半参数贝叶斯广义最小二乘估计

银行业：后s.d.800观察子样本投入劳动力资产资金价格差价% 南大鹏酒店% 南大鹏酒店%工资0.0341 0.0541 36.99%0.0438 0.0484 9.60%0.0276 0.0305 9.52%资产价格0.0228 0.0369 38.27%0.0304 0.0359 15.22%0.0160 0 0.0230 30 30.59%资金价格0.0236 0.0381 38.02%0.0267 0.0317 15.82%0.0148 0.0160 7.16%全样本，2397次观察投入劳动力资产资金价格DP SUR% 南大鹏酒店% 南大鹏酒店%工资0.0189 0.0222 14.97%0.0198 0.0210 6.01%0.0102 0.0147 30.74%资产价格0.0106 0.0131 19.38%0.0143 0.0151 5.21%0.0067 0.0110 39.15%资金价格0.0154 0.0178 13.68%0.0157 0.0161 2.48%0.0081 0.0098 17.43%在图1中，我们给出了SURDP和南部辅助医师。使用较小的800个观测子样本，两个估计器的后验概率均为0。然而，对于完整样本，dp sur给出的后验分布具有95%可信区间（从-0.027到-0.002），不包括0，如左面板中的两条红色垂直线所示。相比之下，右边的面板显示，参数贝叶斯sur给出了95%的可信区间（从-0.027到0.016），即使是完整样本，也仍然包括0。从图1中我们还注意到，dp sur的后验分布是强右偏的，这可能导致参数贝叶斯sur具有更大的后验标准差。（a） dp sur（b）参数表1：基金弹性直方图w.r.t.资产价格4随机效应模型的半参数方法除了方程系统之外，面板数据的随机效应模型（rem）是gls已被大量应用的另一种情况。在一个有N个横截面和T维时间序列的面板中，每个个体的误差是一个T×1向量。

我们将放宽rem参数贝叶斯gls的假设（Koop，2003），即所有个体的误差向量具有相同的分布。在本节中，我们通过引入随机效应和误差方差的DP先验，提出了一种半参数贝叶斯方法。我们遵循与dp sur方法相同的方法，在超参数上应用dp Previor。考虑下面的面板数据模型It=βx1it +··+βKXKIT+UI+ETA＝βx1it +··+βKxKit＋εIT，（32）I和T分别索引数据的截面和时间序列维数，表示变量，xk表示解释变量，βk，k＝1，…K是科学家。Ui是个体i的时不变不可观测项，η是误差项。在贝叶斯方法中，固定效应和随机效应之间的差异在于个体效应的先验选择。固定效应贝叶斯方法假设用户界面为非层次先验，而随机效应为层次先验。UID的首要任务可能是编写asui | diid~ N0，d, （33）其中显示ui的差异。假设ηitiid~ N（0，σ），ui的后验分布由ui | yi，β，d，σ给出~ Nui，s, （34）式中ui=sσ-2ιT（易）- 席β）-2+ σ-2ιTιT）-1，用ιT表示一个T×1单位向量。Xi=[x1it，…，xKit]是解释变量的T×K矩阵，yi=[yi1，yi2，…，yiT]位于×1向量。这里我们用“个体”这个词来表示横截面单位。实际上，它可以是家庭、企业、国家或实际的个人。也就是说，在这种情况下，第2.2节中通用半参数gls中的Q为T。我们在这里使用的是面板数据协议。注意，Ui和η的方差通常被认为是随机的，并且有自己的先验值。

为了简单起见，我们暂时把它们固定下来。在贝叶斯rem中，β被边缘化超过ui的可能性可以写成asp（yi |β，∑）=（2π）T/2 |∑|-经验-（易）- 席β）- 席β）, （35）式中，∑是T×1向量εi=[εi1，εi2，…，εiT]的协方差矩阵。假设e[ηituj | X]=0， i、 j，t（Greene，2012），复合误差的协方差矩阵εiisCov（εi）=∑=σIT×t+sιtιt=σ+ss··ssσ+s··s。。。。。。。。。。。。ss··σ+s, （36）式中σ是ηit的方差，sis是ui的方差。4.1 DP Pre for rem在我们继续我们的DP-rem方法之前，我们回顾了Kleinman和Ibrahim（1998）以及Kyung等人（2010）的工作，他们使用Dirichlet过程Pre用于不同的目的。考虑模型yit=Xitβi+ζit，（37），其中βi是参数向量。在这一领域的文献中，重点是个体间参数（即βi）的异质性。为此，DP优先考虑参数βi自身，即F~ DP（α，N（μβ，∑β））βi | Fiid~ F.（38）考虑到βI是一个离散的dp后验值，βI被分组，同一组中的βI具有相同的值。参数本身的异质性不是本文的主要重点。相反，本文旨在通过利用不可观测数据分布中的信息，提供更有效的推论。在快速眼动环境中，不可观察物由个体特定的观察到的影响和特异性错误组成。因此，我们关注的是这些不可观测数据的高阶参数的异质性，而不是模型参数。从这个意义上说，我们的方法与康利等人（2008）开创的文学具有相同的精神。通过在方差上引入DP先验，我们放松了ηItan和ui的同分布假设。

