基于非线性时间序列模型的波动率建模

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英文标题：
《Modeling of Volatility with Non-linear Time Series Model》
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作者：
Kim Song Yon, Kim Mun Chol
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper, non-linear time series models are used to describe volatility in financial time series data. To describe volatility, two of the non-linear time series are combined into form TAR (Threshold Auto-Regressive Model) with AARCH (Asymmetric Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity) error term and its parameter estimation is studied.
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中文摘要：
本文采用非线性时间序列模型来描述金融时间序列数据的波动性。为了描述波动性，将两个非线性时间序列组合成具有AARCH（不对称自回归条件异方差）误差项的阈值自回归模型，并对其参数估计进行了研究。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
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关键词：非线性时间序列 时间序列模型 时间序列 波动率 非线性

用非线性时间序列模型对波动性进行建模Kim Song Yon，Kim Mun Chol，金日成大学数学系，朝鲜民主主义人民共和国平壤，相关作者。电子邮件地址：songyonkim@yahoo.comAbstractIn本文采用非线性时间序列模型来描述金融时间序列数据的波动性。为了描述波动性，将两个非线性时间序列组合成具有AARCH（不对称自回归条件异方差）误差项的阈值自回归模型（TAR），并对其参数估计进行了研究。关键词：波动率，非线性时间序列模型，ARCH，AARCH（非对称ARCH），TAR，QMLE（准最大似然估计）1简介在金融实践中，资产价格波动率是一个重要变量，其建模在投资、货币政策制定，金融风险管理等。对投资持有期间资产价格波动的良好预测是评估投资风险的良好起点。资产的波动性是衍生证券定价中最重要的变量。要给期权定价，我们需要知道从现在到期权到期的基础资产的波动性。事实上，市场惯例是以波动率单位列出期权价格。如今，波动性的定义和测量可能在衍生产品合同中明确规定。在这些新合同中，波动性现在成为基础“资产”。波动率模型已经成为金融时间序列模型分析的主要任务之一，引起了许多科学家的兴趣。1973年，布莱克和斯科尔斯[1]的数学金融进入了一个新阶段。

他们使用随机分析理论来估计期权的价格，期权持有人有权在预定的未来时间T+τ而不是当前时间T以预定的价格K购买商品（或标的资产）。（这种期权被称为欧式期权。）假设在风险中性度量下，标的资产的价格动态遵循DST=rStdt+σStdωt。这里r（短速率）和σ是常数，ω是标准的维纳过程。然后，期权的时间t-价格如下[1]：Ct=StΦ（d）- K exp(-rt）Φ（d）- σ√τ).这里τ=T- 参数σ是未知的。这个σ被称为波动率，如上面的公式所示，σ的准确估计已经成为期权定价和估计中一个非常重要的问题。此外，还提出了与时间相关的其他问题，如波动率σt的估计。1982年，罗伯特·恩格尔（Robert Engle）提出了一种新的模型，可以更准确地估计挥发物[3]。他注意到ARCH中的误差项，这在AR、ARMA和ARIMA等线性时间序列模型中通常被忽略，并提出了一种新的非线性模型，该模型将条件偏差自回归变化的误差项特征异方差添加到ARCH中，而不是简单的白噪声中。他证明了如果股票价格xt被改变为以下εt=100 log（xt/xt- 1） 或εt=xt- xt-1xt-1，那么，可以按如下方式建模：εt=ztht，zt:i.i.d，N（0，1），ht=α+αεt-1+·αqεt-q、 这是著名的ARCH（q）模型。（这是波动性。）这种模式压倒了统计学家和（特别是）计量经济学家，并迅速流行起来。恩格尔于2003年获得诺贝尔经济学奖。

这些类型的非线性模型被认为是非常优越的估计工具，同时也进行了研究，以改进模型，使其具有更好的适用性。因此，许多修改似乎形成了一个大家族。自那时以来，其他研究一直在积极开展，用ARCH（q）模型估计波动率。Engle还提出了检验Arch效应、条件偏差效应的方法，并证明了自回归条件异方差的存在，因此向Si提出了问题。以前用于错误项的I.D（独立同一分布）。1986年，博勒斯列夫将恩格尔的ARCH（q）模型修改为GARCH（p，q）模型[2]。（εt=ztht，zt:i.i.d，ht=α+Pqi=1αiεt-i+Ppi=1βiht-i、 在他的论文中，他提出了GARCH（1，1）过程的存在性、平稳条件和极大似然估计。此后，许多ARCH-M、IGARCH和LogGARCH等ARCH模型被开发出来。在整个研究过程中，已经证明波动性更多地受到“坏消息”而不是“好消息”的影响，即不对称，这导致了对不对称模型的研究。1991年，Nelson[8]提出了一个指数GARCH（EGARCH）模型，该模型显示了不对称冲击。ht=γ+γht- 1+g（εt）- 1） ，g（x）=ωx+λ（|x |- E | x |）。但在许多研究论文中，有效的参数估计和平稳条件没有得到明确解释，这种困难被认为是难以克服的[5]。

