基于社交网络的双寡头市场营销资源配置

它由˙ai，n=βi，n（x0；i，a）给出-（一）-ai，n（21）为所有我∈ {1,2}和n∈ V.量βi，n（x0；i，a）-i） 对应于最佳响应，其定义为：βi（x0；i，ai）：=arg maxai{ui（x0；i，ai，a-i） 哦。我们注意到（21）应该是微分包含，因为最佳响应函数通常是集值函数。但是，argmaxoperation返回单例集（由于严格的凹性）。副定义，如果（a？，a？）是G在x0处的NE；伊瑟娜？=β（x0；1，a？），a？=β（x0；1，a？）（22）并且可以通过计算βi，n（x0；i，A）中的唯一点来找到-（一）-ai，n=0适用于所有i，n.给定行动文件a-i、 通过优化uiw，我可以评估公司的最佳响应。r、 同时尊重预算约束。我们的下一个命题给出了计算βi的方法。表示βi，n（x0；i，a）-i） 作为βi的第n个分量，我们有命题1：最佳响应函数由βi，n（x0；i，a）给出-i） =min{bi，max{0，αi，n（x0；i，a）-i） 其中αi，n（x0；i，a）-i） =sγiρn（x0，n；-i+a-i、 n）u0；i+λi-1.-A.-i、 n（24）表示所有n∈ 五、 和u∈ R≥0等于nxn=1βi，n（x0；i，a-（一）≤ Bi，u0；i（Xnβi，n（x0；i，a）-（一）-Bi）=0证明：为了评估βI，需要解决的优化问题可以写成maximizeAIUI（ai，a）-i） 主题toPNn=1ai，n≤ Bi&0≤ 哎呀≤ 毕n（25）问题（25）必然有一个最优解，因为它是连续的，并且优化空间是一个紧集。由于所有约束函数都是线性的，因此可以应用Karush-KuhnTucker（KKT）条件[21]。此外，由于问题是凸的，KKT条件不仅是最优性的必要条件，而且是充分条件。为了alln∈ {-NN} 让我们≥ 0是KKT乘数。我们使用un表示约束ai，n≥ 0, u-对于泰人，-N≤ 比福尔∈ V和u≥ 0作为（25）中总预算约束的乘数。

然后，KKT条件可以写成aiui（a？i）=PNn=1-un友邦保险？i、 n+uaiPNn=1a？i、 n+u-N友邦保险？i、 n≥ 0，a？i、 n≤ bi，PNn=1a？i、 n- 毕≤ 0，un，u-N≥ 0, N∈ {-NN}，uN（a？i，N- bi）=0，u-娜娜？i、 n=0N∈ {1，…，N}，u（PNn=1a？i，N- Bi=0。为了评估aiui（ai，a）-i） ，我们有ui（ai，a）-（一）ai，n=γiρnx0，n；i+ai，n1+ai，n+a-i、 n- λi=γiρnx0，n；-i+a-i、 n（1+ai，n+a-i、 n）- λi.（26）为x0，n；-土地a-i、 奈尔常数，我们定义di，n:=ρn（x0，n；-i+a-i、 n）。因此，第一个KKT条件可以写成di，n（1+a？i，n+a）-i、 n）=λ+u+un- u-n（27）必须满足所有n∈ V.让W V是ai为n=0的试剂组，留下u-N≥ 0，以满足n的KKT条件∈ W.同样地，让W V使得ai，n=b对于所有n∈ 最后，让W:=V\\W\\W。然后，我们有βi，n（x0；i，a）-（一）=qdi，nu+λi- 1.- A.-i、 nN∈ W0N∈ WbiN∈ W（28）必须是正的。我们可以使用最终的互补松弛条件来求解u并得到u=Pn∈Wpdi，nBi- bi | W |+|W |+Pn∈佤-i、 n！- λi.（29）因此，必须选择0≤ βi，n（a）-（一）≤ 比福尔∈ V.这给了我们（23）。我们写u0；iin在BR函数中，因为此参数取决于玩家。最后，由于问题如引理1所示是凹的，我们知道满足KKT条件的任何点也必须是全局最大值。实际上，水位为u0；首先根据1+a对所有代理进行排序，可以发现我的复杂度较低-i、 n√这是因为对于一个给定的-i、 具有较低值1+a的代理-i、 n√di，n必然有一个更大的βi，n。这让usenforce可以强制任何资源分配为0的代理具有比基于（24）的代理更低的排序索引，而基于（24）的代理具有比分配为bi的代理更低的排序索引。C

尽管我们已经提供了一个收敛于NE的离散时间迭代算法的NE的动力学特征，但我们不知道这是如何依赖于问题的各种关键参数的。特别是，我们想确定NE的资源分配策略结构、AIP参数ρn和初始意见x0，n之间的关系；i、 以下命题表明，分配给NE代理的预算金额随着ρn成比例增加，如果代理n的初始意见已经支持公司i，则预算金额将减少。分配还取决于预算约束、乘数γi和广告效率λi。命题2：对于每个n∈ 五、 NE（a？1，n，a？2，n）由o（y，0）（或（0，y））给出，如果Y∈ [0，b]（或[0，b]分别），使（22）满足其中一对，o或（y，b）（或（b，y））如果Y∈ [0，b]（或分别为[0，b]），使（22）满足其中一对，o或（a？1，n，a？2，n）∈ （0，b）×（0，b）由a给出？i、 n=kiki+k-我K-iρn- x0，n；i、 （30）式中ki=γiλi+u0；土地u0；iis是所有n的公共常数∈ V由（1）给出。证据：我们从（22）和（23）中观察到？i、 恩福索姆一世∈ {1,2}，n∈ V是区间（0，bi），那么它必须等于（24）。看看（24），我们观察到在东北，我们有吗？1，n=qkρn（1-x0，n+a？2，n）-1.- A.2，娜娜？2，n=qkρn（x0，n+a？1，n）-1.- A.1，n=> k（1）-x0，n+a？2，n）=k（x0，n+a？1，n）=> A.2，n=kk（x0，n+a？1，n）-1+x0，n（31）表示所有n∈ V这样的一个？i、 n∈ [0，bi]，其中ki=γiλi+u0；i、 换回来，我们得到hkk（x0，n+a？1，n）+x0，n+a？1，ni=kρn（x0，n+a？1，n）=> （x0，n+a？1，n）（k+k）=kkρn=> A.1，n=kk+kkρn- 是吗，娜？2，n=kk+kkρn- (1 - x0，n）。（32）如果结果为x？0，我/∈ （0，bi）从（32）开始，对于一些i，我们有命题的另外两种情况。四、

