灰天鹅形状的不确定性：具有不确定性的极值理论 阈值

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摘要翻译：
极值理论(EVT)是金融学中最常用的度量投资组合下行风险的方法之一，尤其是在金融危机期间。本文提出了一种基于EVT的不确定EVT方法，以提高其预测精度，并捕捉超过EVT阈值的风险统计特征。在我们的框架中，通常假定为常数的极端风险阈值是一个动态随机变量。更准确地说，我们通过一个与状态相关的隐变量，称为盈亏平衡风险阈值(BRT)，作为风险和模糊度的函数，对EVT阈值进行建模和校准。我们将表明，当EVT方法与不可观测的BRT过程相结合时，不确定EVT的预测VaR可以预见到重大财务损失的风险，在样本外优于原始EVT方法，并在有效性和可预测性方面与已知的VaR模型相比具有竞争力。
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英文标题：
《The Uncertain Shape of Grey Swans: Extreme Value Theory with Uncertain
  Threshold》
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作者：
Hamidreza Arian, Hossein Poorvasei, Azin Sharifi, Shiva Zamani
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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英文摘要：
  Extreme Value Theory (EVT) is one of the most commonly used approaches in finance for measuring the downside risk of investment portfolios, especially during financial crises. In this paper, we propose a novel approach based on EVT called Uncertain EVT to improve its forecast accuracy and capture the statistical characteristics of risk beyond the EVT threshold. In our framework, the extreme risk threshold, which is commonly assumed a constant, is a dynamic random variable. More precisely, we model and calibrate the EVT threshold by a state-dependent hidden variable, called Break-Even Risk Threshold (BRT), as a function of both risk and ambiguity. We will show that when EVT approach is combined with the unobservable BRT process, the Uncertain EVT\'s predicted VaR can foresee the risk of large financial losses, outperforms the original EVT approach out-of-sample, and is competitive to well-known VaR models when back-tested for validity and predictability.
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关键词：不确定性 极值理论 确定性 不确定 Quantitative

