随机时间内测量值的变化：详细信息

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英文标题：
《Change of measure up to a random time: Details》
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作者：
D\\\"orte Kreher
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper extends results of Mortimer and Williams (1991) about changes of probability measure up to a random time under the assumptions that all martingales are continuous and that the random time avoids stopping times. We consider locally absolutely continuous measure changes up to a random time, changes of probability measure up to and after an honest time, and changes of probability measure up to a pseudo-stopping time. Moreover, we apply our results to construct a change of probability measure that is equivalent to the enlargement formula and to build for a certain class of pseudo-stopping times a class of measure changes that preserve the pseudo-stopping time property. Furthermore, we study for a price process modeled by a continuous semimartingale the stability of the No Free Lunch with Vanishing Risk (NFLVR) property up to a random time, that avoids stopping times, in the progressively enlarged filtration and provide sufficient conditions for this stability in terms of the Az\\\'ema supermartingale.
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中文摘要：
本文将Mortimer和Williams（1991）关于概率测度变化的结果推广到随机时间，假设所有鞅都是连续的，且随机时间避免停止时间。我们考虑了随机时间内的局部绝对连续测度变化，诚实时间内和诚实时间后的概率测度变化，以及伪停止时间内的概率测度变化。此外，我们应用我们的结果构造了一个等价于放大公式的概率测度变化，并为某类伪停止时间构造了一类保持伪停止时间性质的测度变化。此外，我们还研究了一个由连续半鞅建模的价格过程，在逐步扩大的过滤中，具有消失风险的非免费午餐（NFLVR）性质在随机时间内的稳定性，该性质避免了停止时间，并根据Az挈ema上鞅提供了这种稳定性的充分条件。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
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关键词：详细信息 测量值 Applications Quantitative Differential

随机时间内的测量值变化：DE TAILSD–ORTE KREHERAbstract。本文将Mortimer和Williams（1991）关于概率测度变化的结果推广到随机时间，假设所有鞅都是连续的，且随机时间避免停止时间。我们考虑了随机时间内的局部绝对连续测度变化，诚实时间前后的概率测度变化，以及概率测度到某个时间点的变化。此外，我们应用我们的结果构造了一个等价于放大公式的概率测度变化，并对某类伪停止时间构造了一类保持伪停止时间性质的测度变化。此外，我们研究了一个由连续半鞅建模的价格过程，在逐步扩大的过滤过程中，具有消失风险的非免费午餐（NFLVR）性质在随机时间内的稳定性，该性质避免了停止时间，并根据Az’ema上鞅为这种稳定性提供了充分的条件。1.引言受物理和化学模型的启发，Mortimer和Williams（1991）研究了如何在过滤概率空间上执行测量值的变化，直至达到随机时间σ(Ohm, F、 （英国《金融时报》，第页）。更准确地说，在他们题为“测量到随机时间的变化：理论”的论文中，他们在逐步扩大的filtrationg′t=Ft中导出了连续（P，Ft）-鞅到时间σ的半鞅分解∨ σ{σ>s}；s≤ T在等价概率测度Q下，给出了σ的（Q，G′t）危险函数的表达式。为了证明他们的结果，他们使用了基本的方法，不依赖于扩大过滤的理论。

此外，Mortimer和Williams（1991）在其论文中声称，“正是这些例子使这个话题引起了一些兴趣”，但他们提供的唯一两个例子涉及标准布朗运动的著名路径分解。在本文中，我们用几种方法扩展了它们的结果，并给出了在σ避免停止时间且所有（Ft）-鞅都是连续的假设下工作的有趣的例子类。正如Mortimer和Williams（1991）所说，我们不依赖过滤放大理论的任何深刻结果，而是选择一种只使用基本方法的直接方法来证明我们的结果。首先，我们将他们的结果推广到阿兰多姆时间内测度e的局部绝对连续变化，这允许我们构造一个概率测度的变化，它等价于时间σ的放大公式。其次，我们研究了诚实时代概率测度的变化。自巴洛（Barlow，1978）的开创性工作以来，诚实时间非常适合逐步扩大过滤，因为在这种情况下，所有（Ft）-半鞅仍然是整个时间范围内扩大过滤中的半鞅。因此，如果σ是一个诚实的时间，我们可以在时间σ之后推广Mortimer和Williams（1991）的Girsanov型定理。而结果本身并不是日期：2016年8月16日。关键词和短语。随机时间、测量值的变化、过滤的逐步扩大、NFLVR。SNF赠款137652和CRC 649的财务支持：感谢您的经济风险。

