城市零售模型中集聚模式的随机稳定性

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摘要翻译：
我们考虑了Harris和Wilson提出的城市空间结构模型（环境与规划a,1978）。该模型由快速动力学和慢动力学组成，前者通过熵最大化原理表示位置之间的空间相互作用，后者表示促进这种空间相互作用的局部因素的空间分布演变。Harris和Wilson模型的一个已知的局限性是它可以有多个局部稳定的平衡点，导致预测依赖于初始状态。为了克服这一点，我们利用随机稳定性的平衡精化。我们建立在这样一个事实上，即模型是一个大种群势博弈，势博弈中的随机稳定状态对应于全局势极大化。与确定性动态下的局部稳定性不同，随机稳定性方法允许对城市空间配置进行唯一和明确的预测。我们发现，在最可能的空间配置中，零售集聚的数量会随着消费者购物成本的降低或集聚效应的增强而减少。
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英文标题：
《Stochastic stability of agglomeration patterns in an urban retail model》
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作者：
Minoru Osawa, Takashi Akamatsu, and Yosuke Kogure
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Pattern Formation and Solitons        图形形成与孤子
分类描述：Pattern formation, coherent structures, solitons
图案形成，相干结构，孤子
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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英文摘要：
  We consider a model of urban spatial structure proposed by Harris and Wilson (Environment and Planning A, 1978). The model consists of fast dynamics, which represent spatial interactions between locations by the entropy-maximizing principle, and slow dynamics, which represent the evolution of the spatial distribution of local factors that facilitate such spatial interactions. One known limitation of the Harris and Wilson model is that it can have multiple locally stable equilibria, leading to a dependence of predictions on the initial state. To overcome this, we employ equilibrium refinement by stochastic stability. We build on the fact that the model is a large-population potential game and that stochastically stable states in a potential game correspond to global potential maximizers. Unlike local stability under deterministic dynamics, the stochastic stability approach allows a unique and unambiguous prediction for urban spatial configurations. We show that, in the most likely spatial configuration, the number of retail agglomerations decreases either when shopping costs for consumers decrease or when the strength of agglomerative effects increases.
