不确定的增长和未来的价值

另一方面，根据公式（5），如果m<k/2α，则r∞< 0; 如果我们在使α足够小的同时保持k/α的比率不变，那么r很少为负（实际上，在这种情况下为u/κ）∝ α-1/2 1作为α→ 0). 这是真的区域对应于图2中上部区域的蓝色楔形物。我们将OU模型的参数输入附录中所述的每个数据系列。结果参数列于表II，每个国家的位置（κ，u）如图2所示。这些国家分为两个非常明确的群体。9个国家的实际利率相对稳定，长期利率为正。它们位于左上角的指数衰减区域，在零长期利率曲线附近紧密聚集在一起。相比之下，行为不太稳定的五个国家正处于指数增长区域，这意味着它们的长期负利率，而且分布广泛。（并非所有五个国家都经历过法西斯ZF）。在四种情况下，平均对数利率m为负值，原因是至少有一段时期的通货膨胀失控；西班牙是个例外，它的平均实际利率（非常正），但长期来看仍然是负利率。请注意，所有14个国家都低于图2中的识别线，这表明负实际利率是常见的——即使在稳定的国家，负实际利率也占23%。在图3中，我们展示了所有国家的贴现函数D（t）作为时间的函数，说明了两组之间的显著差异。在大多数情况下，行为是单调的；然而，它也可以是非单调的，如阿根廷所示，先增加后减少。在任何情况下，与长期利率的趋同都会在30年内发生，通常会在不到30年的时间内发生。

在短期内，哪一个是正比例，哪一个是正比例，哪一个是正比例。为了提供统计结果的估计，我们将每个国家的数据分成四个大小相等的区块，并分别估计每个区块的参数。我们在表2中引用了每个国家的最大值和最小值。这一分析表明，统计确定性很大。关注长期利益∞, 所有国家都有正的最大值，大多数国家都有负的最小值——只有美国、英国和丹麦有正的r∞在所有四个样本中。子样本变化比标准误差大一个数量级以上，表明存在强非平稳性。三、 讨论我们在这里的分析表明，由于实际利率通常为负值，而且实际上超过四分之一的时间被观察到，因此我们必须使用一个与这一性质相符的模型。为此，我们使用了Ornstein-Uhlenbeck模型，并对其进行了解析求解。我们的解决方案很容易理解为什么长期折扣率如此之低。第一个原因是实际利率通常相当低。所有国家的平均值为0.71%，甚至稳定国家的平均值（r∞> 0）为2.7%。第二个原因是ofEq第二部分中的波动项。（5） ，这取决于波动幅度和持续性项1/α，通常会将稳定国家的利率降低约22%。在某些情况下，比如西班牙，影响要大得多：尽管平均短期利率的高值为m=5.7%，但长期贴现率为r∞= -6.4%.

五个不稳定国家的平均利率M=-2.9%，但r∞= -42%.我们在这里的分析做了一些简化，比如忽略非平稳性以及环境和经济之间的相关性。我们相信，正如我们希望在未来的工作中所做的那样，将这些影响包括在内，只会使贴现率接近于零。我们在这里介绍的方法为合并更现实的假设提供了基础-1.0-0.50.00.51.01.52.02.50.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0μκargauscanchldeukespgbritajpnldsweusazaf0。00.10.20.30.0 0.1 0.2 0.3 0.4图。2：我们样本中14个国家的Ornstein-Uhlenbeck实际利率模型参数的比较。纵轴是无量纲平均利率u=m/α，横轴是无量纲波动幅度κ=k/α3/2。实心黑色曲线左上角的点具有长期贴现率r∞> 0，右下角的人在哪里∞< 0，即贴现函数D（t）实际上随时间增加。尽管九个稳定国家的贴现行为非常相似，如插图所示，但其他五个国家的贴现行为非常不同。尽管如此，所有14个国家都低于身份线（绿-黄界面），这表明在任何情况下负实际利率都很常见。10-1100101 0 20 40 60 80 100D（t）t（年）Argauscanchldukespgbritajpnnldsweusazaffig。3：我们样本中14个国家的Ornstein-Uhlenbeck模型的贴现函数D（t）作为时间的函数。D（t）迅速达到其长期指数行为。

