肥尾巴的起源

困扰传统风险评估的厚尾之所以出现，只是因为按时间顺序的回报率样本的压力水平不同。由于这个过程在我们的模型中是透明的，我们可以通过进行VaR等价风险估计来计算“尾部事件”的概率和大小。在我们的模型中，CDF的形式如下：CDF（x）=Z∞dκP（κ）σ（κ）√2πZx-∞dxe-十、-u(κ)σ(κ), （4） 其中P（κ）是应力水平的概率分布。κ上的积分增加了每一个κ水平的收益率低于xF的概率。CDF提供了一种简单的方法来测试我们的模型。我们已经知道，来自相邻75个观测集的估计结果非常相似。根据一组市场数据估计的参数也应该能够准确预测另一个数据集的分布特性。为了测试这一点，我们随机将数据集细分为两组大小大致相同的数据集。然后，我们使用其中一个子集来估计P（κ）、u（κ）和σ（κ），以用于CDF。其他数据集的分布应符合此CDF。简单的频率分析可以粗略估计P（κ）。我们假设训练数据集足够大，可以产生压力水平的良好样本。在一个包含一些平静时期和一些好的危机的时间序列中，情况应该是这样的。利用这些结果和公式4，我们计算了应归入不同返回括号的观察值的百分比。图7显示了样本外数据与预期分布函数非常接近。该图还包括预期收益分布，前提是我们对数据采用固定u和σ的正态分布。与正态分布相比，使用我们的模型的分布具有明显的胖尾。根据表1中的结果，我们可以计算标准普尔500指数的几项风险估计。

第一个是经历至少9%的单日下降的概率，即κ/VXO P（κ）uσ00-10 0.8%0.00288 0.0031010-20 52.3%0.00097 0.0067920-30 34.9%0.00052 0.0116330-40 8.5%0.00010 0.0176140-50 2.5%-0.00495 0.0263450-60 0.2%-0.03426 0.0430260-70 0.4%0.00598 0.0570770-1460.040-0.04500%样本估计值：表952。市场崩溃的典型规模。我们使用公式4来计算8×10的概率-4（大约五年一次）的下降幅度低于9%。传统的VaR方法给出了2×10-14.我们的数据集包含大约24年的数据和三天的回报-9%，大致符合我们的预期。第二个是发生另一个事件的可能性，比如1987年的崩盘，当时标准普尔500指数下跌了22.9%。降幅低于22.9%的概率为9×10-8（大约44000年一次）和4×10-分别是82。在这两种方法中，1987年的崩盘都是一个离奇的事件，但在我们的方法中，此类事件的概率比传统的VaR计算中大74个数量级，这改变了我们观察到此类事件的事实，即从几乎不可能变为非常不可能。我们也可以通过假设我们将遇到逆境来进行悲观的风险估计。例如，假设VXO指数高于70，我们可以估计风险。根据这些假设，降幅超过9%的概率约为11%。87年再次发生坠机的可能性为2.4×10-6.债券数据表现出相同的定性行为。尾巴比正态分布的要胖得多。例如，在我们的框架中，返回率在-3%和-2.5%之间的概率是1.3×10-4而正常的fit预测为3.8×10-8.

这里的样本数据也和我们预测的分布相符。κ、 具有很强的自相关性，因为压力水平通常不会从一天到下一天发生显著变化。危机往往持续数周或数月，平静期也往往持续数月甚至数年。我们可以使用κ的预测模型或假设κ将保持大致相同来估计明天的压力。大多数时候，这种估计比式（4）中的不可知论估计更接近观测到的现实。当压力水平发生显著变化时，这也将是大错特错的。为了说明这一点，让我们假设第二天的κ与今天相同，从而预测第二天的κ。有了这个预测，我们构建了另一个重新缩放的时间序列，如图5所示，但这次使用我们对κ的预测来确定第二天的预测σ（κ）。图5显示了结果。由于我们的预测是不完美的，这种重新调整的效果不如图5所示。然而，压力水平在很长一段时间内保持大致不变，因此重新调整的时间序列比未调整的时间序列更正常。这些例子说明了如何在我们的模型中量化风险。同样的方法会产生从最小到最极端的任何回报概率。所谓的尾部事件变成了不需要特殊处理的普通回报。图7：标准普尔500指数回报分布。拟合是预测，OOS是样本外观察，如果我们对样本数据进行正态分布，则正态是预测。6多资产组合在本节中，我们考虑包含股票和债券的投资组合，如数据集中的指数所示。这需要对我们的原始模型进行一个小的概括。由于股票市场不一定与债券市场同时承受压力，我们需要根据股票和债券市场的压力水平来划分数据。

