数学博弈论

相对于U，矩阵I具有谱分解（52）I=Xx∈徐徐*x、 对于任何向量v∈ CxkVk=1，我们因此发现1=hv | vi=v*Iv=Xx∈十五*UxU*xv=Xx∈Xhv | Uxi。如果向量向量UX的（平方）内积PVX＝Hv席ux在集合X上产生概率分布PVn，现在考虑，更一般地，具有FuxC= XX的特征值r xf的自共轭矩阵C。∈XρxUxU*十五。然后我们有（53）hv | Cvi=v*Cv=Xx∈Xρxhv | Uxi=Xx∈Xρxpvx。换句话说：向量v和Cv的内积hv | Cvi是关于概率分布pvon X.122 8的特征值ρxof C的期望值。相互作用系统和量子模型2。2.厄米特表象。回到对称分解中的实矩阵，与矩阵a关联∈ RX×x复矩阵^A=A++iA-.^A是一个隐士矩阵。赫密特地图是7吗→^A在向量空间RX×x和向量空间hx={^A | A之间建立同构∈ RX×X}，集R为标量场。在我们的上下文中，重要的是基本观察到自伴矩阵正是厄米矩阵：引理8.1。让C∈ CX×Xb是任意复矩阵。然后∈ HX<==> C=C*证据假设C=A+iB和A，B∈ RX×和henceC*= 在-iBTSo C=C*表示对称性A=A和斜对称性B=-因此，一个人有^A=A和^B=iB，这意味着sc=A+iB=^A+B∈ HX。反之则很容易理解。厄米特表示法的显著性质是：o而实矩阵∈ RX×xd不一定允许实特征值的体分解，它的厄米表示^A总是保证有一个。3.交互系统让我们假设元素x，y∈ X可以与某个互动强度互动，用实数axy来衡量。我们将这种相互作用象征性地表示为axyεxy。

从图形上看，在以X为节点集的交互图中，同样可以考虑加权（有向）边：axyεxy:：xaxy--→y、 C.HERMITE（1822-1901）HXis不是复向量空间：厄米矩阵C与复标量z的乘积zC不一定是厄米矩阵。3.相互作用系统123相互作用实例是相互作用的加权叠加：ε=Xx，y∈Xaaxεxy。我们在交互矩阵A中记录交互实例ε∈ RX×x与交互系数Axy=Axy。当AT=A时，相互作用是对称的，当AT=A时，相互作用是斜对称的-A.相反，每个矩阵A∈ RX×x对应于某个交互实例ε=Xx，y∈XAxyεxy。因此，我们可以把RX×xa看作是相对于集合X的交互空间。此外，对称分解A=A++A-结果表明：每个相互作用实例ε是对称相互作用实例ε+和斜对称相互作用实例ε的叠加-.此外，ε+和ε-由ε3.1唯一确定。我喜欢美国。相互作用状态ε与相互作用矩阵A的范数是相关相互作用矩阵的范数：kεk=kAk。所以kεk6=0意味着至少有两个成员s，t∈ X与强度的交互作用为6=0，且数字Pxy=|Axy | kAk（（X，y）∈ X×X）在所有可能相互作用的对集合上产生概率分布，并提供关于ε的概率论观点：oX的一对（X，y）成员与概率pxy相互作用。显然，标度为α6＝0的ε到εε，将导致X×x上相同的概率分布，因此从概率的观点出发，因此考虑相互作用实例ε与范数kεk＝1。因此，我们定义：1248。

相互作用系统和量子模型X上的相互作用系统是系统I（X），状态集合为6={ε|ε是范数kεk=1}的X的相互作用实例，根据状态的矩阵表示，我们有←→ SX={A∈ RX×X | kAk=1}.3.2。我有动作电位。A势F:X×X→ R定义ri x处的m，系数Fxy=F（x，y），因此是标量值线性函数a 7→ hF | Ai=Xx，y∈向量空间RX×X上的xfxyax。相反，公式f（A）=Xx，y的RX×Xis上的每个线性函数f∈XFxyAxy=hF | aI，系数Fxy不确定∈ 所以势函数和线性函数相互对应。另一方面，势函数定义了一个线性算子a 7→ 空间RX×X上的FoA，其中矩阵FoA是Fand A的哈达玛积，系数（FoA）xy=fxyaxy表示所有X，y∈ X.根据这一理解，一个hashF | Ai=Xx，y∈X（FoA）xy。此外，计算（54）hA | FoAi=Xx，y∈XAxy（FoA）xy=Xx，y∈XFxy | Axy |。如果∈ SX（即，如果A代表相互作用状态ε∈ 九） ，参数pAxy=|Axy |定义了X×X上的概率分布。在这种状态下，电势F的期望值ε为με（F）=Xx，y∈XFxypAxy=hA | FoAi。3.互动系统1253.3。我喜欢在合作游戏中互动。交互模型为分析合作提供了相当广泛的背景。为了说明这一点，考虑一个合作的TU游戏= =（n，v）的集合n个联盟。v是N上的一个势函数，但在可能成对相互作用的联盟的集合N×Nof上不是。