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关键词：稳定性 interactions Contribution Differential Quantitative

城市零售模型中集聚模式的随机稳定性*Minoru Osawa,_takashi Akamatsu,.和Yosuke Kogure§2020年11月16日摘要我们考虑Harris和Wilson提出的城市空间结构模型（Environmentand Planning a,1978）。该模型由快速动力学和慢动力学组成，前者根据熵最大化原理表示位置之间的空间相互作用，后者表示促进这种空间相互作用的局部因素的空间分布演化。Harris和Wilson模型的一个已知的局限性是它可以有多个局部稳定的平衡点，导致预测依赖于初始状态。为了克服这一问题，我们采用了随机稳定性的方法。我们建立在这样一个事实上：模型是一个大种群势博弈，势博弈中的随机稳定状态对应于全局势极值。与确定性动态下的局部稳定性不同，随机稳定性方法允许对城市空间聚集进行唯一和明确的预测。我们发现，在最有可能的空间聚集中，零售聚集的数量要么随着消费者购物成本的降低，要么随着聚集强度的增加而减少。关键词：零售聚集；空间相互作用；多重平衡；局部稳定性；Jel分类:C62、R12、R13、R14*我们感谢铃木雅史和山口周平对研究的慷慨帮助。Minoru Osawa感谢JSPSKAKENHI17H00987和19K15108的支持。Osawa.minoru.4z@kyoto-u.ac.jp；日本东北大学信息科学研究生院，06-Aroamaki-Aoba,Aoba-ku,Sendai,Miyagi,980-8579,日本东北大学工学院，06-Aroamaki-Aoba,Aoba-ku,Sendai,Miyagi 980-8579,Japan。理解城市的结构、功能和动态是当代科学研究的中心问题之一。城市的主要特征包括地点的活动、地点之间的空间模式以及促进这些活动的内部空间结构。为了对这些系统进行建模，Wilson(2007)提出了Boltzmann-Lotka-Volterra(BLV)方法。BLV方法是快速动力学（“Boltzmann”分量）和慢动力学（“Lotka-Volterra”分量）的综合。快速动力学描述了短期的空间相互作用模式（即地点之间的关系，如始发地和目的地之间的行程分布）和短期的Payo景观。慢动态描述的是流动因素在空间分布上的逐渐演变，这些因素支配着流动人口的生成和吸引（即，地点的存量，如原点的出行需求和目的地的吸引力）的过程。基于空间相互作用的快速动力学遵循熵最大化框架(Wilson，1967，1970)。BLV形式主义通过考虑股票价值在地点的依赖于信息的演化，增加了缓慢的动态。这种短期和长期动态的结合在Fujita等人合成的《新经济地理学》中得到了体现。BLV方法的原型是Harris and Wilson(1978)(HW)模型，这是在城市地区零售集聚自发形成模型方面的先驱工作。Harris和Wilson在Hu Alter(1963)、Lakshmanan和Hansen(1965)的静态购物模型的基础上，建立了具有集聚力的空间结构动态模型。