作者丹克斯·阿什坎·尼科巴里、莫妮克·珍布兰科、菲利普·普罗特，以及一位匿名审稿人，感谢他们对手稿的批判性阅读，以及他们的有益评论和评论。非常令人惊讶的是，我们证明这一点的方式很有趣，因为正如Mortimer and Williams（1991）所说，我们没有假定对过滤放大理论有任何先验知识。事实上，事实证明，所谓的相关鞅有一个很好的联系，Az’ema、Meyer和Yor（1992）对其进行了研究。第三，我们研究了Nikeghbali和Yor（2005）引入的伪停车时间测量值的变化。由于有限值诚实时间是可选集的终点，它们的定义独立于潜在的概率度量。然而，ps eudo停止时间并非如此。因此，一个有趣且具有挑战性的问题是分析不同概率测度下伪时间性质的稳定性。对于一类特殊的伪停止时间，我们可以提供一类保持伪停止时间性质的等价概率测度。最后，我们还推广了Mortimer和Williams（1991）给出的布朗路径分解的例子。与Mortimer和Williams（1991）对此示例进行了马尔可夫研究不同，我们的分析仅基于半鞅演算，并使用了与诚实时间相关的一类伪停止时间的Az’ema Supermartingale的特殊结构。本文的最后一部分讨论了随机时间内的无套利问题。由于用随机时间逐步扩大过滤的技术是数学金融中模拟信用风险和内部交易的标准工具，因此这个问题特别有趣。

在最近的文献中，根据价格过程、随机时间和精确无风险概念的不同假设，在几篇论文中讨论了这一问题，参见Fontana、Jeanblanc和Song（2013）；Acciaio、Fontana和Kardaras（2016年）；Aksamit、Choulli、Deng和Jeanblanc（2014年）。具体来说，我们假设股票价格过程由连续（Ft）-半鞅建模，来处理以下问题：如果市场满足关于过滤（Ft）的“无风险消失的免费午餐”（NFLVR）条件，那么在什么条件下市场也满足关于逐渐扩大的过滤的NFLVR，直到时间σ？例如，众所周知，诚实时间允许在逐步扩大的过滤中的时间范围[0，σ]进行套利，参见Fontana，Jeanblanc，an d Song（2013）。在本文中，我们考虑了一个避免（Ft）-停止时间的任意随机时间σ，并在假设所有（Ft）鞅是连续的情况下，导出了NFLVR在时间σ之前有效性的有效准则。为此，我们选择了两种不同的方法：首先，我们直接研究NFLVR的定义，而在第二种方法中，我们在放大的过滤中确定局部鞅的定义，并检查在什么条件下它是一致可积鞅，这将不关紧要地表明，由于资产定价的基本定理，NFVLR在时间σ之前是满足的。本文的结构如下：在下一节中，在介绍了一般设置和符号之后，我们回顾了[20]中的结果，并给出了一些关于eof的第一个推论。在第2.3小节中，我们还介绍了Az’Ema超鞅的乘法分解，这将在本文中经常使用。第3节讨论局部绝对连续测度。

之后，我们专门分析了第4节中的诚实时间类和第5节中的伪停止时间类。第6节概括了[20]中给出的示例。最后，在第7节中，我们考虑了在随机时间内无套利的问题，并提供了有效的标准，以证明NFLVR在时间σ之前逐步扩大的过滤中的有效性。一般理论2。1.设置和符号。在本文中，我们研究的是一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），其中（Ft）假设满足自然条件，即（Ft）是右连续的，且f包含所有σ-可忽略集。这里是a的子集 Ohm 如果存在序列（Bn）n，则称为σ-negligiblei≥0的su B集合Ohm 以至于锡∈所有人都是如此∈ N、 Bn∈ fnp（Bn）=0。[21]中显示，在自然条件下，任何鞅都允许c`adl`ag修改，我们将始终在下面讨论这种修改。如果（Xt）是实值随机过程，我们用Xt:=sups表示≤tXsand Xt:=infs≤tXs，t≥ 0，它的最高值。在最短的过程中，通过TXa=inf{t>0:Xt=a}获得a级的第一次命中时间∈ R.注意，在自然假设TXA是一个停止时间的情况下，ifX是一个正确的连续适应过程，参见[21]。此外，M（P，Ft）分别表示（P，Ft）-鞅和d Mloc（P，Ft）的集合。穆。i、 （P，Ft）本地响应的集合。统一可积（P，Ft）-鞅。最后，我们用σ表示：Ohm → [0, ∞] 我们表示一个F-可测量的随机时间，它会导致逐步扩大的过滤gt:=\\s>t财政司司长∨ σ（{σ>r}；r≤ （s）.在本文中，我们将假设以下两个假设得到满足：（A）σ避免任何（Ft）停止时间：P（σ=T）=0表示任何（Ft）停止时间T。（C） 所有（Ft）-鞅都是连续的。我们用ZPt表示：=P（σ>t | Ft）σ的Az’ema上鞅。