灰色天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论dhamidreza arian*谢里夫技术大学hossein poorvasei大学dehranazin Shari firime Sharif技术大学shiva zamani（谢里夫技术大学）2020年10月抽象极值理论(EVT)是衡量投资组合下行风险的最常用方法之一，尤其是在金融危机期间。本文提出了一种基于EVT的不确定EVT方法，以提高其预测精度，并捕捉超过EVT阈值的风险统计特征。在我们的框架中，极端风险阈值是一个动态随机变量，通常假设它是一个常数，更准确地说，我们通过一个状态相关的隐变量--盈亏平衡风险阈值(BRT)来建模和校准EVT阈值，该隐变量是风险和模糊度的函数，它被称为盈亏平衡风险阈值（Break-Even risk threshold threshold threshold threshold threshold threshold threshold threshold）。我们将表明，当EVT方法与不可观察的BRT过程相结合时，不确定的EVT方法可以预见重大损失的风险，在样本外优于原始的EVT方法，并在有效性和可预测性的回测试中与著名的VaR模型竞争。关键词：金融危机、风险管理、极值理论、在风险中的价值、不确定性分类:C61、G11.1介绍极值理论(EVT)对给定一般分布的极值部分模型的洞察力。关于EVT的早期研究包括Fisher and Tippett[1928]、Gnedenko[1943]、Gumbel[1954]、Balkemaand De Haan[1974]和Pickands等。[1975]。EVT采用两种技术对极端事件进行分类--块极大值和峰值超过阈值。块极大值(BM)方法假定极值数据是在特定时间块上的极大值。峰值超过阈值（POT）方法假设对极端事件有一个适当选择的高阈值。许多作者提供了EVT在模拟回报时间序列中的极端运动方面的应用（Lauridsen[2000]，Danielsson等人[2000]，Danielsson等人[2001]，Brooks等人[2005])。此外，在次级邮件:hamidreza.arian@utoronto.caóe-mail:poorvasei@ut.ac.iróe-mail:azin.sharifure@utoronto.ca§e-mail:zamani@sharif.eduThe Grey Swans的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论（Stoyanov et al.（2011）,Hull（2012）,Furi o and Climent（2013））之后，EVT已被用作模拟返回分布的肥尾特性的理想框架（Stoyanov et al.（2011）,Hull（2012）,Furi o and Climent（2013））。EVT还可以用于建模极端依赖的多维设置（Hilal et al.[2014]，Yuen and Stoev[2014])。EVT方法除了具有其他优点外，还能够使用高频数据来模拟资产收益的尾部行为（Bee et al.[2016])，并能够在度量极端风险时引入价格限制（Ji et al.[2020])。尽管EVT框架在风险评估方面有许多优点，但选择阈值来区分极端和非极端事件的重要任务在实践中仍然是一个巨大的挑战。阈值的回声出现在对极值进行建模之前，因此A对EVT分析的结果有明显的影响（Jalal and Rockinger[2008])。当阈值太高时，会出现太少的超越，当阈值太小时，模型可能无法捕捉尾部的真实情况。DuMouchel[1983]是解决阈值选择问题的最早的研究之一，它提出阈值可以近似地设置为经验分布的95%。其他方法可以分为基于视觉检查的图形方法和性能测试的分析方法。实际中最常用的图解方法之一是平均超额函数(MEF)法(Davisonand Smith[1990])。