然而，vt有一个直接的扩展N×N:v（S，t）=v（S）如果S=T0如果s6=T。相对于状态σ∈ 在相互作用矩阵A的×M中，v isv（σ）=XS的期望值∈内华达州|屁股|。在一个状态σS的特殊情况下，联盟S与自身肯定地相互作用（因此在g个联盟之间没有适当的相互作用），我们有v（σS）=v（S），这正是联盟S在Γ的经典解释中的潜在价值。广义合作对策。研究参与者之间合作的一个更全面的模型是Γ=（N，N，v）型结构，其中v是N×N（而不仅仅是N）上的一个有效单位。我在有限的场景中进行互动。当前的许多交互分析仍然适用于经过一些修改的有限集。例如，我们只承认那些矩阵A是相互作用状态的描述∈ 具有（H1）supp（A）={（x，y）性质的RX×x∈ X×X | Axy6=0}是有限的或可数的。（H2）kAk=Xx，y∈X | Axy |=1。如果满足条件（H1）和（H2），我们就可以在希尔伯特空间中真实地表示相互作用状态。然而，为了简单起见，我们保留了当前文本中代理集X的完整性，并将感兴趣的读者参考文献以了解进一步的问题。e、 g.，J.WEIDMANN（1980）：希尔伯特空间中的线性算子，数学研究生论文，Sp ringer Verlag126 8。相互作用系统和量子模型4。量子系统不必深入量子力学的物理学，让我们快速地勾勒出基本的数学模型，然后看看与相互作用模型的关系。在本文中，我们把一个可观测系统的k作为一个机制α，可以应用于一个系统s，s（σ）α-→ α（σ）与积分：o如果S处于σ状态，则α应产生测量结果α（σ）。4.1。量子模型。

关于量子系统qx相对于集合X有两种观点。它们彼此是对偶的（颠倒状态和o可观测的作用），但在数学上是等价的。施罗丁格的照片。在所谓的SCHR¨ODINGERpicture中，qxa的状态表示为s etWX={v的元素∈ 范数1的复向量的CX | kvk=1}。可观测α对应于自伴（n×n）-矩阵a∈ HXand产生实数α（v）=hv | Avi=v*A.*v=v*当QXis处于状态v时∈ W.回顾第2.1节中关于光谱成分的讨论，α（v）是A的特征值ρiof相对于概率pa的期望值，vx=hv | Uxi（x）∈ 十） ，向量在哪里∈ W构成a对应特征向量的向量空间基。概率pA，V的解释是：QXis是一个随机系统，显示元素x∈ 如果在状态v:QX（v）A下观察到，则概率为pA，vx-→ x、 E.施罗丁格（1887-1961）4。量子系统127EX。8.4. 单位矩阵I∈ CX×Xis自伴和d产生分布pI，von X，概率pI，vx=| vx |（X∈ 十） 。海森堡的照片。在QX的海森堡图中，自伴矩阵A∈ 当向量v∈ 工业测量结果s.海森堡与螺旋图是双重的。在这两张照片中，他期望的值是hv | Avi（v∈ WX，A∈ HX）被认为是系统qx上测量得出的数字。海森堡结构中有一个元素x∈ X根据模式qx（A）-→ v x，概率pA，vx。密度和波函数。这两幅图的区别在于对概率分布的解释，即指数集X相对于A的解释∈ HX和v∈ WX。在海森堡图片中，pA，vis被认为是由a相对于固定状态向量v的可能变化所暗示的。