他们的研究表明，这样一个模型可以表现出多重平衡、路径依赖和突变相变。尽管他们的研究将城市以外地区零售集聚的形成视为一种应用，但HW模型，以及更广泛的BLV方法，具有更广泛的应用范围，包括物流(Leonardi，1981a，b)、考古学（Bevan and Wilson，2013；Paliou and Bevan，2016)、医疗保健（Tang et al.，2017)和犯罪（Davies et al.，2013；Baudains et al.，2016)等等（见Dearden and Wilson，2015年，关于BLV方法应用的阐述）。鉴于这些不同的应用，有必要对HW模型的分析方面有一个坚实的理解。HW模型的一个关键问题是它收敛于多个平衡点中的一个，依赖于初始条件。早期对模型分析性质的探索主要集中在可处理性的两个位置设置上（例如，Clarke，1981；Wilson，1981；R K andVorst，1983a，b)。然而，他们已经提出，可能会出现多个局部稳定的平衡。此后，在多地点环境下对HW模型进行的大量数值模拟表明，可以产生许多局部稳定的均衡（Clarke and Wilson，1983，1985；Wilsonand Dearden，2011；Dearden and Wilson，2015)。此外，通过使用byAkamatsu等人开发的分析方法。(2012)，Osawa et al.（2017）正式说明了该模型在多位置设置中允许多个局部稳定状态。多个局部稳定状态的存在意味着模型的预测可能难以捉摸，并提出了关于文献中数值计算的鲁棒性问题。为了克服这一问题，我们引入了一种新的方法，允许对HW模型中最大可能的空间分布进行明确的预测。我们使用了随机稳定性方法。我们发现HW模型是一个潜在的博弈（Monderer and Shapley，1996；Sandholm，2001，2009)。在势博弈中，已知全局势极大集是随机稳定的。通过势函数的全局极大化，可以确定模型结构参数的每一给定值下可能的空间集聚模式。这与文献中的局部稳定性方法形成了对比，后者展示了可多重平衡。本文将随机稳定性方法应用于二维平方经济，证明了在最有可能的空间范围内，当消费者购物成本降低或聚集中心强度增加时，零售聚集的数量会减少。这些结果证实了文献中的数值计算结果。第2节讨论了我们对文献的贡献。第3节介绍了HW模型。第4节给出了形式上的例子来证明HW模型可以同时允许多个局部稳定的平衡点。第五节说明HW模型是一个潜在的博弈。第6节回顾了本文所采用的随机稳定性方法，并给出了一个简单的例子。第7节将随机稳定性方法应用于二维经济中的HW模型。2相关文献Harris和Wilson(1978)表明，他们的模型归结为一个关于空间相互作用模式和零售商空间分布的Ascalar值函数的最大化问题，因此，我们可以将HW模型解释为一个大种群潜在博弈(Sandholm，2001，2009)，这反过来又允许我们以一种简单的方式应用博弈论文献中发展的随机稳定性方法。

具体而言，在潜在博弈中随机演化动力学的平稳分布往往成为玻尔兹曼-吉布斯测度，它在实现更高的潜在值的空间条件下赋予更高的概率。随机稳定性考虑平稳分布的一些极限，例如，“低温”极限，其中分布集中在势函数的唯一全局极值集上(Blume，1993，1997)。因此，该方法将全局势极值视为随机稳定状态。我们采用Sandholm(2010)关于当玩家数量增长到一定数量，噪声水平减小时，平稳分布的极限行为（“双重极限”）的结果。SeeWallace和Young(2015)对博弈论中随机稳定性方法的调查。随机稳定性和潜在博弈在城市空间环境中的一个成功应用是谢林（1971）著名的隔离模型，在该模型中，一定数量的代理人在离散网格上选择他们的位置。谢林的研究表明，微小的微观相似性会导致两组人在宏观上的分离。通过考虑个体效用函数的几种特殊函数形式，Zhang(2004a，b，2011)表明，可以用势函数扫描来刻画模型的平衡点。Grauwin等人（2012）在Zhang工作的基础上，将Schelling模型表述为空间进化博弈，并使用潜在博弈方法提供了一般分析。张(2004a、b、2011)和Grauwin等人。（2012）考虑了具有一定数量的Agent的博弈和当随机性减小时随机动力学的平稳测度的极限行为--小噪声极限（Foster and Young，1990；Kandoriet al.，1993)。为了研究存在一个连续体的HW模型，我们建立在Sandholm(2010)第12节的基础上，并考虑了当个体数量趋于有限且噪声降低时的双重极限。尽管本研究中使用的随机稳定性方法隐含地考虑了随机演化动力学，但由于它考虑了Boltzmann-Gibbs测度的极限行为，其预测是确定性的。人们可以直接研究从HW模型得到的随机微分方程(SDE)的行为。