不稳定国家的长期利率变化剧烈，而大多数稳定国家的长期利率相当相似。我们的意思并不是说，实际使用利率过程不太稳定的五个国家不断增加的贴现功能是现实的。将过度通货膨胀视为自由化是有一定道理的——当这种情况发生时，ZF债券被广泛发行，以支持土地和黄金等更稳定的财富载体，因此在这种情况下，名义利率和通货膨胀之间的差异可能会低估实际利率。尽管如此，实际利率通常与经济增长和经济衰退密切相关。大萧条持续了15年，罗马的沦陷在西欧引发了一场持续了近千年的大萧条。鉴于我们在这里的研究结果，认为我们应该等待对全球变暖采取行动，因为未来的经济增长将很容易解决这个问题的观点应该以极端怀疑的态度看待。我们的分析明确支持斯特恩而非诺德豪斯：即使我们剔除了五个我们发现贴现函数逐渐增加的国家，平均长期利率r∞对于其余九个国家来说，这一比例约为2%，仅略高于斯特恩使用的1.4%。当我们计划未来时，我们应该时刻牢记，持续的经济衰退可能会再次降临，就像过去一样。附录A：公式（1）中的折扣函数折扣函数可写（t）=Ehe-x（t）i，其中x（t）是随机过程x（t）=Ztr（t）dt，代表时间t的累积收益。因此，D（t）=Z∞-∞drZ∞-∞E-xp（x，r，t | r）dx（A1），其中p（x，r，t | r）是二维扩散过程（x（t），r（t））的联合概率密度函数。Sincedx（t）=r（t）dt我们从等式中看到。

（2） 下面是普朗克方程Pt=-RPx+αr[（r- m） p]+kPr、 （A2）初始条件p（x，r，0 | r）=δ（x）δ（r）- r） 。（A3）通过使用特征函数，也就是关节密度p（ω，ω，t | r）=Z的Fourier变换，可以更方便地解决这个问题∞-∞E-iωxdx（A4）×Z∞-∞E-iωrp（x，r，t | r）dr变换方程。（A2）-（A3）得出更简单的方程式： ~pt=（ω）- αω) ~pω-imω+kω~p，其中~p（ω，ω，0 | r）=e-iωr.这个初值问题的解是由高斯函数p（ω，ω，t）=expn给出的-A（ω，t）ω- B（ω，t）ω- 其中A（ω，t）、B（ω，t）和C（ω，t）的表达式将在其他地方给出。一旦我们有了特征函数p，就可以直接得到等价的折扣函数。影响，来自等式。（A1）和（A4）我们看到d（t）=pω= -i、 ω=0，t.在我们的例子中，D（t）=exp{-C(-i、 t）}在使用C（ω，t）的表达式（将在其他地方详细说明）之后，最终结果为D（t）=-rα1.- E-αt+καt- 2.1.- E-αt+1.- E-2αt- uαt-1.- E-αt. （A6）式（A6）中的指数项对于大时间（t）可忽略不计 α-1). 最后，作为t→ ∞, 我们得到D（t）\'-(u - κ/2）αt，（A7）是等式（4）。0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10μκ\'pminus_inf.dat\'u 1:2:3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图。4：等式（B1）中给出的负利率概率。在右下角附近，负利率的概率约为0.5，而在左上角，该概率呈指数级小，且利率大多为正。附录B：负利率正如我们上面提到的，OU模型可能会达到负利率。现在让我们通过评估r（t）为负值的概率P（r<0，t | r）来量化这一特征。

可以很容易地证明，平稳概率(-)s=极限→∞P（r<0，t | r）由P给出(-)s=Erfc（u/κ），（B1），其中Erfc（x）是互补误差函数，u和κ在等式（6）中定义。利用Erfc（x）的标准渐近表达式，我们可以很容易地得到P的行为(-)在（i）u<κ和（ii）u>κ的情况下。因此，（i）如果无量纲平均利率u小于无量纲波动幅度κ，u/κ<1，我们有(-)s=-√π（u/κ）+O（u/κ）。（B2）对于非常小的u/κ，这种概率接近1/2。换句话说，利率是正的或负的，概率几乎相等。请注意，这与噪声主导均值的情况相对应（参见图4中的右下角）。（ii）当正常水平周围的波动小于正常水平本身时，κ<u，我们得到(-)s~√πκuE-u/κ. （B3）因此，对于平均值附近的轻微波动，负利率的概率是指数级的（见图4左上角）。在噪声被平均值平衡的极限情况下，负速率的概率为P(-)s=0.079，由于OU过程的遍历性，这意味着当u=κ时，平均有7.9%的时间是负值。附录C：低于长期利率实际利率r（t）低于长期利率r的概率∞是byP给的∞（t）≡ Prob{r（t）<r∞} =锆∞-∞p（r，t | r）。可以很容易地证明，在静止状态下→∞, 这个概率由P给出∞=Erfcrm- R∞2α!. （C1）注意，这个表达式证明了∞通过在保持m和r的同时增加持久性参数1/α，可以使其变得非常小∞固定。

