使用MOSEK进行投资组合优化的回归技术

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英文标题：
《Regression techniques for Portfolio Optimisation using MOSEK》
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作者：
Thomas Schmelzer, Raphael Hauser, Erling Andersen and Joachim Dahl
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Regression is widely used by practioners across many disciplines. We reformulate the underlying optimisation problem as a second-order conic program providing the flexibility often needed in applications. Using examples from portfolio management and quantitative trading we solve regression problems with and without constraints. Several Python code fragments are given. The code and data are available online at http://www.github.com/tschm/MosekRegression.
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中文摘要：
回归被许多学科的实践者广泛使用。我们将潜在的优化问题重新表述为二阶圆锥规划，提供了应用中经常需要的灵活性。利用投资组合管理和定量交易的例子，我们解决了有约束和无约束的回归问题。给出了几个Python代码片段。有关代码和数据，请访问http://www.github.com/tschm/MosekRegression.
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Regression_techniques_for_Portfolio_Optimisation_using_MOSEK.pdf (415.12 KB)

2022-5-5 02:39:08 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Quantitative Optimisation Optimization

使用MOSEKThomas Schmelzer的投资组合优化回归技术*, Raphael Hauser+，Erling D.Andersen，Joachim Dahl2013年10月15日摘要回归被许多学科的实践者广泛使用。我们将潜在的优化问题表示为二阶圆锥曲线图，提供应用中经常需要的灵活性。利用投资组合管理和定量交易的例子，我们解决了有约束和无约束的回归问题。给出了几个Python代码片段。1简介对于任何专业人士来说，回归都是工具箱里的锤子。它被广泛使用，纯粹的力量往往能产生惊人的结果。然而，回归超越了将一条直线拟合成点云的简单概念。回归与二次曲线规划密切相关，在保持数学细节最少的情况下，我们将在第2节讨论这种联系。这使得回归成为投资组合优化的通用工具，因为我们能够应用约束和界限。在第3节中，我们讨论了密切相关的规范化问题。在投资组合优化的背景下，正规化术语模拟交易成本。这些功能有助于解决潜在的优化问题。在第4节中，我们将讨论股票投资组合管理中的典型问题。我们将讨论一些常见的实用概念及其作为圆锥曲线程序的实现。在第5节中，我们简要介绍了如何为未来收益生成数据驱动的估值器。最后，我们将演示如何使用前几节介绍的工具和概念，使用真实世界的数据构建公共投资组合。*Z–urcherstr。

2号，阿尔滕多夫，8852，瑞士，托马斯。schmelzer@gmail.com+牛津大学数学研究所，安德鲁·威尔斯大厦，英国牛津伍德斯托克路拉德克利夫天文台区，牛津大学，OX2 6GG，hauser@maths.ox.ac.ukMOSEK ApS，Fruebjergvej 3，哥本哈根16号信箱，2100，丹麦，support@mosek.comCode数据可在以下网站上获取：http://www.github.com/tschm/MosekRegression2回归回归的核心问题是建立解释变量X之间的线性关系模型∈ Rn×mand因变量y∈ 注册护士。X的列是解释变量X，X，xm。我们发现系数w，w，wm使得加权的sumXw=mXi=1xiwi与y，minw之间的欧几里德距离最小∈RmkXw-yk。（1） 术语r=Xw- y是余数。残差的2-范数是krk=√rTr=pPni=1ri。注意，如果向量居中（平均值为零），则2-范数类似于向量r的标度标准偏差。方程（1）是一个无约束最小二乘问题，因为我们正在最小化残差平方和的平方根。文献中更常见的是最小化2-范数的平方，minw∈RmkXw-yk。（2） 显然，方程（1）和方程（2）中的问题有相同的解。在本文中，我们假设X的行比列多。我们称这种系统为超定系统。欠定系统在金融领域的实际应用中很少见，需要应用第3节中介绍的技术，使其解决方案独特。2.1正规方程残差必须与X的范围正交。这种几何洞察力是最强大算法的基础，也是正规方程的核心思想，揭示了这个无约束问题的显式解决方案xTxW=XTy。请避免直接求解这些方程，或者通过显式计算XTX的逆来求解更糟的方程。