例如，Vorst(1985)考虑了HW模型的anSDE版本，提出了一个独立的随机稳定性概念，证明了模型中的平衡点在唯一时是全局吸收的。与此相比，我们的方法可以处理模型具有多个局部稳定的欠确定性动力学平衡点的情况。最近，Ellam等人。（2018）提出了一种基于anSDE公式的HW模型引入不确定性的统一方法，并给出了参数估计的贝叶斯方法。他们利用HW模型的势函数的存在来方便分析，因为与SDE公式相关的Boltzmann-Gibbs平稳分布是参数估计数据生成过程的一个组成部分。我们的方法转而关注不变测度的极限行为，以获得对HW模型的集聚行为的更清晰的理论见解。我们对空间经济模型中潜在博弈方法的文献做出了贡献。Beckmann(1976)认为，中央商务区的形成是由于代理人的社会偏好而形成的，而Mossay和Picard(2011)又重新审视了这一理论。Blanchet等人通过将Mossay和Picard(2011)的框架与Beckmann型社会外部性进行了概括，从而得出了一个结论。（2016）提供了一个变分（潜力最大化）公式的城市空间模型的一般类别，在连续空间中有一个连续的代理人。

尽管一些作者已经解决了这个问题（例如，Bragard and Mossay，2016年），但在这种连续空间模型中的稳定性特征是di-chult。相反，通过考虑Beckmanntype模型的离散空间版本，Akamatsu等人。（2017）提供了一个潜在的函数，可以通过更基本的策略进化动力学方法来表征平衡的稳定性（正如Sandholm调查的那样，2010)。类似地，Osawa和Akamatsu(2020)表明，Fujita andOgawa(1982)关于acity多个商业区形成的开创性城市经济学模型是在离散空间中制定的潜在博弈的一个实例；势函数的全局最大化也是该模型的一种有效的分析方法。我们期望discretespace方法可以为连续空间模型提供一个可操作的策略，包括谢林框架的变体，具有连续的代理人和连续的空间（而不是离散的代理人和离散的空间），如Mossay和Picard(2019)的模型。3城市零售模型我们Brie Ciry回顾了遵循Osawa等人版本的HW模型。（2017年）。考虑一个包含K∈Z离散区域的城市，其中Z是整数集。设[K]yen{1,2,...,K}表示这组区域。在城市中存在着一个可以进出任何区域的大型零售商连续体，而城市中零售商的均衡质量是由一个均衡条件给出的。零售商的空间分布由x=(xi)i∈[K]表示，其中xi≥0是区域i∈[K]中零售商的质量。当xi>0时，calli∈[K]为零售集聚。零售商的空间分布x是模型的内生变量，消费者的空间分布是外生的。每个消费者购买零售商销售的商品的数量。消费者的购物行为是由一组受原产地约束的重力方程来建模的，该方程最初是从熵最大化原理(Wilson，1967)导出的，这是logit模型的基础。来自j区的消费者在i区的价值为vij(x)=xαiexp-βtji∑K∈[K]xαkexp-βtjk-qj，(3.1)其中，qj>0表示j区的总需求；TJI是从j区到I区的广义旅行成本；α>0表示规模经济；而β>0表示需求在距离上减少的速率。除零售商的空间分布x外，其他变量均为外生变量。在HW\'sterminology中，Xαii代表了i区对消费者的吸引力，零售商进入一个区域的总成本κ>0。第一区的总收入平均分配给其中的零售商。区域i中的零售商是x的函数，其结果由以下方程给出:πi(x)xi∑j∈[K]vij(x)-κ=∑j∈[K]xα-1iφji∑K∈[K]xαKφjkqj-κ，(3.2)其中φijexp-βtij=(0,1]。我们给出了D[φij]ij∈[K]×[K]和π(x)(πi(x))i∈[K]。可以假定所需的成本κ是跨地点的。由于这样的假设只改变xi的尺度，为了简单起见，我们假设κi=κ.零售商的均衡空间分布是由他们的进出行为决定的。如果πi(x)>0，零售商进入区域i；如果πi(x)<0，零售商退出区域i；如果πi(x)=0，零售商不改变区域i。即xi>0意味着πi(x)=0，πi(x)=0意味着xi≥0；因此，所有区域的零售商都达到零利润均衡。另外，xi=0意味着πi(x)≤0；零售商没有动力重新定位或进入没有零售商的区域。这是由以下互补条件表示的:Xiπi(x)=0,Xi≥0,πi(x)≤0？i∈[K]。（3.3）模型中空间平衡的定义如下。当x≥0的状态满足（3.3）时是空间平衡态。在文献的基础上，我们研究了模型结构参数变化时空间平衡模式的演化。我们特别关注α和β的作用。注1。

