未观察到混淆的核心方法：阴性对照、代理、，

这是技术要求最高的附录。D.1概率引理位置D.1（引理[Smale and Zhou，2007]）。设ξ是实可分希尔伯特空间K中取值的随机变量~M s.t.kξkK≤~M<∞ a、 s.σ（ξ）：=EkξkkN∈ Nη ∈ （0,1），PnnXi=1ξi- EξK≤~M ln（2/η）n+r2σ（ξ）ln（2/η）n≥ 1.- ηD.2平滑度假设去掉符号o 平均成分。我用它来强调操作符的组成。假设D.1（条件表达式的平滑度）。假设1。条件期望算子被很好地定义为RKHSs之间的Hilbert-Schmidt算子，即∈ L（HW，HRF），其中E:HW→ HRF，h（·，·，·）7→ E[h（W）|D=·X=·Z=·2。条件期望算子是L（HW，HRF）的一个特别光滑的形式。形式上，定义协方差算子T:=e[φ（d，X，Z） φ（D，X，Z）]forL（HW，HRF）。我猜G∈ L（HW，HRF）s.t.E=（t）c-1.o G、 c∈ （1、2）和kGkL（HW、HRF）≤ ζ假设D.2（基础桥梁的平滑度）。假设1。令人困惑的桥梁运营商，他是一名专业的桥梁运营商，即H∈ HOhm2.c onfounding bridge操作符是H的一个特别平滑的元素Ohm. 形式上，定义协变量运算符T:=E[Ohm（·，u（D，X，Z）） Ohm对于H，（·，u（D，X，Z））]Ohm. 我猜G∈ HOhms、 t.H=Tc-1.o G、 c∈ （1,2）和kGkHOhm≤ ζ命题D.2。以下假设是等效的。假设5.2（A=W，B=D×X×Z）等同于假设D.12。假设5.3相当于假设D.2。直接引自[Caponnetto and De Vito，2007年，备注2]。扩展表达式更便于分析。D.3操作员注释定义D.1（点评估器）。确定运营商Ohmu（d，x，z）：Y→ HOhm, y 7→ Ohm（·，u（d，x，z））进一步定义u（d，x，z）：=Ohmu（d，x，z）o Ohm*u（d，x，z）Ohmu（d，x，z）在RKHS文献中被称为点评估器。在MY设置中，y R和Ohm*u（d，x，z）H=Hu（d，x，z）。提案D.3。

假设假设假设3.2和4.1成立。然后γ（d，x，z）=Hu（d，x，z）证明。根据算符方程，γ（d，x，z）=Zh（d，x，w）P（d，x，w | d，x，z）=Zhφ（d，x，w | d，x，z）=HZφ（d，x，w）P（d，x，w | d，x，z）=Hu（d，x，w）。提案D.4。假设假设假设3.2、4.1和5.1成立。ThenE[Ohmu（D，X，Z）Y]=T高屋顶。不管怎样∈ HOhm,嗨，嗨Ohm=H、 ZTu（d，x，z）P（d，x，z）HHOhm=H、 ZOhmu（d，x，z）Ohm*u（d，x，z）P（d，x，z）HHOhm=ZDH，Ohmu（d，x，z）Ohm*u（d，x，z）嘿OhmP（d，x，z）=ZDOhm*u（d，x，z）H，Ohm*u（d，x，z）HEYP（d，x，z）=ZhHu（d，x，z），Hu（d，x，z）iY=E[Hu（d，x，z）Hu（d，x，z）]此外，对于任何H∈ HOhmE[Hu（D，X，Z）Y]=ZHu（D，X，Z）yP（D，X，Z，Y）=ZHOhm*u（d，x，z）H，yiYP（d，x，z，y）=ZhH，Ohmu（d，x，z）yiYP（d，x，z，y）=H、 ZOhmu（d，x，z）yP（d，x，z，y）Y=H、 E[Ohmu（D，X，Z）Y]尹总结，对于任何H∈ HOhm,嗨，嗨Ohm= E[Hu（D，X，Z）Hu（D，X，Z）]=E[Hu（D，X，Z）γ（D，X，Z）]=E[Hu（D，X，Z）Y]=H、 E[Ohmu（D，X，Z）Y]对D.3提案大喊大叫并撒谎。D.4为了便于分析，确定以下数量。设n为（di，xi，wi，zi）的观测数，用于估计阶段e1条件平均嵌入u（d，x，z）=φ（d）φ（x）通过调节参数λ的核岭回归得到uw（d，x，z）。