投资项目RM都与一组投资者代理的输出边缘相连。一个从点k到点i的directededge,权重xki>0表示agent i在k的企业中投资一定数量xki的机会。投资者代理决定是否接受或拒绝他们的投资机会（对全部金额xki）。具有多个收入边代表多个投资机会的投资者代理对其每项投资做出双重决定，并从所有投资中获得等于效用总和的效用。每个有投资企业的公司都有一些运营成本，如果公司没有筹集资金来支付这笔成本，公司就会违约。违约投资立即收回其所有投资，回收为零，因此它基本上不对任何企业进行投资。假设网络结构是一种外生输入，代表了在给定时间（如年初）的一组投资机会，为了说服投资者进行投资，可以向潜在投资者提供更多的担保，以降低这些投资者的战略风险。接下来，我们给出由投资网络引起的博弈模型的形式认识。首先，让我们对基本成分进行认识：存在一个由n个参数组成的集合V，其中[n]表示参数。存在一个描述投资相互作用拓扑的图G=(V，E)，其中边(k，i)∈E表明i在k中有投资机会。每个边(k，i)∈E都有一个权重xki，指定我可以在k上投资的数量。为方便起见，我们假定投资机会由矩阵X给出，它对每个非边为0，设Z={Zi}ni=1,a={αi}ni=1,Zi,αi≥0为企业i∈V成本和利率参数，如下所示。另外，用ve={v∈v:ut∈Vs.t.(v，u)∈E}表示G的enterprisevertices的集合，即有潜在投资者的顶点子集（在G中有一个非零度）。对于每一个顶点i/∈Ve，αi、Zii都是不相关的，可以W.L.O.G.设置为0。模型如下:o设xk表示企业投资机会之和:xk=pixki.o在k中投资机会xki>0的每一个投资机会xki((k，i)∈E)选择两种行为之一：(i)投资全部金额xkiin k，并等待年底获得回报（合作w.r.t.k）；或者(ii)拒绝k（缺陷W.R.T.）中的投资机会。

注意，具有多个投资机会（进入边缘）的代理人分别对每一个投资机会进行这样的划分。o企业k的运营成本由成本参数ZK≥0捕获。o表示叛逃者的集合W.R.T。k和一组合作者W.R.T.k乘CK。Anedge（k,i）如果i∈CK，称为合作边；如果i∈DK，称为缺陷边。o在年初，每个叛逃者i∈DK，保持全部金额xki。如果企业不筹集直接投资来支付其企业的运营成本，就可能达到违约状态。用处于CK，且不是无缺省的参与者的集合IK，表示这些参与者投资于企业K。如果在k上的总投资不包括运营成本(Pi∈IKXKI<Zk)，那么企业就不能完成，我们说k违约了。如果Figurrm k违约，那么它将用ZeroreCovery撤回所有投资。由所有参与者所玩的策略规则（见下文第1条）诱导的投资者Ikis集合。边(k，i)∈E被称为投资边，如果i∈IK。这个模型类似于[23，14]这是为了捕捉这样一个事实，即许多投资活动都涉及到资本筹集--提前从每个投资者那里获得所需的投资，取决于它的需求和投资者的约束，以及投资者希望在投资者之间分配控制权。内生性网络形成的问题是一个有趣的问题，但超出了本文的范围。虽然X提供了G的拓扑信息，但G和它之间的符号分离对稍后讨论网络拓扑很有用。为了简化分析，我们假设没有投资的资金没有利息。如果k∈Veis不是违约，则净投资总额（扣除操作成本后）应计利息αk>0；即在k中投资者之间分配的总金额为(1+αk)(Pi∈IKXKI-ZK)。企业将Rkif从k返回给一个投资者i∈Ikis，则i从k返回的总收益的比例份额:Rki=max0,(1+αk)xj∈Ikxkj-zk{z}总净收益xkipj∈Ikxkj{z}i的比例份额(1)o设Cki≥0为投资xki给参与者i的抵押品。如果企业对玩家i的回报RKI低于投资xki，则抵押品ckican被实现，使得玩家i从k中的效用为RKI+cki，上限为xki，即min(RKI+cki,xki）。如果玩家i有Profights（即RKI>xki)，则抵押品不被实现。因此，对于一个有缺陷的玩家来说，k的功利性是xki，如果她在缺省情况下合作(i∈CK\\Ik)她的效用是0，如果她在缺省情况下投资(i∈Ik)她的效用是:UKI=CKI+Rki，Rki≤XKI-CKIXKI，XKI-CKI<Rki≤XKI≤XKIKI，XKI-CKI<Rki，XKI<Rki(2)每个玩家i的总效用是UI=PK∈[n]UKI，其中UKI=0如果XKI=0（即如果(k，i)/∈E)。