存在一个超出通常近似值的VaR

我们使用（8），EX（i）/X（j）=y=（j）- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)! Fj-1（y）ZyxFi-1（x）F（y）- F（x）J-我-1dF（x）=（j- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)!采埃孚←uF（y）用户界面-1(1 - u） j-我-1du（11）（随着变量u=F（x）/F（y）的变化）=（j- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)!Z1.- uF（y）-αui-1(1 - u） j-我-1du\'B（i，j）- i） （B（i，j）- i） +Xl≥1B（i+l，j）- i） （F（y））ll！L-1Ym=0（m+1/α））=1+Γ（j）Γ（i）Xl≥1Γ（i+l）lΓ（j+l）Γ（l）（F（y））ll-变量的α=1，y=1的变化X（i）/X（j）=y=（j）- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)!ZhF←uF（y）iui-1(1 - u） j-我-1du（12）=（j- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)!Z1.- uF（y）-αui-1(1 - u） j-我-1du\'1+Γ（j）Γ（i）Xl≥1Γ（i+l）lΓ（j+l）Γ（l）（F（y））ll-1Ym=0（m+2/α），对于1≤ i<j<k≤ n、 经（9），EX（i）X（j）/X（k）=y=（k）- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)!（k）- J- 1)! Fk-1（y）ZyxiFi-1（xi）ZyxixjF（xj）- F（xi）J-我-1.F（y）- F（xj）K-J-1dF（xj）dF（xi）=（k）- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)!（k）- J- 1)!采埃孚←uF（y）用户界面-1.祖夫←vF（y）五、- UJ-我-1.1.- 五、K-J-1dv杜（13）随着变量u=F（xi）/F（y）和v=F（xj）/F（y）的变化=（k）- 1)!（一）- 1)!（j）- 我- 1)!（k）- J- 1)!Z1.- uF（y）-αui-1.祖1.- vF（y）-α五、- UJ-我-1.1.- 五、K-J-1dv其中F（y）=1- Y-α.此外，（X（i+1），…，的联合条件分布，X（p-1） 给定（X（k）=xk，k≤i、 k≥ p） ，1个月≤ i<p≤ n、 用fX（i+1）表示，。。。，X（p-1） /（X（k）=xk，k≤i、 k≥p） ，orf（i+1），。。。，（p-1） /（X（k）=xk，k≤i、 k≥p） 当没有歧义时，为x<…<xn，f（i+1），。。。，（p-1） /（X（k）=xk，k≤i、 k≥p） （xi+1，…，xp）-1） =（p- 我- 1)!F（xp）- F（xi）P-我-1p-1Yl=i+1f（xl）=（p- 我- 1)! αp-我-1.十、-αi- 十、-αpP-我-1p-1Yl=i+1xα+1l（14）这意味着X（i+1），X（p-1） 独立于X（1），X（i）-1） 和X（p+1）。

，X（n），当X（i）和X（p）给定时，顺序统计量形成马尔可夫链。2 Normex：正态和极值的混合限制在这种方法中，受到Zaliapin等人论文的启发，我们进一步分离均值和极值行为的方向，以改进近似值，并以正式的方式解决方法。这意味着要回答一个问题：有多少最大阶统计量Xn-j、 j>k，可以解释当考虑帕累托和α时，基础分布和正态、稳定近似之间的差异≥ 或α<2。Normex以简单高效的方式给出了答案。我们主要对形状参数大于2的情况感兴趣，因为这是研究市场风险数据时的常见情况。在这种情况下，由于第二时刻的不确定性，CLT会出现错误，但正如预期的那样，会提供错误的结果。事实上，CLT只关注平均行为；它相当于修剪和（即SN减去给定数量的最高阶统计量）上的CLT（见[34]），强调不考虑尾部，修剪和的收敛速度提高（见[24]，[25]）。此外，如前所述，厚尾行为可能会在高频数据上明显出现，但在聚合数据或考虑短样本时（从经验上）不再可见，尽管众所周知，聚合下基础分布的形状参数保持不变。因此，我们必须意识到，在存在厚尾的情况下，使用CLT来获取关于平均值以外的信息是完全错误的，即使在某些情况下，经验分布图很好地符合正常分布。虽然我们的重点将主要放在案件上≥ 2.我们将为任何α开发Normex∈ (0; 4].