数值性能分析对于所有模拟，我们假设γ=γ=1，B=B=10，λ=λ=0.1，这意味着两个公司在效率和利润率方面的对称性。A.网络感知营销与广播为了将拟议的图形感知营销策略与经典策略进行比较，我们定义了统一预算定位（UBA）策略，即广播策略为UBAI:=BiN。（33）这一策略尤其令人感兴趣，因为企业传统上使用广播策略在电视或广播等媒体上做广告，而社交媒体营销则针对特定用户，但需要一些投资，以便了解用户的初始意见以及网络结构。在图1中，我们研究了玩家通过实施最佳响应策略（23）而不是统一资源分配的策略所能获得的收益。对于这个模拟，我们考虑n＝100与πn。∈ {1，C}。这可以解释为一组断开连接的星图的AIP，其中内部节点是领导者，C代表领导者对其他人的影响。如果n是一个“领导者”，则ρn=C，否则为1。我们直接考虑ρ的这种配置，而不是查看精确的图形结构，以突出这个数字样本的信息。由此产生的两种策略之间的效用差异被称为靶向增益（GoT），而ismeasured asGoT:=u（x，β（aUBA），aUBA）-u（x，aUBA，aUBA）u（x，aUBA，aUBA）。（34）所有n取xn（0）=0.5∈ V.消除因最初意见而产生的任何偏见。正如预期的那样，我们观察到AIP（C）中更大的差异通过向领导者分配更多资源而导致更大的收益。

如果领导者太少，andC就不够大（如在C中）∈ {5，10}），该特性饱和导致较低的增益。0 20 40 60 80 100领导者的分数[%]020406080得到[%]C=100C=10C=5图。1：通过实施基于领导的统一预算分配策略（34）之上的最佳响应策略获得收益。B.在我们的下一次数值分析中，受初始意见和图形结构的影响，我们使用图2中所示的图形结构和15个代理，通过将持续时间T=10计算为ρ=1>Nexp，得出ρ=（0.27,0.37,0.98,0.48,0.59,1.58,0.81,2.30,1.09,1.40,0.59,0.81,1.46,1.46）(-10升）。我们将初始意见初始化为由x（0）=（0.26,0.76,0.82,0.10,0.18,0.26,0.6,0.52,0.34,0.18,0.21,0.61,0.68,0.47,0.31）T给出的arandom意见。图2：根据AIPρn.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 1500.511.522.5参数缩放节点的大小；nxn（0）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15代理ID e x n00。511.522.5 NEa的资源分配？1a？2Fig。3：顶部的子图显示了代理n，n的AIPρ和初始意见xn（0）∈ {1，…，N}。与初始配置相对应，底部的子图显示了东北地区的资源分配策略。在图3中，我们比较了NE两个参与者的预算分配。我们观察到，如果xn（0）更接近1，即最初偏向于企业1，企业2会投资更多，使其接近0，而接近0的初始意见会使企业1投资更多。两家公司都在AIPρn较大的代理上投资更多。这种分配对应于命题2的推论。五、结论在本文中，我们引入了一个新的静态博弈模型，该模型研究了试图通过社交媒体广告获取市场份额的企业之间的竞争。

因此，社交网络的消费者不仅受到网络其他消费者的影响，也受到企业的影响。我们对提议的游戏进行了完整的均衡分析。我们的分析为企业如何分配预算提供了具体的见解。特别是，在典型条件下，企业应投资的预算金额与我们定义为影响力量（AIP）的数量成比例。有趣的是，我们的分析使我们能够量化目标（GoT）的收益，即实施智能分配政策（基于最佳响应）的收益，而不是将可用预算统一分配给消费者。相应的收益显然与主导消费者的比例及其代理人影响力的价值有关。所有这些令人鼓舞的结果表明，人们对开发所提出的框架非常感兴趣。一个非常相关的扩展可能是这个问题的惊人表述。参考文献[1]N.Singh和X.Vives，“差异化双头垄断中的价格和数量竞争”，《兰德经济学杂志》，第546-554页，1984年。[2] L.Friedman，“广告支出分配中的博弈论模型”，运筹学，第6卷，第5期，第699-7091958页。[3] M.Esmaeili，M.-B.Aryanezhad和P.Zeephongsekul，“卖方-买方供应链中的博弈论方法”，欧洲运筹学杂志，第195卷，第2期，第442-448页，2009年。[4] M.H.DeGroot，“达成共识”，《美国统计协会杂志》，第69卷，第345号，第118-121页，1974年。[5] 曾文华、何世成、梁泰平，“消费者对手机广告的态度：实证研究”，《国际电子商务杂志》，第8卷，第3期，第65-78页，2004年。[6] 沃恩德尔、帕帕詹尼迪斯、布尔拉基斯和F。

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