使用面板数据估计治疗效果的精确趋势控制

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英文标题：
《Exact Trend Control in Estimating Treatment Effects Using Panel Data
  with Heterogenous Trends》
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作者：
Chirok Han
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  For a panel model considered by Abadie et al. (2010), the counterfactual outcomes constructed by Abadie et al., Hsiao et al. (2012), and Doudchenko and Imbens (2017) may all be confounded by uncontrolled heterogenous trends. Based on exact-matching on the trend predictors, I propose new methods of estimating the model-specific treatment effects, which are free from heterogenous trends. When applied to Abadie et al.\'s (2010) model and data, the new estimators suggest considerably smaller effects of California\'s tobacco control program.
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中文摘要：
对于Abadie et al.（2010）考虑的面板模型，Abadie et al.，Xiao et al.（2012）和Doudchenko and Imbens（2017）构建的反事实结果都可能被不可控的异质趋势所混淆。基于趋势预测因子的精确匹配，我提出了评估模型特定治疗效果的新方法，该方法不存在异质性趋势。当应用于Abadie等人（2010）的模型和数据时，新的估计器表明加利福尼亚州烟草控制计划的影响要小得多。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Exact_Trend_Control_in_Estimating_Treatment_Effects_Using_Panel_Data_with_Hetero.pdf (479.15 KB)

2022-4-26 14:04:08 上传

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关键词：面板数据 HETEROGENOUS econometrics Multivariate Econometric

使用具有异质趋势的面板数据估计治疗效果的精确趋势控制韩国大学经济系该版本：2020年6月摘要对于Abadie et al.（2010）考虑的面板模型，Abadie et al.，Xiao et al.（2012）和Doudchenko and Imbens（2017）构建的反事实结果可能都会被不可控的异质趋势所混淆。基于趋势预测因子的精确匹配，我提出了评估模型特定治疗效果的新方法，该方法不存在异质性趋势。当应用于Abadie等人（2010）的模型和数据时，新的估计器表明加州烟草控制计划的影响要小得多。关键词：综合控制，差异中的差异，异质趋势，面板数据，治疗效果，匹配，平衡，多个控制组，正则化，约束桥，约束套索，约束弹性网。JEL分类：C01，C1*韩国大学经济系，地址：韩国首尔市城北区145号。chirokhan@korea.ac.kr.作者感谢李明宰教授和康昌辉教授的有益评论。1简介在这篇论文中，我提出了新的方法来评估具有异质趋势的面板模型的治疗效果。根据Abadie、Diamond和Hainmueller（2010，ADH）考虑的模型生成的模拟数据，图1给出了两个激励性数值示例，详细信息见附录a.2。图中绘制了未经治疗的真实结果、ADH综合控制结果以及我的一种新方法的构建的趋势。

在图1的（a）部分中，ADH综合控制结果甚至在治疗前阶段也与实际情况相差甚远，这可能是因为违反了凸性或极化假设（ADH，2010；Gobillon and Magnac，2016；产生的未治疗结果另见附录中的图5）。ADH的结果虽然没有多大用处，但至少不会误导研究人员，因为它的不当之处是明确的。然而，在第（b）部分中，ADH合成控制在治疗前看起来不明显，但治疗后的合成控制结果与事实相去甚远。后来的开发项目，如萧、清和万（2012年，HCW以下）和杜德琴科和伊本斯（2017年），也存在类似的偏见，而我在本文中提出的方法如图1所示效果良好。这里考虑的模型与ADH（2010）的模型相同，由（1）yit=ui+γtzi+δthi+uit，yit=τit+yit给出，其中观察到ziand和Yitar，如果第i个单元在周期t内处理，yit=yit，则yit=yit。单元1被处理为T＞T，其余单元（i＝2，…，j＋1）对所有T都未处理。例如，γtca在治疗前可能较小，在治疗后可能较大。同样，它也会产生任意的固定效应。不可观察成分ui、γ和δt应以某种方式进行归一化，以便识别，但它们的归一化方式无关紧要，因为我采用差异中的差异（DID）方法。观察到的向量包含K+1分量，包括公共时间效应的常数项，以及不可观察的HIR元素，其中K和r通常较小。变量zi和hide决定了每个单元如何响应普通冲击γ和δt。

假设随机误差在Zi和hi条件下具有零均值。目标是找到w，wJ+1这样，线性组合Pj+1j=2Wjyjt为治疗单元形成了一个合理的反事实比较，同时控制了普通冲击γ和δt的趋势。与Doudchenko和Imbens（2017）不同，我的分析图1：反事实结果的趋势（a）ADH的综合控制未追踪的治疗前结果0 5 10 15 20 303 4 5 6 7周期性外治疗→真实反事实LADH（2010）这篇论文（b）治疗后反事实结果估计的偏差0 5 10 15 20 25 304.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5周期测量→真实的拉德（2010）这张纸条。模拟数据。数据生成过程见附录A.2。ADH（2010）的反事实趋势是使用R软件包Synth发现的。（a） 即使在预处理阶段，ADH的反事实结果也与事实相去甚远。（b） ADH的合成控制在治疗前是不稳定的，但治疗后ADH的反事实趋势是严重偏颇的。sis在（1）给出的模型上。也就是说，目标是提供重量w，wJ+1就是这样-PJ+1j=2wjyjt不受模型中γtzian和δthi驱动的混杂趋势影响。识别不是通过算法，而是通过相关随机变量的模型和总体分布。我的方法首先是区分导致趋势异质性的变量和平衡的变量，以增强可比性。

