数学博弈论

设S={σ，σ}并假设Pr（σ）=Pr（σ）=1/2。考虑信息Rima-函数（S=）{{ S}}和P（Sigi）＝{ S}}（S=）{ S=，Sig}＝P（α）。对于事件E={σ}，一个结果sPr（E | P（σ））=1和Pr（E | P（σ））=0Pr（E | P（σ））=1/2和Pr（E | P（σ））=1/2。Ground集合S={σ，σ}对应于事件“两个p层对E发生的可能性的估计不同”。这两个状态σ，σ中的每一个都是（微不足道的）常识。然而，对于一大类信息函数，我们的初始问题有一个确定的答案“否”。例如，如果每一个明显的事件E都是成对不相交集P（σ）的并，我们就称一个信息函数P为strict。建议4.2。假设两个信息函数都是严格的。让E 这是一件非常罕见的事。那么就没有状态σ了*这可能是球员们的共同知识，他们的健康状况估计ηres p。η对E的发生有不同的影响。证据考虑EngEsI= {西格玛PR（Eππ（α））＝ε}（i＝1, 2）。事件E∩ 这是指当玩家p的估计值为η时，玩家对η的概率进行测量的事件。假设E∩Eis是σ状态下的常识，即存在一个事件F E∩ 如此*∈ F和K（F）=F=K（F）。因为信息函数Pis stri ct，F是成对不相交集P（σ）的并，P（σk），比如。因为F E∩ E、 一个hasPr（E | P（σ））=…=Pr（E | P（σk））=η.6。常识71考虑到前4.14，我们因此发现Pr（E | F）=Pr（E | P（σ）=η）。同样地，Pr（E | F）=η被推导出来，因此η=η如下。例4。1 4. 假设A，B是这样的事件：∩ B=.

然后条件概率满足：Pr（E|A）=Pr（E|B）==> Pr（E | A）∪ B） =Pr（E | A）。第3部分n人博弈5效用、潜力和均衡在讨论n人博弈本身之前，回顾博弈的基本模型并研究博弈的特征是有用的。其目的是从总体角度对国家和战略决策的价值进行数字评估。1.实用性和潜力1。1.实用性。系统S上的一个实用程序是一个集合u={uσ|σ∈ S} 函数uσ：S→ R、 所谓的U的局部效用函数。我们认为U是一种测量工具，所有这些工具都能让我们评估可能的移动σ7→ τ通过随后的边缘差进行数值计算U（σ，τ）=Uσ（τ）- uσ（σ）如果任何移动的质量σ7→ τ在博弈Γ中是通过效用U来计算的，我们称U为Γ1.2的特征效用。潜力。有“潜力”意味着有能力做某事。在物理学中，势一词是指系统的特征量，其变化导致系统的动态行为。例如，势能可以使物体运动。由此产生的动能对应于势能的变化。引力被认为是由相应的势、所谓的引力场等的变化引起的。从数学上讲，势被表示为实值数值参数。换句话说，系统S上的电势只是一个函数→ r分配给一个状态σ∈ S是一个数值v（σ）。势能v产生相关的效用v={vσ|σ∈ S} 式中，vσ=v表示所有σ∈ S.76.5。效用、势与均衡如果V是S上对策Γ的效用，则势V称为Γ的特征函数。

移动值σ7→ τi s由边缘差给出V（σ，τ）=v（σ，τ）=v（τ）- v（σ）路径独立性。给定S上的效用U，路径γ=σ7→ σ7→ σ7→ . . . 7.→ σk-17→ σkof系统转换具有总效用权重U（γ）=U（σ，σ）+U（σ，σ）…+U（σk）-1，σk）。如果任何路径的效用权重仅取决于其初始状态σ和最终状态（但不取决于状态σi6=σ，σkin）：U（σ7）→ . . . 7.→ σi7→ . . . 7.→ σk）=U（σ，σk）。建议5.1。效用U在S上是路径无关的当且仅当U是从S上的势导出的。如果U是从势U:S导出的→ R、 我们有U（σi）-1，σi）=u（σi）- u（σi）-1） 因此，对于任何γ=σ7→ σ7→ . . . 7.→ σk：U（γ）=kXi=1（U（σi）- u（σi）-1） ）=kXi=1u（σi）-K-1Xi=0u（σi）=u（σk）- u（σ）=U（σk，σ），表明U处的th与路径无关。相反，假设U={Uσ|σ∈ S} 是一个路径无关的实用程序。修正一个状态σ，注意效用函数u=uσ本身就是一个势函数。因为U是路径无关的，所以我们有σ，τ∈ sU（σ，σ）+U（σ，τ）=U（σ，τ），因此，U（σ，τ）=U（σ，τ）- U（σ，σ）=U（τ）- u（σ）。因此，U与从潜在U导出的效用是相同的。2.平衡772。当我们讨论效用的平衡时，U={Uσ|σ∈ S} 在系统S上，我们假设每个状态σ都关联了一个邻域fσ S与σ∈ Fσ。这意味着我们将状态转换集中到邻居，即转换到σ7→ τw与τ∈ Fσ。我们现在说，如果系统状态σ产生效用函数的一个局部极值，则它是一个“等平衡”，从该极值到一个邻域的转移似乎是有吸引力的。

