分形市场假说与全球金融危机：小波

小波的平均值为零+∞-∞ψ（t）dt=0，通常归一化为+∞-∞ψ（t）dt=1。为了得到连续小波变换Wx（u，s），一个小波ψ（.）投影到被检查的序列上，使wx（u，s）=Z+∞-∞x（t）ψ*T-我们dt√s（3）式中ψ*（.）是ψ（.）的复共轭。重要的是，连续小波变换将序列分解为频率，然后可以重建原始序列，这样就不会有信息丢失，并且所检查序列的能量也会保持不变，即x（t）=R+∞R+∞-∞Wx（u，s）ψu，s（t）dudssCψ，（4）| | x | |=R+∞R+∞-∞|Wx（u，s）| dudssCψ（5），其中| Wx（u，s）|是尺度s>0时的小波功率。有大量特定小波[26]，我们从中选择了在经济和金融应用中标准使用的Morletwavelet[14,27,28,29]。中心频率为ω的莫莱小波定义为ψ（t）=eiωt-t/2π1/4（6），对于ω=6，它在时间局部化和频率局部化之间提供了良好的平衡[11]。参考文献[1]Fama，E.高效资本市场：对理论和实证工作的回顾。J.Financ。25, 383–417 (1970).[2] LeRoy，S.高效资本市场：评论。J.Financ。31, 139–141 (1976).[3] Stanley，H.E.统计物理和经济波动：是否存在异常值？Physica 318279–292（2003）。[4] Peters，E.《分形市场分析——将混沌理论应用于投资和分析》（John Wiley&Sons，Inc.，纽约，1994）。[5] 卡波夫，J.价格变化和交易量之间的关系：一项调查。J.Financ。定量。肛门。22, 109–126 (1987).[6] Jain，P.&Joh，G.-H.每小时进程与交易量之间的依赖关系。J.Financ。定量。肛门。23, 269–283 (1988).[7] Thurner，S.，Feurstein，M.&Teich，M.。心跳间隔的多分辨率小波分析可区分健康患者和心脏病患者。菲斯。牧师。莱特。80, 1544–1547 (1998).[8] N.帕帕西马基斯和F.帕利卡里。

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颜色越热（如图表右侧的刻度所示），特定刻度（y轴）和时间（x轴）的功率（方差）越高。统计上显著的区域被一条粗黑曲线包围。由于数据分辨率是每日的，因此刻度以日为单位。图中显示了整个分析周期（上图）以及指数值的变化（下图）。在GFC最动荡的时期，高频占主导地位是明显的，但在其他关键趋势变化和修正中，高频占主导地位也是明显的，因此结果与分形市场假说预测一致。图2:FTSE的小波功率谱。标记和定性结果来自NASDAQcase。图3:CAC的小波功率谱。标记和定性结果来自NASDAQcase。图4:DAX的小波功率谱。标记和定性结果来自NASDAQcase。图5：HSI的小波功率谱。标记和定性结果来自NASDAQcase。图6：日经指数的小波功率谱。标记和定性结果来自NASDAQcase。