关于最优线性收缩估计的强收敛性

更困难的是找到一个与第一个量（即| | Sn | | F）等价的渐近量。由于样本协方差矩阵的Frobenius范数在高维统计中非常重要，因此研究其渐近行为将是一大优势。在定理3.1中，我们给出了我们的第一个结果，其中我们证明了sn的归一化Frobenius范数几乎肯定倾向于p/n的非随机量→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞.定理3.1。假设（A1）-（A5）保持和pn→ C∈ (0, +∞) 为了n→∞. 然后样本协方差矩阵φn=p | | Sn | | falst的Frobenius范数必然趋向于非随机变量φ，由φ给出=+∞Z-∞τdH（τ）+c+∞Z-∞τdH（τ）, （3.11）其中H（t）表示光谱e.d.f.Hn（t）定义的极限函数（2.1）。定理3.1的证明源自MP方程（2.7），并在附录中给出。特别是，它确保了样本协方差矩阵的Frobenius范数是固定的，并且仅取决于函数H和c。然而，由于函数H（t）未知，我们无法估计|∑n | |融合这一知识。这就是为什么我们需要找到| | Sn | | F的渐近等价量。定理3.1给出了关于这个量的一些直觉。其思想是用相应的有限和替换（3.11）中的积分，即1/ppPi=1τi=1/ptr（∑n）和1/ppPi=1τi=1/ptr（∑n）。该程序的主要优点是，这种替代不会影响几乎确定的收敛。定理3.2。根据Pn的假设（A1）-（A5）→ C∈ (0, +∞) 它保持着||Sn | | F-||∑n | | F+cp |∑n | | tr-→ 0 a.s.代表n→ ∞ （3.12）式中|∑| |tr=tr（∑n）是矩阵∑n的平方迹范数。另外，对于数量tr（SnΘ），其中Θ是有界迹范数的对称正有限矩阵，它认为tr（SnΘ）-tr（nΘ）-→ 0 a.s.forpn→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞.

（3.13）该定理的证明见附录。与定理3.1相比，定理3.2对渐近结果（3.12）有更好的解释。它特别表明，实协方差矩阵|∑n | | F的罗伯纽斯范数的一致估计量不等于它的样本对应量。另一方面，tr（SnΘ）型泛函由样本对应物一致估计。此外，在大维渐近条件下，SNI的罗伯纽斯范数由常数c/p |∑| | | tr移位。因此，我们知道偏差的渐近值，协方差矩阵的弗罗贝尼乌斯范数的一致估计可以通过从样本中减去它来构造。第4节给出了该估计量的精确形式。接下来，我们考虑收缩强度α*nandβ*n、 定理3.2的应用允许我们找到它们的渐近性质。这是在滚动3.1中完成的。推论3.1。假设（A1）-（A5）已满。然后福普→ C∈(0, +∞) 作为n→ ∞ 最佳收缩强度α*nandβ*不满意α*N- α*-→ 0 a.s.代表n→ ∞, （3.14）其中α*= 1.-cp |∑| | tr |∑| F||∑n | | F+cp |∑n | | tr||∑| | F-tr（n∑）（3.15）和β*N- β*-→ 0 a.s.代表n→ ∞, （3.16）其中β*=tr（n∑）|∑| | F（1）- α*) . （3.17）证据。这个结果直接来自定理3.2。只需要矩阵1/p∑nis的迹范数的有界性。它显然是根据其谱范数| |∑n的有界性得出的||∞, 即| | 1/p∑n | | tr=1/ptr∑n）Jensen≤√p |∑n | | F≤p |∑n||∞< ∞. （3.18）首先，我们观察到推论3.1和定理3.2的应用确保收缩强度α*和β*可以一致地估计。我们在第4节中总结了这个结果。对推论3.1结果的第二种解释表明α*< 1当c>0时，直接从（3.7）开始。