这种方法的一个主要缺点是它是主观的，需要人的判断，这使得它很难在计算机上实现，限制了它的实际应用。在分析方法方面，一些研究人员提出了通过bootstrap模拟来数值计算最优阈值的方法（Danielsson et al.[2001]，Drees et al.[2000]，Ferreira et al.[2003]，Herrera and Schipp[2013]，Cukwudum et al.[2019])。在EVT框架中，根据股票市场的风险性和模糊性，引入了一个与状态相关的风险阈值，即盈亏平衡风险阈值(BRT)。BRT的估计使得EVT的风险预测与市场实现的未来表现完全不同。考虑到极端风险阈值背后的不确定性，我们利用收益分布的方差和模糊性来预测未来时期的快速公交。Brenner和Izhakian[2018]的研究将模糊性引入风险自变量。如果grt+1是下一个时期的收益，他们建议如下的风险-模糊性-收益关系shipet(RT+1)=rf+γvart(RT+1)+η(1-Et(PT+1))Et(RT+1)ft(RT+1),其中pt+1是不利收益的概率，γ和η分别度量投资者的风险厌恶和对模糊性的情绪。我们从上述关系中得到启发，以确定EVT的风险阈值（超过该阈值的尾部被建模）可以是风险的状态依赖变量，用Vart度量，用FT度量模糊性。在第4节中，我们将更详细地讨论Brenner-Izhakian的模糊度量和上述风险-模糊-回报关系。不同的作者以一种依赖于风险和分布的特定时刻集的方式来度量模糊性（Epstein和Schneider（2010）,Ui（2010）,Ulrich（2013）和Williams（2014））。然而，Brenner和Izhakian[2018]定义的模糊度与风险无关，并使用整个收益分布计算。在本文中，我们利用它们的模糊度量和方差来估计EVT中的风险阈值，从而估计出我们所谓的特定的EVT风险值。在接下来的第二节中，概述了模拟灰色天鹅不确定形状的尾部的EVT主题：不确定阈值分布的极值理论。在第三节中，我们强调了风险阈值的重要性，并介绍了快速公交的新概念。在第四节中，我们讨论了股票市场不确定性的来源，并提供了风险和模糊性在BRT估计中的应用。最后，在第五节中，我们给出了六个主要的全球指标的数值结果，以说明BRT预测VaR的有效性，并与其他一些著名的方法进行了比较。第6节总结全文。2极值理论概述本节首先介绍了极值理论及其在市场风险度量中的应用。在过去的几十年里，学术界和实务界提出了各种风险度量方法。其中一种度量方法是风险价值(VaR)，形式上是definnedasp(xt<-varp)=1-p，(1)其中XTis一个投资组合在时间范围T和p内的回报是度量风险的标准水平。极值理论(EVT)通常与峰值超过阈值(POT)方法一起使用（McNeiland Saladin[1997]，McNeil and Frey[2000]，Gen\'Cay and Sel\'Cuk[2004])。POT方法考虑超过高阈值的sobservations，有时称为灰天鹅，并将这些事件与返回分布的其余部分分开建模。

在这里，与Nassim Taleb\'shighly probably black swans(Taleb[2007])不同的是，灰天鹅是超过风险阈值u的损失情景，发生的概率很低，但仍然是可能的。EVT关注的是这类事件的尾部和损失分布。超过阈值的观测值的条件分布函数Fu(x),isFu(x)=P(x-u≤xX>u)=F(u+x)-F(u)1-F(u)，(2)其中F(u)是原始累积分布函数。对于一个适当的阈值u，Fu(x)可以用广义帕累托分布(GPD)来近似，它遵循以下形式:gζ,σ,u(x)=(1-(1+ζx-uσ)-ζ,如果ζ6=0,(3),分别用形状参数和尺度参数ζ和σ,u(x)=(1-(1+ζx-uσ),u(x)=(1-e-x-uσ),如果ζ=0,(3),u是风险阈值（参见Balkemaand De Haan[1974]和Pickands等）。[1975])。决定灰天鹅的可能形状，对应于重尾分布，值为ζ>0。对于非零ζ的情况，GPD的密度函数，如方程（3）所示，由gσ，ζ(x)=σ1+ζx-uσ-ζ-1给出。（4）利用EVT计算VaR需要估计三个参数；u，σ，ζ。可以说，选择适当的风险阈值是模型校准中最具挑战性的部分。为了解决阈值估计问题，如第1节所讨论的，经典的方法依赖于从业者手动选择的调优参数。在过去的两本书《灰天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论》中，许多作者提出了不同的解决方案，以解决如何在低阈值和高阈值估计之间找到一个适当的阈值u的问题。Scarrott和MacDonald[2012]对近年来的一些经典技术进行了全面的综述，重点讨论了阈值估计算法中所涉及的不确定性。考虑到阈值不确定性，Behrens等人[2004]提出了一个分布的中间和尾部混合模型。作为最近关于选择合适阈值的另一个例子，Attalide[2015]考虑到阈值选择中的不确定性，提出了一种贝叶斯推理方法。