当一组变量（如Zi和hi）导致异质性趋势时，应通过硬约束对其进行精确平衡，以避免由于不受控趋势而产生的偏差，因为组分γt、δt、Zi和Hia是固定效应；另一方面，平衡的协变量，如治疗前的结果，不需要精确匹配。文献中忽略了精确匹配Zi和Hi的重要性。正如后面第3节所讨论的，ADH（2010）算法在某种程度上是相关的，但它们的非负性约束是难以理解的。HCW（2012年）基于回归的方法和Doudchenkoand Imbens（2017年）的弹性网方案没有考虑异质趋势γtzian和δthi。忽略其重要性的后果在上面的图1和后面的图4第3.3节中可见。趋势协变量的精确平衡并不能消除正则化的必要性，尤其是当未处理单元的数量J与平衡协变量的数量相当或大于时，就像许多应用中的情况一样。没有正则化，权重矩阵可能无法唯一识别。毫无疑问，所有现有方法都以某种方式实现正则化。ADH（2010）将非负性和加总约束作为硬约束。HCW（2012）根据研究人员的判断选择了一组对照组。Doudchenko和Imbens（2017）实施弹性净处罚。我还考虑了正则化，其中惩罚项是由普通最小二乘法（OLS）驱动的，而不是给定的。我的建议导致了“约束岭”回归及其套索和弹性网络变量，所有这些现在都被计量经济学界广泛接受。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了新的估计量，第3节将其与现有估计量进行了比较。

最后一节是结束语。所有的证据都集中在附录中，附录中还包括关于建立症状的讨论。整篇论文中，Yt和Ut分别表示Yjt和ujt的J×1向量，表示J≥ 2，即未经处理的单元。权向量（w，…，wJ+1）用w表示，Z是（K+1）×J矩阵（Z，…，zJ+1）。Zi的精确平衡限制写为z=Zw。2估计本节介绍了新的估计量。第2.1节考虑了一个具有公共分量γtzibut且无潜在因素的模型，以激发精确匹配约束z=Zwand正则化。第2.2节考虑了相同的模型，但引入了平衡协变量。第2.3节对具有不可观测公共因子的模型进行了扩展。2.1观察到的异质性趋势首先，考虑（1）中没有hiso的模型，潜在的未治疗结果由yit=ui+γtzi+uit建模，如果模型正确地针对s和t，则uit没有显示系统性趋势≤ T<T，如果是治疗前的最后一个时期，我们有（2）yit- yis=τ1tI（i=1）+（γt- γs）zi+（uit）- i=1，2，J+1，其中I（·）表示指示器功能。在（2）中，为了简单说明，将后处理期t与单个前处理期s进行比较。改为Yist的泛化-1PTs=1Yi或任何其他加权平均值在以下论证中没有重大差异；同样，yitcan也可以用治疗后的平均值代替。通过yit的OLS回归，可以得到τ1tin（2）的一个明显估计量- yisonI（i=1）和Zi使用J+1横截面观察作为样本。

因为Dummy变量I（I=1）只有I=1的值为1，所以γt的OLS估计量- γsis也是通过回归yit得到的-伊森·齐伊≥ 2，然后τ1被估计为i=1的预测误差。即γt的OLS估计量- γsis（ZZ）-1Z（Yt）- Ys）和^τ1t=（y1t- y1s）- （Yt）- Ys）Z（ZZ）-1z。带wadenoting Z（ZZ）-1z，这个^τ1t被写为^τ1t=（y1t-y1s）-（Yt）-Ys）wa，即使用YTWA作为构建的对照组的DID估计器。在zi=1的简单情况下，wa中的元素是一致的，即wa=J-1（1，1，…，1），Y是未处理单元的未加权平均值。从这个意义上说，WAGER将未迁移的平均运算符泛化。请注意，wadepends on zionly和s与t的选择无关。权重向量WAT消除了Ziy1T带来的混乱趋势- Ytwabecausey1t- Ytwa=（τ1t+u+γtz+u1t）- （uwa+γtZwa+Utwa）=τ1t+（u- uwa）+（u1t- Utwa），u=（u，…，uJ+1），因此DID估计器^τ1t满足^τ1t=τ1t+[（u1t- u1s）- （犹他州）- 美国）华盛顿州]。我们显然有E（τ1t）=τ1t，因为它是z的函数，zJ+1，假设随机干扰ujt在趋势协变量z，zJ+1。上述并非给出τ1tby DID无偏估计量的唯一权重向量。任何满足z=Zw和E（Utw）=0的w都有效，因为此时y1t- Ytw=（u）- uw）+（u1t- Utw）。考虑到γt的任意性，τ1t的无偏估计需要z=Zw作为最小条件，这是导言中强调的精确平衡约束，最终满足。值得注意的是wa=Z（ZZ）-Zi是受约束极小化的解（3）minwww服从z=Zw。（关于wasolves（3）的证明，请参见附录。）也就是说，WAI是满足z=Zw的最小值（根据欧几里德范数）。

