肥尾巴的起源

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英文标题：
《The Origin of Fat Tails》
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作者：
Martin Gremm
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We propose a random walk model of asset returns where the parameters depend on market stress. Stress is measured by, e.g., the value of an implied volatility index. We show that model parameters including standard deviations and correlations can be estimated robustly and that all distributions are approximately normal. Fat tails in observed distributions occur because time series sample different stress levels and therefore different normal distributions. This provides a quantitative description of the observed distribution including the fat tails. We discuss simple applications in risk management and portfolio construction.
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中文摘要：
我们提出了一个资产收益的随机游走模型，其中参数取决于市场压力。压力通过隐含波动率指数的值来衡量。我们证明了模型参数包括标准差和相关性可以可靠地估计，并且所有分布都近似正态。观察到的分布中出现厚尾是因为时间序列采样的压力水平不同，因此正态分布也不同。这为观察到的分布提供了定量描述，包括脂肪尾巴。我们讨论在风险管理和投资组合构建中的简单应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> The_Origin_of_Fat_Tails.pdf (331.19 KB)

2022-5-5 03:04:57 上传

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关键词：distribution Quantitative Applications Construction correlations

Fat TailsMartin GremmPivot Point Advisors的起源，地址：德克萨斯州贝拉尔市西环路南LLC5959号333室77401gremm@pivotpointadvisors.comAbstractWe提出了一个随机游走的资产收益模型，其中的参数取决于市场压力。压力通过隐含波动率指数的值来衡量。我们证明了包括标准差和相关性在内的模型参数可以可靠地估计，并且所有分布都近似正态。观察到的分布中出现脂肪尾是因为时间序列样本的压力水平不同，因此正态分布也不同。这为观察到的分布提供了定量描述，包括脂肪尾巴。我们讨论在风险管理和投资组合构建中的简单应用。证券市场价格的变化被认为是受随机过程控制的。这个想法最初是由学士[1]提出的，后来被许多作者重新发现和定义（见[2]或[3]中的参考文献）。最简单、最流行的随机模型是（对数）正态随机游动。在物理学中，它描述了布朗运动，即流体分子与其碰撞时尘埃粒子的运动。在财务方面，它应该描述当市场参与者通过买卖来上下波动时，证券的价格是如何变化的。不幸的是，观察到的assetreturns未能按预期运行。收益分布不是服从正态分布，而是有厚尾。这是一个问题，因为中心极限定理（CLT）指出，如果收益是较短时间尺度上的收益之和，那么收益的分布应该是正态的。金融市场必须违反CLT的一个假设才能产生厚尾。由于CLT很少做出假设，因此只有几种方法可以回避它。

如果金融时间序列涉及多个分布（参见[4]了解概述）、某些行为模式[5]或自相关，则它们可能具有厚尾。如果短时间尺度上的收益来自曼德布罗特的幂律模型[6]，它们也可能会出现肥尾巴。其中许多模型重现了观察到的市场数据的统计特性，包括厚尾和波动性聚类，但大多数模型都无法解释为什么金融市场应该被一个避开CLT的过程描述。波动性聚集和厚尾是金融市场的一般特征。它们存在于有记录的历史中，出现在所有资产类别和地理位置。对这种独特而持久的特征的解释应该是同样普遍而持久的，这似乎是合理的。有强有力的经验证据表明，一定程度的压力会转化为某种行为。例如，当非市场参与者感到压力时，“向质量的飞跃”是可以预见的。我们简单地概括了这一观察结果，认为市场行为通常应该是市场压力的函数。我们的出发点是对标准随机波动率模型的简化。我们假设波动率是市场参与者压力水平的函数，而不是随机变化。这与物理学中的布朗运动非常相似，在布朗运动中，随机游动的标准偏差取决于流体的温度。较热流体中的灰尘颗粒在较冷流体中移动不止一个。我们认为市场压力与布朗运动中的温度具有相同的功能。压力大的市场参与者应该比平静的参与者进行更大、更频繁的交易。