我们的目标是在现实假设下，以“最佳方式”（为了在大多数情况下改进分布近似）确定与阈值相对应的k个数，将顺序统计的总和分为两个子集，第二个子集由k个最大顺序统计组成。我们将特别提到扎里亚平等人关于两个亚类之间独立性的假设。尽管这项研究是在帕累托例子的基础上发展起来的，但请注意，它的目标是提出一种可以应用于其他例子和实际数据的方法，因此，我们选择寻找极限定理，以近似真实（以及大部分时间未知）分布。2.1如何确定总重尾分布风险的最佳平均行为？让我们从研究修剪和TKW的行为开始，当我们写下iidα-Pareto rv（α>0），Sn:=Pni=1Xi，asSn=Tk+Un的sum sno时-kwith Tk:=n-kXj=1X（j）和Un-k:=k-1Xj=0X（n-j） （15）自80年代以来，许多文献都关注修剪过的萨姆斯比的行为，即从样本中去除极端值；参见例[25]、[34]、[24]。主要问题是阈值k的选择，以便使用CLT，但也可以改进其功能，因为我们希望用正常值来近似Tkb的行为。我们知道，CLT应用于Tkis的一个必要且有效的条件是求和X（j），j=1，k、 但我们也知道，如果不存在高阶矩，仅要求第二阶矩的完整性可能会导致较差的正态近似值，例如金融市场数据。特别是，包括第三阶矩的完整性，可以更好地收敛到CLT（Berry-Ess’een不等式）中的正态分布。

另一个可能非常有用的信息是Fisher指数，该指数由比值γ=E[（X）定义，可以改善SN及其极限分布的近似分布- E（X））]（var（X）），这是峰度指数。偏度E[（X-E（X））]/（var（X））X和（γ的3/2-3） 测量cdf与Φ的接近度。因此，我们将根据Tk和的第四个矩（即第一个n）的存在条件来选择k- k orderstatistics）注意以下涉及埃尔米特多项式（Hn，n）的Edgeworth展开式≥0）指出，要求第四阶矩的完整性似乎是我们所说的“最优”解（当然，高阶矩存在，正规近似值越高，但这意味着条件太强，难以处理）。如果Fn表示标准化SNN的cdf- nE（X）pn var（X），然后fn（X）- Φ（x）=√nQ（x）+nQ（x）+o（1/n）（16）在x中均匀分布，其中q（x）=-~n（x）H（x）E[（x）- E（X））]（var（X））3/2Q（X）=-~n（x）nH（x）E[（X）- E（X））]（var（X））+H（X）γ - 3.oandH（x）=x- 1.H（x）=x- 3倍；H（x）=x- 10x+15x收敛速度明显为n-δ/2e[X2+δ]<∞, δ > 0.注意，在我们的帕累托情形中，偏斜度γ：=E[（X-E（X））]（var（X））3/2和过剩峰度γ：=γ- 3=E[（X）-E（X））]（var（X））- 3分别为γ=2（1+α）α-3qα-2α如果α>3γ=6（α+α-6α-2)α(α-3)(α-4） 如果α>4，那么我们设置p=4（但更倾向于保留符号p，使其保持通用），以获得我们所称的“最佳”近似值。然后我们选择阈值k=k（α），使得e（Xp（j））< ∞ J≤ N- k=∞ j>n- k（17）适用于我们的α-Pareto iid rv的情况，使用（6）给出：k>pα- 1（18）该条件允许确定一个固定的数字k=k（α），作为Xi的潜在重尾分布的形状参数α的函数，而不是样本的大小n。

我们可以将其尽可能小，以最好地拟合Sn的均值和尾部行为。注意，我们寻找可能的最小k，以明确计算出现在第二个和Un的和上的最后一个高阶统计量的分布-K