只有当c=0时，我们才能得到α*= 1和β*= 在这种情况下，样本协方差矩阵是人口协方差矩阵的一个很好的估计量，它使罗伯纽斯范数最小化。相比之下，如果p增加，即c>0，一般线性收缩估计量（3.1）会提高样本估计量的性能。此外，随着p接近n.4，这种改善的影响变得更大。协方差矩阵的最佳估计本节专门讨论第3节中未知参数的最佳估计。正如我们已经提到的，收缩强度α*和β*从推论3.1可以使用定理3.2的结果一致地估计。显然，两者都是α*和β*依赖于tr（nΘ）型泛函上协方差矩阵∑nand的Frobenius范数。由于理论3。2后一项的一致估计是其样本对应项，而Bψn=p | | | Sn | | F给出的Frobenius范数ψn=p | |∑n | | Fis的一致估计-np | | Sn | tr.（4.1）得到的估计量（4.1）与Girko（1995）得到的估计量相似。与Girko（1995）相比，定理3.2在更一般的条件下得到了证明，我们使用复Stieltjes变换，而Girko（1995）使用实变换。Girko的结果适用于c∈ （0，1）而我们的∈ (0, +∞).然而，使用定理3.1和定理3.2，可以证明Girko（1995）所考虑的所谓G估计与（4.1）一致，并且它确实是在大维渐近下协方差矩阵的Frobenius范数的一致估计。协方差矩阵∑nis的最优线性收缩估计（OLSE）由b∑OLSE=^α给出*Sn+^β*带| |∑| | tr的∑≤ M，（4.2）式中*= 1.-n | | Sn | | tr |∑| | | F | | Sn | | |∑| F-tr（Sn∑）（4.3）和^β*=tr（Sn∑）|∑| | F（1）- ^α*) . （4.4）根据定理3.2，OLSE估计几乎肯定具有最小的Frobenius损失，并且具有简单的结构。

此外，当p>n且样本协方差矩阵sni奇异时，最优线性收缩b∑olsestay是可逆的，在实际中是适用的。接下来，我们更详细地考虑一个有趣的特例，∑=pI。在这种情况下，b∑OLSElooks与Lediot和Wolf（2004）提出的线性收缩估计值非常相似。然而，他们并不平等。首先，Lediot和Wolf（2004）的线性收缩估计在二次均值中具有最小的Frobenius损失，而（4.2）中建议的估计几乎确保收敛到oracle。此外，Lediot and Wolf（2004）假设存在第八矩，而我们的估计是在假设4+ε，ε>0，矩存在的情况下推导的。第二，Ledoit和Wolf（2004）的估计量和建议的最优线性收缩估计量（4.2），其中∑=1/pI差在α中*. 而不是n|Sn|trLedoit和Wolf（2004）使用了dnpi=1|yiyi-Sn | | F，其中yi是矩阵∑1/2nXn的列。的确，让d=p | | Sn | F-1/ptr（序列号）andb=pnnPi=1 | | yiyi- Sn | | F.然后是α的估计*Ledoit和Wolf（2004）给出了*LW=1-min{b，d}d.（4.5）因此，从（4.5）我们观察到，Ledoit-Wolf（LW）线性收缩估计是有约束的，而∑=pI的最优收缩估计（4.2）是无约束的。此外，如果b>din（4.5），则α*LW=0独立于p相对于n的大小。在这种情况下，LW估计器等于目标矩阵tr（Sn）pI。相比之下，对于建议的嗅觉刺激（4.2），它始终认为0<α*≤ 1.此外，α*= 1 i eff c=0，这意味着只有当p远小于n时，样本协方差矩阵才具有最小的Frobenius损失。对于c>0，样本协方差矩阵不是协方差矩阵的最佳估计量。第三，对于∑=pI，LW线性收缩估计似乎比（4.2）的计算更密集。

