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我还在我的RKHS结构中描述了霍尔德的连续性。A.1完整性首先重新检查完整性条件。我在正文中介绍了另外一个不必要的RKH：一个用于未观察到的混淆U的标量值RKH，用HU表示。定义条件平均嵌入uu（d，x，z）：=Rφ（u）P（u | d，x，z）。结果表明，完整性可以用平均嵌入集{uu（d，x，z）}的跨度来表示∈ D、 x∈ 十、 还有z∈ Z.我将正则性条件放在这个额外的RKH上，类似于假设4.1。假设A.1（RKHS正则条件）。假设1。ku是连续且有界的：supu∈Ukφ（u）kHY≤ κu2。φ（u）是可测量的。kUis特征连续性、有界性和可测性是常用核满足的弱条件。该性质保证了平均嵌入q7的内射性→Rφ（u）Q，与P（u | d，x，z）的RKHS表示uu（d，x，z）的唯一性有关[Sriperumbudur等人，2010]。命题A.1（完整性）。假设A.1成立。对于任何函数f∈ HU，E[f（U）| D=D，X=X，Z=Z]=0（d，x，z）<==> f=0相当于要求的闭包（span{uu（d，x，z）}）=HU。换句话说，d的平均嵌入集{uu（d，x，z）}的跨度∈ D、 x∈ 十、 安兹∈ Z必须覆盖整个RKHS HU。直观地说，模型中观察到的变量相对于未观察到的混杂因素的可变性必须有足够的可变性。在假设A.1中，我假设内核是有界的。这个假设有几个含义。首先，特征图是Boch-ner可积的[Steinwart and Christmann，2008，定义A.5.20]。Bochner可积性允许交换期望和内积。其次，平均嵌入存在。

通过复制性质y[f（U）| D=D，X=X，Z=Z]=Zf（U）P（U | D，X，Z）=Zhf，φ（U）iHUP（U | D，X，Z）=f、 Zφ（u）P（u | d，x，Z）HU=hf，uu（d，x，z）i表示希尔伯特空间，hf，f iHU=0<==> f=0。在此之前，我要求的条件是∈ 胡f∈ span{uu（d，x，z）}。A.2存在下一步我重新审视存在条件。回想一下γ（d，x，z）：=E[Y | d=d，x=x，z=z]。假设，γ∈ HRF，所以可以表示为γ=P∞j=1γ0，j·k RFj，其中{k RFj}构成LRF的非正态基。如果E:h（·，·，·）7→ 当E[h（D，X，W）|D=·，X=·，Z=·]的奇异值分解{（ηj，j，RFj）}存在时，E[h（D，X，W）|D=·，X=·，Z=·]是Lto LRF中的紧致算子，其中{ηj}是奇异值，{j}是严格的奇异函数，{RFj}是左奇异函数。命题A.2（存在）。假设E:L→ LRFis公司。算子方程γ（d，x，z）=E[h（d，x，W）| d=d，x=x，z=z]存在一个解，当且仅当if1。完整性：对于任何函数g∈ LZ，E[g（Z）| D=D，X=X，W=W]=0（d、x、w）<==> g=02。惩罚平方和：P∞j=1γ0，jηj<∞证据我验证了Picard定理[Kress，1989，定理15.18]的条件，并对[Miao等人，2018，命题1]进行了修改。E是紧凑的。根据假设，E是紧的。因为它是比较的，所以它的可数谱是明确的[Kress，1989，定理15.16]。γ∈ N（E）*)⊥.我证明了完全性意味着零spa c e N（e*) = 0.具体而言，考虑到∈ N（E）*). 通过定义零空间0=E*g=E[g（D，X，Z）| D=D，X=X，W=W]=E[g（D，X，Z）| D=D，X=X，W=W]因此，通过c完全性，对于任何固定的（D，X），g（D，X，Z）作为f的函数为零。我认为g=0。e N（e）*)⊥= 轻铁。

