具有多个协变量的长期预测区间

在下一系列的lemma中，我们证明了一些涉及Mn（·）和Nn（·）的一致性结果。这些是第3.2节分位数一致性结果最终证明的基础。证明技术类似于Zhou和Wu（2009）、Zhou等人（2010）中使用的方法，适用于非线性环境，并特别利用了（3.14）中定义的预测密度依赖性。使用（9.1）中定义的投影运算符，可以将Mn（x）写成以下形式Mn（x）=n- m+1nXi=mPiI（~Yi）≤ x） 。（10.3）接下来，我们给出了两个重要的引理，它们与两项Mn（·）和Nn（·）的局部等连续性有关。让f是▄yifi给定条件分布的密度-引理10.1。在定理9.1和定理9.2的条件下，sup | u|≤bn | Mn（x+u）- Mn（x）|=oprhmbnlog1/2n+n-3.其中bn是对数n=o（Hmnbn）的正有界序列。证据注意，P（x≤~Yi≤ x+u | Fi-1) ≤ 所有u>0的Hmcu，其中c=supx | f（x） |<∞. 因此，（10.4）中的结果后面是Freedman的鞅不等式和一个链式参数，与任何u∈ [-bn，bn]，我们有nxi=m[E（Vi）- E（Vi）]≤ c（n- m+1）Hmbn（10.4），其中Vi=I（x≤~Yi≤ x+u | Fi-1). 我们跳过细节，让感兴趣的读者直接读到吴的引理5（2005b），吴的引理4（2007），周和吴的引理6（2009）。引理10.2。在SRD、DEN和轻尾sup | u条件下|≤bn | Nn（x+u）- Nn（x）| k=Obnm3/2√N. （10.5）证据。从（10.2）中Nn（x）的定义来看，我们有Nn（x+u）- Nn（x）=√mRuRn（x+t）dtn- m+1，（10.6）其中，对于x∈ R、 Rn（x）=nXi=m[f（Hm（x）-~z-1)) - E（f）（Hm（x）-~z-1)))]. （10.7）让(（一）∞-∞做一份身份证复印件(（一）∞-∞. 让Z*我-1，k=H(我我-1, . . .). 表示Z*我-1，k=H(我我-1.我-k、 …）。此外，引入系数bj，qas后面的系数bj，q=（ψ0，q+ψ1，q+…+ψj，qif 1）≤ J≤ M- 1ψj-m+1，q+ψj-m+2，q+…+ψj，qif j≥ m、 （10.8）为!。

然后-kf(√m（x+u）-~z-1） ）k≤ kf(√m（x+u）-~z-1)) - F(√m（x+u）-~Z*我-1，k）k≤ supv∈R | f（v） |k√m（~Zi）-1.-~Z*我-1.k）k≤ 对于某些c<∞. 进一步注意RN（x+u）=∞Xk=1nXi=mPi-kf(√m（x+u）-~z-1） ）和π的正交性-k、 i=m，nknXi=mPi-kf(√m（x+u）-~z-1） ）k=nXi=mkPi-kf(√m（x+u）-~z-1） ）k≤ c（n- m+1）~bk。因此，对于所有u∈ [-bn，bn]，kRn（x+u）k≤∞Xk=1knXi=mPi-kf(√m（x+u）-~z-1） ）k≤ C√N∞Xk=1 | | bk |≤ 厘米√N∞Xj=0 |ψj，2 |=O（m）√n） 鉴于（3.15）中的SRD条件。根据（10.6）和（10.7）得出（10.5）的证明。引理10.3。在LRD、DEN和重尾条件下，我们对任何ρ∈ （1/γ，α）k sup | u|≤bn | Nn（x+u）- Nn（x）| kρ=OHmbnmn1/ρ-γ| l（n）|. （10.10）证据。与引理10.2的证明类似，它需要证明，对于某些0<C<∞,kRn（x+u）kρ≤ Cmn1/ρ+1-γ| l（n）|对于所有u∈ [-bn，1- bn]（10.11）自从1<ρ<2，由（Rio（2009））Burkholder型鞅不等式，我们有，Cρ=（ρ- 1)-1.kRn（x+u）kρ=kn-1Xk=-∞PknXi=mf（Hm（x）-~z-1） ）kρρ≤ Cρn-1Xk=-∞kPknXi=mf（Hm（x）-~z-1） ）kρρ≤ Cρn-1Xk=-∞（nXi=mkPkf）（Hm（x）-~z-1） ）kρ）ρ≤ Cρ-nXk=-∞+Xk=-n+1+n-1Xk=1（nXi=mkPkf（Hm（x）-~z-1） ）kρ）ρ≤ Cρ（I+II+III）。自从E|i|ρ<∞, 与（10.9）类似，我们对k≤ 我- 1.kpkf（Hm（x）- 子-1） ）kρ≤ c | bi-对于某些c<∞. 因此，用卡拉马塔定理来表示I，我们得到了I≤ cρ-nXk=-∞（nXi=m | | bi）-k |）ρ≤ cρ∞Xk=n（mnXi=1 |ψk+i，ρ|）ρ（10.13）≤ cρmρnρ-1.∞Xk=nnXi=1 |ψk+i，ρ|ρ=O[mρn1+ρ（1-γ） |l（n）|ρ]。由于ρ>1和ργ>1，我们使用H¨older不等式来处理第III项，如下所示：≤ cρn-1Xk=1（nXi=max（m，k+1）|bi-k |）ρ≤ cρn-1Xk=1（mn）-kXi=0 |ψi，ρ|）ρ（10.14）=mρn-1Xk=1O[（n）- k） 一,-γ| l（n）- k） |]ρ=O[mρn1+ρ（1）-γ） |l（n）|ρ]。类似地，对于第二项，我们有，II=O[mρn1+ρ（1-γ） |l（n）|ρ]。结合（10.13）和（10.14），我们完成了引理的证明。定理3.4的证明。回想一下Yifrom（10.1）的定义。