但在1993年，格洛斯滕试图用门限ARCH（TARCH）模型对非对称波动性进行建模，后来又提出了许多非对称模型[4]。特别是在2003年，刘吉春开发了不对称拱（q）模型[10]。到目前为止，人们一直在不断地研究出更好的可用性模型，以显示各种拱形模型的效果。本文在分析前人研究的基础上，观察了非线性时间序列模型对波动性的建模。众所周知，波动率和其他金融时间序列数据由ARCH模型很好地描述。同时，这些数据在特定时间点后会发生系统性变化。例如，在亚洲金融危机和美国住房危机之后，金融时间序列数据发生了突变。反映这类系统性变化的最典型模型是TAR模型。该模型的概念可以说是在1953年P.A.P.Moran在对加拿大猞猁的生态系统数据建模时提出了线性模型无法解决的问题时首次提出的。1983年，为了解决这个问题，Tong提到了以往研究方法在一个框架内分析时间序列数据的局限性，并证明最好将时间序列数据视为具有不同范围的各种线性模型的组合。

他为加拿大猞猁生态系统提出了以下模型。xt=0.62+1.25xt-1.- 0.43xt-2+εt，xt-2.≤ 3.25,2.25+1.52xt-1.- 1.24xt-2+εt，xt-2> 3.25，εt~ N（0,0.2），εt~ N（0,0.25）。同时，他还表明，如果将1749年至1924年的太阳黑子数（ωt）的原始数据用Box-Cox变换，或xt=2（ω1/2t）进行变换- 1） 然后可以用下面的模型来描述：xt=1.9191+0.8416xt-1+0.0728xt-2.- 0.3153xt-3+0.1479xt-4.- 1.985xt-5.- 0.0005xt-6+0.1875xt-7.-0.2701xt-8+0.2116xt-9+0.0091xt-10+0.0873xt-11+εt，xt-8.≤ 11.98244.2746+1.4431xt-1.- 0.8408xt-2+0.0554xt-3+εt，xt-8> 11.9824这是对伴随系统性变化的数据分析的巨大贡献。如模型所示，阈值AR模型已更改为基于阈值（上述模型中为11.9824），具有一定的时间延迟（上述模型中为9），并通过完全去除之前的线性，成为非线性时间序列模型的起源。因此，我们认为，如果我们要在金融危机等特定事件发生后以完全不同的行为对波动率数据进行建模，最好在同一结构中结合TAR和AARCH属性。本文提出了描述波动性的TAR-AARCH（阈值自回归非对称自回归条件异方差）模型（1）-（3）。xt=tXj=1uj+pXk=1ujkxt-K1（xt）-D∈ Rj）+εt（1）εt=ztht，zt:i，i，d，N（0，1）（2）ht=α+qXi=1（αi |εt-i |+βiεt-i） （3）α>0，q>0，p，q：已知t，t，··，tl的区间序列Rj，j=1，2，···，如下所示：R=(-∞, t] ，R=（t，t），R=（t，t]，··，Rl=（tl）-1, +∞),1（x）∈ （A）=1，x∈ A、 0，x/∈ A.如模型（1）-（3）所示，（1）是TAR模型，其误差项（2）和（3）是AARCH模型。

换句话说，焦油模型的模型（1）-（3）包含不对称拱效应。考虑到模型中不可能有完全形式的似然函数，建立了基于qmle（拟极大似然估计）的适当参数估计方法，并证明了该TAR-AARCH模型估计量的渐近正态性。然后，在TAR模型[7]中通过小波估计时延和阈值参数后，可以估计组合TAR-aarch模型的所有参数。2 TAR-ARCH模型中的参数估计要将QMLE用于模型，我们应该首先htαt，htjk，εtαi，εt~njk。但正如（3）所示，这是不可能估计的ht（θ）作为参数的φjk包含绝对值项。因此，通常的QMLE方法在寻找参数的输出QMLE时是无效的。但如果将集中的QMLE用于（1）-（3），这个问题就可以解决。即“α”= （α，··，αq，β，··，βq）可以固定，且QMLE集中在θ上= （1）可以得到（φ，··，φlp），并且可以观察到其渐近正态性。如果我们假设θ=（φ，···，φlp）是已知的，得到Xt的QMLE concentratedonα并证明其渐近正态性，那么我们将能够通过上述两个步骤获得参数θ和α的估计量。但是我们应该能够确定这些估计器是否可以被假定为参数的估计器，如果可以的话，它们与qmle相比有多大的差异。