这可能会出现严重错误，尤其是如果X几乎是线性相关列。撇开这些数字上的原因不谈，使用这种方法没有优雅的方式来说明w的边界和约束。请注意，求解这些方程，然后通过修改无约束解来应用约束，在许多情况下会导致非常次优的结果。2.2圆锥曲线通过将回归嵌入一个更通用、更强大的概念（称为圆锥曲线规划）来实现所需的灵活性。为了本文的目的，理解二次锥和旋转二次锥就足够了。我们将n维二次锥定义为Rn，Qn的子集=十、∈ Rn | x≥qx+x+··+xn. （3） XXX图1：满足x的二次或二阶锥≥px+x。二次（或二阶）圆锥的几何解释如下图所示。1表示有三个变量的圆锥体，并说明圆锥体的外部如何类似于冰淇淋圆锥体。凸集S称为凸锥，如果为任意x∈ 我们有αx∈ sα ≥ 0.从定义（3）可以看出，ifx∈ Qnthenαx∈ Qnα ≥ 0，这正好证明了二次锥的概念。n维旋转二次锥定义为qnr=十、∈ Rn | 2xx≥ x+··+xn，x，x≥ 0. （4） 这两个锥体在正交变换下是等效的，所以我们只需要第一个锥体，但两者都很方便，并且公式更简单。2.3从二次优化到二次优化通常使用二次优化来解决回归问题。在方程（2）中，我们显式地计算Xw的内积- y、 貂皮∈RmwTXTXw-YT2Y+YTW。任何凸二次规划问题都可以重新表述为一个二次规划问题，但后一类优化问题更具一般性，可以产生更灵活的建模工具。

一些简单的例子包括：o|x |≤ T<==> （t，x）∈ Q.o卡克斯- bk≤ T<==> （t，Ax）- b）∈ Qn+1o| x|≤ T<==> （1/2，t，x）∈ QrokAx- bk≤ T<==> （1/2，t，Ax）- b）∈ Qn+2更多的例子可以在MOSEK建模指南[1]中找到。2.4使用conesA的回归现代优化的核心思想是在更高维度的空间中解决一个问题，在这个空间中，标准结构对现代优化更方便。这种策略也适用于回归问题。这可能看起来很有说服力，但也开启了一系列新的可能性。我们使用题记公式（例如，最小化f（x）相当于最小化v，使得f（x）≤ v） 对于方程（1）建立锥的存在性，min（w，v）∈Rm+1V受kXw约束-yk≤ v、 请注意，约束描述了一个二次锥，例如（v，Xw）-y）∈ Qn+1。对于方程（2），我们使用旋转的圆锥体，min（w，v）∈Rm+1V受kXw约束-yk≤ 2×v，因此（1/2，v，Xw- y）∈ Qn+2r。2.5 MOSEKMOSEK是用于大规模凸优化和积分优化的商业优化求解器。该解算器实现了齐次嵌入算法[4]，该算法已被证明非常健壮和可靠。例如，它以优雅的方式处理不可行模型，提供最优解或问题不可行或无界的证明。MOSEK的圆锥曲线解算器支持的不同功能是整个Rn非负正态Rn+。o二次锥旋转二次锥锥对称正半有限矩阵。半定义圆锥体增加了显著的灵活性，并允许对大量问题进行建模，见[5,6]，但不在本文的范围内。2.6示例在一个简短的intermezzo中，我们给出了第一个使用Python和MOSEK的新Fusioninterface实现problemmin（w，v）的函数∈Rm+1V主体（v、Xw）- y）∈ Qn+1Pmi=1wi=1w≥ 0.清单1：来自mosek的约束回归1。