设m为（˙yi，˙di，˙xi，˙zi）的o观测数，用于估计具有正则化参数ξ的第2阶段混杂桥算子Hby kernelridge回归。定义D.2（混淆桥梁风险）。定义1。目标布里奇∈ 阿明∈HOhmE（H），E（H）=E（Y，Z）kY- Hu（D，X，Z）kY2。正则化桥ξ=argminH∈HOhmEξ（H），Eξ（H）=E（H）+ξkHkHOhm3.经验正则化bridgeHmξ=argminH∈HOhmEmξ（H），Emξ（H）=mmXi=1k˙yi- Hu（˙di，˙xi，˙zi）kY+ξkHkHOhm4.估计桥梁^Hmξ=argminH∈HOhm^Emξ（H），^Emξ（H）=mmXi=1k˙yi- Hunλ（˙di，˙xi，˙zi）kY+ξkHkHOhm其中unλ（d，x，z）是条件平均嵌入u（d，x，z）命题d.5的估计量。假设假设假设3.2和4.1成立。塞内克（H）- H） u（D，X，Z）kY=E（H）- E（H）证明。

与[Sin gh等人，2019年，提案25]相同，对提案D.3提出上诉。提案D.6。假设命题D.5的条件成立。然后hξ=argminH∈HOhmEk（H）- H） u（D，X，Z）kHOhm+ ξkHkHOhm证据命题D.5的推论。提案D.7（封闭形式）。ξ>0时，解Hmξ到Emξ和解^Hmξ到^Emξ是唯一的，且Hmξ=（T+ξ）-1g，T=mmXi=1Tu（˙di，˙xi，˙zi），g=mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yi^Hmξ=（^T+ξ）-1^g，^T=mmXi=1Tunλ（˙di，˙xi，˙zi），^g=mmXi=1Ohmunλ（˙di，˙xi，˙zi）˙yiProof。直接从[Singh等人，2019年，第3期]开始。命题D.8（抽样误差）。假设假设假设3.2、4.1、5.1和5.3成立。然后η ∈（0,1），以下是w.p.1-η：kHmξ- HξkHOhm≤4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ，其中κ：=κdκxκwProof。我推广了[Smale和Zhou，2007，定理1]。我循序渐进。1.分解。Hmξ- Hξ=T+ξI-1.G-THξ- ξHξ=T+ξI-1.mmXi=1˙ξi- E˙ξ式中˙ξi=Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yi- Tu（˙di，˙xi，˙zi）Hξ=Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）[˙yi]- Ohm*u（˙di，˙xi，˙zi）Hξ]观察到T+ξI-1.∈ L（H）Ohm),nnXi=1˙ξi- E˙ξ∈ HOhm其中L（H）Ohm) 是H的边界算子的空间Ohm到HOhm. 因此khmξ- HξkHOhm≤ξ˙,˙ =mmXi=1˙ξi- E˙ξHOhm2.时刻。k˙ξikHOhm≤ κC+κkHξkHOhmσ（˙ξi）=Ek˙ξikHOhm≤ κEkY- Ohm*u（D，X，Z）HξkY=κEkY- Hξu（D，X，Z）kY=κE（Hξ），通过H=0Ek（Hξ）的比例D.6- H） u（D，X，Z）kHOhm+ ξkHξkHOhm≤ EkHu（D，X，Z）kY≤ kHkHOhmEku（D，X，Z）kH≤ κkHkHOhm亨切克（Hξ）- H） u（D，X，Z）kHOhm≤ κkHkHOhmkHξkHOhm≤κkHkHOhm√ξ此外，定义为具有最小值E，E（H）≤ E（0）=Ek Y kY≤ 命题D.5E（Hξ）=E（H）+Ek（Hξ）的Cso- H） u（D，X，Z）kHOhm≤ C+κkHkHOhm总之，k˙ξikHOhm≤ κC+κkHkHOhm√ξ=κ（C+κkHkH）Ohm/pξ）σ（˙ξi）≤ κ（C+κkHkH）Ohm)3.专注。然后应用引理D.1。

