国家级粮食系统可持续性的数学模型

为了验证我们的理论模型，我们的重点是符号定义描述变量的增量资本xi存量增量需求dPQ增量价格τt1/aRescaled时间参数αq/b参考能力βe/a资本置换折旧率δfgC/（ahs）初始生产需求率ωw/a废物生产率γ1/（as）资本置换覆盖率κk贸易强度um/a需求响应资本替代率ρr/a价格响应资本替代率表2：无量纲复杂食品系统模型的符号和定义。预印本2材料和方法可变数据详细时间设定为2015年至2019年之间的每月间隔价格数据仅适用于该时间段C种猪群中的母猪数量（6月和12月调查）[17]种猪群代表肉类行业的主要资本I可供消费的新猪肉数量（kg）[16，3]按英国产量计算（从[16]开始算起）加上进口和减出口（来自[3]）D无可用数据需求是潜在的全部生猪价格（千克/净重）[18]生产者收到的价格，假设与零售价格成比例表3：用于拟合食品系统模型的英国猪肉行业数据来源2015年至2019年5年期间的月度数据，包括每千克净重的“全猪价格”的可用年度数据（即标准猪和优质猪的综合价格）。表3列出了用于拟合模型的所有数据源。考虑到当前的消费和浪费水平（例如冷藏中的储存量），英国没有报告猪肉库存的月度数据。然而，作为替代，我们使用了每月新增供应总量，计算方法为国内猪肉产量加上进口猪肉减去出口猪肉。消费者需求方面没有数据，因为这是一个理论数量。

缺失数据被视为完全缺失（即可忽略），因为数据收集方案在很大程度上是独立且固定的。例如，缺失的育种群数据并不取决于价格或新供应数据。2.3贝叶斯估计使用概率编程语言Stan[10]中的贝叶斯估计，使用R[62,53]中的RSTAN接口，使用Stan的龙格-库塔四阶和五阶积分方案，估计无量纲化模型的参数和初始条件（见补充材料中的Stan代码）。可用的月度时间序列数据Y、月份i和状态变量j假设为对数正态分布（以确保正态性）：Yji~ 对数正态分布（ln（Zj），σj）（9），其中zji是根据食品系统模型计算的状态变量。除了将模型的状态变量设置为时间序列数据外，我们还将英国的月度生产数据以及月度进口和出口数据设置为模型的相应流量：生产~ 对数正态分布（ln（fgZ），) （10） 预印本3结果导入~ 对数正态分布（ln（kh），) （11） 出口~ 对数正态分布（ln（kf-gZ），) （12） 为了便于计算，将所有参数转换为相似的比例，并给出标准单位正态先验分布（见补充材料中的完整模型规范），并在整合模型时将其转换为适当的比例。我们没有估计参数b（资本生产成本）和g（从资本到库存单位的转换系数），因为这些参数事先已经足够确定：bwas设置为138.3 p/kg（2015年至2020年的平均生产成本），g设置为82.4 kg/pig，将猪的平均屠宰重量（109.9kg）乘以[2]最近报告的75%屠宰率（0.75）。

我们运行了4个马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）链，包括2500次预热迭代和2500次采样迭代，从后验分布中提供10000个样本进行推断。所有链均无任何发散转换，所有参数的有效样本量均>1000，且^R统计（即Gelman-Rubin诊断）为0.99<^R<1.002，表明收敛。每个参数通过其平均值和95%最高密度区间（HDI，最有可能的95%值）进行总结。所有数据和代码可在https://github.com/cmgoold/cfsmodel.3结果3。1数学分析不存在四维非线性方程组的显式解。尽管如此，它的动态可以通过研究其稳定的行为模式来总结。为了研究稳定性，我们进行了线性稳定性分析[64]。线性稳定性分析基于固定点（{v，^x，^y，^z}）周围多变量的泰勒级数展开，其中→ ∞) 当在每个平衡点评估的系统偏导数矩阵（代表定点周围线性化的雅可比矩阵）的部分特征值为负时，可以推断系统对小扰动的稳定性。值得注意的是，雅可比矩阵前导特征值的倒数决定了系统的“特征返回时间”，更具弹性的系统在干扰[50]后更快地恢复到平衡状态。3.1.1没有国际贸易当不存在国际贸易时（即κ=0），系统有一个由状态变量值给出的稳定固定点α(2ω+γ)2δ(1+β),α1+β,α1+β,1+βα. 另一个定点PrePrint 3结果是所有状态值均为0（即无行业）。

