基于边际待遇效应的福利分析

给定（δ，η）的后验概率测度和我们的表示（4），我们可以构造Bayes-welfareZZ1{z∈ G} ZMT Eη（u，x）dudμδ（z）dπ后（δ，η）。Bayes规则是G上Bayes福利的最大化∈ G.经验福利最大化规则经验福利最大化规则使用Z的经验d分布和M T E的估计值。也就是说，使用大小为n的随机样本{Z，…，Zn}，我们可以确定经验福利1{Z∈ G} Z\\MT E（u，X）du,其中，样本平均算子，即Enf（Z）=n-对于任何可测函数f，1Pni=1f（Zi）。emp irical福利最大化规则选择了这个经验福利的最大值∈ G.下一节将更详细地分析这种经验福利相对于oracleaction下的人口平均福利的最大值的渐近性质。5对经验福利最大化的应用我们展示了代表性结果（4）在本节中对经验福利最大化的应用。为了阐述核心理念，我们首先关注主题映射（u，x）7的案例→ 在第5.1节中，一位研究人员知道MTE（u，x）。然后我们给出了映射（u，x）7的情况→ 研究人员不知道MT E（u，x），因此需要在第5.2.5.1节“已知MT的经验福利最大化”中进行估计。在本节中，我们假设我们知道映射ping（u，x）7→ E山（u，x）。^GEW M给出了这种情况下的经验福利最大化者∈ arg m axG∈消息1{Z∈ G} zmte（u，X）du.我们给出了最大经验福利W（^GEW M）的一致渐近分析，它与甲骨文作用下的人口平均社会福利有关，用wg=supG表示∈GW（G）。为此，考虑以下假设。假设2。（i） | RMT E（u，X）du |≤\'M<∞ a、 对于（Y，Y，D，Z）分布的P类（`M）。

（ii）G有一个有限的VC维度v<∞ 而且是可数的。上述假设是对北川和德特诺夫（2018）中假设2.1（BO）-（VC）的修正，该假设根据我们的框架量身定制，具有边际治疗效果。假设2（i）要求对边际处理效果函数进行充分的积分。作为一个有效条件，它可以判断结果变量是否有某个常数的界，该常数在某些应用中是自然满足的。假设2（ii）限制了治疗函数类Z 7的复杂性→ 1{Z∈ G} 。在充分条件下，当X具有有限支撑时，该假设将自动保持V为X支撑力集的基数。北川和Tetenov（2018，第598页）收集了几个具有有限VC尺寸的G示例。以下推论提供了经验福利最大化的最坏情况平均福利损失（r egret）的收敛速度。推论1。在假设1和2下，一个hassupP∈P（`M）EPnhWG- W（^GEW M）i≤ 2C’Mrvn，其中Cis是一个通用常数。附录A.2中提供了证据。C orollary 1意味着基于经验数据的治疗分配规则不会达到比n更快的最小最大速率-1/2，并表明^GEW不符合P（`M）上的最小最大速率最优。这个推论扩展了Kitagawa和Tetenov（2018）的Reom 2.1，并与之相对应。5.2未知Mt的经验福利最大化在本节中，我们考虑了映射（u，x）7→ MT E（u，x）由Aresearch未知，因此需要根据经验数据进行估计。^Ghybrid给出了这种情况下的经验福利最大化∈ arg maxG∈消息1{Z∈ G} Z\\MT E（u，X）du,其中E是MTE的估计值。关于边际处理效果的现有文献提供了MTE的替代估计值列表。

因此，我们首先在第5.2.1节中提供了关于E的一般有效性条件，以适应各种可能的估计值。随后将有一个特定的估计量E，该估计量带有第5.2.2.5.2.1节中规定的较低水平的原始条件。一个有效条件一个关于估计量E的一般高级假设是，它需要一个统一的收敛速度ψ-如下文所述，在E（u，X）du的平均绝对值中。假设3。对于一类数据生成过程Pm，存在一个序列ψn→ ∞ 这样的话→∞晚餐∈PmψnEPnENZ（\\MT E（u，X）- 杜山< ∞.这一充分条件导致速率ψ-1n∨N-1/2，最坏情况下平均福利损失（遗憾）的收敛性，正式表述如下。推论2。在假设1、2和3下，支持∈下午∩P（`M）EPnhWG- W（^Ghybrid）i=O（ψ）-1n∨ N-1/2).附录A.3中提供了这一推论的证明。它是Theorem2的对应物。北川和泰特诺夫（2018）的第5部。不同的估计量\\MT E的估计量通常包含不同的收敛率ψ-1n。接下来，我们提出了一个具有较低水平效率条件的具体估计量。对于假设3.5.2.2中的高水平条件，Heckman和Vytlacil（1999、2001、2005）提出的参数估计f或MT E（u，x），可以通过等式E（u，x）=E[Y |ν（Z）=u，x=x]从数据中识别MTEU≡ 丽芙（u，x）。在本节中，我们考虑E[Y|ν（Z）=u，X=X]的参数回归函数[Y|ν（Z）=u，X=X]=X′β+X′（β）- β） u+KXk=2αKukFollow Cornelissen、Dustmann、Raute和Sch¨onberg（2016年，第4.3节）对劳动经济学家的边际待遇影响调查。设^ν（Z）表示倾向评分ν（Z）的一些估计量，definex=（（1）- ν（Z））X′，ν（Z）X′，ν（Z），ν（Z）K′，^X=（（1）- ^ν（Z））X′，^ν（Z）X′，^ν（Z）。