给定一个合作边集合C，缺省条件下的投资边集合和诱导的投资边集合在以下过程中确定：定义1（缺省确定）：初始化T=é作为缺省条件下的假设I=C是暂定投资边。(i)对于每一个firigrm k∈Ve，如果当投资集为i时它是缺省的，则将该firigrm加到集T上，并从i中移除所有指向该firigrm的边；(ii)重复，直到T上没有更多的投资。最后，设c为每个投资给玩家的抵押品矩阵，其中Ckii是为企业k的投资给玩家i的抵押品，如果Xki=0，则Ckii被定义为零。

2.机制设计问题在本节中，我们在前一节描述的investmentnetwork模型中，将寻找最优抵押品的机制设计问题定义为：在可能的情况下，寻找最优抵押品以将企业的e-cient水平诱导为唯一均衡（当可能时）。我们还提供了一些以后有用的规则。我们假设与投资的联系被打破，也就是说，如果给定其他玩家的固定动作，一个玩家从投资（合作和不违约）和叛逃中有同等的效用，那么这个玩家严格地倾向于投资。这将简化写作，因为playerscan永远不会在两个动作之间发生。从形式上来说，这一打破僵局的规则相当于为合作增加了一个限制性的效用。显然，如果即使假设所有投资者都合作，回报也不能向投资者分配他们最初的投资金额，一个企业就不应该发生。因此，只有可行的企业才会发生（而其他企业不会），因此，默认的结果是零效用，因此总是由缺陷主导。一种正确的解释是，当在反复消除严格控制的策略后，合作的最坏情况效用等于叛逃的最佳效用时，叛逃和合作的效用就会相等，因此玩家可能会对他们的同行的行动略微乐观--只要这种乐观不带任何风险。专注于可选择的企业子集，忽略不可选择的企业（通过将它们从网络中删除）。因此，在本文的其余部分中，我们假设当所有参与者合作时，所有的投资企业都是可投资的:±k∈Ve,(1+αk)(xk-zk)≥xk。在这种情况下，很容易看到，每个合作的人都是一个纳什均衡，如果所有参与者都合作，就不会实现抵押品。观察1（可投资）：假设k存在，(1+αk)(xk-zk)≥Xk（所有企业都是潜在可投资的）。那么对于每一个附带矩阵，所有参与者合作的策略是一个纳什均衡，没有抵押品在均衡中实现。然而，这个纳什均衡可能不是唯一的，所有叛逃的特工也可能是平衡的。为了避免这种糟糕的平衡，我们感兴趣的是寻找能够诱导所有合作作为唯一平衡的抵押品，在可能的情况下。我们把注意力集中在诱导全体合作为唯一Nash均衡的旁支矩阵上，我们称这样的矩阵为可行的旁支矩阵。定义2（可行的旁支矩阵）：如果由c诱导的具有输入{n,X,Z,a}的博弈具有唯一的Nash均衡且所有参与者都合作，则称旁支矩阵c为可行的旁支矩阵。本文考虑了当存在时，构造总成本最小的可行旁支矩阵的问题。定义3（旁支最小化问题）：设c表示给定输入{n,X,Z,a}的所有可行的旁支矩阵的集合。边值最小化问题要求寻找一个可行的边值矩阵，如果存在，则边值矩阵的边值和最小（1-范数）:C_ut∈ArgminC∈CXI，jcij(3)我们称这样一个解的边值矩阵为C_to最优边值矩阵。

对于不存在独立侧向矩阵的输入，可以在多项式时间内进行识别，请参见命题3。注意，由于C是一个in-nite集，等式（3）应该写成一个infilmum，然而，我们写itas最小值而不是infounmum，因为我们的打破平局规则确保获得infounmum。为了解决抵押品最小化问题，考虑以下矩阵将是有用的，这些矩阵对于任何投资机会来说，承诺激励玩家合作所需的最小抵押品，假定所有其他抵押品都已确定。确认4（最小抵押品矩阵）：如果：(i)c是一个可行的抵押品矩阵，并且，(ii)i，±ε>0矩阵c-εeiji不是一个可行的抵押品矩阵，其中eiji是n×n矩阵，除了第j个条目等于1之外，所有条目都等于零。注意，最小范数可行的抵押品矩阵也必须是一个最小的抵押品矩阵，因此抵押品最小化问题的解决方案是一个使抵押品之和最小化的最小抵押品矩阵。下面的定义区分了两种类型的抵押品，这将在后面用于描述最优抵押品。每个抵押品既可以是“全额抵押品”，涵盖一个玩家的全部投资，或者“部分担保品”，它保证低于投资的最小Payo。