关于最优线性收缩估计的强收敛性

这里，我们构造了协方差矩阵的最优线性收缩估计（OLSE），它几乎肯定具有最小的Frobenius损失。并与Ledoit和Wolf（2004）构造的线性收缩估计进行了比较。当总体协方差矩阵上有一些额外的先验信息可用时，可以获得显著的改善。7.附录这里给出了定理的证明。定理3.1的证明。证据为了证明定理3.1，我们使用MP方程（2.7）。在我们继续之前，我们重写所有z的PTR（Sn）∈C+以下列方式ptr（Sn）=-zptr（Sn）- 1/zI）-1zz=0=-Z最惠国待遇（1/z）zz=0，（7.1），其中mFn（1/z）是（2.5）中引入的斯蒂尔杰斯变换。从理论2。1我们知道，最惠国待遇（1/z）几乎肯定倾向于满足MP方程（2.7）的非随机mF（1/z）。利用这一事实，并表示Θn（z）=mFn（1/z）z，我们得到Θn（z）几乎肯定趋向于Θ（z）=mF（1/z）z，这是下列方程Θ（z）的唯一解=+∞Z-∞zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1dH（τ）。（7.2）在我们继续讨论Θ（z）对z的二阶导数之前，它表明，计算中出现的量Θ（z）、Θ（z）和Θ（z）有界于零。首先，我们指出（7.2）中积分符号下的极限可以通过应用支配收敛定理，结合H是概率测度和Θ（z）的有界性，安全地移动。更准确地说，让m（z）=-z（1）-c） +cmF（1/z）并按以下方式重写（7.2）Θ（z）=-+∞Z-∞τm（z）+1dH（τ），（7.3），其中函数m（z）是r+上正测度的另一个斯蒂尔杰斯变换（见Silverstein（1995））。因此，使用不等式（见Rubioand Mestre（2011，引理6））τm（z）+1≤ τ| z | Im（z）（7.4）我们得到τm（z）+1≤|z | Im（z）。

（7.5）现在，在不失去普遍性的情况下，我们构造了复杂序列zk=ihksuch，hk→ 0+作为k→ ∞. 请注意，对于我们的框架来说，z的实部并不重要，这就是为什么在不丧失一般性的情况下，我们将其设为零。因此τm（zk）+1≤|zk | Im（zk）=hkhk=1。（7.6）因此，利用（7.3）中积分下的函数被概率测度H下的可积函数所限定的事实，以及支配收敛定理，我们可以移动极限z→ 积分符号（7.2）下的0+。它导致Θ（0）≡ 林茨→0+Θ（z）=-1.如果limz→0+zΘ（z）<∞. （7.7）最后一个不等式是正确的，因为如果limz→0+zΘ（z）=∞ 然后从（7.2）我们得到了limz→0+Θ（z）=0。这就导致了林茨→0+zΘ（z）=0，这与limz的陈述相矛盾→0+zΘ（z）=∞.对Θ（z）=-+∞Z-∞τ((1 - c）- cΘ（z）- czΘ（z））（zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）。（7.8）在（7.8）中我们得到Θ（z）1.- cz+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）(7.9)=-(1 - c） +cΘ（z）+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）。由于Θ（0）<∞, 我们观察到（7.9）的右手边被限定为零，因此左手边倾向于Θ（0）作为z→ 0+. 它导致Θ（0）≡ 林茨→0+Θ（z）=-+∞Z-∞τdH（τ）。（7.10）接下来，我们推导Θ（z）。LetM（z，τ）=-（zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1） （7.11）N（z，τ）=τ（（1）- c）- cΘ（z）- czΘ（z））。可以用下面的方式重写=+∞Z-∞N（z，τ）M（z，τ）dH（τ）++∞Z-∞M（z，τ）N（z，τ）dH（τ），（7.13），其中M（z，τ）=-2M（z，τ）N（z，τ）zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1） （7.14）N（z，τ）=τ-2cΘ（z）- czΘ（z）.

