灰天鹅形状的不确定性：具有不确定性的极值理论 阈值

在富时100指数中，GARCH、EGARCH和CaviarAsymetric的表现已经好于不确定EVT。值得注意的是，UncertainEVT方法在所有指标上都优于EVT方法，由此可以得出结论，我们的方法比它的原始方法具有更强的预测能力。图6提供了标准普尔500历史回报的时间序列以及使用八种间接方法的风险值，包括我们的不确定EVT方法。5.6危机期间的BRT和尾部估计本文的创新之一是引入BRT作为不可观察的潜在变量。从图1可以清楚地看出，在2007年12月至2009年6月的危机期间，实际的灰天鹅的不确定形状：不确定阈值的极值理论(a)不确定EVT(b)EVT(c)EGARCH(d)GARCH(e)鱼子酱非对称(f)蒙特卡罗模拟(g)历史模拟(h)方差-协方差6：用包括未确知EVT,EVT,EGARCH,GARCH,鱼子酱非对称，蒙特卡罗模拟，历史模拟和方差-协方差方法在内的各种方法对标准普尔500进行了95%预测水平的VaR结果（红色）。水平轴和垂直轴代表时间和回报，具体来说。灰天鹅不确定的形状：具有不确定阈值的极值理论3；Diebold-Mariano标准普尔500预测能力测试结果，富时100指数和道琼斯指数上涨95%。DM测试数据和P500不确定EVT MCS HS VC EGARCH GARCH EVT鱼子酱不确定EVT--15.24-19.01-17.88-9.32-2.16-17.62 8.76 MCS--26.18-35.19 11.79 9.83-16.90 16.78 hs-1.89 13.87 16.78 13.22 21.75 VC-14.85 18.33 3.29 22.43 EGARCH-1.62-13.04 16.49 GARCH-15.92 15.18 EVT-20.74鱼子酱a DM测试状态FTSE 100不确定EVT MCS HS VC EGARCH GARCH EVT鱼子酱a DM测试状态6.20-7.24-6.50 14.02 11.22-7.80 5.55 MCS-9.82 11.15 17.92 20.66-8.12 11.05 HS-2.62 20.14 20.59-4.64 11.44 EGARCH-5.58-20.99-6.69 GARCH-22.84-4.22 EVT-14.47鱼子酱a DM测试状态琼斯不确定EVT MCS HS VC EGARCH EVT鱼子酱a DM测试状态10.37-12.93-13.17 25-14.17-6.91-9.82 11.95 MCS-16.27-45.85 3.23 4.38-15.09 17.48 HS-8.76 5.70 10.66-4.49 22.93 VC-5.56 8.29-2.22 21.31 EGARCH-7.69-5.59 28.14 GARCH-10.51 22.47 EVT-20.25鱼子酱a注：本文比较了不确定EVT与EVT、EGARCH、GARCH、Monte Carlo模拟(MCS)、历史模拟(HS)、方差-协方差(VC)和鱼子酱非对称（CaviaR a）方法的预测性能。结果表明，对于标准普尔500指数和道琼斯指数，除鱼子酱非对称预测方法外，不确定EVT方法的预测性能优于其它方法。对于富时100指数，不确定的EVT表现更好，除了EGARCH,GARCH和CaviaR非对称接近。灰天鹅的不确定形状：不确定阈值的极值理论4：日经、BVSP和Merva的Diebold-Mariano预测能力检验结果

结果表明，对于Nikkei、BVSP和Merval指数，除鱼子酱不对称外，不确定EVT与EVT、EGARCH、GARCH、MonteCarlo(MCS)、历史模拟(HS)和方差-协方差(VC)方法相比具有更强的预测性能，而对于BVSP、Merval指数，不确定EVT与GARCH和EGARCH的预测性能没有显著差异。对其它指标的实际BRT过程的计算也显示了BRT在市场动荡期间的类似行为。图5显示，预测的BRT过程在金融危机期间也急剧下降。这一点很重要，在EVT框架中，我们在度量金融投资组合风险时要处理两个分布，原始分布和GPD。对后者行为变化的估计是这项研究的中心。在金融危机期间，我们会观察到更多与均值的极端偏离，因此，选择一个风险较低的阈值来区分原始分布的尾部是有意义的。我们提出了一种基于极值理论的估计VaR的新方法，该方法将GPD建模为分布尾部的阈值不是常数，而是依赖于方差和模糊度的状态变量。方差和模糊度的结合，也就是通常所说的不确定性，是最优阈值的一个很强的约束。数值计算表明，我们的方法，即不确定EVT方法，提高了EVT方法的可预测性，并与迄今为止开发的一些最先进和最先进的VaR方法相比具有竞争力。首先，我们提出了一种经济上有意义的技术来预测尾部应该建模的极端水平，而不是使用历史方法来计算极端风险阈值。其次，我们方法的动态性有助于提高VaR估计在进入和退出危机时期时的准确性和稳健性。第三，对于那些希望获得符合一定反向测试标准的风险度量（如违规率或损失函数）的风险管理者来说，这种方法很容易被使用。对于未来的研究，我们指出除了方差和模糊性之外，还可能有其他因素来解释BRT的动态行为。另一种方法可以将BRT建模为其自身滞后值和以前回报的自回归过程。除了BRT的形状因素外，还可能有其他模型框架来预测最佳EVT阈值的下一个状态。BRT时间序列的扩展Dickey-Fuller检验表明，BRT时间序列具有较强的均值回归特性。因此，将BRT直接建模为一个随机均值恢复过程也可能是一个好主意。灰天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论[1]Nicolas Attalides。基于阈值的极值建模。博士论文，UCL（University CollegeLondon）,2015。[2]Brian Bader,Jun Yan,Zhuebin Zhang.自动阈值选择极端值分析通过良好的测试与应用到批返回水平映射。arXiv preprintarxiv:1604.02024，2016年。[3]August A Balkema和Laurens De Haan。大年龄剩余寿命。概率年鉴，第792-804页，1974年。[4]Marco Bee,Debbie J Dupuis和Luca Trapin。实现极端：从高频角度估计尾部风险度量。《经验金融学报》，2016，36:86-99.[5]Cibele N Behrens,Hedibert F Lopes,Dani Gamerman。带阈值估计的极端事件的贝叶斯分析。