定义5（完全担保品）：对于投资机会xki>0，如果cki=xki，担保品ckiis称为完全担保品。定义6（部分担保品）：对于投资机会xki>0，如果担保品ckiis不是完全担保品（注意，这包括零担保品）。例如，当一家企业的成本超过该企业任何一个投资机会的金额时。3特征这里我们描述了担保品最小化问题的几个基本性质。我们证明了唯一平衡点的存在蕴涵着优势可解性。然后，我们给出了一个非多项式时间过程，以了解一个给定的网络是否可以由附带契约诱导出唯一的均衡。3.1单调性和优势可解性投资及其相关战略风险的重要性质是，投资收益随着潜在投资者的投资而增加，随着合作投资者的停止投资而减少。更具体地说，对于任何在其他投资机会上投资于一个企业的玩家来说，当决策从缺陷转向合作时，她的收益只会增加。这表现在下面的命题中。命题1（单调性）：1。对于企业k中agent i的任何投资机会Xki，企业对agent i的回报是参与方合作的网络中投资机会集的单调递增函数。即，当C是合作边集时，如果Rki(C)表示投资于企业k(i∈Ik)的企业收益，则对于每一个setB A,它认为Rki(B)≥Rki(A).固定任意边子集A，任意企业k∈Ve，任意玩家i使得(k，i)∈Eand(k，i)/∈A。假设当合作边集是一个时，玩家i严格地倾向于合作而不是叛逃W.R.T。然后，无论什么时候，当合作的集合边缘isB是一个玩家，我严格地更喜欢合作而不是叛逃W.R.T。证明：首先，请注意，整个网络中的协作边的超集会从每个单个企业顶点诱导出协作边的超集。

其次，合作边缘的超集会导致投资边缘的超集，因为额外的合作行为不能将一个没有违约的企业变成一个违约企业。因此，当B为合作边时，企业k中的投资者集合Ik(B)是当a为合作边时，k中的投资者集合Ik(a)的超集。对于给定的投资者Ikin enterprise k，设g(Ik)=pj∈Ikxkj。如方程（1）所给出的，一个玩家i∈Ik的企业收益是g(Ik)的弱增函数。由于k,j,xkj≥0和Ik(A)Ik(B)，则g(Ik(B))≥g(Ik(A))，henceRki(B)≥Rki(A)，从而得到（1）的证明。在第二个条件下，如果企业k的参与者i决定合作，如方程（2）所给出的，参与者i的效用是RKI的弱递增函数，因此，参与者i的合作效用只会随着更多的参与者合作而增加。替代动作（缺陷）的效用是不变的。因此，当a是合作边集时，如果合作是i的最佳回复，当B是合作者集时，合作也是i的最佳重放。请注意，在条件（2）下，玩家i不是默认的，一个直接的推论是，单调性在相反的方向上也成立：如果当玩家在其他投资机会的集合中合作时，缺陷是一个玩家的一个集合，那么当玩家只在这些机会的一个子集中合作时，缺陷也是一个最佳的回答。下一个结果表明，对于一个诱导一个博弈的附带矩阵，在这个博弈中，所有玩家都合作，诱导的博弈是优势可解的，因此这个均衡可以通过一系列迭代消除优势策略来达到(Seedefinition7)。也就是说，至少有一个玩家具有严格的优势策略来合作，至少有一个玩家在给定玩家的优势策略的情况下严格地倾向于合作，依此类推，直到达到全合作的策略方案。为了完整性，我们从判定一个占优可解对策开始。判定7（占优可解对策）：命题2（唯一均衡条件）：如果由输入为{n,X,Z,A}的抵押品矩阵xc诱导的博弈具有唯一的纳什均衡，其中所有参与者在所有的投资机会中都合作，则该博弈是优势可解的。证明：假定所有参与者在所有的投资机会中都发挥缺陷，并考虑所有参与者在所有的投资机会中发挥缺陷（进入边）的策略。那么，一定有一个边，我们将用σ来表示，对应于一个玩家的决定，在这个决定中玩家严格地倾向于合作，否则所有的缺陷也将是一个与我们的假设相矛盾的Nashequilibrium。请注意，这个玩家不能默认为这个策略，否则她会选择叛逃。在为σ消除缺陷策略后，一定存在一个博弈者严格倾向于合作的边σ，否则除σ以外的所有缺陷的策略方案将是一个纳什均衡。由于命题1，如果边σ的玩家合作，σ的玩家仍然严格地倾向于合作。在消除了σ的缺陷策略之后，我们可以同样地消除第三条边σ的缺陷策略，而且，根据命题1，当有更多的合作边时，前一条边σ和σ的参与者仍然严格地倾向于合作。同样的论点一直持续到最后一刻。