准确地说，我们区分了最大极值和最小极值，因此定义：（1）σ是U-ifuσ（τ）的增益（或收益）平衡≤ uσ（σ）适用于所有τ∈ Fσ；（2） σ是U ifuσ（τ）的成本均衡≥ uσ（σ）适用于所有τ∈ Fσ。许多现实世界中的系统都被假定为受到一个动态过程的影响，该过程最终会根据某种效用度量在平衡状态（或至少近似于非平衡状态）下稳定下来。这一现象在物理学中得到了惊人的观察。但经济理论长期以来一直怀疑，经济系统可能会趋向于均衡状态。如果效用衡量指标表明价值最大化，那么收益均衡是有意义的。如果一个最小值是可取的，一个是成本均衡。备注5.1（收益和成本）。用C表示=-U带有localutility函数的实用程序cσ=-uσ。那么σ是U的增益平衡<==> σ是成本均衡。从抽象的角度来看，收益均衡理论相当于成本均衡理论。2.1. 平衡的存在。在实践中，平衡点的确定通常是一项非常困难的计算任务。事实上，许多效用并不均衡。一般来说，要确定一个给定效用是否存在非平衡并不容易。所以我们对能得出至少存在一个平衡态的条件感兴趣。A.A.古诺（1838年）：巴黎理工大学数学研究院，78 5。效用、潜力和平衡2。1.1. 潜在的效用。

考虑潜在的U：S→ R与派生的效用值u（σ，τ）=u（τ）- u（σ）。这里，有一个条件显然是充分的：（1）如果u（σ）=maxτ∈σu（τ），那么σ是增益平衡。（2） 如果u（σ）=minτ∈σu（τ），则σ是成本均衡。由于有限集上的每个函数都达到了最大值和最小值，因此我们得出了第5.2点的结论。如果S是有限的，那么每一个潜在函数都会产生至少一个收益和一个成本均衡的效用。类似地，我们可以导出坐标空间中表示的系统的平衡点的存在性。建议5。3.如果S可以表示为紧集S 这样的话→ R是连续的，那么u意味着S上的效用至少有一个增益和一个代价相等的平衡。事实上，众所周知，紧集上的连续函数达到最大值和最小值。备注5.2。请注意，本节中给出的条件足以保证平等的存在——无论假设S上的社区结构是什么。2.1.2. 凸面和凹面的u形瓷砖。如果效用不是由势函数隐含的，则即使S的完整性也不足以保证平衡的存在（见例5.1）。例5.1。给出一个效用U相对有限状态的例子，该状态没有g a in，也没有成本均衡。现在，我们推导了状态由非紧凸集S表示的系统上效用U的充分条件 Rm。2.平衡点我们说：oU是凸的，如果每个局部函数us:S→ R是凸的如果每个局部函数都是S，那么U是凹的→ R是凹的。定理5.1。设U是一个具有连续局部效用函数us:S的效用函数→ 非空紧集S上的R Rm。然后（1）如果U是凸的，则存在成本均衡。（2） 如果U是凹的，则存在一个引力平衡。证据