因此∈ hx也被称为密度矩阵。在薛定谔图中，当状态向量v=v（t）m可能随时间t变化时，矩阵ri x A被认为是固定的。v（t）被称为波函数。4.2. 量子系统的进化。（离散）时间t中的量子演化Φ=Φ（M，v，A）依赖于矩阵值函数t7→ Mt，一个状态向量v∈ W、 密度a∈ HX。演化Φ产生真实的观测值（55）~nt=v*（M）*tAMt）v（t=0,1,2，…）。注意，矩阵At=M*塔玛尔自伴。因此，演化Φ可以看作是密度矩阵的演化，这与海森堡图是一致的。W.海森堡（1901-1976），根据第1128章第2.1节。相互作用系统和量子模型Sif v（t）=Mtv∈ 对于所有的t，演化Φ也可以在薛定谔图中解释为状态向量的演化：（56）νt=（Mtv）*A（Mtv）（t=0,1,2，…）。备注8。1.量子力学的标准模型假设演化满足条件Mtv∈ 在任何时间t，所以海森堡和施罗德的图片是等价的。马尔可夫联盟形成。设N是集合N的联盟的集合。关于联盟形成的经典观点认为，N上的概率分布p是形成过程的可能状态，而过程本身是马尔科夫链。为了形式化这个模型，l et P=P（N）是N上所有概率分布的集合。马尔可夫算子是一个线性映射u：N→ RN×Nsuchμtp∈ P代表所有P∈ P.每个初始状态的u定义P（0）∈ 概率分布的马尔可夫链m（P（0））={ut（P（0））|t=0，1，…}。现在定义Pt∈ RN×n是以p（t）=ut（p（0））作为其对角系数向量的对角矩阵。

PTI是一个实对称矩阵，因此特别是adensity。任何v∈ W产生一个量子演化，其观测值为πt=v*Ptv（t=0，1，…，n）例如，如果∈ RN是对应于联盟的单位向量∈ N、 一个是π（S）t=e*SPteS=（Pt）SS=p（t）按照通常的解释：o如果联盟的形成是按照t赫马尔科夫链M（p（0））进行的，那么在t将发现S时的检查是活跃的，概率为yπ（S）t=p（t）S。备注8.2。更一般地说，第5.2节中的模拟退火过程是马尔可夫链，因此是量子进化的特例。A.A.马尔科夫（1856-1922）4。量子系统1294.3。关于相互作用的量子观点。通过hermiti A表示回顾向量空间同构∈ RX×X←→^A=A+iA-∈ HX，我们可以认为相互作用态是量子系统的薛定谔态的表现形式∈ RX×X | kAk=1}<-> WX×X={^A∈ HX | k^Ak=1}，或作为相对于量子系统QX的海森堡密度的规范化代表。主成分。X上的交互实例A具有厄米光谱分解^A=Xx∈XλxUxU*x=Xx∈Xλxax，其中矩阵^Ax=UxU*X^A的主成分。相应的相互作用实例是A的主成分：A=Xx∈XλxAx。相互作用实例的主成分V来自SCHR¨ODINGERstates V=a+ib∈ WX和a，b∈ RXin的方法如下。设置^V=vv*= （a+ib）- ib）T=aaT- bbT+i（baT）-abT），一个有V+=aaT+bb和V-= 球棒-abTand thusV=V++V-= （aaT+bbT）+（baT）-abT）。因此，主相互作用实例V具有下面的g结构：（0）每个x∈ X有一对（ax，bx）权重ax，bx∈ R.（1）两个任意元素之间的对称相互作用x，y∈ X isV+xy=axay+bxby。（2） 任意元素x，y之间的斜对称相互作用∈ X isV-xy=bxay- 阿克斯比。130 8.

相互作用系统和量子模型4。4.合作的量子视角。让N成为一个（有限的）参与者集合和N族coalit离子。从量子的角度来看，N的（薛定谔）态是一个复数向量v∈ WN，它影响概率分布Pvi=|vi |（i∈ N） N.用模糊合作的术语（参见Ex.6.2），PVD描述了模糊联盟：o玩家i∈ N以概率pvi活跃于状态vi。相反，如果w∈ RN是一个非零模糊联盟，其分量概率为0≤ wi≤ 1.向量√w=(√wi | i∈ N） 可以标准化为薛定谔状态=√工作√wks.t.wi=k√wk·| vi |为所有我∈ N.同样地，向量Wn描述了N的联盟之间相互作用的一种特殊状态。观察主成分类型的相互作用V尤其有指导意义。正如我们在上文第二节：量子相互作用中所看到的，V产生了如下结果：（0）N上的相互作用V由两个合作博弈Γa=（N，a）和Γb=（N，b）隐含。（1） 两个联盟∈ N通过v+ST=a（S）a（T）+b（S）b（T）进行对称互动。（2） 两个联盟∈ N通过v对称地相互作用-ST=b（S）a（T）-a（S）b（T）。游戏的数学分析很大一部分遵循游戏理论系统的指导原则o用一个m a主题结构表示系统，用数学方法分析表示，并在原始游戏理论环境中重新解释结果。6.结束语131当一个人在同一个空间中选择一个系统的表示，就像他通常用来表示一个量子系统一样，他会自动进入一个“量子游戏”，即。

