使用面板数据估计治疗效果的精确趋势控制

Stata“synth”软件包和R“synth”软件包均未识别该合成控件。）这表明，研究人员不应过度相信估计的w权重的意义。第二个问题涉及非负性，而且更微妙。非负性约束可能违反z=Zw，即RJ+∩{w:z=Zw}=, 在这种情况下，y1t的趋势-Ytwdue to z-如果w被迫处于RJ+，Zw可能会混淆治疗效果。非负性的重要性可能会引起争议，但值得注意的是，zandZw之间的差异可能会导致y1t中不可忽略的混淆趋势-而消极的情绪会影响记忆。如果你愿意，非负性限制可以通过，例如，训练的lassominw+，w-kq- Qw++Qw-k+λJ+1Xj=2（w+J+κw-j） ，对于一些大的正κ，受z=Zw的约束+-Zw-, w+j≥ 0和w-J≥ 0表示所有j，它修改了（5）的广义版本。如果硬非负性与z=Zw不兼容，则上述软非负性将允许某些j的wwj<0，但将尽量使wja接近非负域。然而，这种益处看起来很小，因为如果一些WJAR是负面的，那么附加在非负面性上的吸引力解释就失去了。3.2与HCW（2012）的比较HCW（2012）采用另一种方法，使用预处理观察值对选定的未处理单元子集的1吨Yt进行回归，以估计截距c和斜率因子w。然后，反事实结果形成为t>t的^c+Yt^w，其中^c和^w是OLS估计器。正如Li和Bell（2017）得出的，该估计值在平均平稳性下得到了验证。如果未观察到的趋势显示出平均非平稳性，HCW（2012）的方法需要改进。为了了解偏见的来源及其补救措施，让我们举一个zi=1的简单例子。

考虑OLS估计器^c和^w，估计的治疗效果为（11）^τ1t=y1t- ^c- Yt^w=τ1t+¨γt（1- 1^w）+δt（h- Hw）+（u1t-¨Ut^w），其中¨γt-γt- ¨γpre，¨δt=δt-\'\'δpre，¨u1t=u1t- \'u1、pre和¨Ut=Ut-“Upre，带有”ξpredenoting-对于变量ξt，1PTt=1ξt。对于t，1吨的OLS回归≤ t由于¨γt（1），可能会给出该模型的^τ1的系统偏差-1^w）等术语，因为所述OLS回归不能保证^wp-→ 1.这种失败的根源实际上是内生性。下面的例子3证明了^w<1渐近（如T→ ∞) 如果Y1在YTT上回归≤ t对于zi=1且hi为空的模型，因此趋势（γt）的系统性变化可能会混淆治疗效果。例3。考虑模型yit=ui+γt+uit，其中γ皮重是常见的时间效应。让我们变得渺小→ ∞ 如HCW（2012）所述。OLS斜率估计值^w来自使用预处理观察值的1吨Yt回归，为^w=（YMY）-1YMy=[（γ1+U）M（γ1+U）]-1（γ1+U）M（γ+U）=（σγ+SU）-11σγ+op（1），其中yi=（yi1，…，yiT），Y=（Y，…，yJ+1），M=IT- T-1，U是J的T×J矩阵≥ 2和t≤ T、 γ=（γ，…，γT），σγ=plim T-1γMγ，SU=plimT-1亩。因此，当J固定时，^w=σγ（σγ+SU）-11+op（1）=σγS-1U1+σγS-1U+op（1），这意味着（12）1- 1^wp-→ （1+σγS）-1U1）-1> 0.在存在共同时间效应γt的情况下，估计的^τ1t（^w）系统地依赖于¨γt（1）- 1^w），如（11）和（12）所示。没有γt的平均平稳性，这确保了¨γt≈ 0，^τ1t（^w）系统地偏离τ1t。这个问题的一个显而易见的解决方案是，对例3中的casezi=1施加1w=1的限制，而对一般的zi施加z=Zw的限制，这正是我们的精确平衡约束。如果hi在（1）中为非空，则可以估计hic，并且可以按照第2.3节中的解释添加h=hw的约束。