在模型的任意空间平衡下，∑i∈[K]xiπi(x)=0；即∑i∈[K]qi=κ∑i∈[K]xi。左手边是零售商的总收入，而右手边是他们的总成本。与正性x≥0一起，这意味着任何空间平衡都必须位于以下闭凸集（Harris和Wilson,1978）中:xnx≥0κ∑i∈[K]xi=Qo,(3.4)其中Q∑i∈[K]qi。因此，∑i∈[K]xi=qκ.在不丧失一般性的情况下，Weassumeqκ=1用于归一化，X变成(k-1)-单纯形。局部稳定平衡点的4多重性已知HW模型同时允许多个空间平衡点。如R.Kand Vorst(1983b)指出，当K为均匀时，至少存在(kk/2)+1个正的空间平衡。为了获得符合实际的结果，文献关注于确定性调整动力学下的局部稳定平衡，即BLV方法的“慢动力学”，其定义为:πxi=Ei(x)xiπi(x)=∑j∈[K]xαiφji∑K∈[K]xαKφjkqj-κxi。(D)这与平衡条件（3.3）是一致的，因为(D)的任何驻点都是aspatial平衡点。作为X上的一个演化动力学，(D)是复制者动力学的一个特例（Taylor and Jonker，1978)，其中平均Payo总是为零，在(D)下，X在Rn+中是全局吸引的。当Q>κ∑i∈[K]xi时，零售商的总质量增加，当Q<κ∑i∈[K]xi时，零售商的总质量减少，因为∑i∈[K]πxi=∑i∈[K]ei(x)=∑i∈[K]xiπi(x)=q-κ∑i∈[K]xi)=q-κ∑i∈[K]xi。（4.1）因此，我们可以在不丧失一般性的情况下关注X中的状态。(D)下基于局部稳定性的平衡重新定义可以使许多平衡点成为局部稳定状态。例如，当α>1时，零售商在任何一个区域的单中心集中总是局部稳定的。命题1。假设α>1。然后，对于任意D=[φij]，零售商在单个区域的完全集中，即XI=qκ=1和XJ=0(J6=i)，对于某些i∈[K]，是局部稳定的空间平衡。证明。如果x*i=1和x*j=0(j6=i)，那么它是一个严格的平衡，因为如果α>1，则πi(x*)=0>-κ=πj(x*)(j6=i)。因此，在包括(D)（Sandholm,2014）在内的广泛动态下，它是局部稳定的。当α>1时，在消费者的任何旅行成本水平上，稳定均衡的数量（至少）与区域的数量一样多。进一步，Osawa等人的以下结果。（2017）具体论证了具有两个以上零售集聚的非平凡空间模式可以在本地稳定。(a)K=2circle(b)x(0)=*x(c)x(1)(d)x(2)(e)x(3)(f)x(4)图1：循环经济和对称空间控制可以同时在本地稳定。灰色圆盘表示人口密集区或零售集聚区的零售商数量。假设α>1。考虑一个一维循环经济，其中φij=φ`ij，φ∈(0,1）和`ij=min{i-j,k-i-j}。假定K=2J，J≥3。当φ和α都很小时，0≤k≤J且x=k的形式x(k)(2k_x,0,0,...,0{z}kelements,2k_x,0,0,..,0{z}kelements,..,2k_x,0,0,..,0{z}kelements,..,2k_x,0,0,..,0{z}kelements{z}重复k/2k=2j-ktimes)(4.2)的所有空间模式同时局部稳定。参见Osawa等人。(2017)，命题4。图8从数值上证明了这一结果，如果x(k)(k≥2)是局部稳定的，则所有x(l)(l≥k)都是局部稳定的。在K=2=16的情况下，图1显示了循环经济和空间模式{x(K)}1≤K≤j。另外，除{x(k)}1≤k≤j以外的空间模式也可以同时局部稳定。这些例子表明，基于局部稳定的平衡重构可以使平衡保持稳定。我们还将在6.2和7节中用数字说明这个问题。