概率为1- δ, ≤ κ（C+κkHkH）Ohm/pξ）2ln（2/δ）m+rκ（C+κkHkH）Ohm)2 ln（2/δ）mt这里有两种情况，我分析如下[Singh et al.，2 019，定理6]。（a） κ√mξ≤4ln（2/δ）。因为a+b≤ （a+b）对于a，b≥ 0, <2κC ln（2/δ）m+2κkHkHOhmln（2/δ）m√ξ+κ（C+κkHkH）Ohm)r2ln（2/δ）m=2κC ln（2/δ）m+2κkHkHOhmln（2/δ）√mκ√mξ+κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√msln（2/δ）≤2κC ln（2/δ）√m+2κkHkHOhmln（2/δ）√m+2κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√m=4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mThen recallkHmξ- HξkHOhm≤ξ（b） κ√mξ>4ln（2/δ）。通过定义HmξEmξ（Hmξ），观察到≤ Emξ（0）=mmXi=1k˙yikY≤ CHencekHmξkHOhm≤C√ξ和khmξ- HξkHOhm≤C√ξ+κkHkHOhm√ξ=C+κkHkHOhm√ξ最后观察到4ln（2/δ）<κ√mξ<==>C+κkHkHOhm√ξ<4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ命题D.9（近似误差）。假设假设假设3.2、4.1、5.1和5.3成立。ThenkHξ- HkHOhm≤ ξc-1pζ证明。我推广了[Smale和Zhou，2005，定理4]。根据假设D.2，存在一个G∈HOhms、 t.G=T1-cH=Xkλ1-凯凯克，你好Ohm根据D.4，写出ξ- H=[（T+ξI）-1T- 一] H=Xkλkλk+ξ- 1.艾克，你好Ohm因此，khξ- HkHOhm=Xkλkλk+ξ- 1.嗨，嗨Ohm=Xkξλk+ξ嗨，嗨Ohm=Xkξλk+ξ嗨，嗨Ohmξξ·λkλk·λk+ξλk+ξC-1=ξc-1Xkλ1-切克，嗨Ohmξλk+ξ3.-Cλkλk+ξC-1.≤ ξc-1Xkλ1-切克，嗨Ohm= ξc-1千克小时Ohm≤ ξc-1ζD.5边界建议D.10。假设假设4.1成立。假设kunλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ru（n，δ，c）1。然后kT-^TkL（H）Ohm)≤ 2κ·ru（n，δ，c）2。如果另外假设5.1成立，则k^g-gkHOhm≤ Cru（n，δ，c）证明。直接从[Singh等人，2019年，提案37]和提案5.1开始。D.11提案。假设假设4.1成立。如果kunλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c）thenk（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1千克（小时）Ohm)≤2κ·ru（n，δ，c）ξ证明。自从-1.- B-1=B-1（B）-A） A-1，（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1=（T+ξ）-1（T）-^T）（^T+ξ）-1此处（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1千克（小时）Ohm)≤ξkT-^TkL（H）Ohm)≤2κ·ru（n，δ，c）ξ，其中e中的最终质量符合命题D.10命题D.12。假设假设假设4.1和5.1成立。

