使用MOSEK进行投资组合优化的回归技术

因此，预期投资组合回报为xiwiui=wTu。因此我们解决了这个问题∈RmwTu以kXwk为准≤ σmaxPmi=1wi=1w≥ 0.一旦我们去掉long-only约束，问题就更有趣了。当乐观主义者确定一些戏剧性的风险设置位置时，解决方案很可能几乎会爆炸。我们以前在监管的背景下讨论过这一点。一种常见的方法是直接控制杠杆。这可以在w的1-范数范围内完成。对于有空头头寸的投资组合，mXi=1 | wi |>Xi=1wi=1。我们通过引入m个锥来控制w的1范数，例如ti≥ |wi |因此（ti，wi）∈ Q、 i=1，m、 要构建流行的130/30端口组合，请使用setmXi=1ti≤ 1.3 + 0.3.市场中立的投资者可能更喜欢使用不引起长期偏好的权重。此类投资者通常使用mxi=1wi=0.0和mxi=1ti=2.0来限制多头头寸和空头头寸的大小。对于实际的投资组合，我们通常需要对单个系数和资产子集进行额外的限制，例如，属于某些部门。4.5稳健的投资组合优化在前面的章节中，我们已经看到，在存在不可靠数据的情况下，正规化如何成为一种有效的工具。或者，我们可以设计一个明确考虑不确定性的稳健投资组合。假设数据是不确定的，但属于一个简单的已知不确定性集。然后，我们可以形成一个稳健估计，在简单的不确定性集上优化模型的最坏情况实现。

对于非常简单的不确定性集，这相当于一个易于处理的优化问题，与非稳健版本相比，这并不难解决。对于此类投资组合，我们的多头头寸高达1.3×C，空头头寸高达-0.3×C。例如，假设预期收益的向量u是不确定的，但已知位于椭球体内={y∈ Rn | y=Au+u，kuk≤ 1} ，其中A是一个具有非负特征值的对称矩阵，u是椭球的中心，即我们通过单位球的（已知）变换来表征。这种不确定性集自然会作为统计师的信任区域出现。最坏情况下的回报由E上的最小wTu给出，即asminu∈EwTu=明谷≤1wT（Au+u）=wTu+明谷≤1wTAu。当wTA 6=0时，通过选择u=-（Aw）/kAwk，换句话说，minu∈EwTu=wTu- 考克。然后，可以通过求解max（w，t）来计算使E上的最坏情况收益最大化的投资组合∈Rm+1wTu- t受kXwk约束≤ σmaxkAwk≤ tPmi=1wi=1w≥ 0.5资产回报预测在上一节中，我们已经介绍了资产预期回报的概念。定量投资组合管理主要依赖于这样一种假设，即对以前的回报及其对未来缺乏指示力的普遍否认是不真实的。资产回报中的交易自相关是最常见的定量投资策略之一。为了简化技术讨论，我们假设我们有一个时间序列的回报r，r。。请注意，实践者倾向于使用经波动性调整的收益率，因此使用同方差收益率。我们的目标是预测RNA，这是一个线性函数的历史数据，直到这个时间点，即在r。

，rn-1和任何后续收益均假定由应用于其自身类似数据历史的同一线性函数预测（具有适当的时间偏移）。我们可以将系统设置为最不受约束的模型rr··rn-1rr··rn。。。。。。。。。。。。w=rnrn+1。。。. （5） 一种常见的替代方法是使用历史数据的简单线性函数硕士（注册护士）-1） 硕士（注册护士）-1） 硕士（注册护士）硕士（注册护士）。。。。。。。。。w=rnrn+1。。。. （6） 移动平均值通常被选为历史数据的线性函数，因此（6）实际上是作为模型（5）的一个限制而获得的，即w仅在某一线性子空间中取值。由于ESOF模型的降维比ESOW模型的相对自由度更精确，因此ESOF模型的降维比ESOW模型的相对自由度更精确。另一种相对于自由度增加数据点数量的方法是变换从不同资产中获得的数据，使它们以相同的比例出现，以便所有数据可以一起使用。这就产生了更稳健的估计量w。当然，我们绝不局限于使用移动平均数。有很多有趣的想法。常识与第3节中的规范化技术相结合，可以构建由数据驱动的极具竞争力的交易系统。6个现实世界的例子在本节中，我们将概述项目组合管理中的典型任务。我们的最终目标是展示MOSEK如何帮助解决常见的研究问题。6.1数据我们使用流行的pandas Library for Python从雅虎金融下载股票数据。在实验中，我们使用调整后的收盘价来反映股票分割、股息等。