为了缓解这一问题，我们引入了一种新的平衡重估方法，即基于随机稳定的方法。5潜在博弈表示法。在这里，我们观察到HW模型是一个大种群潜在博弈。Largepopulation游戏的定义如下（例如，Sandholm，2010年的一项调查）。考虑一个由一个连续的同质代理人玩的游戏。设[S]={1,2,....,S}为策略集，其中S∈Z为策略个数。LetY§{y∈Rs+∑i∈[S]yi=1}是所有可能的策略分布的集合，其中r+是非负实数的集合，yi∈[0,1]是参与策略i∈[S]的Agent的份额。设F:Y→RSbe为Lipshitz连续Payo函数，其Ih分量Fi:Y→R映射出在状态Y处扮演i∈[S]的agents的状态Y∈Y topayo Fi(Y)。元组([S],F）被称为大种群博弈。我们遵循惯例，其中F被定义在Y的一个开放邻域上，因此它的di值在Y上是好的。HW模型可以被看作是一个大种群博弈([K],π)，其中零售商的策略集是[K]，它们的Payo函数是π。当我们知道X包含模型的allequilibria时，我们可以将注意力集中在X中的状态上。Payo found函数是可积的大种群博弈称为大种群潜在博弈(Sandholm，2001，2009)。一个大种群对策([S]，F)是一个势对策，如果在Y={Y∈RS+∑i∈[S]yi=1}的邻域内有一个标量值函数F，它满足F(Y)yi=Fi(Y)对所有i∈[S]和Y∈Y的要求。HW模型是一个大种群潜在博弈。：以下函数f:rn+→R是Payo函数π的势函数:f(x)α∑j∈[K]qjlog∑K∈[K]xαKφjk！-κ∑i∈[K]xi,(P),因为对于所有x∈rk+我们有[f(x)=π(x)。fiefrst项表示消费者的可及性，而第二项表示零售商的总成本。由于HW模型的所有空间均衡都包含在X中，所以HW模型的均衡及其性质用以下潜在最大化问题来刻画。Maxx∈X。f(x)。(PM)首先，极值的阶必要条件（Karush-Kuhn-Tucker条件）等价于平衡条件（3.3）。其次，在各种确定性动力学下，局部最大值集与局部稳定状态的最大值集是一致的，包括(D)。例如，它在最佳响应动力学（Gilboa and Matsui，1991)、Smith动力学（Smith,1984)、Brownvon Neumann-Nash动力学（Brown and von Neumann,1950；Nash,1951）和一类Riemanniangame动力学（Mertikopoulos and Sandholm,2018）下是稳定的，其中包括投影动力学（Dupuisand Nagurney,1993）作为一个特例。如果α∈(0,1）,那么我们可以证明f是严格凸的，从而(PM)有唯一的全局极大子。这一事实为HW模型中α∈(0，1)时平衡的唯一性提供了一个简单的证明，这一唯一性最初由R K和Vorst(1983a)的定理2或Vorst(1985)的定理1所证明。Vorst(1985)指出，当α∈(0，1)时，(P)是(D)的Lyapunov函数。另外，根据势函数f，命题1有另一种解释。X的每一个角都对应于零售商在一个区域的充分集中。如果α>1，它们都是问题(PM)的局部极大值，因而局部稳定。评论3。对于X中的任意两个平衡点X*和X**,当∑i∈[K]X*i=∑i∈[K]X**i=qκ=1时，我们得到了f(X*)-f(X**)=g(X*)-g(X**)，g是f在(P)中的第1项，它对应于固定消费者对零售聚集的总可及性的一个welfaremeasure（Harris and Wilson,1978；Leonardi,1978）。

它是transportresearch中常用的对数和函数，最初由Williams(1977)提出（见de Jong et al.，2007年，最近的调查）。对于HW模型，它对应于logit模型下不动消费者期望最大效用的社会集合，具体而言，i∈[K]中的消费者通过最大化形式uij=αlogxj-βtij+e，e为i.i.D的随机效用来选择他们的购物目的地j∈[K]。甘贝尔。均衡潜在值越大，均衡状态下的固定消费者对零售集聚区的可达性就越大。6平衡重估的随机稳定性方法6.1随机重估、随机稳定性和势函数正如我们在第4节中看到的，在确定性动力学下基于局部稳定性的平衡重估在HW模型中可能导致不确定的预测。为了克服这一问题，我们在给定幂函数存在的情况下，采用了一种基于随机稳定性的更强的平衡点重新定义。Sandholm(2010)第11.5和12.2节发展了一个理论，在这个理论下，势函数的全局最大值是随机稳定的。我们回顾了他的分析的本质。参见Wallace and Young(2015)关于随机稳定性方法的更广泛的调查。