fusion import*3 def__ROTQC one（型号，expr1，expr2，expr3）：4个型号。c ons培训（Expr.vstack（expr1，expr2，expr3），5个域。i nRo tate dQC one（））7 def__lsq____（model，name，X，w，y）：8#将变量v附加到model9 v=model。变量（名称，1，Dom ain.unbu nde d（））10#（1/2，v，Xw-y）在Qr11 re sidual=Expr中。sub（Expr.mul（Den seM atr ix（X，w），y）12 uur otQ Con e_uu（M，0.5，v，re sidual）13返回v15 def lsqP osF ull Inv（X，y）：16#定义一个模型17 M=模型（\'ls qP os\'）19#权重-v ariab les20 w=M。变量（\'w\'，X.shape[1]，Do ma in.grea ter than（0.0））22#e\'*w=123 M.co nst raint（Expr.sum（w），Domain。等式ualsTo（1.0））25#变量为平方和re sid uals26 v=_lsq _（M，\'ssqr\'，X，w，y）28模型。对象ive（对象tiv eSen se.最小化，v）29模型。solve（）31 return w.lev el（）Fusion是Mosek的一个新的高级接口。我们构建一个模型，并在fly上显示变量和约束。请注意，该模型是通过引用传递的，例如，在lsq函数中添加一个变量将修改调用中使用的模型。3正则化如果X的列几乎是相关的（即解释变量之间的高度相关性），正则化可以稳定计算结果，否则计算结果不可靠，并且对小扰动和舍入误差高度敏感。与[2]相比，这种影响是导致（定量）投资组合优化在一些实践者中名声不佳的原因。在实践中，人们经常观察到，当输入数据被修改时，最优投资组合会采取极端的杠杆作用和显著的替代位置。正则化可以帮助驯服乐观主义者。实践者应该警惕投资组合优化过程中的潜在不稳定性。

正规化通常与排除某些解决方案的约束相结合，例如，下面我们将进一步讨论如何控制股票投资组合中的杠杆。两者结合在一起，再加上常识，在实践中效果最佳。在这里，我们将解释如何在租赁方问题中纳入规范化条款。在投资组合优化的背景下，我们可以将正规化术语解释为交易成本。当新数据可用时，我们通常会重新选择投资组合。投资组合的当前状态由向量w.Trades描述由系数的变化引起w=w-w、 显然，我们希望避免相当突然和戏剧性的变化，因为它们会导致巨大的成本。交易成本模型有几种可能的选择：o二次成本，例如成本~ w、 这种选择避免了大额交易，往往会高估大额交易的交易成本。被称为Ridgeregression或Tikhonov正则化线性成本，例如成本~ |w |。这一选择优先考虑了w中的sparseupdates，但与在anorder book中进食的非线性效应不匹配。被称为稀疏回归或套索次二次成本，例如成本~ |w | 3/2。与[3]相比，这种选择是由订单簿的经验密度分布决定的。这种模式的结合是可能的。在现代统计学中，二次成本和线性成本的结合被称为弹性网。3.1岭回归本次最小化中包括正则化项minw∈RmkXw-yk+λkΓ（w）- w） K对于一些适当选择的矩阵，Γ。在许多情况下，该矩阵被选为身份矩阵Γ=I，优先考虑具有较小范数的解。对于无约束问题，修正的正态方程，XTX+λΓTΓw=XTy+λΓTΓw表示缩放协方差矩阵XTX的收缩接近度。

在受训练的情况下，封闭形式的解决方案通常再次不可用。我们通过引入一个额外的旋转二次圆锥（w，v，u）来解决这个问题∈Rm+2v+U对象v、 ，Xw-R∈ Qn+2ru、 ，Γ（w）-w）∈ Qm+2r。3.2稀疏回归正则化项现在是1-范数而不是2-范数，优先考虑具有较小范数的稀疏解minw∈RmkXw-yk+λkΓ（w）- w） k.向量v的1-范数∈ Rmiskvk=mXi=1 | vi |。我们通过附加维数为2，min（w，v，t）的m个二次锥来解决这个问题∈R2m+1v+λPmi=1受制于v、 ，Xw-Y∈ Qn+2r（ti，[Γw-Γw]i）∈ Q、 i=1，m、 我们使用Python和MOSEKmin（w，v，t）的新融合接口构建了一个稀疏回归∈R2m+1v+λPmi=1受制于v、 ，Xw-Y∈ Qn+2r（ti，[Γw-Γw]i）∈ Q、 i=1，mPmi=1wi=1w≥ 0.清单2:mosek的稀疏回归1。fusion import*3 def__Q Cone___;（型号，expr1，expr2）：4型号。c ons traint（扩展vstack（扩展1，扩展2），5个域。inQCone（））7 def__abs__（model，name，expr）：8 t=model。变量（名称，int（expr.size（）），9个域。无边界（））10#（t#i，w#i）\\in Q2或abs（w#i）<=t#i11，适用于范围（0，expr.size（））：12#QCone#（模型，t.索引（i），expr。索引（i））14返回t16定义的l sqPo sFul l InvP enal ty（X，y，Gamma，lamb，w0）：17#定义模型18 M=模型（\'lsq Spars e\'）20#重量-v ariab les21 w=M。变量（\'w\'，X.shape[1]，doma in.grea terthan（0.0））23#e\'*w=124m.co nst raint（Expr.sum（w），Domain。等式ualsTo（1.0）26#平方和变量uals27 v=u lsq u（M，\'ssqr\'，X，w，y）29#变量和[abs（Gamma*（w-w0））]30 p=Expr。mul（Den seM atr ix（伽马），Expr。sub（w，w0））31 t=Expr。sum（_uu\'ab s_uuu（M，\'abs（称重），p））33型。对象（对象）最小，34 Expr.add（v，Expr。