作为m→ ∞,Q（u）定义得很好，它收敛到N（0，σ）分布的uth分位数，因为Hannan（1979）的中心极限定理包含了∧YiD→ N（0，σ），其中σ=kP∞i=0Peik<∞. 标准特征函数参数yieldsupx |σfm（x）- φ（x/σ）|→ 0，（10.15），其中fm（·）是yi的密度，φ（x）是标准正态随机变量的密度。设（cn）是一个任意的正数序列，其结果为整数。设“cn=min（cn，n1/4/m3/4）。然后“cn”→ ∞. 对于Tn=`cnm/√n、 引理10.1和引理10.2暗示|Fn（|Q（u）+Tn）-~F（~Q（u）+Tn）- [Fn（~Q（u））-~F（~Q（u））]|=OPTnm3/2√n+m1/4rTnn（对数n）1/2！=oP（Tn）。（10.16）引理10.1和引理10.2中的类似论点暗示|Fn（| Q（u））-~F（~Q（u））|=OP（m）√n） =oP（Tn）。（10.17）利用泰勒展开式F（·），我们得到了F（~Q（u）+Tn）-~F（~Q（u））=Tnfm（~Q（u））+O（Tn）。（10.18）乘以（10.15），对于足够大的n，fm（~Q（u））>0。插入（10.17）和（10.18）到（10.16），我们有P（~Fn（~Q（u）+Tn）>u）→ 1.因此P（^Qn（u）>Q（u）+Tn）→ 0通过Fn（·）的单调性。类似的参数产生P（^Qn（u）<~Q（u）- Tn）→ 0.因为fm（~Q（u））>0和Tn→ 0任意慢，证明了定理3.4。接下来，我们使用引理9.3以及第3节中的Nagaev不等式来证明定理4.1和定理4.2。定理4.1的证明。根据引理9.3和结果9.2中适当的Nagaev不等式，我们得到，PnkX（β）- β） k≥ 16sr/κ≤pXj=1P（2 | Vj |>r）=o（1），因为在（4.2）中选择了r。所以，谢谢≤我≤n | iXk=i-m+1（^ei）- ei）|≤ 我是sup1≤我≤n|^ei- ei |≤ mrnkX（^β）- β） k=OP（m）√sr）。其余的证据来自以下观察结果；对于任何固定的0≤ U≤ 1、|Qn（u）-^Qn（u）|=作品M√srHm, （10.19）如（3.17）所述，HMI被正确选择用于重尾或轻尾。