为了了解状态的随机稳定性，我们引入了零售商的随机搬迁动力学。为此，我们把HW模型看作是该模型的离散（或原子）和随机模拟的连续（或大种群）和确定性极限，假设有一个（但很大）零售商数目，而不是连续统，并设N∈Zbe为零售商数目。然后，将零售商扫描的策略分布（空间分布）看作离散集Xn coux的一个元素，由XnX∈xNx∈ZK构成。对于x∈XN，我们有x∈0,N,N,...,N-1,N,1}。每个零售商都有策略修正机会（即，它可能退出一个区域，然后进入另一个区域），这是一个单位速率的泊松过程。当处于区域i的零售商在状态x∈XN处获得修正机会时，它根据以下logit规则从区域i切换到J6=i，ρj(x)=expη-1πj(x)∑K∈[K]exp(η-1πK(x)),(6.1)其中η>0。如果πj(x)>πk(x)，我们有ρj(x)>ρk(x)，这意味着零售商更喜欢价格更高的位置。参数η可以解释为零售商选择中的噪声水平，因为η→0意味着每个零售商以概率1的最高利润转向j。如果η很高，零售商就会做出次优选择，并重新定位到比当前选择更少的有利区域。这些行为假设导致零售商的空间分布在离散状态空间XN上出现随机动态或aMarkov过程{XNt}。它有一个共同的跳变率N，从状态x∈xn到y∈xn的跃迁概率如下：如果y=x+N(Ej-ei),则pnx→y=xIρj(x),如果y=x，j6=i∑i∈[K]xIρi(x),否则0,（6.2）,其中ei是Rk中的第ith标准基。Sandholm(2010)定理11.5.12表明，马氏过程{XNt}在xna上存在唯一的平稳分布μn，η如下，μn，η(x)=Zn！πK∈[K](Nxk)！expη-1fn(x)，(6.3)，其中Z>0是保证∑x∈Xnμn,η(x)=1的归一化常数；函数fn:xn→R是大种群情况下势函数f的离散模拟，其细节与我们的目的无关。在演化博弈论中，当一个随机动态的平稳分布在动态调整过程的结构参数的一定范围内赋予一个状态一个正的权重时，我们只要求{NfN}一致收敛于f。在演化博弈论中，当一个随机动态的平稳分布赋予该状态一个正的权重时，就可以说该状态是随机稳定的。

一个主要的例子是商场噪声极限中的随机稳定性（Foster and Young，1990；Kandori et al.，1993)。当limη→0μn,η(x)>0时，在噪声小限值内随机稳定的状态为x*∈XNis。（6.4）在极限η→0时，零售商选择价格较高的区域的概率较大。因此，小噪声限值是一个确定性的极限，其中噪声消失，零售商恢复最优选择行为。小噪声限值可以用公式（6.3）来理解。我们有μn，η(x)μn，η(y)=πK∈[K](Nyk)！πK∈[K](Nxk)！{z}常数η.expη-1fN(x)-fN(y)(6.5)两态x，y∈xn。如果fN(x)-fN(y)>0，那么右手边的增长非常大，即η→0。也就是说，当η变得越来越小时，μn，η在Fn值越大的状态上分配的概率越高。在极限μn，η集中于全局最大化的状态。因此，离散势FNA的全局极大值在小噪声极限下是随机稳定的。与小噪声极限类似，双极限考虑了N→∞和η→0的情形。通过这两个限制，我们恢复了我们的模型，在第3节中，零售商不会招致错误，零售商的集合是一个连续体。因此，双极限中的随机稳定性为确定性大种群模型提供了一个重新定义的过程。我们对双重限制采用以下结果：事实1(Sandholm(2010)，推论12.2.5)。平稳分布μn，η集中于势函数f在双极限下的全局极值；也就是说，一个潜在博弈中的全局极值集在双极限下是随机稳定的。6.2应用随机稳定性&随机稳定性比局部稳定性对空间平衡提供了更强的解释，因为后者对应于观察f的局部极大值。简单地说，我们研究问题的globalmaximizers的性质。为了应用基于随机稳定性的重新定义，进行如下步骤：第一步确定参数θ∈θ,其中θ是结构参数的可行集，枚举所有空间模式X*1(θ),X*2(θ),X*3(θ),。.可以是势函数的局部极大值，且设E(θ)ζ{x*1(θ),x*2(θ),x*3(θ),...}步骤2选择势f的全局势最大值(·，θ)通过比较E(θ)中的候选平衡模式的电位值。第3步通过在θ中移动θ并重复上面的两个步骤，由于假定零售商的地理环境（即{tij}和{Qj}）是外生的，所以模型的主要结构参数为α和β，并且我们将qκ=1归一化。