他们的贝叶斯交叉验证方法使用的是从直接阈值估计中得到的平均估计。巴德等人。[2016]提出了一种通过选择尾部分布的最小优度来实现阈值自动选择的算法。Schneider et al.[2019]强调了自动阈值选择的重要性，通过从指数分布中评估对数间隔的方差，引入了两个数据驱动的阈值选择过程。尽管估计风险阈值u本质上具有挑战性，但估计形状和尺度参数是简单的。一旦u被设定，用最大似然估计(MLE)就可以很容易地校准参数ζ和σ。在估计风险阈值和GPD参数之后，基础收益分布的VaR通过VaR=u+σζ(nnu(1-p)-ζ-1)，(5)，n和nu分别是样本的大小和大于u的观察次数。3盈亏平衡风险阈值(BRT)假设VaREVTp(T，T；u）是在控制水平p下的风险值，使用从时间t-current time T的输入数据，用EVT方法计算，阈值为u，其中T<T。让我们也想象一下，我们能够看到市场回报的未来状态，并让VaRHp(t+1,t）是使用时间t+1到t的输入数据在控制水平p处的历史风险值，其中t+1≤t。我们将当前时间t处的BRT作为域D的值，这样由evtreprises计算的VaR将基于未来数据的历史风险值。用数学术语，我们定义BRTt,asbrtrealizedt=arg min u∈D varevtp(T,T；u)-VaRHp(T+1,T）,(6)，其中dtur-指取最小值的域。

在等式（6）中，我们将搜索空间D限制为从时间Tto t开始的负已实现收益。在上述认识中，尽管听起来很讽刺，但历史VaR是根据未来数据计算来估计风险的。用数学术语，我们搜索一个阈值u，这样的阈值uatvarevtp(T,T；u)≈VaRHp(T+1,T）。（7）由于我们当然不能看到未来的市场状况，我们试图在不使用未来数据的情况下收集可以用于恢复BRT的相关信息。图1显示了使用公式（6）为标准普尔500指数计算的已实现快速公交。从这篇文章中可以清楚地看出，在2007-08年的金融危机期间，BRT急剧地向一个非常极端的状态转变。灰色天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论图1：由等式（6）计算出的标准普尔500回报的已实现盈亏平衡风险阈值(BRT)的时间序列（红色）。横轴表示时间，纵轴显示回报和BRT值（百分比）。当涉及到管理大规模金融投资组合的风险时，监管者和风险管理者会考虑不同的问题和偏好（Christo-aneErsen et al.[2001])。VaR方法要使监管者对风险度量预测的关注得到关注，必须保证在给定的风险水平下很少违规（Christo of Ersen and Pelletier[2004])。风险经理除了考虑监管预期之外，还必须通过选择较少的风险保守性来考虑其业务的可预期性和业务增长。罗西诺洛等人。[2012]与竞争对手相比，高度支持EVT进行金融机构的风险度量。他们认为，使用EVT进行风险度量，可以保护银行免受2008年危机期间的巨额损失和随之而来的经济资本需求。考虑到它们的特性，一个强大的风险度量应该能够提供不符合风险经理偏好的BoveleXobility。幸运的是，只要简单地调整BRT的超参数，就可以在EVT框架下设计一个VaR引擎来满足风险管理者的需求。例如，在等式（6）中，如果我们将计算历史前瞻性VaR的时间框架设置为一个工作日，t=t+1，则BRT satis interesbrtrealizedt=arg min u∈D varevtp(t,t；u)-rt+1,(8)，其中rt+1是下一个工作日的回报。通过这种方式，我们能够跟踪回报时间序列，并更好地利用管理下的资本，同时它更有可能违反预定的风险水平。而使用等式(6)，则意味着EVT的违规率与已实现的VaR的违规率相匹配。在第5.4和5.5节中，我们将展示在识别BRT时使用不同时间窗口[t+1,t]的数值含义，以及它对VaR度量的影响。灰色天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论！(a)高模糊性(b)低模糊性图2：在这篇文章中，面板a）显示了一个月的每日收益分布，具有相对较高的模糊性，其中水平轴和垂直轴分别显示了收益和密度。4不确定阈值极值理论在这一节中，我们解释了不确定度的概念及其与风险和收益的关系，为不确定性与EVT的联系铺平了道路。股票市场的不确定性可以分解为风险和模糊成分（Brenner and Izhakian[2018])。对模糊性进行适当的经验测量的关键是将其与实际风险估计分开。考虑到这种分离性，我们尝试将风险和模糊性独立建模，并将它们一起用于估计BRT，为了消除模糊性，我们引入了一些数学符号。假设一个概率空间(Ω，P，F)，具有σ-代数F和概率测度P，日内回报过程r在其上。

