财务收益和收益的半参数条件分位数模型

（2） 其中RT+1=Xt+1- Xt，vt，M=（QV1/2t，M，QV1/2t-1，M。。。，IV1/2t，M，IV1/2t-1，M。。。，JV1/2t，M，JV1/2t-1，M，…），zt是弱外生变量的向量，β（α）、βv（α）、βz（α）是要估计的系数向量。方程（2）是Koenker&Bassett（1978）提出的线性分位数回归。它们表明，可以通过最小化以下目标函数QRT，M（β（α））来估计参数≡TTXt=1ρα（rt+1- β(α) - βv（α）vt，M- βz（α）zt，（3）式中ρα（x）=（α- 1{x<0}）x和β（α）=（β（α），βv（α），βz（α））。尽管优化问题不采用封闭形式的解决方案，但可以使用相对简单且计算速度较快的算法来确定最小值，见Portnoy&Koenker（1997）。小样本中可能出现的一个潜在问题是所谓的分位数交叉，即不能保证估计的分位数在α中是单调的。2010年，由于Herchin和Zhunokov最近开发了这一方法，因此可采用该方法。在本文后面报道的实证应用中，量子交叉从未出现。3.2已实现波动率的模型由Corsi（2009）开发并由Andersen等人（2007）扩展的已实现波动率的非齐次自回归模型（HAR）的成功所启发，我们编写了已实现二次变量RVt+1，Masqα（RVt+1，M）的条件α分位数|Ohmt） αvt+v5αvt+v5βvt+v5-5，M+βv22（α）vt，t-22，M+βz（α）zt（4），其中vt，t-k、 M=kk-1Xj=0vt-j、 Mis过去k天的平均vt，以及之前的一组回归系数。我们称这种模型为异质自回归分位数模型（HARQ）。

注意，对于一个特殊的回归变量选择，即vt，M=（RVt，M，RVt-1，M。。。，RVt-k、 M）对于某些k，该模型属于Koenker&Xiao（2006）研究的分位数自回归（QAR）类，然后HARQ简单地成为QAR模型的限制版本。等式（4）中的通用模型在参数上是线性的，因此，如前一小节所述，估计沿着同一条线进行。4测量误差问题上一节中提出的分位数回归模型基于已实现的测量，而不是价格变化的真实、未观察到的组成部分。已实现测度的渐近理论表明，随着日内观测数量的无约束增长，已实现测度接近其未观测的对应项，与已实现测度相关的测量误差也接近于零。因此，在某些条件下，渐近地获得真二次变量或其任何分量的条件分位数是可行的。这是否可取取决于手头的应用程序。例如，如果目标是估计方差互换头寸的风险价值，则无需担心测量误差问题，因为目标是估计以方差互换合同规定的最佳采样频率计算的已实现波动率的分位数，即qα（RVt+1，M|Ohmt） 对于一些固定的M。

然而，如果目标是估计未来资产收益率波动的分位数，则需要确保测量误差的影响消失，以便确实获得真实二次变化的分位数qα（QVt+1）|Ohmt） ，而不是实现波动性。在本节中，我们提供了充分的条件，以确保基于已实现测度的可行目标函数QRT，M在参数空间中基于二次变化的真实未观测分量以概率收敛于不可行目标函数QRT。如果满足这些条件，我们将渐近地获得二次变量的期望分位数qα（QVt+1）|Ohmt） ，而不是已实现的方差，qα（RVt+1|Ohmt） 。有效条件取决于与已实现测量相关的测量误差的性质，而这又取决于驱动对数价格的波动和跳跃过程的行为，以及需求的相对增长率。为了建立渐近等价性，我们遵循了Corradi、Distaso和Swanson（2011）的双重渐近方法，他们使用已实现测度研究了积分方差条件分布的完全非参数估计。通过这样做，他们建立了一些关于测量误差矩衰减率的有用结果，这些测量误差与许多已实现的测量有关。

我们将这些结果推广到存在跳跃的已实现波动率和中值已实现波动率的情况，并利用这些结果证明了条件分位数估计的测量误差的可忽略性。我们需要以下假设：（A1）对数价格过程遵循（1）ut≡ 0，（A2）波动过程{σt}是一个具有大小的强混合过程-2r/（r）- 2） ，r>2满意[（σt）2（k+r）]<∞, 跳跃大小满足E[κ2k]<∞ 为了一些k≥ 2.（A3）计数过程LTI是一个泊松过程，强度严格稳定。假设A1规定了数据生成过程。为了简化证明，我们假设漂移等于零。假设A2和A3确保与IVt、Mand JVt、Mexist和衰变相关的测量误差矩足够快，如下引理所示。假设A1-A2下的引理1，E[|N（c）t，M | k]=O（M）-k/2）。此外，如果A3保持E[|N（d）t，M | k]=O（M-k/2）。证据见附录。引理的第一个结果与Corradi等人（2011年）的引理1相同，他们在许多不同的综合方差实现度量中证明了这一点。此外，假设A3允许我们根据已实现方差和中值已实现方差之间的差异，建立跳跃方差测量的类似结果。给定引理1，我们得到以下结果：假设（A1）-（A3）下的命题1，如果T2k-1米-1/2→ 0作为T，M→ ∞ Θ是一个紧参数空间，然后是supβ∈ΘQRT，M（β）- QRT（β）|p→ 0.证据见附录。该命题表明，由于与综合方差和跳变的实际测量相关的测量误差在极限内退化，日内观测数（M）的增长必须快于（T）的幂。M增长的速度取决于波动和跳跃过程所拥有的时刻数。