在RKHS建设中，我们已经假设了γ∈ HRF 轻铁。3.P∞j=1[hγ，νRFjiHRF]ηj<∞.注意，hγ，νRFjiHRF=*∞Xj=1γ0，j·RFj，RFj+HRF=γ0，jt得出结论，诉诸于该假设。A.3霍尔德连续性最后，我利用标量核的性质来验证霍尔德连续性。命题5.1的证明。在假设4.1中，我假设标量核是有界的。这个假设有几个含义。首先，特征图是Bochner可积的[Steinwart and Christmann，2008，定义A.5.20]。Boc-hner可积性允许期望和内积的交换。其次，存在平均嵌入。第三，乘积核也是不存在的，因此张量积RKHS继承了这些有利的性质。1.根据定义，Ohm（u（d，x，z），u（d′，x′，z′）=hu（d，x，z），u（d′，x′，z′）iH=Z[φ（d）φ（x） φ（w）]P（w|d，x，z），z[φ（d′） φ（x′）φ（w′）]P（w′|d′，x′，z′）H=Zhφ（d）φ（x） φ（w），φ（d′）φ（x′） φ（w′）iHP（w|d，x，z）P（w′d′，x′，z′）=k（d，d′）k（x，x′）Zk（w，w′）P（w|d，x，z）P（w′d′，x′，z′）2。为了减轻符号的重量，le tA:=kOhm（·，u（d，x，z））- Ohm（·，u（d′，x′，z′）kHOhmB:=ku（d，x，z）-u（d′，x′，z′）kHThenA=Ohm（u（d，x，z），u（d，x，z））- 2.Ohm（u（d，x，z），u（d′，x′，z′）+Ohm（u（d′，x′，z′），u（d′，x′，z′）=hu（d，x，z），u（d，x，z）iH- 2hu（d，x，z），u（d′，x′，z′）iH+hu（d′，x′，z′），u（d′，x′，z′）iH=BB识别命题3.1的证明。他的定义是γ=Eh的解，该解存在，并且在假设3.2中是唯一的。简化形式γ（d，x，z）=E[Y | d=d，x=x，z=z]是相同的，因为P（Y | d，x，z）在假设3.3中是不变的。第一阶段操作员E:h（·，·，·）7→由于P（W | D，X，Z）在假设3.3中是无变异的，因此E[h（D，X，W）| D=·X=·Z=·在不同人群中也是相同的。B.1提案。假设定理3.1的条件成立。对于θcate，用（v，x）代替x。证据

我推广了[Miao等人，2018年，定理1]。假设3.1YZ | U，D，XWD，Z |U，前者是指γ（d，x，x，x，x，z）的意思，前者是指γ（d，x，x，x，x，x，x，x，z）的意思，前者是指γ（d，x，x，x，x，x，x，z）P（u，x，x，x，z）P（u，x，d，d，x，x，x，z）=E（Y，u，u，u，u，u，u，d，d，x，x，x，x，x，x，z，z，z）的x，z，z，z，z=ZZZP（w，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，d，d，d，d，d，x，x，x，x，x，x，x，x，x，x，x，z）ZZZP（w，z）因此通过复数[Y | u，d，x]=Zh（d，x，w）P（w | d，x，z）=Zh（d，x，w）=Zh（d，x，w）P（w | u，x）P（u | d，x，z）定理3.1的（w | u，x）证明。我证明了每个结果，符合假设3.1和命题B.11。θAT EE[Y（d）]=ZE[Y（d）|u，x]P（u，x）=ZE[Y（d）|d，u，x]P（u，x）=ZE[Y | d，u，x]P（u，x）=Zh（d，x，w）P（w，u，x）=Zh。θDSE-P[Y（d）]=ZE-P[Y（d）|u，x]-P（u，x）=ZE-P[Y（d）|d，u，x]-P（u，x）=ZE-P[Y | d，u，x]-P（u，x）~P（w | u，x）~P（u，x）=Zh。（d）d，u，x）P（d，x（d，x）d（d）d（d）d）d，u，x）P（u，x（d，x）d）d）d）=（Y（d（d）d（d），u，x，x（d，x）P（d，x，x）P（d（d（d，d）d）d（d（d，d，d），d，d）d（d，d，d，d，x，x，x）P（d）d（d，x，x）d）T（d）T（d）T（d，x，x，x，x，x，x，x，x，x）T（d）T（d）T（d）T（d，x，x，x，x，x，x，x，x）d（d）d）d（d）d（d）d（d）d（d）d）d（d）是是（d）的）的（d，u，u，d）=Zh（d′，x，w）P（w，x|d）4。θCAT EE[Y（d）|V=V]=ZE[Y（d）|u，V，x]P（u，x | V）=ZE[Y（d）|d，u，V，x]P（u，x | V）=ZE[Y | d，u，V，x]P（u，V，x，w）P（u，x | V）=Zh d，V，V，x，x，w）P（w，u，x | V，x | P）P=x | C |。1.定理4.1的证明。在假设4.1中，我假设标量核是有界的，这意味着Bochner可积性。根据正确的规格γ（d，x，z）=Zh（d，x，w）P（w | d，x，z）=Zhh，φ（d） φ（x） φ（w）iHP（w | d，x，z）=h、 φ（d） φ（x）Zφ（w）P（w | d，x，Z）H=hh，φ（d） φ（x） uw（d，x，z）I接下来，我推广了[Sing h等人，2020年，定理3.2]，通过定理3.1和期望的线性度1，用混杂桥h替换预测函数。