因为公共因子的数量通常是最小的，所以几乎可以肯定存在一些满足限制条件的w向量。这种改进的HCW方法是本文提出的约束岭回归的一种特例，对应于λ=0。上述约束OLS易于实现，但它需要T>J-K-1.如果有许多未经治疗的单位（J大），HCW（2012）根据研究者的判断，事先选择一个足够小的子集，这有时是武断的，但只要提供合理的解释，通常是可以接受的。z=Zw和h=Hw的约束总是至关重要的。3.3 Doudchenko和Imbens（2017）弹性netDoudchenko和Imbens（2017）建议将弹性净损失函数pts=1（y1t）最小化-C- Ytw）+λ（1）-αkwk+αkwk）无约束。他们的提议（弹性网络和无约束）可以理解为ADH（2010）的修改，也可以理解为CW（2012）对弹性网络框架的修改。当信号在治疗前阶段很强，以至于观察到的治疗前结果的匹配能够充分处理趋势时，这种弹性净解决方案可能会很好地工作（尽管由于第3.2节中解释的内生性原因，偏差可能仍然存在），但除此之外，没有设备可以控制治疗后阶段结果的异质趋势。让我们举个数字例子。图4通过将Doudchenko和Imbens（2017）的建议应用于图1中考虑的两个模拟数据集而获得。弹性净混合参数设置为α=0.9（接近套索），调谐参数为λ=0.01，该值提供了视觉上有吸引力的预处理匹配；较大的λ值（如0.1和1）在再现治疗前结果的趋势方面较差。在治疗后阶段，两组数据的结果都不一致，这似乎是由于第3.2节讨论的内生性偏差。

将1w=1作为常见时间的硬限制控制图4：由Doudchenko和Imbens（2017）构建的趋势（a）图1（a）0 5 10 15 20 25 303 4 5 7周期外处理的数据→图1（b）0 5 10 15 20 25 304.5 5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5周期测量的真实反事实杜德琴科和伊本斯（2017）克里奇（b）数据→真正的反事实杜德琴科和伊本斯（2017）CRIDGENote。图1中使用的模拟数据。Doudchenko和Imbens（2010）的反事实趋势是使用R包glmnet获得的，没有标准化，包括截距。弹性净混合参数为α=0.9，λ参数设置为0.01。对于（a）和（b），Doudchenko和Imbens的方法低估了治疗后的反事实结果。对于更一般的模型，effects和z=Zw给出了本文建议的弹性网络版本。值得注意的是，Doudchenko和Imbens（2017）并未提及明确的模型；看他们的介绍。换句话说，他们的目的不是控制（1）等模型的异质性趋势，而是基于治疗前结果的正则化匹配（通过正则化识别）来估计反事实趋势。4 ADH（2010）考虑的模型（1）的结论，通过对趋势变量（模型中的Zi和Hi）和其他平衡协变量（本文中的Qi）进行不同处理，我提出了治疗效果的新估计。在没有对时变系数（模型中的γ和δ）进行进一步假设的情况下，准确平衡趋势预测因子作为硬约束，对于正确处理由趋势协变量驱动的异质趋势至关重要。图1和图4展示了使精确匹配变软的顺序，其中所有现存的估计量在没有隐藏因子的情况下，对（1）生成的数据表现出妥协行为。