森克赫Ohm≤ κCProof。克格赫Ohm=mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yiHOhm≤mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yiHOhm≤mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）L（Y，H）Ohm)k˙yikY≤ κCby三角不等式与算子范数的定义。注意L（Y，HOhm) 是从Y到H的边界算子的空间Ohm.D.6主要结果OREM D.1（收集结果）。支持假设3.2、4.1、5.1和5.3。Suμnλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c）w.p.1- δ. 然后δ ∈ （0,1）和η ∈ （0,1），以下为w.p.1- η - δ：k^Hmξ- HkHOhm≤ rH（n，δ，c；m，η，c）：=ξCru（n，δ，c）+2κCru（n，δ，c）ξ+4κ（c+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ+ξc-1pζ证明。我从命题D.7的分解开始。^Hmξ-H=H（^T+ξ）-1^g- （^T+ξ）-1gi+h（^T+ξ）-1克- （T+ξ）-1gi+（T+ξ）-1克-H以第一学期为例。k（^T+ξ）-1（^g）- g） kHOhm≤ξk^g-gkHOhm≤ξCru（n，δ，c）由命题D.10得出。以第二学期为例。h（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1igHOhm≤ k（^T+ξ）-1.-（T+ξ）-1千克（小时）Ohm)克格赫Ohm≤2κCru（n，δ，c）ξw.p.1- δ由命题D.11和D.12得出。以第三个术语为例。Hmξ- HHOhm≤Hmξ- HξHOhm+ kHξ- HkHOhm≤4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ+ξc-1pζw.p.1- η、 求助于三角不等式和命题D.8和D.9。推论D.1（桥接器到桥接器）。假设假设假设3.2、4.1、5.1和5.3成立。S上kunλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c）w.p.1- δ. 然后δ ∈ （0,1）和η ∈ （0,1），以下为w.p.1- η - δ：k^h-hkH≤ rH（n，δ，c；m，η，c）证明。回想h（d，x，w）=hφ（d，x，w）。H和HOhm是等轴对称的。定理D.2（条件嵌入）。假设4.1、5.1和D.1成立。设置λ=n-c+1。然后是w.p.1-δ, D∈ D、 x∈ 十、 z∈ Zk^u（d，x，z）-u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c），其中ru（n，δ，c）：=κdκx·κRF·√ζ（c+1）c+14κRF（κw+κRFkEkL）ln（2/δ）√nζ（c）- 1)C-1c+1和κRF:=κdκxκzProof。

写^u（d，x，z）-u（d，x，z）=[φ（d）φ（x） ^uw（d，x，z）]- [φ（d） φ（x） uw（d，x，z）]=[φ（d）φ（x）[w（d，x，z）- uw（d，x，z）]，因此k^u（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ κdκx·k^uw（d，x，z）-uw（d，x，z）khw最终因子上的界限来自[Singh等人，2019年，推论1]，观察到e:HW→ HRF，kφ（w）kH≤ κw，kφ（d，x，z）kHRF≤ κrf定理5.1的证明。