定义函数G:S×S→ R和估值G（s，t）=所有s，t的us（t）∈ 然后定理的假设是G满足附录A.1的条件。因此，一个元素∈ S存在于这样的情况下：t=G（S，t）≤ G（s，s）=美国（s）对所有s都适用∈ 因此，S*是U的增益等式（凸情况也用同样的方法证明。）第六章n人博弈n人博弈概括了2人博弈。然而，事实证明，分析双人游戏的特殊技术也适用于这一看似更广泛的背景。例如，交通系统自然就属于这一类。n人博弈的模型假定存在一个有限集n，其中n=|n |元素将她与一个家庭X={Xi | i联系在一起∈ n次非空集席的n}元素i∈ N被认为是球员或经纪人。席席∈ X代表代理i可用的资源集合（或行动、策略、决策等）∈ N.Γ的状态是一个特定的选择x=（xi |i）∈ n）个人资源席∈ Xiby n agents i.因此，所有Γ状态x的集合由直接乘积x=Yi表示∈NXi。备注6.1。用自然数来标记N的元素，并假定N={1，2，…，N}，这通常是很方便的，以简化计算。在这种情况下，Γ的状态x可以用形式x=（x，x，…，xn）表示∈ X×X×。×Xn（=X）。我们进一步假设每个玩家∈ N有一个单独的实用性ui={uxi | x∈ 十} 所以uxi（y）评估状态转换x7的值→ y代表i.整个上下文Γ=Γ（Ui | i∈ N） 集合中的玩家及其工具现在描述了N人游戏的欠考虑。82 6. N人游戏性爱。6.1.

具有行玩家R和列玩家C的矩阵对策Γ与支付矩阵XP=（p，q）（p，q））（p，q）（p，q）=(+1, -1) (-1, +1 )(-1, +1) (+1, -1).是一个两人游戏，玩家设置N={R，C}，策略设置xr={1，2}和XC={1，2}。相应地，状态集是x=XR×XC={（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）}。单个效用函数u（i，j）R，u（i，j）C:X→ R取所有（s，t）的值su（i，j）R（s，t）=pst和u（i，j）C（s，t）=qstf∈ 十、潜在的游戏。n人游戏Γ=（Ui | i）∈ N） 如果有一个p势v:X，则称为势对策→ R那么，无论如何∈ N和x，y∈ X边际效用的变化等于潜力的变化：uxi（y）- uxi（x）=v（x，y）=v（y）- 五（十）合作。一组N人的基本博弈模型很容易被推广到一个模型，在这个模型中，一组人（而不仅仅是个人）从某个状态x得到一个效用值∈ 为此，我们称之为子集 N个参与者组成一个联合体，并假设一个单独的ut函数us:X→ 然而，从抽象的数学观点来看，这个广义模型可以被视为标准的N人博弈，具有S etN={S N} 将联盟视为其“超级层”的集合。事实上，我们可以允许每个联盟拥有自己的一套资源。因此，在本章中，我们保留了关于基本参与者集N的基本c模型。第七章将详细研究一类特殊的合作博弈，即所谓的合作博弈。概率模型。n-persongames有许多概率方面。一个是从概率模型开始（见Ex.6.2）。例6.2（模糊游戏）。假设一个游戏Γ∈ n必须在两个备选方案之间作出决定，比如说“0”和“1”，d用概率席选择“1”。

那么Γ是一个|N |人的游戏，其中每个玩家i都有t heunit intervalXi=[0,1]={x∈ R | 0≤ 十、≤ 1} 作为它的一套资源。联合战略CycEX＝（x，…，席，…，Xn）∈ [0,1]N2。平衡点可以用“模糊”的决定来表示，以形成一个协整X 玩家：我将成为X席的成员，概率XI。因此，x是模糊联盟的描述。Γ是奥比恩意义上的模糊合作博弈，如果用我们的术语来说它是一个潜在博弈。另一个模型来自n人GAME的随机化（见第3节）。第7章和第8.1章研究了n人游戏的其他概率方面。n人博弈的动力学∈ N） 在游戏中，一个游戏实例会产生一系列状态转换。这些转换被认为是由于玩家策略选择的改变。我想∈ N将其当前战略XIB替换为战略y∈ Xiwhileall其他玩家j 6=我保留他们的cho ICE xj∈ Xj。然后是状态转换7→ y=x-i（y）结果，其中新状态具有分量syj=如果j=ixjif j 6=i，则为y。请特别注意x-i（xi）=x在该定义下成立。让我们假设setFi（x）={x-i（y）|y∈ Xi}作为x国的社区∈ X代表我的球员∈ 因此，从我的观点来看，X的成员是那些可以通过I改变当前策略席I来实现的状态，提供了所有其他玩家J 6 =保留当前策略XJ。2.均衡增益均衡Γ=Γ（Ui | i∈ N） 是联合战略选择∈ 因此，没有一个玩家有一个效用激励，可以切换到另一种策略，即uxi（x）≥ uxi（z）为al l i保留∈ N和z∈ Fi（x）。完全类似地，成本均衡是通过相反的条件定义的：uxi（x）≤ uxi（z）为al l i保留∈ N和z∈ Fi（x）。J-P.奥宾（1981）：模糊合作博弈，数学。

