半参数贝叶斯广义最小二乘估计

σ=σ，（16）式中“” 代表Kronecker产品。我们可以用这个协方差矩阵变换观测值，使误差遵循标准正态分布N（0，1），参数的似然、先验和后验定义与方程（9）至（13）类似。3.1 sur的先验DP尽管sur模型考虑了误差的交叉方程相关性，如Wooldridge（2003）所述，假设误差分布相同。此外，与经典的gls估计不同，这种分布通常被假定为正态分布。在本节中，我们提出了一种新的dp-sur方法，该方法不对误差分布族进行先验假设。如果我们允许每个观察都有自己的协方差矩阵，那么如果我们只有横截面数据，误差分布的灵活性将导致识别问题。将观察结果分组代表一种折衷。给定（15），观测i的误差协方差矩阵由∑i给出=σ*11，ciσ*12，ciσ*21，ciσ*22，ci, s、 t.σ*12，ci=σ*21，ci，（17）其中cidenotes是观察i的组id，上标* 表示集团特定参数。对于ci=cj，i，j∈ {1,2，…，N}观测值i和j共享同一个群，但协方差矩阵Ohm 具有（16）中的特定形式，而不是协方差矩阵的一般正有限对称形式。和超参数，比如σ*pq，ci=σ*pq，cj，其中p，q∈ {1,2}为系统中的方程编制索引。假设已知群的数目，可以使用狄里克莱先验进行混合。限制性较小的方法使用非参数方法，在（8）中为∑ias的分布引入aDP先验。

多元正态分布的协方差矩阵的基分布和共轭先验的自然选择，逆Shart分布，即F≡ IW（ν，W）（18）式中，ν，W是逆Wishart分布的超参数。给定（18）每个∑iis的后验分布也逆Wishart，这很容易通过使用Gibbssampler得出。与参数贝叶斯sur的主要区别在于（17）中给出了每个观测值的协方差矩阵，这使得每组观测值都有自己独特的参数值。3.2 MCMC AlgorithmA Gibbs采样器（见Geweke，1996）可用于sur模型。吉布斯采样器从其后验值中提取两组参数：误差的协方差矩阵∑和回归参数β，即∑y，X，β（19）β| y，X，∑。（20） 在引入包含DP先验的层次结构时，mcmc算法中包含了一些额外的参数。这些是误差的协方差矩阵，Θ={∑i}，和α，DP先验的浓度参数。吉布斯取样器现在由Θy，X，β，α（21）β| y，X，Θ，α（22）α| y，X，β，β组成。（23）两个吉布斯取样器之间的主要差异在于（19）和（21）。在（19）中，误差具有相同的协方差矩阵∑。相比之下，将会有K≤ NΘ不等式（21）中的唯一值，因为在DP先验下F的离散性；将∑i值相同的观测值分配给同一组。通过最后一次绘制β，可以获得残差，作为绘制Θ的数据。在使用（23）绘制浓度参数α时，我们采用Conley等人（2008）引入的DP先验，即P（α）∝1.-α - αminαmax- αminτ、 （24）式中，αmin和αmax是α的预设下界和上界。α越大，平均产生的群体越多，即。

DP不那么离散。根据Antoniak（1974）中以α为条件的群K的数量分布，我们可以通过将群的数量模式设置为Kmin和Kmax来确定αmin和αmax。在本文中，我们假设Kminbe 1和Kmaxbe为观测数的5%。根据Conley等人（2008）的建议，我们将τ设置为0.8。超参数αmax已根据样本量的10%和50%进行调整。在我们的实验中，结果对浓度参数α之前的超参数变化不敏感。3.3模拟实验在本节中，我们进行了模拟实验，旨在将我们的方法与第3节中描述的贝叶斯sur进行比较。由于本文的主要关注点是相对于gls型估计器的潜在效率增益，我们评估了dp sur和正态Bayesian的性能，重点是这两种方法估计的参数的后验标准差。所有模拟实验均基于（14）中的两方程组。这些实验旨在突出估计量在以下维度上的性能：（i）误差的异质性；（ii）误差分布的尾部；（iii）样本量。对于（i）我们对照一个误差分布为i.i.d.多元正态分布的模型检查我们的dp sur方法的性能。在异质情况下，最直接的方法是从多元正态分布的混合中产生误差。

然而，我们使用多元t分布（Andrews and Mallows，1974）利用正态分布与逆Wishart协方差矩阵的比例混合。为了适应（ii），我们改变了多元t分布的自由度（df）。较小的自由度会导致较重的尾部，这表明较大比例的观测遵循正态分布，即较少集中在平均值周围。为了确定我们方法的稳健性，我们进行了一组模拟，其中误差服从对数正态分布。对数正态分布在实证研究中有着广泛的应用。例如，人们已经证明，收入服从对数正态分布（Clementi and Gallegati，2005年），但人口中排名前1-3%的人可能除外。此外，由于多变量正态分布是厚尾分布，因此更可能产生极端实现。使用（15），解释变量来自正态分布，参数为x11，iiid~ N（1,1），x12，iiid~ N（3，1）和x21，iiid~ N(-2,1），x22，iiid~ N（4，1），x23，iiid~ N(-1, 1). （25）我们设置β=（1.0，-0.5,1.6）和β=（1.5，-1.2, -0.7, 2). 我们从多元正态分布N（0，∑）生成误差，其中∑=1 0.50.5 1. （26）在不损失一般性的情况下，我们假设方差相同，并将两个方程中的误差之间的相关性乘以0.5。我们为模拟实验设置了三个样本大小：100、250和500。当从多元t分布生成误差时，我们将位置参数设置为u=0，形状参数设置为∑。