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2.2.1方差协方差方法在此方法中，使用了一个滚动窗口，并计算了从该窗口得到的收益的标准差。假设均值为零的正态收益率，可以用v Art=n-1(θ)σt，(18)度量时刻t的VaR，其中n-1是累积标准正态分布的逆，θ是一个特殊的con-firmentical con-firmentical con-oskedastivity(GARCH)模型试图利用滞后方差和收益率来预测收益率序列的未来方差。在GARCH(p,q）模型中，我们有εt=√σtηt,ηiidt'AN(0,1）,（19）不确定灰天鹅形状：具有不确定阈值的极值理论σt=α+qxi=1αiεt-i+pxj=1βjσt-j,（20）其中α和β是常数，ε是误差项，σ是εt的方差，条件是直到时间t时可用的信息。然后我们用方程18来计算VaR。对于ηt，可以用学生分布代替正态分布。A.2.3 EGARCHEGARCH模型是GARCH模型的推广，它更好地刻画了数据波动的非对称性。在该模型中，我们得到了σt=ω+qxk=1βkg(Zt-k)+pxk=1αklogσt-k,（21）,其中g(Zt)=θZt+λ(Zt-e(Zt)),σ是条件方差，ω，β，α，θ和λ是常数。Ztis是一个标准的正态变量，或者来自于学生的-T分布。一旦计算了挥发度，然后用方程18预测VaR.A.3半参数方法。3.1鱼子酱不对称不对称条件自回归方法直接对返回xtas的VaR进行建模，遵循vart=β+βvart-1+β(xt-1)++β(xt-1)-，(22)，其中βi是常数，y+=max(y，0)和y-=-min(y，0)。βICOE_cients最小化以下函数minβ∈RKTNθ-1(XT<VaRt)(XT-VART)O。(23)a.3.2极值理论，该方法处理的是高于某一阈值的值。在无条件EVT方法中，可以使用希尔图、均值超额函数等多种方法来选择适当的阈值。在设置一个滚动窗口和一个合适的阈值后，我们可以使用公式（5）计算每天的var.b回测方法概述在这一部分，我们概述了本文中使用的回测方法。由于文献中提出了大量的反向测试方法，我们采用了其中最常用的三种方法从不同的角度来评估模型的性能。为了验证模型，我们采用了Kupiec和Christo-Ersen方法，为了比较模型与其他竞争模型的预测能力，我们采用了Diebold-Mariano预测能力检验。灰色天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论。Kupiec检验该检验评估已实现的违规次数是否与预先确定的违规率有关。如果T是观察次数，x是违规次数，在零假设下我们得到:p=p=xt，(24)，其中p是已实现的违规率，p是VaR分位数对应的违规率。最大的是似然比检验，其中检验统计量islruc=-2ln(1-p)t-xpxtut-xxt！，(25)在零假设下，LRuchas是一个有一个自由度的χ分布。b.2 Christo-Ersen testchristo-Ersen检验类似于Kupiec检验，但除了违规的数量之外，它还检验违规是否随时间而独立。为此，在Kupiec测试统计中增加了一个独立的组成部分。测试统计量ISLRCC=-2LN(1-π)N+NπN+N(1-π)NπN(1-π)NπN+LRuc，(26)，其中Niji是一个变量，表示相对于前一个周期中的状态i的出现，状态j出现的周期数。状态0是没有违规的时段，而状态1是有违规的时段。现在πii被定义为在上一个周期的状态i上观察到违反条件的概率。

因此，我们有π=nn+n,π=nn+n,π=n+nn+n+n+n。（27）在零假设下，π和π应该相等。LRcchas是一个具有两度偏差的χ2分布。B.3 Diebold-Mariano预测能力的检验，我们只同时比较了两种方法。该框架的零假设假定其中一种预测方法产生的损失序列不比另一种方法差。如果我们用ei来命名方法i的损失级数，那么d=g(ei)-g(ej)就是方法i和J的损失级数。g是一个类似于g(ei)=ei的损失函数。检验统计量为s=txi=1i+dt，(28)灰天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论，其中i+dt=(1，dt>0，否则为0。（29）在零假设下，检验统计量具有参数T和0.5的二项式分布，其中观测次数为。如[16]所讨论的，在大样本中，检验统计量为2a=s-0.5T√0.25taN(0,1）。（30）