这将在横截面维度和时间序列维度t上产生分组错误的影响，同一组中的人共享相同的超参数。特殊误差ηitisG方差的DP先验~ DP（αη，G）σit |G~ G、 （39）式中，αη和Gdenote分别表示DP的浓度参数和碱基分布。这些差异的分组将在不施加任何限制的情况下进行。例如，对于cit6=cis（t6=s），则σ*2钙和σ*2我被分配到不同的群体，ηIt和ηIs有不同的分布。这些研究中的随机效应模型，主要是统计学中的随机效应模型，与计量经济学中的随机效应模型不同，因为它们实际上是随机系数模型。cit（cis）表示ηit（ηis）的组id。DP rem中个体效应变化的DP Previor可使用以下层次结构F编写~ DP（αu，F）di | F~ F.（40）DII是随机效应ui的先验方差，αui是浓度参数，Fthebase是DP先验分布。在个体效应的超参数上使用独立的DP优先权会对N个个体产生分组，从而使属于同一组的UIT从具有相同超参数的分布中产生。这就放松了rem的假设，即个体效应是相同分布的。虽然uia不再是均匀分布的，但对于每个特定的uia，都可以引入共轭极大先验。然后，每个ui的后验值为正态分布，其均值和方差在横截面i上不同，即ui | y，β，d*2ci，σ*2cit~ Nui，si, （41）式中ui=siιT∑-1ηi（yi）- 席β（42）是UI的后验均值。后验方差由i给出=D*-2ci+ιT∑-1ηiιT-1.

（43）从（43）中，我们观察到随机效应的后验方差是d的和*-2转换di（ui的超参数）的唯一值，以及∑ηi中的所有元素。因为我们允许∑ηi6=∑ηj(i 6=j），则每个个体的SII也可以不同。每个复合误差向量εiis的协方差矩阵也允许每个i不同。εiis的协方差矩阵由cov（εi）=∑i=∑ηi+siιTιT.（44）4.2 MCMC算法给出。对于基分布的选择，我们使用逆伽马分布，正态分布方差的共轭先验，即F≡ IG（au，bu）G≡ IG（aη，bη），（45），其中Au和aη是形状超参数，Bu和bη分别表示Fand G的速率超参数。Ui上β边缘化的可能性由p（yi |β，∑i）=（2π）Q/2 |∑i给出|-经验-（易）- 席β）-1i（易）- 席β）. （46）与（35）中参数贝叶斯rem的边际可能性相比，对于面板中的每个个体i，复合误差向量εiis的协方差矩阵是不同的。这里我们采用一个均值为0，方差为1000的先验知识。给定β的共轭正规先验，即β~ N（b，V），其中带Vdenote分别是β的先验均值和协方差矩阵，β在uis上的后验值是β| y，d*2ci，σ*2cit~ N（b，V）。（47）V=V-1+NXi=1Xi∑-1iXi！-1，（48）表示后验协方差矩阵，b表示后验平均向量，我们将其写成asb=VV-1b+NXi=1Xi∑-1iyi！。（49）对于（49）关于（49）关于（49）关于（49）关于（49）关于（49）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于（9）关于）关于（9）关于（9）关于）关于（9）关于（9）关于）的吉布斯采样器，对于这个dp的一个吉布斯采样器可以被写为：一个吉布斯为这个dp rem的这个dp的吉布斯采样器可以被写为：一个吉布斯为：为（9）为这一个吉布斯为这个dp rem。可以被写的吉布斯为这个dp rem。为这个dp的采样器可以被写的吉布斯为：写的一个为：y，y，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，X，U|y，X，U，β，ΘU，Θη，αU.（50）回归参数的吉布斯采样器，两个DP的超参数和浓度参数与第3.2节中DP sur的超参数和浓度参数相似。