我们选择了我们最喜欢的五家美国公司，下面是它们的符号。Google Googles Goldman SachsAAPL APPLEIMB IBMT AT&T^GSPC S&P 500一旦获取数据，我们会将数据写入csv文件，以简化任何进一步的分析。清单3：使用pandas1导入程序读取数据。伊奥。数据作为web2导入日期时间作为dt3导入熊猫作为pd5定义从Yaho o（SYMBOLS）蚀刻数据：6 s=dt。dat etime（2010,1,1）7 e=dt。dat etime（2012年12月31日）8返回pd。Da taFra me（9{symb:web.get_Da ta_y aho（symb，s，e）[“Adj Close”]10表示符号中的符号]）12如果{uu name e_uuuu==\'\'uuu main uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu。to_csv（“data.csv”）6.2只长期股权投资组合在量化投资组合管理中的常见任务是找到一个过去可能是最优的投资组合。显然，这可能会为未来带来有限的信息，但我们将在这里避免讨论。我们忽略了管理者应该多久更新一次投资组合，以及如何对重新平衡投资组合的成本进行建模。这些问题在实践中是相关的，但超出了本文的范围。现在让我们来考虑没有空头头寸的完全投资组合。这转化为5种股票的线性组合中的非负系数w。我们正在重用上述功能。首先，我们计算投资组合的最小方差。投资组合收益时间序列的方差Xw=（R，R，…，Rn）是方差Xw=nX（Ri-“-R”）。在除最慢的交易量化交易策略外的所有交易中，收益率的波动顺序至少比平均值的第个数量级大一个数量级。

因此，通常会做出近似假设，即R=0，因此最后一个问题再次类似于最小二乘问题方差Xw=nXRi=nkXwk。在第二个问题中，我们计算5个权重的集合，使跟踪误差方差（Xw）的方差最小化- rM）=nkXw-RMK其中RMI是索引的返回向量。我们还计算我们的宇宙的1/N投资组合，例如，对每项资产应用相同的权重。我们观察到的结果显然取决于学习周期，尤其是选定的资产范围。对于我们的宇宙和日期范围（20102011212），对于最小方差投资组合OG 0.05T 0.67AAPL 0.03GS 0.00IBM 0.25和指数跟踪GOOG 0.10T 0.30AAPL 0.12GS 0.18IBM 0.30，我们得到以下结果。请注意，最小方差投资组合试图大量投资AT&T，但完全避免了高盛。指数跟踪器在其位置上略为平衡。我们还演示了如何应用一些简单的投资组合诊断，并报告这一时期的年度夏普比率和观察到的投资组合回报标准差。观察到的年化夏普比率为1/N 0.74指数0.51分钟方差0.93跟踪0.77对于收益的标准偏差，我们得到1/N 0.012指数0.012分钟方差0.009跟踪0.011列表4：计算portfolios1进口熊猫作为pd2进口Mo sek Solver作为ms4 def Compute Return（ts）：5 ts=ts。dropna（）6个返回ts。diff（）/ts。换档（1）8 def lsq位置满（X，y）：9返回pd。系列（索引=X.列，10个数据=ms.lsq Pos full l（X.值，y.值））12 def A nnua l ize d Shar p eRa t io（ts）：13返回16*ts。平均值（）/ts。std（）15如果_uname__==\'_u main _;\'：16#从csv文件17 data=pd加载数据。读取uuCSV（“数据”）。

csv，ind ex_co l=0，18 pa rse da tes=True）20只股票=数据[GOOG”，“T”，“AAPL”，“IBM”，“GS”]21个指数=数据[GSPC”]23个股票=股票。应用（计算机etu rn）。fillna（值=0.0）24 re tIndex=co mpu tern（指数）。fillna（值ue=0.0）26 rhsZ ERO=pd.TimeSeri es（指数=retstocks.index，数据=0.0）28 wMin=l sqP osF（X=retStocks，y=rhsZero）29 wTrack=ls qPosFull（X=retStocks，y=retInde X）31 d=dict（）32 d[“最小变量”]=（retstock*wMin）。求和（轴=1）33天[“指数”]=retInde x34天[“1/N”]=ret股票s。平均值（轴=1）35天[“跟踪记录”]=（返回至轨道*wTrack）。总和（轴=1）36帧=pd。DataFr ame（d）38#使用一些dia gno sti cs39打印框。使用40打印框。std（）7结论SCONIC编程提供了解决具有挑战性的回归问题所需的灵活性。这些问题不仅出现在金融领域，也出现在任何处理数据的定量学科中。在本文中，我们特别讨论了文件夹优化。参考文献[1]莫塞克建模手册，莫塞克ApS，2013年。在线提供fromhttp://www.mosek.com/resources/doc.[2] R.O.Michaud，《高效资产管理》，威利，1998[3]阿尔姆格伦，R.，图姆，C.，豪普特曼E.，和李H.，股权市场影响。风险，18（7月7日）：57-622005。[4] Ye，Y.，Todd，M.J.，Mizuno，S.，An O(√nl）-迭代齐次自对偶线性规划算法。运筹学数学，第53-67页，1994年。[5] Ben Tal，A.，Nemirovski，A.现代凸优化讲座：分析、算法和工程应用。MPS/SIAM优化系列，SIAM，2001年。[6] Boyd，S.，Vandenberghe，L.，凸优化。剑桥大学出版社，2004年。[7] Meucci，A.，线性回报与复合回报。

《投资组合管理中的常见陷阱》，GARP风险专业人士，第49-51页，2010年4月，可从SSRN获得http://papers.ssrn.com/abstract=1586656