本文中提出的新估计方法效果良好。参考文献Sabadie，A.，A.Diamond和J.Hainmueller（2010）。比较案例研究的综合控制方法：评估加州烟草控制计划的效果，美国统计协会杂志105（490），493–505。Abadie，A.和J.Gardeazabal（2003年）。冲突的经济成本：巴斯克国家的案例研究，《美国经济评论》93（1），113–132。N.杜德琴科和G.W.伊本斯（2017年）。平衡、回归、差异和综合控制方法：综合，arXiv 1610.07748v2，2017年9月20日。Gaines，B.R.，J.Kim和H.Zhou（2018）。约束套索拟合算法，计算和图形统计日志27（4），861–871。L.戈比隆和T.麦格纳克（2016年）。区域政策评估：互动固定效应和综合控制，经济和统计回顾98（3），535–551。萧，C.，程汉生和万世凯（2012）。项目评估的面板数据方法：中国大陆香港政治经济一体化测度，应用计量经济学杂志27, 705—740。James，G.M.，C.Paulson和P.Rusmevichienton（2019年）。惩罚和约束优化：高维网站广告的应用，美国统计协会杂志，DOI:10.1080/01621459.2019.1609970。李克泰和D.R.贝尔（2017）。用面板数据估计平均治疗效果：渐进理论与实施，计量经济学杂志197，65–75。马拉特，S.（2009）。《信号处理的小波之旅：稀疏方式》，学术出版社，爱思唯尔。附录。（3）的数学证明。拉格朗日函数为L=ww+u（z-Zw）。一阶条件为（i）wa=Z^u和（ii）Z=Zwa。条件（i）意味着Zwa=ZZ^u，即z=ZZ^u，因此^u=（ZZ）-1z。

通过将其替换回（i），我们得到了wa=Z（ZZ）-1z。顺便说一句，我们也可以直接证明，在Zw=z的条件下，wa使ww最小化。对于任何满足z=Zw的ws，我们都有ww-wawa=ww-z（ZZ）-1z=ww-wZ（ZZ）-1Zw=w[I- Z（ZZ）-1Z]w≥ 0因为我- Z（ZZ）-1Z是正半定义。证据（7）。（6）isL的拉格朗日函数=（q）- Qw）（q- Qw）+λww+ `（z）- Zw），其中`是拉格朗日乘子的向量。一阶条件为（i）Gλ^w-Qq- Z^`=0，其中Gλ=QQ+λIJ，和（ii）Z=Z^w。从（i）开始，我们有（i）^w=^wridge+G-1λZ^`，其中^wridge=G-1λQq，无约束岭估计。预乘z并替换（ii）得到z=zwridge+ZG-1λZ^`，这意味着^`=（ZG-1λZ）0-1·（z）- Z~扭动）。将其替换回（i）得到（7）。证明（8）。给定约束条件z=Zw，q- Qw=~q-~Qw表示~q=q- BzandQ=Q- 因此，（6）的解与minw（q）的解相同-~Qw）（~q-~Qw）受制于z=Zw。选择B=QZ（ZZ）-1，我们有ZQ=0。让＠Gλ=＠Q＠Q+λI，我们有＠G-1λ=λI-λQ（~QQ+λIm）-1~Q，这意味着Z~G-1λ=λZand Zwridge=ZG-1λQQ=λZQQ=0。结果如下（7）。A.2数据生成过程用于生成图1（A）的数据通过以下方式生成：γt0=0.5sin（1+1.5πt/t）+2t/t，γtk=(-1） k-1×0.6 cos(-0.2π对数k+2πt/t），k=1，K、 齐克- i/J+k，zik~ iid N（0,1），ui=\'zi- i/J+ui，ui~ iid N（0，1），uit=0.1uit，uit=0.2uit-1+u*它，你*信息技术~ iid N（0,1），用户界面，-10=0，yit=ui+γt0+γtzi+uit，i=1，J、 t=1，上面我们设置了J=38、T=20、T=10、T=T+T=30和K=4，类似于ADH（2010）中的应用。数据由R生成，初始随机种子设置为55。这是引言中图1（a）的数据生成过程。