e、 ，在一个博弈论环境的量子理论解释下。所以我们通过量子博弈来理解系统S上的任何博弈，它的状态被表示为量子态，让读者在这个更全面的背景下回顾博弈论。6.最后一点：为什么要传递给复数和厄米空间hx而不是欧几里德空间RX×Xif？如果这两个空间都是同构的实希尔伯特空间？其优势在于复数域C的代数结构，例如，它可以产生谱分解（51）。在不诉诸复杂代数的情况下，将他的结构见解转化为环境RX×x并非不可能，但有点“不自然”。当研究系统演化时，另一个优势变得显而易见。在实向量空间的经典情况下，马尔可夫链是系统演化的一个重要模型。事实证明，当人们进入希尔伯特空间的上下文时，这个模型具有相当大的泛化性。这个应用程序roach的博弈论分支在很大程度上尚未被探索。U.FAIGLE和G.GIERZ（2017）：进化系统的马尔可夫统计，进化系统，DOI 10.1007/s12530-017-9186-8附录1。实分析中的概念和事实向量x的欧几里得范数（或几何长度）∈ Rn和组件xj，iskxk=qx+…+xnWriting Br（x）={y∈ Rn | kx- yk≤ r} 对于r∈ R和x∈ Rn，一个su bsetS Rn是（1）有界的，如果存在一些r>0，使得S Br（0）；（2） 每x打开一个if∈ 有一些r>0，使得Br（x） s（3） 如果Rn\\S打开，则关闭；（4） 如果S是闭且有界的，则为紧致。引理A.2（HEINE-BOREL）。s Rn是紧的当且仅当（HB）开集的每个族 这样每x∈ S至少位于一个O∈ O、 可容纳一定数量的集合O，Ol∈ o具有覆盖性oS O∪ O∪ . . .

∪Ol.重要的是要注意，在形成directproducts时，紧致度i保持不变：o如果X Rnand Y Rmare紧集，然后X×Y Rn+不紧凑。函数f:Rn→ 对于所有x，R在S上是连续的∈ S、 一个人总是哈斯利姆→0f（x+d）=f（x）。引理A.3（极值）。如果f在紧集s上是连续的，则存在元素x*, 十、*∈ 这就是f（x）*) ≤ f（x）≤ f（x）*) 适用于所有x∈ s连续函数f:S→ R在op-en集S上是可微的 每个x的Rnif∈ 有一个（行）向量f（x）使得每d∈ 单位长度kdk=1的Rn，一个haslimt→0f（x+td）- f（x）t=limt→0f（x）dt（t）∈ R） 。f（x）是f的梯度。其分量是偏导数：f（x）=f（x）/十、f（x）/xn.不是贝尼。并非所有连续函数都是可微的。2.凸性元素x，…，的线性组合，Xm是形式z=λx+…+的表达式λmxm，其中λ，λmare标量（实数或复数）。当λ+…+时，线性组合z是确定的λm=1和λ，λm∈ R.如果所有标量λ都是非负的，则一个精细组合就是一个凸组合。凸组合的s标度（λ，…，λm）是（m维）概率分布。布景 Rn是凸的，如果它包含每个x，y∈ S也是连接线段：[x，y]={x+λ（y- x） |0≤ λ ≤ 1}  很容易验证直接产品S=X×Y Rn×mis凸ifX Rnand Y 我们是凸集。函数f:S→ R在凸集S上是凸的，如果对于所有x，y∈ 所有标量的沙子0≤ λ ≤ 1，f（x+λ（y）- x） )≥ f（x）+λ（f（y）- f（x）））。这一定义相当于对任何元素x，xm∈ S和概率分布（λ，…，λm），f（λx+…+λmxm）≥ λf（x）+。