求和定理D.1中的界asrH=Orμξ+rμξ+√mξ+ξc-1.= Orμξ+√mξ+ξc-1.总结定理D.2 asru=O中的界限N-C-1c+1= O（m）-a） n=ma（c+1）（c-1） 综合结果，rH=O马ξ+√mξ+ξc-1., s、 t.ξ≥ ru，mξ≥ （n，m）比值的选择与[Singh等人，2019年，定理4]的参数相同。我可以选择ξ作为m的函数来实现m的单级速率-C-1c+1。我选择ξ来匹配偏差ξc-1.使用变量maξ+√mξ。我将偏差设置为方差中的每个项。1.ξc-1=maξ。重新排列，ξ=m-ac+3。偏置项变成ξc-1=M-ac+3C-1剩余期限为√mξ=mac+3√m=m2a-（c+3）2（c+3）注意，当且仅当-ac+3c-1.≥2a-（c+3）2（c+3）<==> A.≤c+3c+12。ξc-1=√mξ。重新排列，ξ=m-c+1。偏置项变成ξc-1=M-c+1C-剩下的项变成mξ=m-A.M-c+1-2=m4-a（c+1）2（c+1）注意到前者支配后者当且仅当-c+1c-1.≥4.-a（c+1）2（c+1）<==> A.≥c+3c+1E治疗效果一致性证明在本附录中，I（I）明确规定平滑度假设，（ii）提供无条件平均嵌入率，（iv）提供条件平均嵌入率，以及（iv）证明阴性对照治疗效果的一致性。E.1平滑度假设消耗E.1（T处θ的平滑度）。假设1。条件期望算子被很好地定义为RKHSs之间的Hilbert-Schmidt算子，即∈ L（HX） HW，HD），其中E:HX HW→ HD，f（·，·）7→ E[f（X，W）|D=·2。

条件期望算子是L（HX）的一个特别光滑的元素HW，HD）。形式上，定义协方差算子T:=E[φ（D） φ（D）]forL（HX HW，HD）。我猜G∈ L（HX） HW，HD）s.t.E=（t）c-1.o G、 c类∈ （1,2）和kGkL（HXHW，HD）≤ ζ假设E.2（θ类E的平滑度）。假设1。条件期望算子被很好地定义为RKHSs之间的Hilbert-Schmidt算子，即∈ L（HX） HW，HV），其中e:HX HW→ 高压，f（·，·）7→ E[f（X，W）|V=·2。条件期望算子是L（HX）的一个特别光滑的元素HW，HV）。形式上，定义协方差算子T:=E[φ（V） φ（V）]forL（HX HW，HV）。我猜G∈ L（HX） HW，HV）s.t.E=（t）c-1.o G、 c∈ （1,2）和kGkL（HX高、高）≤ ζ命题E.1。以下假设为等式1。假设5.2，A=X×W A和B=D相当于假设E.12。假设5.2 A=X×W A和B=V相当于假设E.2。直接引自[Caponnetto and De Vito，2007年，备注2]。扩展表达式更便于分析。E.2无条件平均嵌入定理E.1（无条件平均嵌入）。假设假设假设4.1和5.1成立。然后是w.p.1-δ、 k^u-ukHXHW≤ ru（n，δ）：=4κxκwln（2/δ）√nLikewise，w.p.1- δk^ν-νkHXHW≤ rν（~n，δ）：=4κxκwln（2/δ）√~nProof。通过命题D.1，其中ξi=φ（xi） φ（wi），自nnXi=1[φ（xi）φ（wi）]- E[φ（X） φ（W）]HXHW≤2κxκwln（2/δ）n+r2κxκwln（2/δ）n≤4κxκwln（2/δ）√使用ξi=φ（~xi），ν的参数是相同的φ（~wi）E.3条件平均嵌入定理E.2（条件平均嵌入率）。假设假设假设4.1和5.1成立。S et（λ，λ）=（n-c+1，n-c+1）。如果附加假设E.1成立，则w.p.1成立- δ, D∈ Dk^u（d）-u（d）kHXHW≤ 大鼠Tu（n，δ，c），其中大鼠Tu（n，δ，c）：=κd·√ζ（c+1）c+14κd（κxκw+κdkEkL）ln（2/δ）√nζ（c）- 1)C-1c+12。如果另外假设E.2成立，则w.p。

