城市零售模型中集聚模式的随机稳定性

在近视眼动力学(D)下，离散在虚线下局部稳定，而集聚总是局部稳定的1 2 3 4 5 67 8 9 10 11…31 32 33 34 35 36…26 27 28 29 30(a)平方经济1 2 3 436 35……(b)周期边界条件(c)一种集聚模式图4:6×6平方经济，周期边界条件在虚线下局部稳定，而集聚总是局部稳定的。图2对应于图3在二维α=1.2.7势极值平衡时的横截面。双区示例表明，随机稳定性方法是从HW模型中提取本质含义的有效方法。作为进一步的说明，我们将注意力转向维度空间，这是模型实际应用的焦点。我们的目的是获得二维设置的图3的模拟。区域科学中理论研究的标准对称设置是根据中心位置理论(Christaller，1933；L"osch，1940)扩展的二维空间。作为一种在适当扩展的二维空间的模拟，我们考虑一个具有周期边界的对称正方形经济。图4a显示了经济，其中顺序编号的区域用圆表示；细线表示运输网络。这些区域等距放置在一个正方形网络上；每个相邻区域之间的距离是一个单位。我们关注caseK=6×6=36，这是可以被2和3除的最小平方数。图4b说明了周期边界条件。例如，区域1不仅与区域2和7相邻，还与区域6和31相邻。如图所示，这种经济可以看作是一个扩展了的二维空间的近似。虽然我们关注的是K=36的情况，但考虑到更高的K并没有在质量上改变结果（Ikeda et al.，2018，2019)。图4c显示了一个四中心模式，作为这种经济中集聚模式的一个例子，其中灰色圆盘示意性地显示了零售商的空间分布x。6×6格子中的空间构型可以看作二维空间上的一个完全重复的构型，设φij=φ`ij，对所有i,j∈[K],其中`ij≥0是i与j之间的最短路径长度，φ=exp(-β)。例如，`1,2=1,`1,9=3,`1,36=2和`1,28=5。或者，φij=exp(-β`ij)。假定消费者需求是空间均匀的:qj=qk，对于所有j∈[K]。在此基础上，我们抽象出所有由底层传输网络引起的外生优势，并着重于HW模型中的内生机制。考虑这种多区域设置的要点在6.2节讨论的步骤1中。列举所有的平衡实际上是不可能的。为了缓解这种情况，我们使用Ikeda等人开发的asystematic方法。（2018,2019）列举了空间均衡的所有重要候选项：不变均衡。不变均衡是一类特殊的均衡模式，其中所有零售集聚区（有零售商的区域）拥有相同数量的零售商。空间平衡xutolutix是一个不变平衡，如果xutoli=M，对于所有i∈supp(xutol)ζ{i∈[K]xutoli>0}，其中M=supp(xutol)是零售聚集的数目。例如，如果K=2，如第7节所示，X=，，X=1=(1,0）和X=2=(0,1）是不变的tequilibria，它们用尽了所有可以局部稳定的平衡模式。

对于本节所考虑的6×6平方经济，有83个不变均衡（见附录B中的图9）。对于具有空间均匀需求的一般K区经济(qj=q/K，对于所有j∈[K])，在任何不变均衡中，所有零售集聚区都必须在地理上对称，因为它们具有共同的市场份额水平。为了看到这一点，考虑一个空间模式X*，其中零售商均匀地位于M≤K区域。对于满足平衡条件πi(x^)=0的x^i，它必须是∑j∈[K]φj∑K∑supp(x^)φjkqjx^i-κ=∑j∈[K]φjΦj(x^)qmk-κ=0±i∈supp(x^)，(7.1)因为x^i=1/m对于每一个i∈supp(x^)；Φj(X~*)=∑K∈SUPP(X~*)φJKI是从j区到零售集聚区的总可达性。我们注意到，φjiφjiΦj(x*)是购物需求在j的总需求中对i的份额。由于q/κ=1，我们有∑j∈[K]φjik=m,πi∈supp(x~*)。（7.2）左手边是每个零售集聚区的市场份额总和。因此，(7.2)意味着，如果零售商均匀地分布在M个位置上，所有零售集聚区i∈supp(X*)应该面临相同的需求份额。事实上，在正方形经济中，所有不变均衡都表现出几何对称性，其中每个零售集聚区具有相同的市场份额水平（见附录B中的图9)，因此满足条件（7.2）。由于均匀对称地改变φ减小了区域间的可达性，所以对于任意φ值，所有的不变平衡都是空间平衡。对于任意K,对称地理上的不变平衡可以用群论来证明。它们以代表地理对称的群体为特征（Ikeda et al.，2018)。例如，当我们考虑具有K=n个位置和周期边界的平方格经济时，可以形式化地证明M必须除8K=8n。此外，不变平衡可以由例如GAP(2019)软件实现的计算群论算法枚举。给定所有不变平衡点的集合，我们可以考虑势函数f在其上的全局极大化。概括地说，我们在本节中使用的改进过程如下：步骤1\'枚举所有不变平衡点(*x*1,*x*2,*x*3,）。步骤2\'在结构参数θ(α，β)的每一个值处，从不变平衡集合e中选择位势f(·，θ)的全局位势极值。步骤3\'通过在θ中移动θ并重复步骤2\'，得到基于全局位势极值的θ的划分。如果K=2，则不变平衡集合e与所有可能是局部位势极值的平衡的划分完全一致。根据我们的认识，e并不包括具有不同大小的结块的空间平衡。因此，在多区域设置中，不能用尽所有可能的本地潜力最大化器。然而，我们期望它们包括所有相关的不对称地理模式。事实上，以前对对称多位置环境下空间集聚模型的研究表明，大多数符合单调变化的局部稳定均衡是不变均衡（Ikeda et al.，2018，2019)。我们还期望对称的空间分布，如不变平衡，是全局势极值的自然候选者。这里我们的假设是，在不变平衡集合中势的全局极值将提供随机稳定平衡整体性质的一个非常准确的视图。附录B中的图9列出了6×6平方经济中的所有不变平衡（直到对称），这完成了步骤1\'。通过对步骤3\'进行数值计算，图5以与图3相同的方式显示了基于全局势极大化的(φ，α)空间的划分。例如，图5a中带有“d”的theregion表示图5b中的双中心模式是该参数区域中的e之间的全局潜力最大化器。