围绕后一个固定点进行线性稳定性分析，该平衡点处雅可比矩阵的特征值为{(-1.- β), -ω, -u, -ρ)}. 所有参数都被定义为正值（κ除外，此处为0），这意味着在没有国际贸易的情况下，“无产业”均衡不会稳定。换句话说，国内产业总是可行的。3.1.2国际贸易当0<κ<1时，国际贸易是可能的，打开了国内和国际产品之间竞争的可能性，或国内生产的出口市场。除了^x=κγω外，所有状态变量都为0的不稳定平衡仍然存在，因为迁移产物是可能的。然而，除此之外，还有1）不可持续的国内生产平衡，即粮食系统依赖国际进口；2）可持续的国内生产平衡，即国内产业与国际贸易共存。不可持续的国内生产平衡由一组固定点{0，κγω+γ，κγω+γ，ω+γκγ}给出。在这个平衡点上，Jacbobian矩阵（J）计算为：J0,κγω+γ,κγω+γ,ω+γκγ=α(ω+γ)κγ- 1.- β 0 0 0δ(1 - κ) -ω -γ-γ0 0 -u -u(κγω+γ)0 -ρ(ω+γκγ)ρ(ω+γκγ)（13） 其特征值（λ）是四次特征多项式的根：α(ω +γ)κγ- 1.- β - λH- λ+- ω -γ- uλ+- u(ω + ρ) -γλ -γμρi=0（14）第一特征值可直接确定为：λ=α（ω+γ）κγ- 1.- β（15）通过使用Routh-Hurwitz条件，剩余特征值实部的符号[47]将始终为负（见补充资料）。最终，如果：临界比=α（ω+γ）κγ（1+β）<1（16），则不可持续的国内生产模式将是稳定的。该临界比对原始参数值变化的依赖性如图2a所示。

该分子代表三个因素的权重：i）资本生产的参考稳定性（α；表2），ii）对新商品的需求，其中较高的重复3导致的浪费率或较高的参考覆盖率会增加临界比率，以及ii）资本生产的速度，其中较高的比率（表1中的a）会增加临界比率（图2a）。相比之下，分母代表国际贸易的总实力，由贸易实力参数（κ）组成，由国内资本的生存能力加权：如果资本生产率增加，或资本折旧率降低，总贸易实力变小，从而提高临界比率。当临界比超过1时，可持续国内生产平衡由{2γκ给出(-1.-β)+α(γ+2ω)2δ(1+β)(1-κ),α1+β,α1+β,1+βα}. 在后一种情况下，库存、需求和价格的均衡值与不存在国际贸易（见上文）的模型的均衡值相同，由国内产业的稳定性以及资本折旧率和增长率的比率决定。然而，与国内供应不可持续时相比，均衡库存和需求更低，均衡价格更高。例如，当国内供应不可持续时，均衡价格高于国内供应可持续时（即ω+γκγ>1+βα）的条件正是临界比率。系统越接近临界比率，也可以看到后一种趋势。

因此，虽然国际贸易在短期内增加了库存水平，降低了覆盖范围（见模型描述），因此降低了价格并增加了需求，但不可持续的国内生产制度的长期结果是更高的价格、更低的需求和更低的库存水平。资本的平衡值与无国际贸易的模型中的平衡值相似，但现在贸易强度的因素κ（当κ=0时，两个平衡值相等）。具体而言，κ对长期可持续均衡国内资本的影响是积极的还是消极的，取决于该体系的特征是净进口（国内供应小于参考需求）还是净出口（国内供应大于参考需求），即γδ- 方程式6中的^v大于或小于零。如果国内供给小于参考需求，且临界比率超过1，贸易强度的增加将在长期限制内降低资本的平衡值（即τ）→ ∞). 然而，如果国内供给超过参考需求，贸易强度的增加将增加均衡资本，因为出口剩余产品的能力更强。从前面的不等式中，我们可以定义盈余比率，这表明国内供应将大于参考需求（净出口），如果：盈余比率=α（ω+γ）γ（1+β）≡ κ·临界比率>1（17），等于抵消贸易强度的临界比率。图2b-d展示了（κ，α）空间中可持续和不可持续的稳定行为模式之间的关系，以及以净进口或出口为特征的可持续状态之间的区别。预印本3结果图2：纳入国际贸易的模型的稳定性（0<κ<1）。

面板a显示了临界比对表1中参数的灵敏度。x轴显示参数与其参考值的比率（q=160，b=140，e=0.033，a=0.2，w=0.33，s=1，k=0.5）。水平虚线显示了单位的临界比率阈值。图b-d显示了（κ，α）空间中β不同值的稳定行为模式，区分了不可持续（红色）、进口可持续（蓝色）和出口可持续（绿色）行为。面板b-d的剩余参数为γ=26、ω=10和δ=5.3.2，适用于英国养猪业。据估计，英国养猪业的临界比率高于1（表4），表明根据该模型，该行业处于可持续状态。据估计，参考需求约为英国估计的猪肉年消费量的1.6倍（根据25千克/人/年和人口预印本4讨论参数平均95%HDI ESSa 0.0086[0,0.0195]5799E 0.0002[0,0.0007]8175F 2.2712[2.2152,2.3276]7366K 0.3602[0.3474,0.3739]7180H 219478906[209862509,229180910]7320W 0.2392[0.0634,0.4037]3431M 0.0937[0.0644,0.1224]5120Q 132.0101[102.3935161.8261]3502R 0.1514[0.0905,0.2221]6829S 0.6703[0.5247,0.8303]3578临界比1.6796[1.5549,1.7797]5349表4：根据英国养猪业数据拟合模型的关键参数估计值（平均和95%最高密度区间，HDI）和有效样本量（ESS）。参数b和g在常数138处固定。3 p/kg和82.4 kg/头猪。人口6665万；[2]). 贸易强度平均约为0.36，这与当前约65%的自给水平（即约35%的英国猪肉进口）一致。