和θ=（β，β，α，…，αK）。设θ=（β，β，α，…，αK）为θ的最小二乘估计量，通过在^X上回归Y，也就是说，θ=Enh^X^X′i-1Enh^XYi。然后，MT E可以简单地由^θ的线性泛函估计。\\mte（u，x）=x′（β）-β）+KXk=2kαkuk-1.因此，我们的表示（4）中的算子核可以通过简单的线性表达式z\\MT E（u，x）du=x′（^β）来估计-^β）+KXk=2^αk。对于这个具体的估计量，我们在下面的建议中提供了一组较低水平的条件，以保证假设3中的上述高水平条件得到满足。建议1。设C和C为正常数，ψnbe为带ψn的序列≥ n1/2。假设θ的参数空间是紧的，因此对于极大的nk^θk+kθk≤ C几乎可以肯定。（5） 此外，假设PMI是一类数据生成过程，比如LIM supn→∞晚餐∈PmψnEPnmaxi=1，。。。，n|^ν（Zi）- ν（Zi）|1/2< ∞, （6） max{EkXk, E|Y|} < C、 和（7）λminEXX′≥ c、 （8）那么，假设3是满足的。附录A.4中提供了证据。除（6）项外，命题1中的所有条件都可以看作正则条件。（6）中的条件要求在数据生成过程中，倾向得分ν（z）的估计量^ν（z）的收敛速度一致。这种情况可以通过特定的倾向评分估计器进行检查。例如，我们可以对ν（z）使用局部多项式估值器^ν（z），对于该估值器，Kitagawa和Tetenov（2018，附录H）得出了一致的收敛速度。具体而言，（6）中的收敛性直接来自引理E.4（ii）。例如，我们可以考虑线性倾向评分模型^ν（z）=p（z）′γ及其最小二乘估计量^ν（z）=p（z）′γ。

在这种情况下，（6）可以满足ψn=√n、 使（2）中最坏情况下的平均福利损失（遗憾）的收敛速度与参数根n速度保持一致。6结论实证经济学家的一个重要研究目标是为政策制定者提供指导，指导如何根据经验数据的证据将异质个体分配到考虑中的治疗。为了实现这一目标，必须从观测数据中确定社会福利函数。对于经验性经济研究中使用的许多观察数据集，治疗方法可能是由理性因素内生选择的。此外，即使在控制了观察到的属性之后，这些处理的效果也往往是异质的。有鉴于此，鉴于边际治疗效果能够衡量异质性治疗效果，我们建议使用边际治疗效果来确定存在未观察到的治疗效果异质性时的平均社会福利函数，同时考虑经验数据中的内生治疗选择。我们的主要结果，即定理1，证明了平均社会福利可以通过算子核的边际处理效应来表示。我们将这一主要结果应用于一些政策制定者的统计决策问题，如插件规则、贝叶斯规则，尤其是经验福利最大化规则。针对最后一个应用，我们推导了在不同情况下，从最大经验福利得出的最坏情况平均福利损失（遗憾）的收敛速度。定理1中的建议说明可能是有益的，因为它允许现有文献中关于边际处理效果的机器直接适用于各种经验的自我分析。参考阿姆斯特朗、T.和S。