此外，假设P是一组股票收益的可能概率，我们可以在此基础上得出概率测度μ。现在我们假设日内收益r在概率测度集合P上有一个未知的概率系数(r)，那么期望的边际收益概率和它在P上的方差分别是:[(r)]zp(r)dμ，var[(r)]zp(r)-e[(r)])dμ，(9)。遵循Brenner和Izhakian[2018]，模糊度可以用f[r]=zvar[(r)]e[(r)]dr来度量。（10）在上述方程中，e[(r)]是测度μ下的期望分布概率的密度函数，因此，f[r]Re确定了概率分布的期望方差，即内部收益的VaR[(r)]。灰天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论关于风险和模糊性概念之间的关系，我们强调风险与已知的概率分布相比于未来的结果，而模糊性是指概率分布未知的情况。从这种微妙的关系来看，对模糊性的厌恶表明个人更喜欢已知的概率，他们愿意支付费用来避免模糊的市场事件。大多数关于模糊性的研究没有为利用模糊性进行决策提供管理上的洞察力。此外，只有有限数量的研究使用市场数据度量模糊性（见Ulrich（2013）,Williams（2014））。在本文中，我们旨在强调风险和模糊性在识别极端事件中的作用。选择一个合适的阈值来确定超额收益的GPD是EVTProgress的关键步骤。传统的风险门限是恒定的，而本文引入了一种不可观测的、动态的、随时间演化的、与状态相关的风险门限。我们用来预测风险阈值的两个因素是方差和模糊性。这两个参数可以用来解释超过极端风险阈值u的可能发生的情况，这些情况发生的概率很低。当回归分布的方差越大，从零开始的样本回归越多。因此，在市场波动时，我们需要一个远离零的阈值来更好地构造回报分布的尾部。不太直观的是，高模糊水平表明，股市中存在比传统波动性度量所显示的更多的恐惧。当模棱两可程度很高时，市场参与者的行为就有很高的不确定性，投资者需要为未来市场的混乱得到补偿。图2的a面板显示了标普500指数在一个月内的日内回报分布，这一分布具有高度的模糊性。正如我们所看到的，分布之间有高度的分散。我们预计，在高度模糊的时期（未来动荡或日内收益率分布之间高度分散的时期），最优水平ofrisk阈值u更接近于零。图2，面板b，显示了低模糊性的日内收益分布。很明显，这些分布之间的离散度具有较小的确定性，因此我们预计风险阈值的偏离空间也较小。直觉上，我们期望BRT和歧义之间有一个负面的关系。如果原始分布的歧义度很高，那么表示原始分布尾部的GPD的歧义度也会很高。因此，我们对未来时间周期的GPD位置更加不确定，通过将u趋近于零，我们可以解决这种不确定性，并为GPD提供更多的可预测性。与模糊性相比，风险对股权溢价的影响更强、更明显，这是资产定价理论中一个众所周知的程式化事实。当模糊性溢价与Siderisk溢价相加时，就形成了股权不确定性溢价。然而，模糊溢价的情况涉及更多，并取决于有利回报的概率。

当这个概率高（低）时，模糊度的溢价为正（负）。为了用数值计算模糊度，Brenner and Izhakian[2018]假设:=φ(r；μ，σ)是均值为μ，标准差为σ的正态概率密度函数，以每天的返回概率方差为单位计算月模糊度[r]=ze[φ(r；μ，σ)]var[φ(r；然后，基于正态性假设，他们使用以下近似来评估每月模糊程度f[r]=nxi=1wi(1-wi)Var[πi]e[πi]，(12)灰天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论，其中N是经验日收益分布所依据的正常直方图箱的数量，对于第ith箱，箱的大小是wi，termwi(1-wi)是一个比例因子。概率πii是从正常累积概率函数πi=Φ(ri；μ，σ)-Φ(Ri-1；μ，σ)，(13)中计算的，其中Φ(r；μ，σ)=0和Φ(Rn+1；μ，σ)=1。假设估值月中有21天，向量μ和σ包含正态分布的均值和标准差，期望算子E和方差算子Var计算估值月中概率π的均值和方差，给定均值和标准差向量μ和σ。