1.- δ, 五、∈ Vk^u（v）- u（v）kHXHW≤ rCAT Eu（n，δ，c），其中rCAT Eu（n，δ，c）：=κv·√ζ（c+1）c+14κv（κxκw+κvkEkL）ln（2/δ）√nζ（c）- 1)C-1c+1屋顶。直接从[Singh等人，2019年，推论1]开始，观察到E:HX HW→ HD，kφ（x）φ（w）kHXHW≤ κxκw，kφ（d）kHD≤ κ-dandE:HX HW→ HV，kφ（x）φ（w）kHXHW≤ κxκw，kφ（v）kHV≤ κvE。4主要结果建议E.2。总之，n=mk^h- hkH=OpN-C-1c+1c-1c+3k^u-ukHXHW=OpN-k^ν-νkHXHW=Op~n-k^u（d）-u（d）kHXHW=OpN-C-1c+1k^u（v）- u（v）kHXHW=OpN-C-1c+1定理5.2的证明。我在[Singh等人，2020年，定理3.3]中概括了这个论点。我写下最后的样本绑定s.1。θ在E^θ在E（d）-E（d）处的θ=h^h，φ（d） ^uiH- hh，φ（d）uiH=h^h，φ（d） [^u -u]iH+h[^h-h] ，φ（d）uiH=h[^h-h] ，φ（d）[^u -u]iH+hh，φ（d） [^u -u]iH+h[^h-h] ，φ（d）uIHW.p.1-2δ -E（d）处的η|^θ-E（d）处的θ|≤ k^h-hkHkφ（d）kHDk^u-ukHXHW+khkφ（d）kHDk^u-ukHXHW+k^h-hkHkφ（d）kHDkukHXHW≤ κd·rH（n，δ，c；m，η，c）·ru（n，δ）+κd·khkH·ru（n，δ）+κdκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+32.θDS。用和θ在E，w.p.1相同的参数-2δ -η|θDS（d，~P）-θDS（d，~P）|≤ κd·rH（n，δ，c；m，η，c）·rν（~n，δ）+κd·khkH·rν（~n，δ）+κdκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+3+~n-3.T^θT（d，d′）-T（d，d′）处的θ=h^h，φ（d′） ^u（d）iH- hh，φ（d′） u（d）iH=h^h，φ（d′）[^u（d）- u（d）]iH+h[^h-h] ，φ（d′） u（d）iH=h[^h-h] ，φ（d′）[^u（d）- u（d）]iH+hh，φ（d′） [^u（d）- u（d）]iH+h[^h-h] ，φ（d′）u（d）IHW.p.1-2δ -η|^θ在T（d，d′）- T（d，d′）处的θ|≤ k^h- hkHkφ（d′）kHDk^u（d）-u（d）kHXHW+khkφ（d′）kHDk^u（d）-u（d）kHXHW+k^h-hkHkφ（d′）kHDku（d）kHXHW≤ κd·rH（n，δ，c；m，η，c）·大鼠Tu（n，δ，c）+κd·khkH·大鼠Tu（n，δ，c）+κdκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+3+n-C-1c+14.

θCAT E^θCAT E（d，v）- θCAT E（d，v）=h^h，φ（d） φ（v） ^u（v）iH- hh，φ（d）φ（v） u（v）iH=h^h，φ（d） φ（v） [^u（v）- u（v）]iH+h[^h-h] ，φ（d）φ（v） u（v）iH=h[^h-h] ，φ（d） φ（v） [^u（v）- u（v）]iH+hh，φ（d）φ（v） [^u（v）- u（v）]iH+h[^h-h] ，φ（d） φ（v） u（v）IHW.p.1-2δ -η|^θE类（d，v）- θE类（d，v）|≤ k^h-hkHkφ（d）kHDkφ（v）kHVk^u（v）- u（v）kHXHW+khkHkφ（d）kHDkφ（v）kHVk^u（v）- u（v）kHXHW+k^h- hkHkφ（d）kHDkφ（v）kHVku（v）kHXHW≤ κdκv·rH（n，δ，c；m，η，c）·rCAT Eu（n，δ，c）+κdκv·khkH·rCAT Eu（n，δ，c）+κdκvκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+3+n-C-1c+1调音。