交易活动的增加应该会导致资产价格的更高波动性。和布朗运动一样，我们应该在任何给定的市场压力水平下找到对数正态随机游动。回报的时间序列对不同的压力水平进行采样，从而得到不同的正态分布。众所周知，这样的模型会生成带有厚尾的时间序列。为了确定模型，我们只需要估计平均值和标准差对压力水平的函数依赖性。正如我们将要展示的那样，这很容易做到，因为压力水平是可以直接观察到的，例如隐含波动率指数。在下一节中，我们将定义我们的模型并讨论其一般性质。在门派里。3.我们使用股票和债券指数的市场数据来验证我们模型的预测，并估计其参数。在门派中的短暂迂回。市场压力水平的变化决定了企业的预期方向。在我们的框架中，很容易估计极端事件的概率。我们在第二节讨论这个问题。5.教派。6将讨论扩展到双资产投资组合的示例。门派7弗里讨论了夏普比率和现代投资组合理论等概念，这些概念需要在我们的框架中重新思考。门派8总结了我们的结果。2模型标准对数正态随机游动由随机微分方程DSS=udt+σdX给出。（1） 这里S是资产价格，u是平均值，σ是标准差，dX是一个正态分布的随机过程，平均值和单位标准差为零。u和σ区域假定为常数。我们建议用依赖于κ（t）的函数替换这两个常数，κ（t）是t处的应力水平。然后，模型读数为sdss=u（κ（t））dt+σ（κ（t））dX。（2） 隐含波动率是一个很好的市场压力指标，因为它们有效地衡量了针对不利市场波动的保险价格。

例如，我们可以使用VXO（一种衡量某些OEX期权隐含波动性的指数）作为股票市场压力的代表。κ（t）只是时间t的指数值。更一般地说，如果某一资产类别存在隐含的可用性指数，它提供了一种直接测量该市场压力的方法。假设u和σ依赖于κ，这是Bachelier的原始模型[1]的极小扩展，因为它没有添加任何新的自由度。κ（t）是一种可测量的功能，用应激水平标记历史观察结果。在下一节深入进行详细的数据分析之前，列出一些关于我们框架的总体预测是很有帮助的正如我们在导言中所讨论的，引入具有应力相关参数的模型背后的基本原理是，与无应力的市场参与者相比，有压力的市场参与者预计会进行更大、更频繁的交易。我们应该看到交易量随着压力水平的上升而增加我们的模型应该适用于所有流动资产类别，因为投资者对压力的反应应该在质量上相似。例如，一个有压力的股票投资者在质量上应该与一个有压力的债券投资者表现相同，但这两个投资者通常不会同时受到压力。除了隐含的波动性，还有其他代表市场压力的指标。我们发现，使用债券的信用利差，以及跟踪观察到的股票和债券的波动率，可以产生质量上相似的结果CLT要求给定κ值的回报率应遵循正态分布。我们的模型没有为任何标准方法留出空间来回避它根据市场数据对标准差和相关性的估计非常不稳定。在我们的模型中，这是预期的行为，因为不同的数据样本包含不同的压力水平组合。

我们应该看到，在阿吉文水平上观察到的κ的估计值是稳定的，并且随着κ的变化而平稳变化。在下一节中，我们将估计两种资产类别的模型参数，并验证这些总体预期。3单一资产数据调查您的数据集包含标准普尔500指数（SPX）和瑞安实验室10年期债券指数（RT10）从1988年4月28日至2012年8月13日的每日连续复合收益。每天都会标上VxOA和MOVE指数的收盘价，这两个指数分别衡量某些OEX和国债期权的隐含效用。这两个指数是股票和债券市场的κ（t）。我们的数据集还包含标准普尔500指数的去趋势交易量。在本节的分析中，我们将观察值分组为不重叠的75组观察值。除非另有说明，否则图表根据集合的顺序指数绘制这些集合的样本估计。在探索我们的模型之前，我们需要验证我们的核心假设，即交易量随着压力水平的增加而增加。图1显示了根据升序κ排序的观察值计算出的日平均体积。除了压力水平极低、成交量急剧上升的情况外，大部分低压力地区的成交量都相当稳定。这些观点大多来自2006年后期和2007年初的牛市，反映了投资者在牛市结束时大量投资的倾向。在平静的市场中，压力以外的因素决定交易量似乎是合理的。图的右半部分显示了随着压力增加，交易量增加的预期行为。现在让我们来分析其他市场数据作为压力水平的函数。图2中的左图显示了按时间顺序排列的标准普尔500指数的标准差。样本估计显然不稳定。

样本波动率的高低有较长的周期。这通常被称为波动性聚类。中间的图表显示了将收益顺序随机化后的估计。如果返回是一个独立的同分布（IID）序列，这种重新排序应该没有影响。左边和中间图表之间的差异说明返回时间序列不是IID。右边的图表显示了根据增加κ排序的收益计算的标准偏差。如果收益来自一个不依赖于κ的随机过程，那么按κ排序的收益应该与随机排序的效果相同。我们看到样本估计值随κ平稳上升，样本估计值的可变性是VXO与VIX相似，但有较长的跟踪记录。图1：标准普尔500指数成交量与其他两张图表相比大幅下降。这些观察结果强烈表明，这个随机过程的参数依赖于κ。左图显示的结构比随机图更为复杂，因为在危机期间，市场压力通常会在很长一段时间内居高不下，然后回落到非危机水平。这意味着按时间顺序的返回代表了部分应力顺序。它还解释了金融时间序列中观察到的波动性聚集现象。图3显示了股票和债券的u和σ作为κ函数的样本估计。在这两种情况下，我们发现σ随κ平稳增加，而u则几乎不敏感，除了股市压力最大的日子。我们将在第4节中更详细地讨论u。这证实了我们在上一节中列出的两个期望。不同的资产类别在质量上表现出相同的行为，压力排序回报结果在稳定样本估计中，至少在标准偏差方面是如此。