运筹学6，1-1384 6。N人博弈这个均衡的概念可以与第2章中的一般定义相一致。假设状态X，想象一下每个玩家我都认为它的当前策略是席。结果效用y值的总和为g（x，y）=Xi∈Nux（x）-i（yi））（y=（yi | yi）∈ Xi））。引理6.1。十、∈ X是Γ（Ui | i）的增益平衡∈ N） 如果只有d个ifG（x，y）≤ G（x，x）代表所有y∈ X.证据。如果x是增益平衡，y=（yi | i∈ N）∈ 十、 我们哈沃西（X）≥ ux（x）-我（易）为了所有的易∈ 席，这意味着G（x，x）≥ G（x；y）。相反地，如果x不是一个引力平衡，则存在一个i∈ N和y∈ Xisuch that0<uxi（x-i（y））- uxi（x）=G（x，xi（y））- G（x，x）。也就是说y=x-i（y）∈ X违反了不平等。引理6.1将对Γ平衡的追求简化为对效用G={gx | x非平衡的追求∈ 十} 其值为gx（y）=G（X，y）。因此，我们可以立即将第5章中关于均衡存在的一般充分条件转移到n人博弈Γ=（Ui | i）中∈ N） 利用效用聚合函数G：（1）如果Γ是一个具有有限集X的有效博弈，那么收益和成本均衡的存在是有保证的。（2） 如果X表示为有限维实参数空间中的非空紧凸集，则→ G（x，y）是连续且凹的，则Γ再次允许平衡。（3） 如果X表示为有限维实参数空间中的非空紧凸集，则→ G（x，y）是连续且凸的，则Γ承认成本平衡m.ex6.3。证明Ex.6.1中的矩阵g不是一个潜在的游戏（提示：状态集是有限的。）3.矩阵游戏的随机化853。

矩阵博弈的随机化n人博弈Γ=（Ui | i）∈ N） 如果（i）任何玩家的资源集合i∈ N是有限的。（ii）每位球员i∈ N只有一个实用函数ui:X→ R.对于术语的动机，假设多维矩阵U的坐标席集XAAS索引集的n={ 1，…，n}和thi-nk，特定的In Ex VECtox＝（x，…，Xi，…，Xn）。∈ X=X×。×席××…Xnthus指定了一个在U中的位置，其中n维坐标入口=（U（x），ui（x），un（x））∈ 注册护士。现在让我们用以下方式改变矩阵对策的规则：（R）对于每个i∈ N、 玩家i选择一个概率分布p（i）在Xiand上选择元素x∈ xi概率p（i）x。根据规则（R），玩家实际上在玩相关的n人游戏（Ui |i）∈ N） 使用资源集和实用程序功能ui:Pi→ R，其中（1）πs的所有概率分布在席上。（2） ui（p）是ui相对于联合概率分布p=（p（i）|i的期望值∈ N） 球员的名字。n人博弈Γ是矩阵博弈Γ的随机化。假设sum ingN={1，…，n}，一个具有给定asui（p（1），…）的预期效用值，p（n））=Xx∈十、Xxn∈Xnui（x，…，xn）p（1）x··p（n）xn。如例6.1所示，一个（非随机）矩阵博弈不一定有均衡。另一方面，请注意坐标生产函数（t，…，tn）∈ Rn7→ t··tn∈ R86 6。N人配子在每个变量中是连续的和线性的。随机博弈Γ的每一个效用函数都是这类函数的线性组合，因此在每个变量中也是连续的和线性的。由于线性离子既是凹的又是凸的，且状态setP=P×。x pn是凸紧的，我们得出结论：定理6.1（纳什）。