这改变了我们的模型todSs/bSs/b=us/b（κs（t），κb（t））dt+σs/b（κs（t），κb（t））dX，（5）其中κs/b分别代表股票和债券市场的压力水平。我们用κs/bt将数据集划分成一个10 x 10的网格，以估计u、σ和作为压力水平函数的两种资产的相关系数ρ。每一个正方形的观察值都会下降到股票和债券压力的十分之一。并非所有的正方形都包含观察结果。例如，没有观察到VXO值落在最小数点，移动值落在最小数点。图8：按时间顺序和重新调整比例的SPX返回结果是基于上一节中的单一资产分析和实证观察得出的结果。对于股票和债券，标准差随着相应的压力而增加。股票压力的增加对债券的波动性有轻微的促进作用。预期收益对压力水平几乎不敏感，除非在相应压力度量的极端情况下，预期收益变为负值。股票对压力水平的敏感性强于债券。股票和债券收益率之间的相关性在很大一部分参数空间中是强正的。图9显示，当股票市场受到压力时，相关性为负，但当股票压力较低时，相关性变为正，即使债券压力较高。我们可以利用这些结果来分析包含股票和债券的投资组合的行为，将等式4推广到股票和债券压力联合概率分布P（κs，κb）的二维情况。这些发现在性质上类似于一维情况，因此我们在这里不讨论它们。

正如在一维案例中一样，我们的框架提供了工具，可以严格且快速地估计多资产组合的尾部风险。投资于不相关或负相关资产的主要原因是分散收益。传统观点认为，包含股票和债券的投资组合比只包含其中一种或另一种的投资组合更好，因为它们往往朝着不正确的方向移动。本节中的分析表明，这仅在特定的市场条件下是正确的，因为股票和债券之间的相关性并不总是负的。股票投资者通过向投资组合中添加债券来分散投资，因为当股票市场受到压力时，这两种资产之间的相关性为负。这是可取的，因为债券在股票压力时期有正回报，并且它们减少了整个投资组合的波动性。债券投资者只有在股票和债券市场都受到压力时才能获得多元化收益。即便如此，也不清楚这种多元化是否可取，因为2：us/波段σs/b的二维样本估计股市在受到压力时往往会产生负回报。这个例子表明，如果我们考虑到市场随着压力水平的变化而变化，构建多样化的投资组合变得更加复杂，但可能也更加成功。7变化无常的市场金融中的许多概念都假设资产回报率是IID。我们的分析表明，情况并非如此，市场的性质随着压力水平的不同而发生了相当大的变化。在本节中，我们简要讨论了一些需要在我们的框架中重新思考的概念示例。上一节的结果对现代投资组合理论（MPT）有启示。MPT使用对几种资产的u和σ的估计来确定风险调整后回报的最佳投资组合。