然后，通过选择（4.3）中规定的s（10.19）的右侧小于定理3.4中提到的SRD特定情况的上界。定理4.2的证明。考虑一下事件b={n-1 | eTX|∞< r/2}和B={|XTX/n- E（XTT）|∞< κstoch/（32s）}。在B下，对于带有| vJc的向量v，以下公式成立|≤ 3 | vJ |，vTXTXvnkvJk=vT（XTX/n- E（xtxTt）vkvJk+vTE（xtxTt）vkvJk≥ -|v | |（XTX/n）- E（xtt）v|∞kvJk++vTE（xtxTt）vkvJk≥ -|v | | XTX/n- E（XTT）|∞kvJk++vTE（xtxTt）vkvJk≥ -16 | vJ | XTX/n- E（XTT）|∞kvJk++vTE（xtxTt）vkvJk≥ -κstoch32s|vJ | kvJk+vTE（xtxTt）vkvJk≥ -κstoch+vTE（xtxTt）vkvJk。根据（4.10），这意味着Minj{1，··，p}，|J|≤s、 min | uJc|≤3 | uJ | uTXTXunkuJk>κstoch。在（9.8）之后，我们得到了B∩ B、 κstochk^βJ- βJk≤√√nkX（β）- β） k.（10.20），这反过来意味着nkX（β）- β） k≥ 32sr/κstoch≤ P（公元前∪ （不列颠哥伦比亚省）。因此，通过估计bc和bc的概率很小得出结论。对于B，证明的步骤基本上与定理4.1相同。特别要注意的是，我们不再对X有额外的约束，即XTX/n的对角线是1，因此我们需要应用结果9中的Nagaev型浓度不等式。2在平均值为零的过程中，Pni=1xi，jeidirectly。请注意，在这种情况下，当在Sn，b上应用Nagaev型不等式时，我们选择bk=1表示1≤ K≤ n和kbk=n，kbkqq=n。因此，从（4.11）中r的选择（定义为随机情况）来看，P（B）→ 1.引理9.4.P（B）→ 1在依赖性调整的功能依赖性度量条件下。这反过来产生P（B）∩ B）→ 1.这完成了定理4.2.11附录C的证明：-关于方法实施的附加说明关于QTL LASSOWe实施的传统说明通过交叉验证和权重参数（v。

，vn）=（1- δ） δ（T）-1)/(1 -δT），1） 解释系数的结构变化。δ = 0.8.关于ets、NNA和ARMA（带软件输出）实施的附加说明和输出AIC选择了调谐参数为0.0446的ets（A，N，N）、带有一个隐藏层的NNAR（38，22）和ARMA（2，1），并通过R-package forecast进行了估算。NNAR和ARMAX考虑了外源性协变量，因此我们也包括了聚合天气序列“wt=Pk=1wk，t”，“τt=Pl=1τl，t”和周末假人。例如，我们可以为协变量观测提供权重。我们使用与QTL-LASSO相同的指数下加权方案，但α=0.98，这会产生更好的结果。首先，使用STL分解（R-Core函数）对价格序列进行季节性调整。经季节性调整的价格用作R-package预测中实施的模型的输入。模型具体如下：ETS根据AIC标准选择模型。我们限制没有趋势成分的模型，因为价格不显示任何趋势模式（见1）。然而，可能由于价格水平的变化，AIC会选择一个趋势成分。这将导致未来的路径变化很大。对于优化标准，例如，我们使用最大可能视界上的平均MSFE=30小时。这将导致AIC选择调谐参数为0.0446的模型。这比最小化样本中的MSE提供了更好的预测结果，这将导致调整参数0.99和巨大的PI。ETS（A，N，N）#表示加性模型，不含趋势和季节成分。调用：ets（y=y，model=“ZNZ”，opt.crit=“amse”，nmse=30）平滑参数：delta=0.0446初始状态：l=34.1139sigma:8.4748AIC AICc BIC116970。9 116970.9 116992.1NNAR根据AIC标准选择模型。该模型仅允许一个隐藏层，因此受到限制。

默认情况下，该层中的节点数为（#AR lags+#外部协变量）/2。在这种情况下，我们使用累计风速和温度，并在周末使用假人，因此外生卵巢的数量为4。为了与QTL-LASSO进行公平比较，我们还对外源协变量进行了指数降权，这次调整参数为0.95。NNAR（38,22）#表示AR顺序为38，隐藏层中有22个节点调用：NNatar（y=y，xreg=cbind（Weather_agg，dummy_12），weights=expWeights（alpha=0.95））20个网络的平均值，每个网络是一个42-22-1的网络，其中969个权重为线性输出单元sSigma^2，估计为15.34ARMA。根据AIC标准选择模型。我们在周末使用聚合风速和温度以及假人。ARIMA（2,0,1）误差回归系数：ar1 ar2 ma1 intc。0.506 0.328 0.491 59.378s。e、 0.060.055 0.057 1.644xleg1 xreg2 xreg3 xreg4-4.551-0.489 0.481 0.133s。e、 0.404 0.060 0.538 0.538sigma^2估计为24.35：对数似然=-26410.34AIC=52838.68 AIC=52838.7 BIC=52902.3812附录D:-额外模拟结果名义60%80%90%95%60%80%90%95%60%80%90%95%60%80%90%95%