在ujt的iid假设下，WA还将构造的反事实结果中的抽样变异性最小化，条件是z，zJ+1，因为非随机w的var（Utw）=σuww。简单地说，在满足z=Zwa的情况下，ytwa随时间的波动最小。讨论yit=ui+γtzi+uit模型的权重w是如何定义的是很微妙的。对于agiven w，设^τ1t（w）=（y1t-Ytw）-（y1s）-Ysw）适用于s≤ T<T，这是使用YTW作为构建的对照组的DID估计量。^τ1t（w）应仅对τ1t无偏的限制并不能确定总体中的w，因为如果J>K+1，则z=Zw和E（ujtw）=0可以满足许多w的要求。例如，当zi=1时，任意J×1的固定数向量加起来等于1，例如均匀权重，不均匀权重，如w=（0.2,0.8,0，…，0），非凸权重，如w=(-0.3, 1.3, 0, . . . , 0），以及其他许多模型，如果模型规格正确，允许ττ1t（w）对τ1t无偏，从而使E（uit | z，…，zJ+1）=0表示所有t。权重wa=z（ZZ）-1zi只是一个特别的选择，它概括了统一权重。在无偏性要求（z=Zw）的基础上，作战需求的识别进一步将（3）中的ww最小化。（3）中ww的一个自然替代方案是“范数kwk=PJ+1j=2 | wj |”，这导致（4）minwkwksubject to z=Zw，这是一个约束的“最小化问题”，也称为基追踪最小化（见Mallat，2009年，第12章）。使用交替方向乘数法（ADMM）的算法可用于该问题（R包ADMM）。

最小化问题（4）也可以写成标准二次规划（5）minw+，w-J+1Xj=2（w+J+w-j） 受制于z=Zw+- Zw-, w+j≥ 0，w-J≥ 0jbecause w=w+- W-kwk=w++w-对于w+j=max（wj，0）和w-j=-最小值（wj，0）。请注意，“最小化问题不一定有唯一的解决方案（例如，whenzi=1），在这种情况下，我们可以最小化εww+kwkinstead of Kwk，以获得一些小的正常数ε，如10-4实现独特性（见Gains等人，2018年，第863页）。弹性netstyle损失函数1-也可以使用αww+αkwkusing其他α参数值。弹性网络最小化算法可以被实现为一个约束套索，使用αkwkas惩罚，零向量作为响应向量，以及[（1- α） /2]1/2是特征矩阵。有关约束套索的快速算法及其通过Rpackage PACLasso实现的信息，请参见James等人（2019）。给定权重向量w，预测误差y1t中存在系统趋势-除非Ytw太小，否则可以通过在t上回归来测试治疗前的Ytw。如果w是z的函数，…，则不存在“生成回归”问题，zJ+1。此外，两个估计权重向量w（1）和w（2）的相互兼容性可以通过回归Ytw（1）进行测试- t上的Ytw（2）- T、 后置和后置（T- T） 使用所有观察结果，其中After是T>T的虚拟变量。总体显著性可以解释为模型误判的证据，尽管总体显著性不一定意味着模型规格正确，因为Ut[w（1）-w（2）]不能显示系统性趋势，而有些人仍然可以。如果包含治疗前结果（例如ADH，2010），估计的w不一定是外生的，由此产生的回归问题适用。在这种情况下，测试结果只能作为诊断汇总统计。

在所有情况下，由humanintuition使用视觉检查而不是正式测试进行决策是一个很有前途的选择。关于如何呈现估计的反事实结果，如果ZITM不包含预处理因变量，那么Ytw和Y1TMA可能具有系统性的不同水平，就像在标准DID框架中一样。因此，c+Ytw更好地呈现了反事实结果，因此截距c处理了治疗前水平差异。例如，c可以是Y1的平均值- 在治疗前的一段时间内。这种修改不会改变治疗效果的估计，但只会有助于呈现。2.2平衡协变量到目前为止，我们考虑通过施加z=Zw的精确匹配约束来控制由γTZIB驱动的异质趋势。在大多数应用中，zi中非恒定变量的数量K远小于未处理单元的数量J，并且限制Z=Zw不能识别唯一的w。作为识别单个向量的补充手段，我们考虑了最小化w的`、`，或弹性净范数。现在，除了趋势协变量zi，研究人员可能还希望平衡一些其他变量，以追求针对异常值或局部误判的稳健性。典型的平衡协变量包括治疗前的结果或其与治疗前平均值的偏差，同时也可以考虑其他外源性特征，如治疗后的控制。与趋势预测因子zi不同，这些平衡协变量不需要精确匹配。设qi表示此类平衡协变量的m×1向量，例如qi=（yi1，…，yiT），其中m可以大于或小于J。设Q为未处理单元的qi的m×J矩阵，即Q=（Q，…，qJ+1）。