与toBrenner和Izhakian[2018]相反，我们的垃圾箱大小不是恒定的，而是取决于垃圾箱离零有多远。对于[-2%，2%]的回报率，我们的区间为0.1%。对于其他范围[-3%,-2%]@[2%,3%]、[-4%,-3%]@[3%,4%]、[-5%,-4%]@[4%,5%]、[-6%,-5%]@[5%,6%]，垃圾箱大小分别以0.2%、0.25%、0.5%和1%的速度递增。此外，我们使用每个bin实际出现的百分比来代替正常的直方图概率。Bi和Zhu[2020]的一个有趣的结果表明，风险价值与预期收益之间存在负相关关系。在预期收益预测方面，Brenner和Izhakian[2018]提出了风险-模糊性-收益关系asEt(RT+1)=RF+γVart(RT+1)+η(1-Et(PT+1))Et(RT+1)ft(RT+1)，(14)其中Et(RT+1)是下一个工作日的预期收益，rfis是无风险利率，右边的第二项和第三项分别代表风险和模糊性溢价，γ衡量投资者的风险厌恶程度，η衡量投资者对模糊性的情绪，这取决于预期的有利收益概率(1-Et(PT+1))。在上述关系的激励下，本文引入了一个随机和不确定的风险阈值，通过风险和模糊性来反映投资者的预期。因此，我们可以用多重线性回归BRTT=β+βσT-21+βFT-21，(15)对阈值进行建模，其中BRTtis时间t的风险阈值，σT-21是21天的历史方差，FT-21是上个月的模糊度水平。选择21天是因为使用Intraday返回数据每月计算模糊度。在这种情况下，VaR可以通过VART=BRTt+σ(BRTt)ζ(BRTt)(NNU(1-p)ζ(BRTt)-1)计算，(16)注意参数ζ和σ是阈值BRTt的函数，因此分布尾部的形状和规模是由基础投资组合的风险和模糊程度决定的。5实证分析在本节中，我们提供了用于检验EVT-VaR方法的市场数据的详细描述。我们给出了带模糊度和方差的动态阈值模型估计的数值结果。本文对2005年4月至2019年10月期间的标准普尔500（美国）、富时100（英国）、道琼斯（美国）、日经指数（日本）、BVSP（巴西）和梅瓦尔（阿根廷）等6个主要全球指数进行了分析。

在预测BRT时，我们用指数的5分钟回归数据计算月模糊度，用日收盘价估计方差。我们使用贸易和报价(TAQ)和FINAM数据库的数据。选择这些指数背后的原因是，它们形成了发达市场和新兴市场的不同集合；其次，它们代表了世界上一些重要的股票市场，许多基金将它们复制为他们的投资组合。为了更好地理解数据，表1代表了每日股票回报的偏度、峰度、最大值、最小值和Jarque-Bera测试结果。5.2预测BRTT在预测BRT时，我们用600天的滚动窗口[T+599]作为训练期，用接下来的25天[T+600,T+624]作为检验期来预测BRT。在600天的培训窗口中，我们选择两个滚动窗口。首先，一个100天的滚动窗口[T，T]，用于计算VaREVTp(T，T；u）；其次，一个50天的滚动窗口[T+1,T]，用于计算VarHP(T+1,T）。我们选择方程（6）中的D为区间[T，T]中的所有负收益。我们的算法在满足方程（6）的搜索空间D中搜索最优u。下一步，我们在滚动窗口[T+100,T+549]上对计算的BRTs进行线性回归（15）作为响应变量，对一个月的历史方差和模糊度两个自变量进行线性回归。我们根据5分钟的返回数据计算上述指数的模糊度。图3展示了这些指数的模糊度时间序列。请注意，回归方程（15）不能在整个600天滚动窗口[T，T+599]上估计，因为100天被分配给训练间隔，而50天被分配给最后一个训练间隔。在我们的回归中，自变量是BRTS的重要预测因子。5.3 VaR估计使用前一步的回归模型，我们预测时间间隔[T+600,T+624]的BRT。一旦阈值被估计，在方程（3）中，通过最大似然估计(MLE)使用低于阈值的历史回报来获取GPD参数ζ和σ。最后，使用等式(16)，我们估计未来25天的日风险值，预测水平为95%。图4总结了前面提到的计算VAR的所有步骤。作为我们方法的结果，图5给出了我们分析的六个主要指标的预测BRT和不确定EVT VaR的时间序列。5.4模型验证用于VaR回测的两种最常用的方法是无条件覆盖法和条件覆盖法(Kupiec[1995]，Christo′Ersen[1998])。无条件覆盖法只集中在这些指数的开始日期早于2005年4月（见图5）。我们计算模糊度的R代码可根据要求提供。