在83个不变均衡中，只有8个可以是e中势的全局极值。当交互自由度φ较低或规模收益α较低时，零售商在空间上是分散的。随着φ和α的增加，零售集聚的数量减少，间距增大。作为健壮性检查，附录a列出了方形网格经济和三角形网格经济的结果。(φ，α)空间均匀(83)18中心(80)12中心(76)8中心(61)6中心(47)4中心(37)2中心（10）单中心(01)(b)随机稳定模式的划分图5：36个位置(α≥1)的方格经济中基于势函数全局最大化的平衡选择。面板(a)显示了基于(φ，α)-空间的随机稳定性划分，而面板(b)显示了相关的空间控制。标签ofeach spatial Configuration中的数字对应于附录B中的图9。在面板(a)中，字母M、D和Q分别表示单中心平衡、双中心平衡和四中心平衡；U表示均匀平衡；{18,12,8,6}中心的平衡模式从左下角到右上角依次对齐。基于势函数全局最大化的平衡重新定义比基于局部稳定性（即势的局部最大化）的平衡重新定义要明显得多。为了证明这一点，图6比较了f的局部和全局最大化。我们考虑α=1.2和α=2.5，它们在图5中用水平虚线表示。对于6×6平方经济，垂直轴对应83个不变的tequilibria。空间模式的指数越低，零售商所在的区域数目就越低。例如，模式83对应于均匀分布，模式01对应于其中一个区域的全部浓度（见图9附录B）。每条灰色实线表示φ的范围，其中对应的不变平衡点是势函数的局部极大值；即在(D)下是局部稳定的平衡点。每条灰线的黑色部分（如果有的话）表明空间约束使所有不变平衡中的势函数最大化。在图6a和6b中，φ∈(0,1）的整个范围被局部稳定的不变平衡点所覆盖。这将表明，不变均衡占据了所有空间均衡集合的基本部分，而其他非对称均衡是次要的过渡模式，就像其他经济集聚模型一样（Ikedaet al.，2018，2019)，在图6a中，α=1.2，向心力相对较弱。图6a演示了许多con可以同时变得局部稳定。例如，当φ=0.1时，所有的83个模式都是局部稳定的。尽管当φ增加时，零售商倾向于聚集在较少数量的地点，但局部稳定性方法造成了对哪种控制是最相关的结果的模糊性。相反，通过考虑势函数的全局最大值，我们只可以得出8个模式（由图6a中的水平虚线表示），它们可以变成0.00.20.40.60.81.020406080(a)α=1.20.00.10.20.30.40.520406080(b)α=2.5图6:α=1.2和α=2.5的基于局部稳定性和势函数最大化的重新定义的比较。纵轴对应于附录B中inFigure 9所示的不变模式。实线表示φ的范围，在该范围内，不变平衡在(D)下局部稳定。灰色实线上的黑色部分表示平衡点在φ范围内使不变平衡点间的势值最大。面板(a)和(b)对应于图5a所示的横截面。