mul（lamb，t））35型。3.3三分之二的回归这个选择是基于对订单数据的实证调查。请注意，这个问题不是一个重新表述的二次问题。这是一个典型的例子，揭示了圆锥规划的力量和灵活性，minw∈RmkXw-yk+λmXi=1 |[Γ（w-w） [i|3/2，相当于tomin（w，v，s，t，z）∈R4m+1v+λPmi=1受制于v、 ，Xw-Y∈ Qn+2r（ti，[Γw-Γw]i）∈ Q、 i=1，m（si，zi，ti）∈ Qr，i=1，M, ti，si∈ Qr，i=1，m、 我们现在使用3m+1圆锥来描述这个问题。4权益投资组合管理我们使用上述技术解决投资组合管理中的常见问题。在下面讨论的所有示例中，矩阵X∈ Rn×m描述了m项风险资产n个连续历史收益的时间序列，X的每一行指数对应于一个投资期，每一列指数对应于一项资产。我们寻找这些资产的最佳组合。不同的目标、期望、约束、风险偏好和交易成本等导致在实践中使用不同的配方。4.1约定投资者希望管理m风险资产的投资组合。投资者在投资期间[t，t+1]（一小时，一天，一周，一个月，…）将风险资本C的部分wi（t）分配到资产i中，最后，他/她准备再次调整位置。在时间t+1时，w中的更新是由投资组合问题的基础输入数据的变化引起的。投资组合的连续时间序列的收益率。投资组合回报率是第k个历史投资期内资产i的收益率的m线性回归srk=mXi=1wixk，i=Xk，·wwhere Xk，iis的加权和。4.2最小化跟踪误差指数跟踪投资组合最小化与给定投资组合或指数的距离（或跟踪误差），例如：。

返回时间序列rM。貂皮∈RmkXw-RMK主体toPmi=1wi=1w≥ 0，这相当于tomin（w，v）inRm+1vsubjectv、 ，Xw-rM∈ Qn+2rPmi=1wi=1w≥ 0.我们通过仅对多头头寸的资本C进行充分投资来跟踪投资组合。请注意，两个投资组合的累积回报可能会显著不同。一个潜在的补救办法是使用资产和投资组合或指数的累积回报。4.3最小化投资组合差异尽管完全不投资可以避免风险，但最小差异投资组合很受欢迎。这样的投资组合可以通过不跟踪rM=（0，0，…，0）的回报时间序列来构建。从理论角度来看，投资此类投资组合是没有意义的，但在实践中，它们的表现相当有竞争力，因此很受欢迎。4.4最大化预期投资组合回报最著名的投资模型是Markowitz的单期均值-方差模型。在这个模型中，我们通过仔细分散各种可用资产，使预期投资组合收益最大化，同时将估计风险保持在预定水平或低于预定水平。投资者希望积极管理m风险资产的投资组合。投资者在投资期间[t，t+1]（一小时，一天，一周，一个月，…）持有资产i的固定头寸wi（t），最后，他/她准备再次调整位置。资产i的预期收益为E[Ri]。Ri是描述投资期间[t，t+1]内资产i单位头寸收益率的随机变量。预期需要用估计值ui代替≈ E[Ri]这通常通过第5节中描述的方法，使用历史价格和时间t时的其他可用数据来完成。