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定义函数f byf（Z；G）=1{Z∈ G} zmte（u，X）du。设F={F（·；G）：G∈ G} 。然后，F是一类具有kfk的一致有界函数∞≤所有f∈ F.根据假设2，可以得出F属于VC维V<∞. 北川和特特诺夫（2018，引理A.4），EPn“supf∈F | En[F]- EP[f]|#≤ C¨Mrvn，其中Cis是北川和特特诺夫定义的通用常数（2018年，引理a.4）。现在，定义W（G）=E1{Z∈ G} zmte（u，X）du和“Wn（G）=En1{Z∈ G} zmte（u，X）du.然后，我们有晚餐∈P（`M）EPn苏普格∈G|Wn（G）-W（G）|= 晚餐∈P（`M）EPn“supf∈F | En[F]- EP[f]|#≤ C\'Mrvn。（9） 根据北川和特特涅夫（2018，等式（2.2））中的推导，我们对任何g∈ G thatW（~G）- W（^GEW M）=W（G）-\'Wn（^GEW M）+\'Wn（^GEW M）-W（^GEW M）≤\'W（~G）-\'Wn（~G）+supG∈G|Wn（G）-W（G）|≤2杯∈G|Wn（G）-“W（G）|，”（10）其中第一个不平等使用“Wn”（^GEW M）≥\'Wn（~G）。晚餐∈P（`M）EPnhWG- W（^GEW M）i≤ 2C’mrvn从（9）和（10）中得出。A.3推论的证明。定义w（G）=En1{Z∈ G} Z\\MT E（u，X）du.根据北川和德特诺夫（2018年，等式（A.29））中的推导，我们得到了任何g∈ GthatW（~G）- W（^Ghybrid）=W（G）-\'W（^Ghybrid）=\'Wn（~G）-^Wn（G）-“Wn（^Ghybrid）+^”Wn（^Ghybrid）+”W（~G）-\'Wn（~G）+\'Wn（^Ghybrid）-\'W（^Ghybrid）+^Wn（~G）-^Wn（^Ghybrid）≤\'Wn（~G）-^Wn（G）-“Wn（^Ghybrid）+^”Wn（^Ghybrid）+”W（~G）-\'Wn（~G）+\'Wn（^Ghybrid）-“W（^Ghybrid）≤EN（1{Z）∈^Ghybrid}- 1{Z∈~G}）Z（\\MT E（u，X）- mte（u，X））du+ 2 s upG∈G|Wn（G）-“W（G）|，”（11）其中第一个不等式使用了“Wn”（~G）≤^Wn（^Ghybrid）。根据假设3，我们有晚餐∈下午∩P（`M）EPnEN（1{Z∈^Ghybrid}- 1{Z∈~G}）Z（\\MT E（u，X）- mte（u，X））du= O（ψ）-1n）。（12） 在定理1的证明中，我们得到了∈下午∩P（`M）EPn苏普格∈G|Wn（G）-W（G）|= O（n）-1/2). （13） TheEorem的索赔现在来自（11）、（12）和（13）。A.4提议的证明。

从MT E（p，x）的结构来看，我们有ENZ（\\MT E（u，X）- 杜山= EPn“恩”X′（^β）- β) - X′（^β）- β） +KXk=2（αk）- αk）##≤ EPnhEn[kXk]（k^β）- βk+k^β-βk）i+KXk=2EPn[|^αk-αk |]≤ EPnh（英语）- E） [kXk]（k^β）- βk+k^β- βk）i+E[kXk]EPnh（k^β- βk+k^β- βk）i+KXk=2EPn[|^αk- αk |]。在第（5）和（7）项中，必须显示→∞晚餐∈PmψnEPnh^θ - θ我∞.自Enh^X（Y）以来-^X′θ）i=0和E[X（Y）- X′θ）=0，我们可以写XX′(^θ - θ) = -（恩- （E）XX′^θ+（En- E） [XY]- Enh^X^X′- XX′i^θ+Enh（^X）- 十） 易。因此^θ - θ≤ λmin（E）XX′)-1.（恩- （E）XX′^θ+ λmin（E）XX′)-1k（英语）- E） [XY]k+λmin（E）XX′)-1.Enh^X^X′- XX′i^θ+ λmin（E）XX′)-1.恩（^X）- 十） 易.因此，这个定理的陈述来自（5）、（8）、引理2和引理3，其中最后两个引理在附录B中陈述和证明。B用于证明命题1引理2的辅助引理。在定理1的假设下，一个haslim-supn→∞晚餐∈Pmn1/2EPn[（欧洲）- E） [kXk]]<∞,林尚→∞晚餐∈Pmn1/2EPn[k（En- E） [XY]k]<∞,林尚→∞晚餐∈Pmn1/2EPn（恩- （E）XX′<∞,林尚→∞晚餐∈Pmn1/2EPn（恩- （E）kXk<∞, 安德林·苏普→∞晚餐∈Pmn1/2EPn（恩- （E）|Y|<∞.证据这些陈述来自于对En的第二个时刻的评估- E表示每个随机变量。这些变量的二阶矩在P上一致有界∈ Pmby（7）。引理3。在定理1的假设下，一个haslim-supn→∞晚餐∈PmψnEPnhEnh^X^X′- XX′i我<∞ 安德林·苏普→∞晚餐∈PmψnEPnh恩（^X）- 十） 易我<∞.证据SinceXX′=（（1）- ν（Z））X′，ν（Z）X′，ν（Z），ν（Z）K′（1- ν（Z））X′，ν（Z）X′，ν（Z），ν（Z）K）和^X^X′=（（1）- ^ν（Z））X′，^ν（Z）X′，^ν（Z），^ν（Z）K）′（1- ^ν（Z））X′，^ν（Z）X′，^ν（Z），我们有K^X^X′- XX′k≤ C（kXk+1）|^ν（Z）- 对于正常数C<∞. 此外，我们还有（^X）- 十） Y=(-（^ν（Z）- ν（Z））yx′（^ν（Z）- ν（Z））yx′（^ν（Z）- ν（Z））Y。