灰天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论(a)S&P500(b)FTSE 100(c)道琼斯(d)日经(e)BVSP(f)MERVALTHE图3：六个主要全球指数的模糊度时间序列:S&P500、FTSE 100、道琼斯、日经、BVSP和MERVAL。水平轴表示时间，垂直轴表示歧义。表1：每日回报数据的描述性统计数据，峭度最大最小Jarque Beras&P500-0.3510.587.57-7.93RFTSE 100 0.0710.84-7.95-7.81RDow Jones-0.2111.177.77-7.05RNIKKEI-0.4016.9912.36-10.00RBVSP0.1110.0314.45-11.11RMERVA-1.4728.5410.14-31.65注：本表表示本文所用数据的统计性质和Jarque-Bera(JB)正态性检验结果。最小和最大的返回是百分比，对于JB测试，r意味着正态假设被拒绝。

峰度结果表明，所有的回归时间序列都是肥尾的。灰色天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论图4：该图给出了我们的不确定EVT模型的流图。在输入数据安排中，估值时间为T，滚动窗口大小W=600。VaREVTp(T,T；u）是在区间[T,T]上计算的，滚动窗口大小为w=100。VaRHp(t+1,t）是在[t+1,t]上计算的，窗口大小为w=50。最后，假设预测窗口的大小为w=25，在区间[T+600,T+624]上预测BRT进程。关于这两个检验的更多细节，请参见附录B。表2中，我们的VaR模型，不确定EVT的性能，与其他七种方法进行了比较，包括EVT、EGARCH、GARCH、CaviaR非对称、Monte Carlo模拟、历史模拟和方差-协方差方法。关于我们比较分析中的基准方法的简要概述，请参见附录a。一种有竞争力的方法是GARCH，其中除了在无条件覆盖测试下的富时100指数之外，没有一个VaR结果被拒绝。在所有指标中，除了条件覆盖检验下的Merval指标外，我们的模型的结果没有被拒绝。总体而言，反向测试的结果显示了不确定EVT的强大性能，其中我们的方法改进了EVT方法的结果。5.5模型的预测性除了反向测试的结果之外，在本研究中，我们使用了另一个测试来比较我们的基准方法对不确定EVT的预测能力。Diebold和Mariano[2002]为比较两个给定模型的预测能力提供了一种普遍的方法。附录B给出了DieboldMariano预测能力检验的详细讨论。考虑到风险管理者的关注，我们使用方程（8）计算了相应的BRT，并将其与其他基准模型的预测能力进行了比较。全局指标的检验结果见表3和表4。将这些表视为矩阵，Diebold-Mariano检验统计量的第IJ项提供了模型i与模型J的预测能力。

当这个数字小于（大于）临界值时，灰天鹅的不确定形状：具有不确定阈值的极值理论2；使用Kupiec和Christo of Ersen的似然比无条件和条件覆盖测试对95%预测水平的VaR的回测结果，具体来说。方法回溯测试方法&P500富时100道琼斯指数统计数据p值t统计数据p值t统计数据p值t统计数据p值t统计数据p值p值p值不确定EVTLR UC 0.883 0.347 NR 1.382 0.239 NR 2.834 0.092 NRLR CC 1.035 0.595 NR 3.571 0.167 NREVTLR 3.854 0.049 R 2.484 0.114 NRLR 3.854 0.049 R 2.484 0.114 NRLR 3.854 0.004 R 18.2 0.0001 REGARCHLR UC 1.110 0.292 NR 12.313 0.00045 R 13.936 0.00019 RLR 12.065 0.356 NR 12.639 0.00180 R 19.216 0.00007 RGARCHLR UC 0.032 0.857 NR 5.377 0.020 R 1.540 0.215 NRLR CC 2.414 0.299 NR 5.460 0.065 NR 4.438 0.109NRCaviaR非对称性rr UC 31.2 2.38 e-08 R 5.1 2.36 e-02 R 15.8 7.09 e-05 RLR CC 31.3 1.60 e-07 R 9.0 1.11 e-02 R 16.1 