1简化设置我提出的剂量反应和异质治疗效应估计器由核岭回归组成。因此，新估计量的超参数与核岭回归估计量相同。现在，我为（I）岭回归惩罚和（ii）内核本身的超参数提供了实用的调整程序。本附录是对[Singh等人，2020年，附录F]的详细阐述。F.2 Ridge penaltyIt通过漏掉一个交叉验证（LOOCV）来调整λ是很方便的，因为验证损失已经形成了一个解决方案。我引用了内核岭回归的一个调优过程。为了简单起见，我将重点放在Y对W的回归上。算法F.1（Singh等人，2020年的算法F.1）。构造矩阵shλ：=I- KW W（KW W+nλI）-1.∈ Rn×n，~Hλ：=diag（Hλ）∈ Rn×nwhereHλ与Hλ具有相同的对角线项，非对角线项为0。然后设置λ*= argminλ∈∧nkH-1λHλyk，λ R同样的原则也适用于条件均值的调整，这可以被视为向量值回归。此外，在一个由两个核岭回归组成的变量回归中，核函数的调整也遵循同样的原则。

将这些调整过程扩展到核心工具变量回归是一项创新，它不同于[Singh等人，2019年，附录A.5.2]中的调整过程。为了简化讨论，我重点讨论了φ（Y）在W上的条件平均嵌入。回想一下，使用所有观测值的条件均值嵌入估计量的闭式解是^u（w）=K·Y（KW w+nλI）-1KW wAlgorithm F.2（调谐条件平均嵌入）。构造矩阵r:=KW W（KW W+nλI）-1.∈ Rn×nS∈ Rn×ns。t、 Sij=1{i=j}1.-瑞伊T:=S（KY-Y）- 2岁+ RKY YR) ∈ Rn×nR是R的第i个对角元素，然后设置λ*= argminλ∈∧ntr（T），∧ 竞争。我证明ntr（T）是LOOCV损失。根据定义，LOOCV损耗isE（λ）：=nnXi=1kφ（yi）- ^u-i（wi）kHYwhere^u-iis使用除第i个观测值以外的所有观测值的条件平均嵌入估计值。非正式地，设Φ为r{wi}特征的矩阵，第i行φ（wi）, 让Q:=ΦΦ+nλ。设ψ为{yi}的特征矩阵，第i行φ（yi）. 通过回归一阶条件^u（w）= φ（w）Q-1ΦΨ^u-i（w）= φ（w）{Q-φ（wi）φ（wi）}-1{ΦΨ -φ（wi）φ（yi）}Sherma n-Morrison秩一更新公式给出{Q- φ（wi）φ（wi）}-1=Q-1+Q-1φ（wi）φ（wi）Q-11-φ（wi）Q-1φ（wi）设βi:=φ（wi）Q-1φ（wi）。那么^-i（w）= φ（wi）Q-1+Q-1φ（wi）φ（wi）Q-11-βi{ΦΨ -φ（wi）φ（yi）}= φ（wi）I+Q-1φ（wi）φ（wi）1.-βi{^u- Q-1φ（wi）φ（yi）}=1+βi1- βiφ（wi）{^u- Q-1φ（wi）φ（yi）}=1+βi1- βi{^u（wi）- βiφ（yi）}=1.-βi{^u（wi）- βiφ（yi）}i、 e.^u-ican可以用^u表示。注意φ（yi）- ^u-i（wi）=φ（yi）-1.-βi{^u（wi）-βiφ（yi）}=φ（yi）+1-βi{βiφ（yi）- ^u（wi）}=1-βi{φ（yi）- ^u（wi）}替换回LOOCV lossnnXi=1kφ（y）i- ^u-i（wi）kHY=nnXi=1{φ（yi）- ^u（wi）}1.-βiHY=nnXi=11.-βik{φ（yi）- ^u（wi）}[Singh等人，2020年，附录F]中的开比论点，βi=[KW W（KW W+nλi）-1] iii.e。