由于给定θ的随机稳定状态x*必须满足x*∈arg maxx∈E(θ)f(x,θ),所以局部势极值集E(θ)包含了θ处的所有全局势极值。通过穷尽参数空间θ中所有可能的θ，我们可以得到它的基于随机稳定性的划分，这为模型的含义提供了基本的见解。下面，我们考虑一个说明性的例子。假设一个对称的双区城市；设K=2,T=T=0,T=T=1,Q=Q=κ，则Qκ=1。为了图的完备性，我们使用φexp(-β)∈(0,1）,(6.6)，这是消费者跨区域旅行的自由程度。对于α，我们设α=1.2。我们注意到文献中对α的首选估计为1.18，这是通过将该模型应用于伦敦零售系统（Ellam et al.，2018)得到的。图2显示了空间平衡点以x为单位沿φ轴的分岔图。图2a考虑了平衡点在(D)下的局部稳定性。黑色固体曲线表示局部稳定平衡，而灰色虚线表示局部不稳定平衡。

由于两个区域是对称的，零售商x=的均匀分布，跨区域零售商x=的分布总是一个空间均衡。它对小φ是稳定的，在φ=1-√α1+√α处变得局域不稳定，且具有αα-1α（Osawaet al.,2017,Proposition 1）。如果零售商最初是均匀分布的，那么当φ较小时，它是稳定的，φ的稳定增加会导致零售集聚在φ*的自发形成。唯一稳定的均衡是*x和完全集中度x*1(1,0）和x*2(0,1）（或者简单地说，零售商在任一区域内的集聚）。凝聚对所有φ都是局部稳定的，不符合命题1。当φ∈(0,φ~*)时，三个平衡点都是稳定的；没有进一步选择一个（或两个）的标准。然而，当φ∈(0,0.2）时，图2a表明凝聚的吸引区域非常小。这表明一个很小的扰动是0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0(a)局部稳定性0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.81.0(b)f0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.81.0(c)随机稳定性图2：双区对称城市平衡的局部稳定性和随机稳定性(α=1.2,φexp(-β))。面板(a)：细箭头表示动态(D)下的调整方向。这些黑色曲线表示X的局部稳定平衡值。虚线灰度曲线是局部云稳定的平衡点。图面(b)：空间f在(φ，x)空间上的轮廓。红色表示电位值较高。(c)：随机稳定性对平衡的修正。黑色固体曲线指示稳定的平衡，当φ较小时，平衡向弥散方向推进。在这方面，当φ较小时，凝聚“不太相关”。图2b显示了f在(φ，x)空间上的等高线，以及空间平衡曲线2a。空间平衡的路径追踪f的极值。局部稳定平衡点是局部极大点，而局部不稳定平衡点是极小点或鞍点。因此，在步骤1中，我们对所有的φ=(φ)=x，x*1，x*2。图2c是通过将势函数inE(φ)在φ的每个水平上全局最大化（即步骤2)，然后改变φ（即步骤3）得到的分叉图。形式上，我们得出如下结论。命题3。假设K=2，并考虑t=t=0,t=t=1,和q=q=κ.设φ③③(4α-2-pα(4α-1))。然后，当φ∈(0,φ**)时，色散x=(，)是随机稳定的，而团聚x=(1,0）或x=(0,1）在φ∈[φ**，1)时是随机稳定的。对于任意α>1，φ=φ**解方程f(*x,φ)=f(x*1,φ)。当φ∈(0,φ**)时，均匀分布叶上使f在X上最大，而凝聚在φ∈[φ**，1)时使f在X上最大。通过比较图2a和图2c，我们看到后者通过忽略“不太相关的”局部极大值而提取前者的本质含义。因此，随机稳定性提供了一种简化分岔图的方法，同时保留了模型的基本含义。图3显示了基于命题3的参数空间的划分。省略了α∈(0,1）的情况，因为当α∈(0,1）时，平衡是唯一稳定的（R K和Vorst,1983a)。在命题3中，灰白区域的边界曲线为φ**。团聚在阴影区是等随机稳定的，而弥散在覆盖区是随机稳定的。示意图显示了每个区域随机稳定的空间格局。当α较高和/或β较低时，即φ=exp(-β)较高时，团聚趋向于随机稳定，虚线表示x局部不稳定的阈值φ*。色散度x0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0图3：双区城市(α≥1)中的随机稳定态。黑色的实线（虚线）曲线表示凝聚的随机稳定性（分散的局部稳定性）的阈值。