如前所述，鉴于以下因素的影响，控制多元正态分布混合模拟数据尾部行为的参数可能存在问题：正态分量的数量、协方差矩阵（我们将均值乘以零）以及分配给每个分量的权重。多元t分布就是df。我们将df设置为2、3和4。对于df=2，对应的多元t分布的尾部比具有相同位置和形状参数u和∑的多元正态分布的尾部重得多。当df为4时，多变量t分布的尾部仅略重于多变量正态分布。我们的dp调查应该证明在所有三种情况下都相对有效，因为多变量t分布比多变量正态分布有更大的尾部。考虑到尾部较轻，df中效率的提高将减少。多元对数正态情形中的误差首先从多元正态分布中提取，然后取这些提取的自然指数。由于对数正态分布具有正平均值，因此有必要对其进行降阶，使误差具有零平均值。我们的dp sur预计在对数正常情况下具有效率增益，因为它是不对称和重尾的。3.4 DP-SUR模拟结果下面我们给出了模拟结果。我们给出了使用我们的dp sur方法和假设多变量正态误差的贝叶斯sur估计的后验标准差（s.d.），以及它们之间的差异百分比。由于所有参数的后验概率行为一致相似，为了清晰起见，我们仅给出关于β和β的结果。多变量t分布误差稳定1表示后s.d.s和s.d.s之间的百分比差异。

用dp sur和normal sur进行估计，两者都是样本的平均值。我们观察到，当df为2、3和4时，THDP sur产生较小的后部s.d。df为2时的百分比差异大于40%，df为3时的百分比差异大于20%，df为4时的百分比差异约为15%，如表的上三个面板所示。效率增益随着样本量的增加而增加，因为实现了更多的误差极值。参数sur假设所有实现都有相同的∑，其中极端的将扩展所有实现共享的∑。相比之下，这些极值化将由dp sur分配给具有较大∑i’s的分布，而其余的将被视为具有较小∑i’s的正态分布的实现。通过调节误差分布中更高程度的异质性，dp sur可能实现更高的效率增益。我们的结果与预期一致。当df为2（尾部最重）时，半参数DP sur的效率增益最大。考虑到误差分布的尾部不太重，效率增益会随着DF的增加而下降。事实上，在表2中，df是确定的，我们观察到用这两种方法估计的后s.d.非常接近。dp sur的s.d.略大于其sur对应物。这并不奇怪，因为当误差的分布是多元正态分布时，参数化方法更省钱，使用误差协方差矩阵的正确结构。在多变量正态情况下，在三个样本量中，当样本量为100时，s.d.之间的差异最大。

这是预期的，因为我们不使用df 1，因为在这种情况下，t分布甚至没有平均值。我们对每个样本量进行了100次模拟，结果证明，即使样本量最小，也能获得稳定的结果。包含后验平均数的表格可在附录中找到。对于后验均值表，有6列显示了这两种方法对3种相关性估计的均值。完整结果见附录。% = （南沙群岛）- s、 d.dp）/s.d.sur×100%。尽管如此，差异仍然很小，所有系数都不到2.5%。在这种情况下，当样本规模较小时，不那么节俭的dp sur对效率的影响较大。表1：后s.d.，多变量t错误SDF=2样本大小100 250 500参数DP SUR% 南大鹏酒店% 南大鹏酒店%β0.1149 0.2155 41.57%0.0732 0.1596 49.56%0.0458 0.1126 54.22%0.1107 0.2080 41.49%0.0649 0.1359 48.48%0.0508 0.1198 52.78%df=3样本大小100 250 500 DP SUR% 南大鹏酒店% 南大鹏酒店%β0.1114 0.1452 21.20%0.0708 0.0973 26.05%0.0446 0.0634 28.53%0.1079 0.1397 20.63%0.0630 0.0866 25.91%0.0488 0.0694 28.70%df=4样本量100 250 500dp SUR% 南大鹏酒店% 南大鹏酒店%β0.1079 0.1248 13.52%0.0696 0.0826 15.22%0.0440 0.0529 16.58%0.1054 0.1200 12.15%0.0618 0.0733 15.08%0.0473 0.0582 18.41%df=∞样本量100 250 500 DP SUR% 南大鹏酒店% 南大鹏酒店%β0.0854 0.0837-2.09%0.0569 0.0565-0.85%0.0372 0.0371-0.56%0.0879 0.0860-2.25%0.0575 0.0572-0.58%0.0388 0.0384-1.14%多变量对数正态误差后s.d.s如表2所示。我们观察到，在假设i.i.d.正态误差的情况下，后s.d.的dp sur比使用贝叶斯sur计算的dp sur小55%以上。效率增益随着样本量的增加而增加，在500次观察的情况下达到65%以上。