如果所有时刻都存在（即k=∞), 我们得到的直观结果是，测量误差的贡献完全由离散化（有限M）驱动，即有M→ ∞ 不管这相对于T发生得有多快→ ∞.我们无法为任何k建立这种直观结果的原因≥ 2是因为标准平均值参数不适用，因为目标函数不可微分。为了避免这个问题，我们必须确保supt | IVt，M- IVt |和supt | JVt，M-JVt |衰减非常快，这又取决于k以及M和T的相对增长率。5竞争条件分位数模型为了评估本文中提出的线性分位数回归模型的相对性能，我们考虑了两个成熟的基准模型。根据裁判员的建议，我们将回报回归与Engle和Manganelli（2004）提出的鱼子酱模型进行了比较，该模型由各种已实现指标和期权隐含波动率以及Andersen et al.（2003）的对数正态混合进行了增强。我们还将后一种模型用作已实现波动率分位数回归的基准。5.1 CAViaREngle和Manganelli（2004）提出了一个动态非线性分位数回归模型，即所谓的CAViaR，用于每日资产回报分位数qt（θ），其中θ是待估计参数的向量。他们考虑了qt（θ）的四种不同规格，其中两种我们在这里使用：对称绝对值：qt+1（θ）=β+βqt（θ）+β| rt |+γxt，（5）不对称斜率：qt+1（θ）=β+βqt（θ）+β（rt）+β（rt）-+ γxt-1，（6）式中（rt）+=rt1{rt≥ 0}和（rt）-= rt1{rt<0}。在鱼子酱模型的应用中，有两件事是新颖的。首先，我们将线性回归中使用的各种已实现测度和隐含波动率纳入鱼子酱方程，称为增强模型已实现鱼子酱。

其想法是，与绝对回报相比，这些变量更能代表过去的回报波动率，因此，应改善带有γ的基准鱼子酱模型的预测性能≡ 0.由于已实现指标和期权隐含波动率比绝对回报更持久，因此将其纳入模型也可能会减少或完全消除滞后分位数qt（θ）的影响。其次，我们使用已实现的鱼子酱模型不仅预测每日收益，还预测5天和10天收益。我们采用直接预测方法，直接将模型转换为5天和10天收益，而不是使用1天收益的模型生成5天和10天分位数预测。通过这种方式，可以直接从已实现的鱼子酱方程中获得多日预报，我们不必为进入鱼子酱递归的各种滞后变量写下和估计单独的方程。据我们所知，这是首次将鱼子酱模型应用于多日分位数预测。与线性分位数回归类似，可以通过最小化qt（θ）=TTXt=1（α）给出的检查函数来估计实现的鱼子酱- 1{rt<qt（θ）}）（rt- qt（θ））。（7） 然而，由于模型的非线性性质，不存在解决该优化问题的简单算法，我们采用Engle and Manganelli（2004）提出的相当复杂的程序。计算鱼子酱参数估计的标准误差需要选择带宽（见Engle和Manganelli，2004），目前没有可用于最佳选择的程序。

我们继续计算一系列带宽值的标准误差，选择标准误差相对稳定的区域，并报告与该区域带宽对应的标准误差。5.2长记忆对数正态混合我们回归模型的第二个基准和已实现挥发性模型的基准是Andersen等人（2003）提出的对数正态混合模型：rt=RV-1/2吨，米t、 （8）（1）- φL）（1- 五十） dlog RVt，M=（1- ψL）ut（9）式中tis iid标准正常和utis iid N（0，σu）独立于t、 在该模型中，对数已实现波动率遵循高斯ARFIMA（1，d，0）过程，因此已实现波动率是无条件对数正态分布的，而收益率是有条件高斯和无条件混合高斯分布的。我们使用最大似然法将模型与每日收益率和实际波动率进行拟合。可以通过分析获得收益率和实际波动率的提前一天分位数预测，但必须模拟多日预测，因为对数正态随机变量总和的分布函数不是封闭形式。6分位数预测的评估我们使用Berkowitz、Christo Offersen&Pelletier（2011）的CAVIAR测试评估各种条件分位数模型的绝对性能，该测试是Engle&Manganelli（2004）的DQtest的一个版本。特别是，我们定义了一个“命中”变量HITT+1=1{rt+1≤ qα（rt+1）|Ohmt） }，这是一个二进制变量，如果违反条件分位数，则取值为1，否则取值为0。如果条件分位数是正确动态指定的，那么序列我们感谢Simone Manganelli提出这种方法。点击次数应为iid贝努利分布，参数为α。为了验证这一假设，Berkowitz等人。