原因是，由循环计算的量bislen | | Sn | | tr只需要计算轨迹。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 1000 10 20 30 40 50 60矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50 60●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50 60真正的OLSEBona真正的LWOracleFigure 1：甲骨文、真正的OLSE和p=3k，k的真正LW估计器的PRIALs∈ {1，…，33}，c=1/3，∑=pI，重复1000次。Ledoit和Wolf（2004）证明了他们的线性收缩估计倾向于平均的甲骨文估计，而我们的估计几乎肯定倾向于甲骨文估计，因此，预期他们是渐近相同的。此外，选择∑=pI可能过于保守，对于∑的其他值可以获得更好的结果。在图1中，我们给出了当∑=pI时正态分布数据的模拟结果。在不损失一般性的情况下，我们取∑nasa对角矩阵，将其谱分成三等分，特征值分别为0.1、5和10。根据∑n（ct.第2节）特征值的相应累积分布函数，它认为h∑nn（t）=1/3δ[0.1，∞)（t） +1/3δ[5，∞)（t） +1/3δ[10，∞)（t） ，（4.6），其中δ是狄拉克δ函数。这样做，我们保持所有维度p的总体协方差矩阵结构不变。然后，我们将LW线性收缩估计与建议的OLSE估计进行比较。对于协方差矩阵的任意估计，cM，PRIAL（平均损失的相对改善百分比）定义为PRIAL（cM）=1-E | |厘米- ∑n | | FE | Sn- ∑n | | F！·100% . （4.7）根据定义（4.7），PRIAL（Sn）等于零，PRIAL（n）等于100%。图1清楚地显示了LW估计器和suggestedOLSE估计器的平均收敛速度都很快。

此外，我们得出结论，这两个估计值之间没有显著差异。在图2中，我们展示了当∑=1/pI时，总体协方差矩阵结构的先验知识如何改进OLSE估计。我们假设先验矩阵∑符合协方差矩阵∑n的谱分离。因此，假设我们知道人口协方差矩阵的谱在三个相等的块中分离（见等式（4.6）），我们不考虑任何其他信息。先验矩阵∑的对角元素选择为1、2和3。根据∑的累积分布函数，它认为h∑（t）=1/3δ[1，∞)（t） +1/3δ[2，∞)（t） +1/3δ[3，∞)（t） 。(4.8)●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 1000 20 40 60 80 100矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 100真正的OLSE，∑0真正的OLSE，i pOracle OLSE，∑0 oracle OLSE，i p图2：oracle的PRIALs和真正的OLSE估值器，∑=1/pI，∑如（4.8）中给出的p=3k，k∈ {1，…，33}和c=1/3，1000次重复。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●50 100 150 200 60 70 80 90 100矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100甲骨文OLSEBona Fidel OLSE，i pLedoit and Wolf（2004）图3：甲骨文PRIALs，Fidel OLSE和Fidel LW估值器p=10k，k∈ {1，…，20}，c=2，∑=pI，重复1000次。在这种情况下，图2显示，OLSE估计器的性能比∑=1/pI构造的OLSE估计器提高了约40%。

值得注意的是，oracle和Bonafide OLSE估值器都主导了相应的oracle和Bonafide估值器，其计算值为∑=1/pI。请注意，由于先验∑，这两个估计器现在拥有不同的预言。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●50 100 150 200 60 70 80 90 100矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100真正的OLSE，∑0真正的OLSE，i pOracle OLSE，∑0 oracle OLSE，i p图4：oracle的PRIALs和真正的OLSE估值器，∑=1/pI，∑如（4.8）中给出的p=10k，k∈ {1，…，20}和c=2，1000次重复。在c=2的情况下也可以观察到类似的情况。这里，特征值的比例1渐近等于-C-1=0.5，即50%（见Bai和Silverstein（2010））。在图3和图4中，我们展示了蒙特卡罗模拟的相应结果。图3显示，先验∑=1/pI的总体协方差矩阵的衍生估计量渐近地与Ledoit和Wolf（2004）的线性收缩相同。值得注意的是，OLSE估计器的整体性能明显优于c=1/3的情况。图4显示了当从（4.8）中考虑光谱分离的附加信息时的情况。这里，∑的频谱由h∑（t）=1/3δ[1]确定，∞)（t） +1/3δ[2，∞)（t） +1/3δ[60，∞)（t） 。检测到约20%的优势。

