倾斜和隐含的杠杆效应：微笑动力学重温

从期权价格中，我们提取了不同货币和到期日的波动率微笑，这使我们能够测量：o微笑倾斜的倾斜，从等式（I.1）中定义，我们在整个时间段内对一组固定到期日进行平均隐含杠杆系数γT，衡量为ATM隐含交易量变化对标的资产收益率的回归系数最后，Bergomi的SSR作为时间平均的局部SS比，测量为：bRT（t；M）=MPti=t-M（σATM，T（i+1）- σATM，T（i））×riPti=T-MSkewT（i）×Pti=t-Mri（IV.3），其中M=50是移动平均窗的大小。我们对SSR的经验估计为：RT=hbRT（t；M）it。（IV.4）为了将γTand Rt与理论估计值进行比较，我们进一步假设基本过程是时平移不变的，并且前向方差是平均值，这使我们能够从公式（II.15）[7]中获得γt:。T≈2TTX`=1gL（`）。（IV.5）我们的结果总结在三个图表中，每个图表都显示了标准普尔500指数（左）和DAX指数（右）的数据在图1-a，b中，我们将无条件倾斜倾斜和无条件隐含杠杆γT显示为到期日T的函数，这两种杠杆γT都是从期权数据中提取的，我们将其与理论估计值β和γth进行比较。T、 使用基础资产的历史收益率获得。我们得出结论：（a）标普指数上的期权偏斜比βT预测的要大，但与DAX非常匹配；（b） 标准普尔期权的隐含杠杆γ对于短期到期而言是很好的估计，但正如[7]所观察到的，对于更大的到期而言，系统性的杠杆γ太强了。另一方面，对于DAX而言，隐含杠杆对于短期到期可能太弱，而对于大型到期可能太强无花果。

2-a，b，我们展示了Bergomi的SSR RTA是成熟度的函数，以及我们的理论估计Rth。T=γth。T√T/βT，基于历史收益（使用等式IV.5）或基于非对称GARCH模型的预测，其本身根据历史收益进行校准[16]。我们发现，总体一致性相当好，尤其是与非对称GARCH模型的预测相比，非对称GARCH模型的预测噪音更小，而基于历史收益率的直接估计。因此，尽管隐含的杠杆γ和歪斜耳在期权市场上都太强，但它们的比率几乎是正确的！尽管如此，对于小到期日，观察到RTC明显大于渐近Bergomi值2。这是由于等式（II.13）中出现的修正系数（ST/6）/SkewT>1，我们接下来将讨论该修正系数在图3-a，b中，我们现在绘制了修正系数（ST/6）/SkewTas a随成熟度变化的预期值，再次使用基于等式的直接估计。（IV.1），（IV.2），或基于非对称GARCH模型的预测，以及经经验校准的参数。我们看到，在标准普尔500指数的情况下，GARCH模型总体上没有很好地捕捉到这一比率的值，正如[8]中已经注意到的那样，GARCH模型低估了这一比率。GARCH模型的已知缺点之一是，它无法捕捉波动过程的长期记忆。这或许可以部分解释这里出现的差异。在DAX的情况下，该比率更接近于统一（除了低于1的小型到期日），这表明在这种情况下非线性效应较弱。V.结论在本文中，我们重新探讨了[1,6,7]中设想的微笑动力学问题，这包括将“隐含杠杆”（即货币波动率与基础回报率的相关性）和期权微笑的倾斜联系起来。

正如Bergomi[1]所注意到的那样，这两个量之间的比值被称为“倾斜粘性比”（SSR），在小到期日的限制下，饱和为线性模型的值2，在长到期日则收敛为1，后者的值对应于市场庄家使用的众所周知的“粘性罢工”经验法则。我们已经证明，对于更一般的非线性模型（如不对称GARCHmodel），Bergomi的结果必须修改，对于小到期日，可以大于2。这种差异来自这样一个事实，即波动率偏斜通常不同于标的资产的偏斜，这是使用累积量展开或线性模型的vol-of-vol展开发现的。正确的倾斜是由不对称性的低矩估计给出的，即0 20 40 60 80 100T0。250.200.150.100.050.00βTSkewTγthTγT0 20 40 60 80 100T0。180.160.140.120.100.080.060.040.02βTSkewTγthTγTFIG。1：γT的斜态和无条件值的理论预测与基于期权数据的估计之间的比较。左面板显示标准普尔500指数的结果，而右面板显示DAX指数。1214161 81 101.0T1。52.02.53.03.54.0SSR历史估值期权数据（SPX_IDX）Garch模型1214161 81 101.0T1。41.61.82.02.22.42.62.83.0SSR历史估值期权数据（DAX_IDX）Garch模型图。2：期权数据γT估计的实际SSR之间的比较√T/skewt和基于历史数据的理论预测，γth。T√T/βT。左面板显示标准普尔500指数的结果，而右面板显示DAX指数。020406080100T1。01.11.21.31.41.51.61.71.8Garch模型ST/6βT（SPX_IDX）020060800100。70.80.91.01.11.21.31.41.5拱形模型ST/6βT（DAX_IDX）图。

3：标准普尔500指数（ST/6）/偏态检验与标准普尔500指数（左面板）和DAX（右面板）的GARCHmodel预测之间的比较。负回报概率和正回报概率之间的差异（乘以pπ/2）。我们使用期权市场和标普500和DAX的基础价格序列的数据，将我们的理论与实证结果进行比较。我们发现，除其他外，尽管隐含杠杆γ和倾斜-倾斜-倾斜对期权市场来说都太强（特别是对标准普尔500指数而言），但它们的比率可以用该理论很好地解释。我们观察到，对于小到期日，SSR明显大于2。根据历史数据校准的非对称GARCHmodel很好地解释了SSR的值，但未能准确地再现不同的偏度度量，尤其是对于标准普尔500指数。[8]还指出了非对称GARCH模型在解释期权的所有性质方面的不足。将我们的研究扩展到建立微笑曲率和峰度测量之间的类比关系[8]，并在数据上进行测试，这也是非常有趣的。我们感谢S.Ciliberti和L.De Leo就这些话题进行了有趣的讨论。六、 附录：PROOFSA。微笑公式我们证明了微笑公式。