α和盈余比率之间的差异可信地小于零（平均值：-0.64；HDI:[-0.83，-0.43]），反映出英国的猪肉生产无法满足预期需求。将英国国内产业推向不可持续状态所需的关键κ值为0.61（95%人类发展指数[0.56,0.65]）。后验预测（图3）反映了生成数据的食物系统模型最合理的轨迹，后验预测分布（开放蓝色圆圈）覆盖了大部分观察数据。然而，模型轨迹没有考虑到其他变量来源。例如，英国猪肉产量存在季节性变化：7月的养殖群往往高于12月的人口普查（图3a），这导致英国在一年的下半年猪肉产量（图3e）更高，可能是为圣诞节做准备。生猪价格的变化也比模型所能解释的更大（图3d），显示出2016年的显著下降（对应于欧盟生猪价格的下降）和2019年的上升。进口和出口之间的差异（图3f）在2015-2019年期间发生变化，该模型只考虑了一个简单的国际贸易函数（方程式2）。4讨论本文提出了一个复杂食品系统的理论模型，该模型平衡了分析的可处理性和现实性。该模型代表了包括国际贸易在内的国家食品系统的功能，我们已经证明，国内产业的可持续性取决于一个关键的复合参数，该参数包括稳定性再版4讨论图3：将食品系统模型与英国养猪业数据相匹配。

橙色圆圈显示原始月度数据（部分数据缺失），黑色细线显示后验分布的200个随机样本，黑色粗线表示平均后验轨迹，蓝色开放圆圈显示后验预测分布的200个随机样本（即包含随机噪声的预测）。预印本4讨论国内产业（参考价格与资本生产成本之比）、对新商品的需求（商品浪费率和参考覆盖率）、生产新资本的能力（资本增长率和折旧率）以及国际贸易的实力（见图2a）。低于1，这个临界比率表明国际贸易超过了国内产业，该模型进入了一个以完全依赖进口为特征的不可持续的国内供应体系。这种不可持续的体制也会导致更高的均衡商品价格、更低的库存和更低的消费者需求，而不是在国内供应可持续的情况下。通过从实际食品系统的数据中估计这一比率的关键参数，可以在模型假设的前提下评估国内产业的可持续性。在该模型的可持续机制内，决定食品系统长期行为的一个关键因素取决于其特征是净进口还是净出口。在数学模型的背景下，这由国家是否生产足够的粮食来满足参考需求来表示（表1中的h）。我们发现，必须通过进口来补充国内供应以满足需求（净进口国）的食品体系更容易崩溃，因为贸易潜力的增加（更高的k值）会导致自身能力的降低。

假设出口市场总是可用的，生产过剩国内商品的食品系统可以通过出口更多产品（图2）受益于贸易潜力的增加。这支持了当前关于粮食商品来源多样化以确保粮食系统恢复力的重要性的文献。快速的全球化意味着全球23%的粮食生产和26%的全球卡路里生产都是贸易的[19、69、51]，世界上大多数的饮食部分依赖于粮食进口[36]，一些国家的粮食产量不足以满足基本的人均卡路里摄入量[19]。虽然全球食品贸易已经导致并进一步鼓励了饮食的多样化，但它也导致了全球食品体系弹性较低。这是因为贸易网络中的大多数国家依赖于少数主要贸易伙伴的进口[36]，理论模型也支持了这一结果[69]。这里的模型提供了一个关键边界，一个国家的粮食系统可能完全依赖进口，从而导致商品价格上涨、消费者需求下降和总体库存水平下降。出于同样的原因，完全自给自足是一个不切实际且可能有害的目标，因为食物系统再次只依赖于单一供应链[32]。将我们的模型应用于英国猪肉行业2015-2019年的数据，证明该行业处于可持续的模型体系中，其临界比率估计值可信（表4）。虽然英国猪肉行业在过去20年中规模有所缩小（自20世纪90年代末以来减少了约50%），但其目前的自给自足水平约为60-65%，由于中国猪肉行业的生产水平较低，其出口市场继续增长（例如[4]）。