现在让我们来看第三个预测，给定水平的κ的回报率近似正态分布。在实践中，我们需要在κ的期望值周围采样一个范围，以便有足够的观测值进行合理的估计。这意味着我们是抽样分布图2：标准普尔500样本挥发度具有相似但不完全相同的标准偏差。这将改变观察到的分布的尾部，但影响应该很小，因为我们75个观察集中的大多数只覆盖了小范围的κ。图4显示了Shapiro-Wilk正态性检验的p值，为每一组75个非重叠观测值计算。一个简单的方法来测试我们的期望，即每组的返回值应该是正态分布的，就是检查p值的分布。例如，我们可以计算p值低于0.05的集合数。这些集合中的收益有95%以上的概率来自正态分布以外的其他因素。如果我们所有的样本确实来自正态分布，我们预计在5%的样本中会出现误报（即，95%置信水平的非正态回报）。实际数字更高，17%的股票和22%的债券。由于我们正在对一系列κ进行采样，因此预期会出现一些增加。在下一节中，我们将简要讨论另一个可能对这种剩余非正态性有更大贡献的因素。与随机排序相比，按κ划分后的返回结果更正常。83%的随机数据集在95%的置信水平下看起来不正常。债券的比例为44%。为了完整性，我们还引用了按时间顺序排列的结果。由于这是一个局部应力排序，它们介于应力排序和随机排序结果之间。

我们发现，28%的股票组合和26%的债券组合按时间顺序的回报率来看是不正常的。为了可视化剩余的非正态性，我们可以在将每个收益除以σ（κ）后，将时间收益的分布与时间收益的分布进行比较。如果我们的模型解释了数据中的所有非正态性，这将把历史时间序列转换为单位标准差的正态分布。图5显示，我们的模型解释了观测收益的大部分非正态性。剩余非正态性表明其他因素也起作用，但应力水平的变化似乎是主导因素。这似乎不是唯一的因素。σ还应取决于美联储的行动、指令簿的深度、期权到期日和无数其他因素。本节中的结果证实了前一节中的三个一般预测。图3：压力有序样本估计：资产类别的定性相似行为、稳定样本估计和恒定压力下的近似正态回报分布。4.什么决定了平均值？在上一节中，我们看到标准差在很大程度上取决于市场压力，但平均值并不如此。我们还发现证据表明，我们的随机模型的参数取决于其他因素。让我们介绍rκ，κ的一天百分比变化。应用与之前相同的策略，我们按照rκ对收益进行排序，并计算u（rκ）的窗口估计。图6显示了结果。很明显，压力水平的变化会推动回报。如果压力增加，回报往往是负的，如果压力减少，回报往往是正的。当然，这并不奇怪。对一个更关心某项资产的投资者来说，出售它是很自然的。

我们的框架只允许我们量化影响。u的rκ依赖性是一个相关但次主导因素的例子，为了简单起见，本文中weignore提到了这个因素。图4:Shapiro-Wilk正态性检验的p值图5：按时间顺序和重新标度的SPX回报5单一资产风险估计风险经理通常会计算其投资组合的风险价值（VaR）估计。VAR衡量在特定时间段损失超过一定金额的概率。VaR的最简单形式是将资产收益历史时间序列的平均值和标准偏差插入正态分布的累积分布函数（CDF），以计算收益小于x的概率，CDF（x）=σ√2πZx-∞dxe-（十）-uσ). （3） 这种方法有很多缺点。u和σ的样本估计往往不稳定（见图2），这限制了VaR的预测能力，而VaR忽略了观测收益分布的厚尾，因为假设概率分布为正态分布。有更复杂的方法来估计VaR，但大多数方法在一定程度上与基本方法存在相同的问题。由于VaR计算通常不考虑收益分布的厚尾，风险图6：作为rκ管理者函数的u往往会用情景分析来补充它们，以查看投资组合在历史或假设危机期间的表现。这些估计是投资组合行为的有用例子，但这种方法并没有提供一个框架来估计压力事件的概率，尤其是尚未观察到的压力事件。我们的模型避免了许多这样的问题。给定压力水平下的样本估计值随着时间的推移非常稳定，因此我们可以可靠地使用它们来预测未来的行为。我们展示了昆虫。3.我们模型中的分布（接近）正态。