与t分布错误的情况一样，这是因为在更大的样本中存在更极端的错误实现，通过对它们进行分组，可以提高效率。表2：后验s.d.，多变量对数正态误差SLOG正态样本量100 250 500参数DP SUR% 南大鹏酒店% 南大鹏酒店%β0.0720 0.1831 57.64%0.0415 0.1266 65.06%0.0272 0.0834 66.61%β0.0800 0.2119 58.78%0.0439 0.1277 64.38%0.0270 0.0826 66.39%3.5 DP-SUR经验示例下面我们将我们的DP-SUR方法应用于一个生产要素需求的经济模型，该模型带有一个广义Leontief成本函数（Diewert，1971），这是一个方程组，方程组的数量与要素数量相同。为了使我们的经验证明尽可能具有普遍性，我们不施加对称性或同质性限制。该数据集取自Malikov等人（2016年），包含2001年至2010年间对285家美国大型银行的2397次观察。数据包括投入的数量和价格，即劳动力、实物资产和借入资金，以及产出的数量，即abank提供的贷款。鉴于相对较大的样本量，我们有可能在不同样本量下探索dp sur的性能。因子需求方程组可以写成asaL=LY=βLL+βLAPAPL+βLFPFPL+βLTT+εL（27）aA=AY=βaA+βALPLPA+βAFPFPA+βATT+εA（28）aF=FY=βF+βF LPLPF+βF APAPF+βF TT+εF（29），其中L、A和F分别表示劳动力、实物资产和借款的数量；T表示趋势变量；Y表示产量，pki表示系数k的价格，带k∈ {L，A，F}。对于我们假设的误差（εLi，εAi，εfi）~ N（0，∑i），其中，∑i是观测i的协方差矩阵。我们允许误差在系统中的三个方程之间关联，即。

cov（εki，εsi）6=0，带k，s∈ {L，A，F}索引方程。鉴于主要关注对象是价格弹性，我们报告了三个因素价格弹性的后验概率和标准差。利用广义Leontief成本函数，各因素的交叉价格弹性由eks=βks（Pk/Ps）给出-1/2ak，k6=s，（30）自身价格弹性为ekk=-Ps6=kβks（Pk/Ps）-1/2ak。（31）表3包含要素需求价格弹性的后验平均值。我们可以看到，在800观察子样本和完整样本中，所有弹性的后验均值都相对较小，这表明美国银行对要素（劳动力、实物资产和借款）的需求相对缺乏价格弹性。请注意，在两个样本中，劳动力和实物资产的自身价格弹性均为负值。相比之下，借入资金的自身价格弹性为正，尽管我们注意到，与劳动力和实物资产相比，绝对价值非常小。这表明，在美国银行业的生产过程中，借贷资金的需求缺乏弹性。一个潜在的原因是，借来的资金通常用于满足美联储规定的存款准备金率。这样的特点使得借入资金相对于价格具有弹性。用dp sur估计的后验均值与假设正态误差的贝叶斯sur估计的后验均值之间存在一些差异。在模拟研究中没有观察到这种差异。然而，应该注意的是，在模拟中，回归方程得到了正确的描述，但经验数据不能保证这一点。在具有经验数据集的后验者中，这种差异也在具有DP先验的半参数混合物的文献中观察到，包括Conley等人。

(2008).请注意，当系统中的所有方程共享相同的解释变量时，sur和ols估计量完全相同。如表4所示，对于这种弹性，后部s.d.也相对较大。表3：弹性，美国银行业：后验平均数800观察子样本投入劳动力资产资金参数DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR工资-0.189-0.422 0.375 0.254-0.016-0.007资产价格-0.009 0.131-0.690-0.585 0.012 0.002资金价格0.198 0.291 0.315 0.331 0.004 0.004完整样本，2397观测输入劳动力资产资金参数DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR DP SUR工资-0.149-0.201 0.406 0.385 0.004-0.001资产价格-0.094-0.068-0.686-0.668-0.016-0.005资金价格0.243 0.270 0.280 0.283 0.012 0.006表4给出了用两个样本估计的价格弹性的后标准差。我们观察到，对于所有价格弹性，dp sur比假设正态的贝叶斯sur获得更小的后验s.d。这并不意外，因为弹性是方程系统中回归参数的函数，半参数dp-sur比参数贝叶斯sur的后验s.d.更小。最大百分比差异(%) 在800个观察子样本中，劳动力需求相对于实物资产价格的交叉价格弹性发生，其中dp Suprosterior s.d比sur对应值小38.27%。在完整样本中，借款资金需求相对于实物资产价格的交叉价格弹性差异最大，达到39.15%。表4：弹性，美国。