在面板(a)中，8个模式可以是全局最大值，而在面板(b)中可以看到6个模式。在不变模式中f的全局最大值。在图6b中，我们考虑α=2.5的情况。由于向心力很强，多个零售集聚往往变得不稳定。当φ=0.1时，某些不变平衡点不可能是局部稳定的，但仍存在多重局部稳定平衡点的可能性。势函数的全局最大化允许在φ的每个水平上进行明确的预测。只有6个不变平衡点使势函数全局最大化；与图6a相比，以18为中心和以12为中心的模式更多。总之，HW模型的基本含义是运输成本的降低（即φ的增加）和向心力α的增加促进零售商集中在越来越少的地点。这些结果证实了文献（例如，Clarke and Wilson，1985；Dearden and Wilson，2015)中的数字数据。由于文献中以前的数值模拟是基于确定性动力学(D)，所得到的平衡可以是许多可能性中的一种，如图6所示。相反，随机稳定性方法在每个参数值上都有一个独特的预测，从而为HW模型中的集聚行为提供了一个全新的视角。8结论性意见Harris和Wilson模型是城市空间结构形成的一个简约框架。本文基于潜在博弈中的随机演化动力学理论，提出了一种新的均衡选择方法。我们发现该模型是大种群潜在博弈的一个实例，并使用了随机稳定性对均衡的重新定义。与局部稳定性不同，随机稳定性或势函数的全局最大化允许对平衡空间结构的明确描述。我们的结果为以前的数值观测提供了一个新的解释，即降低运输成本会促进集中。为了列举二维环境中所有重要的空间集中，我们使用了Ikeda等人开发的agroup-theory方法。(2018、2019)来考虑InvarianTequilibria的集合。Osawa和Akamatsu(2020)在城市经济学模型的背景下采用了类似的方法来关注对称模式。这种方法的一个技术限制是，通过构造，我们忽略了不对称的空间控制。Harris和Wilson框架的简单性使其可以应用于多种情况，并使研究人员能够发展出一个完整的参数估计框架。一些研究旨在深化Wilson(2007)的BLV框架的物理意义。例如Crosato等人。（2018）考虑了城市转型的热力学意义。此外，在考虑城市空间结构的长期演化时，一个重要的概括是考虑消费者的重新安置（Slavko et al.，2019)。这意味着，与最初的HW框架相比，该模型有两种定性的影响因素。Osawa和Akamatsu(2020)表明，本研究采用的潜力最大化方法可以作为分析多智能体模型的一种有效方法。(a)(φ，α)空间均匀(65)18中心(63)12中心(57)6中心(33)4中心(25)3中心（14）单中心(01)(b)随机稳定模式的划分图7：36个位置(α≥1)的三角格经济中基于势函数全局最大化的均衡选择。

面板(a)显示了基于(φ，α)-空间的随机稳定性划分，而面板(b)显示了相关的空间控制。标签ofeach spatial Configuration中的数字对应于附录B中的图10。在面板(a)中，字母M和T分别表示单中心和多中心平衡；U表示均匀平衡；{18,12,6,4}中心平衡模式在φ轴上从左到右依次排列。为了检验稳健性，我们将正方形经济与Ikeda和Murota(2014)所考虑的另一个二维空间--非对称三角形格子经济进行了比较。具有周期性边界的三角形网格经济是有意义的，因为中心位置理论(Christaller，1933；L"osch，1940)所设想的六角形市场区域可以内生地在一般均衡模型中成为局部稳定的均衡（Ikeda et al.，2014，2017)。在HW模型的背景下，Beaumont等人。（1981）提供了一个用三角格子的六角经济的数值研究。为了与正方形格型的结果进行比较，我们考虑了一个6×6=36个位置的6×6三角形格型经济。在三角形的情况下，有65个不变平衡，我们在附录B的图9中列出了Ikeda等人。（2019）详细讨论了不变平衡的性质。例如，零售集聚区的数量M必须除以12n。在65个不变平衡中，只有7个能使势函数全局最大。图7显示了基于具有高势值的不变平衡的(φ，α)空间划分。该分区在性质上类似于图5。根据零售聚集的数量，空间布局从左下到右上对齐。除了在一个区域内均匀分布和充分聚集外，在参数空间中还存在两种占据较大区域的代表性：12中心型和三中心型。前者对应于Christaller的k=3体系，AS=3。这两种模式都具有中心位置理论中考虑的六边形市场区域。图8比较了正方形和三角形格子中势最大化不变平衡的演化。我们考虑图5和图7中φ在α=1.2下的单调增加。它可以是18中心→12中心→四中心→双中心→单中心(a)正方形格子，12中心→三中心→单中心(b)三角形格子。8：正方形格子和三角形格子中潜能最大化空间结构演化的比较。如图5和图7所示，α=1.2的截面显示了代表性的模式。可以看出，基本含义是相同的：随着φ的增加，零售集聚的规模增加，它们之间的间距变宽。二维经济中的B不变均衡。图9显示了具有周期边界的6×6平方经济的所有不变均衡。在这些空间模式中，零售集聚区对称地分布在广场经济上。例如，在模式29、64和80中，零售聚集点等距放置以形成方形模式。正文中的图4c显示了模式37。图10显示了具有周期边界的6×6三角形晶格经济的所有不变平衡。类似于图9，零售集聚表现出地理对称性。在我们的风格化二维经济中，这些不变均衡由代表经济对称性的群G来表征。例如，具有周期性边界的正方形晶格在90°、180°、270°旋转以及水平和垂直平移下是不变（对称）的；而G是封装这种对称性的数学对象。利用这一对称性，利用GAP软件(GAP，2019)对本文所考虑的正方形和三角形格子经济的不变平衡进行了枚举。