通过微分（II.1），我们得到了在1阶下的以下分解：vuu=vu+νξu，1u（VI.1），其中vu是时间0的正向曲线，ξu，1i由以下表达式（u>2）给出：ξu，1u=u-1Xj=1λujf(j） （VI.2）因此，我们得到如下结果，顺序为1，在ν：σu=pvu+νpvuξu，1u（VI.3）我们设置如下：VT:=TXi=1vi，N=TXi=1qvi我-TXi=1vi（VI.4）和：eN=TXi=1ξu，1upvu-TXi=1ξu，1u（VI.5）因此，我们有ln ST=N+νeN，我们引入函数：F（ν）=Eh（SeN+νeN）- K） +i（VI.6）注意，我们得到导数的以下表达式：F（0）=SEheNeNN>lnKSi（VI.7）我们得到以下表达式：SEheNeNN>lnKSi=STXi=1pviEhξi，1iieNN>lnKSi-STXi=1Ehξi，1ieNN>lnKSi=KTXi=1Eξi，1iN=lnKSE-（ln K/S+VT/2）/2VT√2πVT=KTXi=1i-1Xj=1λijEf(j）N=lnKSE-（ln K/S+VT/2）/2VT√2πVT=KTXi=1i-1Xj=1λijEf(j）N=lnKSE-（ln K/S+VT/2）/2VT√2πvt现在，回想一下，我们有分解j=√vjVT（N+VT）+Yjand因此我们得到：SEheNeNN>lnKSi=KTXi=1i-1Xj=1λijEf（qvjVT（lnKS+VT）+Yj）E-（ln K/S+VT/2）/2VT√2πVT（VI.8）现在，通过使用下面的织女星（VI.12），我们得到：δVT=νTXi=1i-1Xj=1λijEf（qvvtlnKS+VT+ Yj）（VI.9）由于M处的δσ，T=δVT√VTT，我们得到了微笑公式。B.偏度我们得到了以下关于1阶的偏度统计，单位为ν：ST=PTi=2Pi-1j=1E[rjσi]V3/2T=νPTi=2Pi-1j=1qvjE[jξi，1i]V3/2T=νPTi=2Pi-1j=1qvjλijV3/2TE[f()]C.GreeksLemma VI.1（希腊语）。

如果我们设v≡ VTand:BS（S，v）=SNln（S/K）+v√五、- 千牛ln（S/K）-五、√五、（VI.10）我们得到了导数的以下表达式：BS（S，v）S=Nln（S/K）+v√五、, （VI.11）BS（S，v）v=S√越南ln（S/K）+v√五、=s√2π√ve-（ln（S/K）+v）2v（VI.12）和BS（S，v）v=-s√2πv3/2e-（ln（S/K）+v）2v+S√2πv5/2（（ln S/K）- v/4）e-最后，BS（S，v）s五=√五、-ln（S/K）2v3/2√2πe-（ln（S/K）+v）2v（VI.14）[1]Bergomi L.：微笑动力学IV，风险，94-100（2009年12月）。[2] 巴库斯·D.，弗雷西·S.，赖克，吴力：《布莱克·斯科尔斯的偏见会计》，纽斯滕商学院1997年工作报告。[3] Bergomi L.：微笑动力学I，风险，117-123（2004年9月）；《微笑动力学II，风险》，第67-73页（2005年10月）；《微笑动力学III，风险》，90-96（2008年10月）。[4] Bouchaud J.P.，Potters M.：金融风险理论和衍生产品定价剑桥大学出版社2003。[5] P.Hagan，D.Kumar，A.Lesniewski和D.Woodward，管理微笑风险，Wilmott杂志第84-108页（2002年）。[6] Ciliberti S.，Bouchaud J.P.，Potters M.：微笑动力学：隐含杠杆效应的理论，Wilmott Journal 1（2），87-94（2009年4月）。[7] Ciliberti S.，Bouchaud J.P.，Potters M.：《微笑动力学——隐含平均效应的理论》勘误表，arXiv:1105.5082。[8] De Leo L.，Vargas V.，Ciliberti S.，Bouchaud J.P.：低谷时刻的微笑，风险，64-67（2013年7月）[9]Bergomi L.，Guyon J.：随机波动的有序微笑，风险，60-66（2012年5月）[10]Bouchaud J.P.，续R.和Potters M.：1998年《欧洲物理学快报》。[11] Bouchaud，J.P.，Matacz，A.和Potters，M.：金融市场中的杠杆效应：延迟波动模型，Phys。牧师。莱特。，87 (2001), 228701.[12] 假设基础动力学的前向方差曲线和时间平移不变性：见下文，等式。

（II.12），以获得更一般的公式。[13] 我们记得∑≡pv。[14] 我们注意到E<0-= 0[15]我们提醒大家，对于高斯变量E[2Y 1Y<0]=p2/πpE[Y]。顺便注意，对于对称GARCH模型，E[f]=0，歪斜/歪斜消失。[16] 对于S&P500，GARCH模型的参数为ρ=0.988、ν=0.123和v=0.179；对于DAX，模型的参数为ρ=0.9856、ν=0.133和v=0.207。因此，在这个GARCH描述中，波动性松弛的特征时间约为13天。