为此，基于上述方法，对具有QMLE及其渐近正态性的TAR-ARCH模型的参数进行了划分，以获得每个子参数的集中QMLE和渐近正态性，并将结果与[6]中获得的QMLE进行了比较，以证明该方法的有效性。2.1焦油拱模型α中的浓缩QMLE= （α，α，··，αq），θ= （~n，~n，···，~n1p，~n，~n，··，~n2p，···，~nl0，~nl1，··，~nlp）。如果对于TAR-ARCH模型，α已知，那么集中在θ上的QML方程公式为：nXt=1ht（α）εt（θ）1（xt-D∈ Rj=0，nXt=1εt（θ）ht（α）xt-k1（xt）-D∈ Rj=0，j=1，l，k=1，p=1。

在模型（1）-（3）中，假设θ1，当α已知时，nbe QML估计集中在θ上，并且它满足强平稳条件θ∈ Θ, α ∈ θ1，n∈ Θ.θ1,0∈ Θ是模型（1）-（3）的真参数，当α已知时oθ1，np→ θ1,0,o√Nθ1，n- θ1,0~ N（0，I）-1(θ1,0)).同样地，QMLE集中于，其渐近正态性可以用与定理1相同的方法来证明。我们可以看到QMLE和集中QMLE有多大的区别，如下所示。为此，使用QMLE（TAR-ARCH）获得的参数可分为~θ, ~α以及它的费舍尔信息矩阵I-1（θ）=I-1.~θ, ~α可与上述集中QMLE的Fisher信息矩阵进行比较-1（θ）=I-1（α）来证明它们之间的关系：hvar√Nθ1，n- θ1,0我-1.≥赫瓦尔√Nθ1，n- θ1,0我-1.变量√n（^αn）- α)-1=变量√n（∧αn）- α)-1.（~θ1，n，~αn：QMLE的子参数）因此，可以得出结论，如果使用上述子参数θ，α的方法来获得TAR-AARCH模型的集中QMLE，而TAR-AARCH模型很难应用QMLE，那么获得的估计量是可以接受的，尽管效率略有降低。2.2 Tar-AARCH模型中集中QMLE的渐近正态性很容易看出，在模型（1）-（3）中，如果已知α，则集中在θ上的QML方程如下：nXt=1ht（°α）εt（°θ）1（xt-D∈ Rj=0，nXt=1εt（\'θ）ht（\'α）xt-k1（xt）-D∈ Rj=0，j=1，··，l，k=1，··，p然后，可以证明下列定理。定理2。在模型（1）-（3）中，\'α是已知的，\'θ1，QML估计集中在\'θ上。此外，它还满足了“θ”的强平稳条件∈Θ，θ1，n，α∈ Θ.

如果已知α时，θ1,0是模型（1）-（3）的真参数，则以下为真：oθ1，np→θ1,0,o√Nθ1，n-θ1,0~ N0，我-1.θ1,0.可以得到集中在α上的QMLE，其渐近正态性也是这样。3结论在本文中，首先，将两种类型的非线性模型（TAR和不对称ARCH）结合到TAR-AARCH模型中，以更有效地描述波动性。其次，提出了适当的参数估计方法，以应对组合模型不对称产生的各种困难。参考文献[1]F.Black，M.Scholes，《期权定价与公司负债》，政治经济学杂志，81（3）（1973），637-654。[2] T.Bollerslev，广义自回归条件异方差，计量经济学杂志，31（3）（1986），307-327。[3] R.F.Engle，《风险与波动：经济模型与金融实践》，诺贝尔讲座，斯德哥尔摩，2003年12月8日至29日。[4] L.R.Glosten，R.Jagannathan，D.E.Runkle，关于股票名义超额收益率的预期价值和波动性之间的关系，金融杂志，48（5）（1993），1779-1801。[5] 《应用定量金融：理论与计算工具》，斯普林格，2002年。[6] Kim S.Y.Kim，不对称拱型误差阈值AR（韩文），博士论文，2007年。[7] Kim，M.C.S.Y.Kim，小波自激励焦油模型中阈值和时间延迟的识别，纪念金日成大学（数学）成立65周年国际研讨会，20-21。2011年9月10日，朝鲜平壤，arXiv1303。4867[数学博士]。[8] D.B.Nelson，《资产收益的条件异方差：一种新方法》，计量经济学，59（2）（1991），347-370。[9] H。