对于每一个地理位置，我们将枚举地面群G中的所有子群{G}。随后，我们对每个子群G应用轨道分解，这是通过G的作用（即G引起的区域指数的置换）将位置集[K]划分为等价类。feach不变平衡点x*的支持度supp(*x*)对应于[K]的一个分块分量。关于细节，seeIkeda等人。（2018）和池田等人（2019）分别提供了任意数量位置的不变均衡平方和三角经济的群论分析。图9：具有6×6位置的方形网格经济的不变均衡的完整列表。图10：具有6×6位置的三角格经济的不变均衡的完整列表。参考Sakamatsu,T,Fujishima,S,和Takayama,Y.（2017）。具有社会相互作用的离散空间集聚模型：多重性、稳定性和均衡的连续极限。数学经济学学报，69:22-37.赤松，T.，高山Y.，池田K.(2012)。空间贴现、傅立叶与赛马场经济：空间集聚模型分析的一个累犯。经济动力学与控制学报，99(11):32-52.鲍丹斯，P.，Fry,H.M.，Davies,T.P.,Wilson,A.G.和Bishop，S.(2016)。一个动态的空间模型。欧洲应用数学学报，27(3):530-553.博蒙特，J.R.，克拉克，M.，威尔逊，A.G.(1981)。能源参数变化与城市空间结构演变。区域科学与城市经济学，11(3):287-315.贝克曼（1976）。分散城市中的空间均衡。《环境、区域科学和区域间建模》第132-141页。Springer.Bevan,A.和Wilson,A.（2013）。基于部分证据的沉降层次模型。考古科学学报，40(5):2415-2427.布兰切特，A.，Mossay,P.和Santambrogio,F.（2016）.社会互动空间模型均衡的存在唯一性。《国际经济评论》，57(1):36-60.布鲁姆，L.E.(1993)。战略互动的统计机制。博弈与经济行为，5(3):387-424.布鲁姆，L.E.(1997)。人口游戏。《作为一个不断演化的复杂系统的经济II》，27:425-460.布拉加德，J.和莫萨伊，P.(2016)。社会互动空间模型的稳定性。混沌，孤子与分形，83:140-146.布朗，格氏，冯诺依曼，J.(1950)。用双方程解对策。在Kuhn,H.W.和Tucker,A.W.编辑，对游戏理论的贡献I.普林斯顿大学出版社，Christaller，W.(1933)。南德意志的Zentralen Orte。古斯塔夫·费舍尔，耶拿。（英文译本：德国南部的CentralPlaces,Prentice Hall,Englewood Cli s,1966）。Clarke,M.（1981）。关于生产约束空间相互作用模型平衡解稳定性的注记。环境与规划A,13（5）：601-604.克拉克，M.和威尔逊，A.G.(1983)。城市空间结构动力学：进展与问题。区域科学学报，23(1):1-18.克拉克，M.和威尔逊，A.G.(1985)。城市空间结构的动态：一项研究计划的进展。英国地理学家学会学报，10(4):427-451.Crosato,E.Nigmatullin,R.和Prokopenko,M.（2018）.城市转型的临界动力学和热力学研究。英国皇家开放科学学会，5(10):180863.Davies,T.P.,Fry,H.M.,Wilson,A.G.,Bishop,S.R.（2013）.伦敦骚乱及其治安的数学模型。科学文献报道，3:1303.de Jong,G.,Daly,A.,Pieters,M.和van der Hoorn,T.（2007）。对数和作为评价指标：文献回顾和新结果。运输研究A部分：政策与实践，41(9):874-889.迪尔登，J.和威尔逊，A.G.(2015).城市与区域动力学的探索：复杂性科学的案例研究。Routledge.Dupuis,P.和Nagurney,A.（1993）。

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