它分解为asZPt=mPt- APtwith mPt=EP（AP∞|Ft）是一致可积鞅，（APt）是过程（{σ）的（Ft）-对偶可选投影≤t} ）t≥0.我们注意到，在假设（C）下，（{σ）的对偶可预测投影≤t} ）t≥0，因为在这种情况下，与（Ft）相关的可预测和可选西格玛场重合。此外，请注意，在假设（AC）下，Az’ema supermartingale是连续的，ZPt=mPt-因此，它的Doob Meyer分解。关于双重选择和双重可预测预测预测的定义和性质，我们请读者参阅[12]第VI.2章。设ρ为非负F-可测随机变量，期望值为1。那么Q:=ρ。定义了一个新的概率度量，它与P绝对连续。我们用（ρt）表示。（eρt）ρ在（Ft）上的选择投影。（Gt）满足所有t≥ 0，ρt:=EP（ρ| Ft），eρt:=EP（ρ| Gt），其中（eρt）被选择为c`adl`ag，并且（ρt）由于（c）而连续。此外，我们还定义了（P，Ft）-超马氏体：=EP（ρ{σ>t}| Ft），t≥ 0.根据Bayes的公式一hasht=ρt·Q（σ>t | Ft）=：ρtZQt。由于σ避免了停车时间，P（σ=∞) = 0和σ几乎肯定是有限的P。因此，ZPand和h几乎都像t一样向零收敛→ ∞.如果h是严格正的，我们用μ表示h的随机对数，即ht=e（u）t。过程μ又是一个（P，Ft）-上鞅，Doob-Meyer分解μ=uL-uF，其中uL∈ Mloc（P，Ft）和uFis增加。此外，h、u、uL和uL都是连续的。如果h不是严格正的，那么过程u，因此也是uLandu，只在随机区间[0，Th]上定义得很好。2.2.Girsanov型orems。我们现在准备回忆[20]引理2的结果。定理2.1。假设h是严格正的，让U=（Ut）t≥0可以是局部（P，Ft）鞅。

然后是过程{σ>t}Vtexp（uFt）T≥0是局部（Q，Gt）-鞅，其中v:=U- 胡，我。此外，这个过程uFt∧σT≥0是（{σ）的（Q，Gt）-对偶可预测投影≤t} ）t≥0.证明。在[20]中，G′t=Ft证明了这一说法∨σ{σ>s}；s≤ T而不是上面定义的GT。然而，由于（G′t）-鞅仍然是关于（G′t）的右连续增广（Gt）的鞅，因此这个断言很容易理解。作为上述结果的直接结果，我们推导出推论2.2。假设h是严格正的。如果你∈ Mloc（P，Ft），然后VT∧σ=Ut∧σ- 胡，好的∧σ∈ Mloc（Q，Gt）。证据带你去≡ 定理2.1中的1得到thattht:={σ>t}expuFt∈ Mloc（Q，Gt）。因为V是连续的，[H，V]≡ 因此，乘积HV是局部（Q，Gt）-鞅当且仅当V也是局部（Q，Gt）-鞅只要Ht-> 0，即在区间[0，σ]上。备注2.3。如果我们选择ρ≡ 1在上述推论中，我们恢复了截至时间σ的扩大公式（参见[11]，第XX.76段）：对于任何M∈ 我们有100万吨∧σ-Zt∧σdhM，ZPisZPs=Mt∧σ-Zt∧σdhM，mPisZPs∈ Mloc（P，Gt）。备注2.4。在[20]中，作者证明了他们的结果，但没有应用任何来自渐进式扩大过滤理论的结果。当然，推论2.2也可以通过应用Firs t Girsanov定理和Q下的放大公式来实现。对于所谓的诚实时间，这在第XX段中完成。在[11]的第81页中，在不依赖假设（AC）的情况下，证明了上述结果的更一般版本。接下来，我们证明定理2.1也成立，如果h不一定严格正。定理2.5。如果U=（Ut）t≥0是局部（P，Ft）-鞅，然后Xt:={σ>t}Vtexp（uFt）和Vt∧σ是局部（Q，Gt）-鞅，其中Vt∧σ=Ut∧σ- 胡，好的∧σ.证据首先我们在Q处显示thσ<Th= 1.对于本注释，Th=Tρ∧ TZQbecauseht=ρtZQt。