如果γs设置为γt，则≤ t在生成γTis后，因此在预处理期间没有明显的趋势，我们有图1（b）的数据。产生的未经治疗的结果见图5。A.3关于渐近性的讨论本附录展示了如何使用无hi的模型（1）的约束岭估计建立平均治疗效果（ATE）估计的渐近性，即yit=ui+γtzi+uit。设c=（c，c），其中cadd的非正元素-1和T（=T- T） cadd的非负元素最多为1。DIDis^τ=c（y）的ATE估计量- Y^w），其中yi=（yi1，…，yiT），Y=（Y，…，yJ+1），且^w是约束桥估计量。c的一个明显选择是c=-T-1（1，…，1）和c=T-1（1，…，1），这导致toTTXt=T+1（y1t- Yt^w）-TTXs=1（y1s- Ys^w）。让真正的ATE由τ=PTt=T+1ctτ1t定义。既然z=z^w，我们就有了^τ=’τ+c（u- U^w），图5：模拟未治疗结果（a）图1的趋势（a）0 5 10 15 20 25 30-2 0 2 4 6周期结果（b）图1（b）0 5 10 15 20 25 300 2 4 6周期结果的趋势注。在每幅图中，深色线代表治疗单元，灰色线代表37个未治疗单元。其中ui=（ui1，…，uiT）和U=（U，…，uJ+1）。我们假设cj=O（T-1j）和Tj→ ∞ 对于j=0，1，上述平均算子满足。注意cc=T-1+T-1和最小值（T，T）≤ （cc）-1.≤ 如果CJ=T，最小值（T，T）-1j。在进一步假设E（uiui）的最大特征值一致有界的情况下，我们得到了CUIP-→ 每个i为0，因为E（cui）=0和var（cui）=cE（uiui）c=O（cc）→ 也就是说，对于每个i，cui=Op（kck），其中kck=（cc）1/2。当J固定时，cU^w=Op（kck），因为^w收敛，因此^τ- τ=Op（kck）p-→ 0.J增加的情况更难处理。写cU^w=（^wc） 所以（cU^w）=（w）c） vec（U）vec（U）（^w）c） 。

如果E[vec（U）vec（U）|^w]的最大特征值是一致边界的，那么迭代期望定律意味着E[（cU^w）]=（cc）E（^w^w）O（1）。对于E（^w^w），我们有^w^w≤ 2wawa+2^wb^wbdue to（8），其中wa=Z（ZZ）-1zand^wb=（QQ+λI）-1QQ.最大收缩分量WAI易于处理：wawa=z（ZZ）-1z=Op（J）-1） 因此，假设E（wawa）是有界的并不是不自然的。对于无约束脊分量，我们有^wb^wb=~q~q（~q~q+λI）-当T的最小特征值-1（~Q ~Q+λI）由一个严格正的普适常数支撑，^wb^wb的阶数与T相同-2qqqq。如果进一步计算qq的最大特征值Op（J），则^wb^wb=Op（J/T）=Op（1）。因此，我们可以假设E（^w^w）=O（1），其中cU^w=Op（kck）p-→ 0.以上我们展示了建立^τ的途径- τ=Op（kck）。然而，这种推理是不完整的。首先，很难验证C（^w）的条件≡ E[vec（U）vec（U）| w]具有一致有界的最大特征值。特别是在预处理阶段，QI通常依赖于UIT，因此C（^w）的最大特征值通常依赖于^w，其行为方式尚不清楚。其次，很难验证E（^wb^wb）有界的条件。我在上面的演示中展示了^wb^wb是随机有界的，这并不一定意味着E（^wb^wb）是有界的。在什么情况下E（^wb^wb）是有界的，需要对其进行评估，这即使不是不可能，也是有挑战性的。上述演示中的困难源于评估E[（cU^w）]的事实。人们可能想使用马尔可夫不等式（cU^w）≤ （cUUc）^w^w，这在案例J中是可分性的→ ∞ 因为cUUc最多是Jcc，而不是cc。严格的渐近性和推论是具有挑战性的，留给未来的研究。

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