实际上，使用交感神经估计器erfc（x）~E-十、√πx1+O十、,我们有∞~rα2π（m）- R∞)E-（m）-R∞)/2α，当α→ 0.附录D：参数估计实际利率是通过通货膨胀校正的名义利率。名义利率由IG利率（即10年期ZF债券收益率）给出，但在智利和英国的情况除外，由于不可用，我们采用ID利率（即10年期贴现率）。我们将开放的IG或ID年利率转换为对数利率，并用b（t）表示得到的时间序列。通货膨胀由消费者价格指数（CPI）及其对数率isc（t）=Tln[C（t+t）/C（t）]表示，其中t=10年，C（t）是每个国家的实证CPI时间序列。最后，实际利率r（t）由r（t）=b（t）定义- c（t）。每个国家的记录频率为每年或每季度。我们估计OU模型的参数m、k和α如下：速率m是过程（2）的平稳平均值：E[r（t）]=m。我们根据自相关函数k（t）估计α和k- t） =E[（r（t）- m） （r（t）- m） ]。对于OUP进程，此isK（t- t） =k2αe-α| t-t |和α-1是相关时间。我们通过评估经验自相关并用指数拟合来估计α（以1/年为单位）。一旦α被确定，参数k就从（经验）标准偏差中获得，σ=E（r（t）- m）, 由相关函数给出，因为σ=K（0）。亨切克=σ√2α.为了了解估计过程的稳健性，我们将每个国家构建的实际利率数据分割为四个等距数据块。在每个区块中，我们使用上述方法估计出EOU模型的参数，但参数α除外，它总是使用完整的数据集进行估计。

避免在小数据块上估计α的主要原因是一些国家的时间序列太短。相反，α中引用的不确定度是标准最小二乘误差，通过拟合真实感兴趣时间序列的自相关函数的指数来计算。表II显示了u、κ和r的最小值和最大值∞, 以及二次抽样下的不确定性。感谢我们感谢国家科学基金会拨款0624351。我们还感谢根据第号合同对科学和创新部的部分支持。FIS2009-09689和新经济思维研究所。[1] 萨缪尔森P（1937）关于效用测量的注释。Rev Econ螺柱4:155–161。[2] Dasgupta P（2004）《人类福祉与自然环境》（牛津，牛津大学出版社）。[3] Stern N（2006）《气候变化经济学：斯特恩评论》（剑桥，剑桥大学出版社）。[4] Nordhaus WD（2007）《斯特恩气候变化经济学评论》。《经济学文献》45:687-702。[5] Nordhaus WD（2007）《气候变化评论》中的关键假设。科学317:201–202。[6] Dasgupta P（2006）评论斯特恩评论的气候变化经济学（剑桥，剑桥大学出版社）。[7] 门德尔松·罗（2006）对斯特恩报告的批评。冬天。[8] Weitzman ML（2007）《斯特恩气候变化经济学评论》。《经济学文献》45:703-724。[9] Nordhaus WD（2008）《平衡问题》（纽黑文，耶鲁大学出版社）。[10] Arrow，K.J.，Cropper，M.L.，Gollier，C.，Groom，B.，Heal，G.M.，Newell，R.G.，Nordhaus，W.D.，Pindyck，R.S.，Pizer，W.A.，Portney，P.R.，Sterner，T.，Tol，R.S.J.和Weitzman，M.L.在代际背景下，应该如何折扣福利和成本？专家小组的观点。未来的资源，瓦辛顿。C

2012年12月。[11] Newell R，Pizer N（2003）贴现遥远的未来：不确定利率会在多大程度上增加估值？J.环境。经济部。和管理46:52-71。[12] Weitzman ML（1998）为什么遥远的未来应该以尽可能低的利率贴现。J.环境经济学。和管理36（3）：201-208。[13] Gollier C，Koundouri P，Pantelidis T（2008）下降的贴现率：长期政策的经济正义和影响。经济政策23:757–795。[14] Farmer JD，Geanakoplos J，《双曲线贴现是理性的：用不确定贴现率评估遥远的未来》，SSRN。[15] Groom B，Koundouri P，Panopoulou E，Pantelidis T（2007）贴现遥远的未来：选择对确定性等价率的影响有多大。J.阿普尔。计量经济学22:641–656。[16] Hepburn C，Koundouri P，Panopoulou E，Pantelidis T（2007）不确定性下的社会折扣：一项跨国比较。J.环境。经济部。管理57:140-150。[17] M.C.弗里曼、B.格罗姆、E.帕诺普卢和T.潘特利迪斯。折扣率下降和费舍尔效应。过去的浮躁，未来的打折？气候变化经济和政策中心。关于布朗运动理论的工作文件129（2013）[18]Uhlenbeck G.E.，Ornstein L.S.（1930）。菲斯。牧师。36: 823-841.[19] Feller W.（1951）两个奇异扩散过程。安。数学54:173-182。[20] 奥斯本M.F.M.（1959）股票市场中的布朗运动。运筹学7:145-173。转载于Incotner P.H。

（编辑）（1964）股票市场价格的随机性（马萨诸塞州剑桥，麻省理工学院出版社）。[21]Jouini E，Cvitanic J&Musiela M（编辑）（2001）O期权定价、利率和风险管理（剑桥，剑桥大学出版社）。[22]Gollier C（2012）《为地球未来定价：不确定世界中的贴现经济学》（普林斯顿，普林斯顿大学出版社）。[23]对于一组不同的模型，Groom等人也观察到了对参数的敏感性[15]。