但是我们有q（Tρ<∞) = EPρ{Tρ<∞}= EPρ∞{Tρ<∞}= EP0·{Tρ<∞}= 0.由于σ避免了P下的停止时间，且Q与P绝对连续，因此Q（σ=Th）=0且σ也几乎肯定是Q-有限的。因此，Qσ ≥ Th= Qσ>Th= Qσ>TZQ= EQZQTZQ=0。特别是，这意味着X是Q-a.s.定义得很好，因为μ在间隔[0，Th]上定义得很好。对于每n秒∈ N我们写Unt:=Ut∧Th1/n，t≥ 0.根据定理2.1，过程Xnt:=Xt∧Th1/nis每n的局部（Q，Gt）-鞅∈ 因此，X是区间上的一个局部（Q，Gt）-鞅第0位=锡∈Nh0，Th1/niand自第0位 [0，σ]Q-几乎可以肯定的是，这个影响在于xt={σ>t}vtex（uFt）∈ Mloc（Q，Gt）。最后∧σ） 是一个局部（Q，Gt）-鞅，其推理与循环2.2的证明相同。2.3. Az’ema上鞅的乘法分解。在进行进一步的扩展和应用之前，我们在本小节中介绍了Az’ema supermartingale的所谓It^oWatanabe分解，这将在以下章节中经常使用。由于它比Doob Meyer分解更不为人所知，webrie很容易回忆起[14]中结果的连续版本，参见[5]。定理2.6。设Z是Doob Meyer分解Z=m的连续非负上鞅- A.然后Z分解为唯一的Z=ND，其中N是一个从N=1开始的连续非负局部鞅，D是一个连续递减过程，使得N和D在集合{Z=0}上都是常数。此外，Nand D由dt=Zexp给出-Zt∧Tzdasz！，Nt=EZt∧TZdmsZs！。备注2.7。如果Z=ZPis是σ的Az’ema上鞅，那么zpt=0<=> 邮电部- APt=EP（AP）∞- APt | Ft）=0<=> APt=APs s≥ t、 因为API是一个不断增长的过程。因此，APand MPO仅在集合{ZP>0}上移动。因此，在这种情况下，processesDPt=exp-ZtdAPsZPs, NPt=EZtdmPsZPs定义明确且供应充足（dDP） {ZP>0}resp。

供应（dhNPi） {ZP>0}。此外，考虑到分解ZP=NPDPwe，我们可以在放大公式（1）中用ZpB替换NPP，因为它的乘积公式为：对于任何M∈ Mloc（P，Ft），我们有（2）公吨∧σ-Zt∧σdhM，NPisNPs∈ Mloc（P，Gt）。注意，如果所有t的ZPt>0 a.s≥ 0可以写入ZPt=NPt·exp(-这里是∧Pt:=-ln（DPt）在信用风险文献中被称为强度过程。因此，该过程在信用风险建模中特别重要。然而，强度和过程取决于潜在的概率度量。因此，人们可能想知道，在强度过程不变的情况下，概率测度是否存在变化。下面的定理回答了这个问题。定理2.8。假设ρ>0 P-a.s.，并且（eρt）是连续的。如果ZP=NPDPandZQ=nqdenote，则P和Q下σ的Az’ema上鞅的It^o-Watanabe分解，则DPt=DQta。s、 尽管如此，t≥ 0.备注2.9。直观地说，为了通过概率测度的变化影响σ的强度，（Gt）-氡Nikodym密度（eρt）应该包含一个关于不连续鞅{σ的随机积分≤t}-Rt∧σdAPsZPs。事实上，上述定理表明，通过连续（Gt）-鞅的度量变化不会改变强度过程。另见[8]中的定理6.3。为了证明定理2.8，我们需要计算过程ht=EPρ{σ>t}|Ft= EPeρt{σ>t}|Ft.这需要在时间σ之前了解过程的行为（eρt）。因此，以下关于时间σ的有界（Gt）-鞅的表示结果非常有用。这是[17]中Th\'eor\'eme 5.12和Lemme 5.15的直接结果，参见[15]中的alsoTheorem 3.1。定理2.10。