θ在E处θ在E（d）=Zh（d，x，w）P（x，w）=Zhh，φ（d） φ（x） φ（w）iHP（x，w）=h、 φ（d）Z[φ（x）φ（w）]P（x，w）H=hh，φ（d） uiH2。θDSθDS（d，P）=Zh（d，x，w）~P（x，w）=Zhh，φ（d） φ（x） φ（w）iHP（x，w）=h、 φ（d）Z[φ（x）φ（w）~P（x，w）H=hh，φ（d） νiH3。T时的θT（d，d′）=Zh（d′，x，w）P（x，w|d）=Zhh，φ（d′）φ（x） φ（w）iHP（x，w | d）=h、 φ（d′）Z[φ（x）φ（w）]P（x，w | d）H=hh，φ（d′）u（d）iH4。θcateθcate（d，v）=Zh（d，v，x，w）P（x，w | v）=Zhh，φ（d） φ（v） φ（x）φ（w）iHP（x，w | v）=h、 φ（d） φ（v）Z[φ（x）φ（w）]P（x，w | v）H=hh，φ（d） φ（v） u（v）iHC。2.算法4.1的推导。我循序渐进，概括了[Singh等人，2019年，算法1]的推导过程。第一阶段的封闭式表格。根据[Singh等人，2019年，算法1]，第一阶段条件平均嵌入的闭式解为^uw（d，x，z）=nXi=1βi（d，x，z）φ（wi），其中β（d，x，z）=（KDD⊙ KXX⊙ KZZ+nλI）-1[KDd⊙ KXx⊙ [KZz]∈ Rn2。第二阶段的封闭形式。接下来，我认为^h=Pni=1αI[φ（di） φ（xi） 对于某些αi，φ（wi）]∈ 注册护士。将目标写为^h=argminh∈HEnξ（h），Enξ（h）=nnXi=1kyi-hh，φ（di）φ（xi）^uw（di，xi，zi）iHkY+ξk hkhd由于脊p enalty，所述目标是强制性的，并且相对于h是强凸的。因此它有一个唯一的极小值，可以获得s最小值。写^h=^hn+^h⊥在哪里∈ 跨距{φ（di）φ（xi）φ（wi）}和^hn是理论补语的一个元素。根据上述结果，^uw（d，x，z）∈ span{φ（wi）}用于任何值（d，x，z）。因此ξ（^h）=Enξ（^hn）+ξk^h⊥nkh表示Enξ（^h）≥ Enξ（^hn）。Sinc e^h是唯一的极小化子，^h=^hn。3.替代。我将^h的函数形式替换为它的目标。

注意h^h，φ（d） φ（x） ^uw（d，x，z）iH=*nXi=1αi[φ（di）φ（xi） φ（wi）]，φ（d） φ（x）nXj=1βj（d，x，z）φ（wj）+H=nXi=1nXj=1αiβj（d，x，z）k（di，d）k（xi，x）k（wi，wj）=αK（d，x）β（d，x，z），其中K（d，x）：=KDdTn⊙ KXxTn⊙ 千瓦瓦=千瓦瓦⊙ [（KDd）⊙ KXx）Tn]∈ Rn×nBy[Singh等人，2020年，算法C.1]，[A]⊙ （b）n） ]a=[Aa]⊙ b、 soK（d，x）β（d，x，z）={kww⊙ [（KDd）⊙ KXx）Tn]}β（d，x，z）=[KW Wβ（d，x，z）]⊙ [KDd⊙ KXx]=[KW W（KDD⊙ KXX⊙ KZZ+nλI）-1{KDd⊙ KXx⊙ [KZz}]⊙[KDd⊙ KXx]定义矩阵M∈ Rn×nw，第j列为K（dj，xj）β（dj，xj，zj），因此th a tM=[KW W（KDD⊙KXX⊙KZZ+nλI）-1{KDD⊙KXX⊙[KZZ}]⊙[KDD⊙KXX]接下来注意k^hkH=h^h，^hiH=*nXi=1αi[φ（di） φ（xi）φ（wi）]，nXj=1αj[φ（dj）φ（xj）φ（wj）]+H=nXi=1nXj=1αiαjk（di，dj）k（xi，xj）k（wi，wj）=α[KDD⊙ KXX⊙ KW W]α简言之，Enξ（^h）=nkY- Mαk+ξα[KDD⊙ KXX⊙ KW W]α4。优化。优化α，^α=（M）的目标+ nξ[KDD⊙ KXX⊙ 千瓦（瓦）-1MYso^h（d，x，w）=h^h，φ（d） φ（x） φ（w）iH=*nXi=1^αi[φ（di）φ（xi）φ（wi）]，φ（d） φ（x） φ（w）+H=nXi=1^αik（di，d）k（xi，x）k（wi，w）=^α[KDd⊙ KXx⊙ KW w]C.3治疗效果算法4.2的比较。通过算法4.1，h^h，φ（d） φ（x） φ（w）iH=^α[KDd⊙ KXx⊙ KW w]根据定理4.1，获得核均值嵌入估计量的表达式并替换它们是足够的。特别是，1。E处的θ：^u=nPni=1[φ（xi）φ（wi）]2。θDS:^ν=~nP~ni=1[φ（~xi）φ（~wi）]3。T时的θ：^u（d）=[K·X⊙ K·W]（KDD+nλI）-1KDd4。θcate:^u（v）=[K·X⊙ K·W]（千伏V+nλI）-1KV v条件平均嵌入表达式源自[Singh等人，2019年，算法1]。D混淆桥一致性证明在本附录中，I（I）陈述一个概率引理，（ii）明确地专门化光滑假设，（iii）引入额外的运算符符号，（iv）提供回归引理，（v）证明技术边界，以及（vi）验证混淆桥的一致性。