在dp-rem中，随机效应具有混合的正态分布。各关节指数的后验均值和方差分别为（42）和（43）。对于每个i，从N中提取一个uiui，si用吉布斯取样器。4.3相关随机效应模型相关随机效应模型（crem）代表了rem的自然延伸。由Mundlak（1978）提出，张伯伦（1980）进一步讨论，crem效应介于固定效应和随机效应之间。在不损失一般性的情况下，我们考虑以下模型：PanDATAYIT＝βX1IT+βX2IT+VI+εIT，（51）VE是随机E。在保持REM的GLS结构的同时，CREM允许个体席席与XI相关，用XI的线性函数表示相关性，即Vi＝αxx1i+αx2i+UI，（52）CRYM模型是TyyIT＝βx1IT+βx2i+αx2i+ui+eta（53），可以将DP先验引入到REM中的Ui和ETA的超参数。4.4 DP-REM/CREM模拟结果我们进行了一系列模拟实验，以证明我们的dprem和DP-CREM方法相对于标准贝叶斯REM和CREM的性能。模拟实验的设计目的与第3.3节中的dp sur相同。对于rem模型，我们假设它=βx1it+βx2it+ui+ηit=βx1it+βx2it+εit（54），其中解释变量由以下正态分布x1，itiid生成~ N（1,1），x2，itiid~ N（3,1）。我们将（54）中的系数设为β=5，β=10。crem模型（53）中的系数设置为β=5，β=10，β=-2, β= 2. （55）下面我们给出了模拟结果。

我们首先报告假设误差Ui和ηit服从t分布的结果，然后是对数正态分布的结果。t-分布随机效应和误差稳定5报告了两种方法估计的rem系数的后s.d.s的平均值，以及dp-rem和rem后两者之间的差异百分比的平均值。d、 s.当df=2时，观察到两个估计器之间关于后验s.d.的最大差异，其中随机效应和误差的t分布具有最重的尾部。正如所料，这些差异随着df的增加而减小，其中t分布的尾部变得不那么“重”。在误差具有正态分布（相当于df的完整性）的底部面板中，dp rem和正态rem后s.d.面积几乎相等，因为在这种情况下，t分布是正态分布。我们还注意到，当所有三个最终df的样本量变得更大时，百分比差异略有增加。考虑到在更大的样本中有更多的极端实现，我们的dp-rem方法检测到这种异质性，并将它们分配到同一组，这是意料之中的。相比之下，假设正态性的贝叶斯rem方法会影响极值的正态后验分布，导致更大的后验s.d。表6报告了crem系数的后验s.d.平均值，以及两个估计值之间的平均差异。β和β表示两个原始解释变量，而β和β表示小组中每个个体各自样本均值的影响。这些发现与rem的情况类似，即在df等于2时，用我们的dp-crem估计的后s.d.和参数贝叶斯crem之间的差异百分比最大，并且随着df的增加而减小。

当df为完整分布时，当T分布变为正态分布时，两种方法关于后s.d.的差异几乎为零。在三种有限df情况下，由于不可观测数据中存在更多极值，样本量变大时，百分比差异也会略微增加。表5：后s.d.，rem，t分布不可观察SDF=2样本大小100 300 500 DP rem% DP-REM% DP-REM%β0.0751 0.1419 43.18%0.0484 0.0956 47.88%0.0340 0.0671 47.92%0.0499 0.0883 41.45%0.0316 0.0575 47.04%0.0213 0.0422 48.50%df=3样本大小100 300 500 DP REM% DP-REM% DP-REM%β0.0627 0.0803 20.61%0.0366 0.0475 22.36%0.0290 0.0379 22.94%β0.0419 0.0530 20.05%0.0237 0.0309 22.65%0.0183 0.0242 24.12%df=4样本量100 300 500 DP REM% DP-REM% DP-REM%β0.0588 0.0667 11.51%0.0346 0.0393 11.54%0.0270 0.0310 12.59%0.0394 0.0442 10.66%0.0225 0.0257 12.15%0.0171 0.0198 13.67%df=∞样本量100 300 500 DP REM% DP-REM% DP-REM%β0.0484 0.0484-0.02%0.0274-0.20%0.0211 0.0210-0.19%β0.0301 0.0301 0.03%0.0180 0.0179-0.45%0.0139 0.0139 0.01%对数正态分布随机效应和误差稳定7包含用dp rem和正常rem估计的后s.d的平均值，以及它们之间的差异百分比。可以看出，在所有情况下，我们的dp-rem后s.d.都比贝叶斯rem估计的正常值小。由于对数正态分布是重尾分布，因此在所有情况下，百分比差异都超过70%，当样本量变大时，百分比差异略有增加。表8中报告了模拟样本的dp-crem和crem的后s.d.，以及前两个s.d.ASs之间的差异百分比的平均值，即后s.d。

对于所有系数，用我们的dp-crem估计的值比用正常贝叶斯crem估计的值小70%以上。当样本量增加时，百分比差异也会增加4。5 DP-REM/CREM经验示例在本节中，我们给出了基于两个经验示例的结果。第一部分我们估计了美国银行的成本函数，第二部分我们估计了美国工人的工资。银行成本函数我们首先将我们的dp rem和dp crem方法应用于Feng和Serletis（2009）中的数据集，该数据集涉及218家资产在10亿至30亿美元（2000年价值）之间的美国银行的成本，涵盖1998年至2005年的8年时间。有三种投入：劳动力、借款和实物资本；三大产出：消费贷款、非消费贷款和证券。函数形式是简单的translog成本函数（Christensen和Greene，1976）。

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