3.22 e-04 RMonte Carlo模拟lr UC 3.160 0.075 NR 4.140 0.042 R 4.343 0.037 RLR CC 15.152 0.001 R 15.382 0.001 R 15.152 0.001 R 25.062 0.000 R 15.381 0.001 R 15.152 0.001 R 15.381 0.001 R 15.381 0.001 R 25.062 0.000 R 2.485 0.115 NRLR CC 15.212 0.000 R 12.376 0.002 R 20.046 4.44 e-05 rvariance-covariance UC 233 NRLR CC 16.684 2.38 E-04 R 18.894 7.89 E-05 R 20.826 0.00003 R方法回测方法日经BVSP Mervaltstat P值t stat P值t stat P值不确定EVTLR UC 2.824 0.092 NR 0.653 0.418 NR 0.107 0.743 NRLR CC 2.974 0.225 NR 1.570 0.455 NR 14.720 0.0006 REVTLR UC 0.226 0.634 NR 0.3500.553 NR 1.877 0.170 NRLR 0.966 0.083 NR 6.348 0.041 R 24.1 5.91 E-06 REGARCHLR UC 6.783 0.00920 R 0.270 0.603 NR 0.009 0.926 NRLR CC 9.461 0.00882 R 2.789 0.248 NR 0.299 0.861 NRLR 0.299 0.861 NRLR UC 1.891 0.004 0.950 NR 0.028 0.867 NRLR CC 4.556 0.102 NR 0.013 0.993 NR 2.345 0.310 NRCaviaR不对称rr UC 3.562 0.059 NR 1.298 0.255NR 7.398 0.007 RLR CC 3.580 0.167 NR 6.340 0.042 R 7.992 0.018 RMonte Carlo模拟LR UC 2.331 0.127 NR 0.025 0.875 NR 2.990 0.084 NRLR CC 4.445 0.108 NR 8.721 0.013 R 17.303 0.000 RHistory模拟LR UC 0.107 0.743 NR 0.653 0.419 NR 2.515 0.113 NRLR 0.372 0.185 NR 6.1120.047 R 23.553 0.000 RVariance-Covariance UC 3.355 0.067 NR 0.185 0.667 NR 1.878 0.171 NRLR 4.954 0.084 NR 7.491 0.024 R17.761 0.00014 RR注：该表给出了各种VaR方法的回测结果，包括不确定EVT、EVT、GARCH、EGARCH、CaviaR非对称、Monte Carlo模拟、历史模拟以及使用无条件和条件覆盖测试的方差-协方差。无条件覆盖测试只关心不超过预定控制级别的违规数量，但条件覆盖测试还考虑连续的违规。在本表中，LR UC和LR CC分别指Likelihood比率无条件和条件覆盖测试。根据这些Ecoverage测试的结果，NR代表未被拒绝，R代表被拒绝的结果。基于全球指数标准普尔500、富时100、道琼斯、日经指数、BVSP和Merval的结果，最成功的两种方法是不确定的EVT和GARCH方法。灰色天鹅的不确定形状：不确定阈值的极值理论(a)标准普尔500(b)富时100(c)道琼斯(d)日经指数(e)BVSP(f)Merval图5：标准普尔500、富时100、道琼斯、日经指数、BVSP和Merval的VaR结果（红色）使用等式(16)，使用不确定的EVT方法使用95%的预测水平，以及预测的BRTs（黄色）使用等式(15)，显示了标准普尔500、富时100、道琼斯、日经指数、BVSP和Merval。水平轴和垂直轴分别代表时间和回报。-1.64(+1.64)，我们得出结论，模型i明显优于（低于）模型J。正如我们所看到的，不确定EVT相对于其他基准表现强劲。在所有指数中，我们观察到不确定EVT在富时100指数中表现中等，在其他指数中表现第二强。