这意味着关于总体协方差矩阵的谱分离信息对于选择OLSE估计的先验目标矩阵起着重要作用。因此，当目标矩阵∑偏离识别矩阵时，它对OLSE估计量有积极影响，并能显著改善。最后，我们注意到最优线性收缩估计量（4.2）似乎是Ledoit和Wolf（2004）提出的线性收缩估计量的一个很好的推广和修正，也是样本协方差矩阵的一个很好的替代品。即使尺寸P大于样本量n.5，这仍然是正确的。在本节的实证研究中，我们将协方差矩阵的衍生估值器应用于真实数据，这些数据包括标普500指数（Standard&Poor’S 500）所列431项资产的每日资产回报，这些资产在2004年1月13日至2014年1月10日的整个期间内交易。标准普尔500指数是根据500家在纽约证券交易所或纳斯达克上市的大公司的市值计算得出的。被考虑资产的数量反映了高维投资组合问题的共同点。接下来，我们分析投资组合大小和样本大小对基于导出的OLSE和样本协方差矩阵的总体协方差矩阵的Frobenius范数和最大最小特征值的估计量行为的影响。在图5中，我们给出了p=156和n情况下的结果∈ {104130195312}这导致了c∈ 分别为{0.5,0.8,1.2,1.5}。由于资产的选择不是唯一的，我们在这里随机抽取431项资产中的156项，并生成10种不同的投资组合。在图6和图7中，显示了几个p值的结果∈ {50, 100, 200, 300}. 样本量n是这样的∈ (0, 3).

对于图中的每个点，最大（最小）特征值是基于随机选择的组合计算的，其维度为p.0.00010 0.00014 0.00018 0.000220.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累积分布函数，c=0.5 xFn（x）真实奥尔斯，i pSample0。00010 0.00015 0.00020 0.00025 0.00030 0.000350.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累积分布函数，c=0.8 xFn（x）真实奥尔塞，i i样本1e-04 2e-04 3e-04 4e-040.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累加分布函数，c=1.2 xFn（x）真正的OLSE，i i pSample1e-04 2e-04 3e-04 4e-04 5e-040.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累积分布函数，c=1.5 xFn（x）真实OLSE，i示例图5：OLSE的弗罗贝尼乌斯范数和样本协方差矩阵的经验分布函数。图5提供了在10个随机选择的p=156维度投资组合的情况下，theOLSE的Frobenius范数和样本协方差矩阵的经验分布。在这里，我们观察到OLSE的Frobenius范数一致地小于样本协方差矩阵的范数。这个结果适用于所有考虑的c值∈ {0.5, 0.8, 1.2, 1.5}.这与定理3.2的结果一致，定理3.2证明了样本协方差矩阵的Frobenius范数渐近高估了相应的总体值。在图6和图7中，我们分析了OLSE最小和最大特征值的行为以及协方差矩阵的样本估计量。最小特征值情况下的结果在金融学中非常重要，因为协方差矩阵的最小特征值直接与全球最小方差投资组合的方差有关，这在投资组合理论中非常普遍（参见Frahm和Memmel（2010））。

我们观察到，与样本协方差矩阵相比，OLSE使最大特征值变小，而最小特征值变大。这个结果允许我们纠正投资者在使用样本协方差矩阵构造全局最小方差时对风险的过度乐观。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=50 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=100 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=200 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=300 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，图6：OLSE和样本协方差矩阵的最大特征值。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=50 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=100 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=200 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=300 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，图7：OLSE和样本协方差矩阵的最小特征值。6.总结本文考虑了大维协方差矩阵的估计问题。这种情况在文献中被称为大维度症状，它包括变量p的数量→ ∞ 而samplesize n→ ∞ 所以p/n→ C∈ (0, +∞).