（7.15）从（7.13）我们得到Θ（z）1.- cz+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）（7.16）=2cΘ（z）+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）++∞Z-∞M（z，τ）N（z，τ）dH（τ）。以极限为z→ （7.11）、（7.12）和（7.14）中的0+以及使用（7.10）和（7.7）我们得到了limz→0+M（z，τ）=-1，（7.17）林茨→0+N（z，τ）=τ，（7.18）limz→0+M（z，τ）=-2τ . （7.19）因此，从（7.16）和（7.17），（7.18），（7.19），（7.10）和（7.7）我们得到Θ（0）<∞ 和Θ（0）≡ 林茨→0+Θ（z）=-2c+∞Z-∞τdH（τ）- 2+∞Z-∞τdH（τ）。（7.20）现在定理3.1的结果来自（7.1），（7.2）和（7.20）。定理3.2的证明。证据为了证明定理3.2的陈述，我们使用Rubio和Mestre（2011）的下列引理。引理7.1。[Lemma 4，Rubio and Mestre（2011）]设{ξ，…，ξn}是一个i.i.d.实随机向量序列，对于某些ε>0，具有零均值向量、恒等势矩阵和一致有界的4+ε矩，并且设Cn是一些非随机矩阵（可能是随机的，但独立于ξn），具有有限的迹范数。然后nnXi=1ξiCnξi- tr（中国）-→ 0 a.s.作为n→ ∞. （7.21）接下来，我们通过考虑以下两个量η=ptr（SnΘ）=nnXi=1xi的共有行为，直接开始定理3.2的证明pΘ1/2∑nΘ1/2xi（7.22）η=p | | Sn | F=ptr（Sn），（7.23），其中xi是（2.2）中定义的矩阵Xnde的第i列。首先，我们证明forpn→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞ 以下断言成立η-ptr（∑nΘ）-→ 0 a.s.代表n→ ∞. （7.24）对于引理7.1的应用，我们必须证明矩阵xpΘ1/2∑nΘ1/2的迹范数是有界的。它认为（见Fang等人（1994））pΘ1/2∑nΘ1/2tr=ptr（Θ1/2∑nΘ1/2）=ptr（Θ∑n）≤tr（Θ）τmax（∑n）p，（7.25），其中τmax（∑n）表示矩阵∑n的最大特征值。最后，利用假设（A5），我们推导了矩阵xΘ1/2∑nΘ1/2的迹范数的有界性。

因此，使用引理7.1我们得到了语句（7.24）。接下来，我们证明定理3.2的主要结果，即下面的陈述η-P||∑n | | F+cp |∑n | | tr-→ 0 a.s.forpn→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞.（7.26）为了证明（7.26），我们使用定理3.1的结果。首先，我们通过以下方式通过三角形不等式改写（7.26）中的差异η-P||∑n | | F+cp |∑n | | tr≤η- φ+φ -P||∑n | | F+cp |∑n | | tr,（7.27）其中φ=+∞R-∞τdH（τ）+c+∞R-∞τdH（τ）如定理3.1所示。接下来我们将展示（7.27）的右边几乎肯定会消失为n→ ∞.利用定理3.1，我们立即得到（7.27）中的第一项成立η- φ-→ 0 a.s.代表n→ ∞ （7.28）（7.27）中的第二项是非随机项。接下来，我们证明当n时它接近于零→ ∞. 由于假设（A3），它认为在H（t）的所有连续点上，Hn（t）趋向于H（t）。因此，p |∑n | | F=ptr（∑n）=ppXi=1τi=+∞Z-∞τdHn（τ）n→∞-→+∞Z-∞τdH（τ）。（7.29）由于假设（A5）（7.29）中的积分存在。类似地，它可以表示p | |∑n | | trn→∞-→+∞Z-∞τdH（τ）. （7.30）从（7.29）和（7.30）中得出：φ -P||∑n | | F+cp |∑n | | tr-→ 0代表n→ ∞. （7.31）因此，（7.28）和（7.31）完成了定理3.2的证明。感谢作者感谢审稿人和编辑的建议，这些建议改进了论文的陈述。第一作者得到德国科学基金会（DFG）1735研究单位“统计学中的结构推理：适应性和效率”的部分支持。他还感谢德国科学基金会（DFG）通过项目BO3521/2-2和OK103/1-2“统计和计量经济学中的Wishart过程：理论和应用”提供的财政支持。参考文献[1]Bai，J.和S.Ng（2002）。在近似因子模型中确定因子的数量，计量经济学70191-221。[2] 白，J.（2003）。

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