据说这些投资组合位于有效的边界上，通常绘制在一个坐标系上，σ在水平轴上，u在垂直轴上。每个资源都由该平面中的一个点表示。这两个最吸引人的因素构成了一条抛物线。据说，回报率较高的部门是有效的前沿领域。图10示出了一个示例。图9：股票/债券相关性系数在我们的框架中，我们为每一个κs/b值找到了不同的有效边界。图10显示了股票和债券组合的两个示例。底部的抛物线描述了股票和债券压力较低的时期。两项资产均为正μ，相关性为正。这些曲线标有投资组合中债券的百分比。针对这些市场条件的有效投资组合有大量的股票敞口。第二条抛物线使用高应力点的u和σ。相关性为负，us也为负。大多数位于非应力抛物线吸引侧的权重已迁移至应力抛物线不吸引侧。在压力巨大的市场中，只有几乎完全是债券的投资组合处于有效前沿。很明显，效率取决于市场条件。另一个例子是夏普比率（Sharpe Ratio），这是一种衡量资产经风险调整后的回报的指标，由预期（或历史）回报减去无风险率除以预期（或历史）风险得出。夏普比率几乎总是使用标准差来衡量风险。如果回报率是正态分布的，这将提供有用的结果。如果分布具有厚尾，则标准偏差低估了实际风险。在我们的框架中，夏普比率仅在给定的κ值下定义良好。

出于实际目的，我们需要在较长时间内衡量风险调整后的回报。由于这种时间序列样本的压力水平不同，因此无法计算夏普比率。我们提出了一种风险调整后回报的衡量方法，该方法考虑了厚尾，并明确考虑了压力水平的可变性：在固定时间段内损失超过预期累积回报的概率。预期N天的回报如图10所示：有效和无效的FrontierrN=NZ∞dκP（κ）u（κ）。（6） 使用公式4，我们可以计算一天的收益抹去N天以上预期收益的概率，PN=CDF(-rN）。这个概念没有隐含的分布假设，当u和σ依赖于κ时，它仍然很明确。我们发现股票P=0.0059，债券P=0.0002。这种较大的差异反映出股票分布的尾部要厚得多。为了进行比较，根据整个数据集计算的夏普拉蒂奥指数股票为0.024，债券为0.060。这些值更接近，因为夏普比率并不能解释厚尾巴。与前两个例子一样，资本资产定价模型（CAPM）隐含地认为，股票价格相对于市场基准存在恒定的市场回报和恒定的回归系数。在我们的框架中，这些量再次成为κ的函数。图11显示了一些示例。根据第3节的单一资产分析，一般行为是我们应该预期的。截距（α）对压力水平相当不敏感，而β随着压力水平的升高而变化。有趣的是，摩根大通和通用电气的β随着压力的增加而上升，而雪佛龙和微软的β则略有下降。这表明前两种股票不适合在危机中持有，因为随着压力水平的上升，它们会越来越多地放大市场波动。图中最下面一行。

11表明，随着压力水平的升高，压力会增加。这从数量上证实了一个众所周知的事实，即在压力大的市场中，所有股票都在一起运动，因此整体市场方向是一个很好的预测个别股票运动的指标。在无压力的市场中，股票的波动是由股票的具体情况驱动的。整体市场方向只是影响回报的众多因素之一。任何依赖于均值、标准差、相关性、回归系数或厚尾的东西都可以在这个框架中重新审视。本节提供了几个简单的示例，展示了我们模型中熟悉的概念是如何变化的。图11：股票与标准普尔5008结论的回归系数和RFR。这篇论文提供了证据，证明股票和债券市场是由简单的对数正态随机过程描述的，带有压力相关参数。这个模型是对经验事实的形式化描述，即投资者恐惧时的市场表现不同于平静时的市场表现。我们发现，按压力对市场数据进行分组可以消除或解释金融时间序列的许多奇怪之处，包括收益率分布的异常厚尾、不稳定的样本估计相关性和标准差，以及波动率聚类。几个简单的例子来说明我们的框架如何用于风险管理和探索财务数据。本文旨在提出这一观点并提供一些支持性证据。下一步需要更严格地测试这些想法。如果该模型继续存在，需要重新考虑风险管理和有效市场假说中许多熟悉的融资概念。参考文献[1]路易·巴切利尔，《投机理论》，高等师范学院年鉴3（17）1900，2186[2]保罗·威尔莫特，关于定量金融，威利2000[3]罗伯特·C·默顿，连续时间金融，布莱克威尔，1990。[4] 射频。

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