倾斜和隐含的杠杆效应：微笑动力学重温

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英文标题：
《Skew and implied leverage effect: smile dynamics revisited》
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作者：
Vincent Vargas, Tung-Lam Dao, Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We revisit the ``Smile Dynamics\'\' problem, which consists in relating the implied leverage (i.e. the correlation of the at-the-money volatility with the returns of the underlying) and the skew of the option smile. The ratio between these two quantities, called ``Skew-Stickiness Ratio\'\' (SSR) by Bergomi (Smile Dynamics IV, RISK, 94-100, December 2009), saturates to the value 2 for linear models in the limit of small maturities, and converges to 1 for long maturities. We show that for more general, non-linear models (such as the asymmetric GARCH model), Bergomi\'s result must be modified, and can be larger than 2 for small maturities. The discrepancy comes from the fact that the volatility skew is, in general, different from the skewness of the underlying. We compare our theory with empirical results, using data both from option markets and from the underlying price series, for the S&P500 and the DAX. We find, among other things, that although both the implied leverage and the skew appear to be too strong on option markets, their ratio is well explained by the theory. We observe that the SSR indeed becomes larger than 2 for small maturities.
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中文摘要：
我们重新讨论了“微笑动力学”问题，它包括关联隐含杠杆（即货币波动率与基础收益率的相关性）和期权微笑的倾斜。这两个量之间的比率，由Bergomi（微笑动力学IV，风险，94-1002009年12月）称为“倾斜粘性比率”（SSR），在小期限的限制下，饱和为线性模型的值2，在长期限的限制下收敛为1。我们证明，对于更一般的非线性模型（如非对称GARCH模型），Bergomi的结果必须修改，对于小到期日，Bergomi的结果可以大于2。这种差异来自这样一个事实，即波动率偏差总体上不同于标的资产的偏差。我们使用期权市场和标普500指数和DAX的基础价格序列的数据，将我们的理论与实证结果进行比较。我们发现，除其他外，尽管在期权市场上隐含的杠杆率和倾斜似乎都太强，但它们的比率可以用该理论很好地解释。我们观察到，对于小到期日，SSR确实变得大于2。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Skew_and_implied_leverage_effect:_smile_dynamics_revisited.pdf (531.46 KB)

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关键词：杠杆效应 动力学 Applications Quantitative Econophysics

扭曲和隐含的杠杆效应：微笑动力学重温文森特·瓦尔加森，法国巴黎乌尔姆街45号，75005。法国巴黎大学路23号东林道。Jean-Philippe BouchaudCFM，法国巴黎大学街23号，75007。法国帕莱索91120号理工学院。我们重新讨论了“微笑动力学”问题，它包括关联隐含杠杆（即货币波动率与基础收益率的相关性）和期权微笑的倾斜。这两个量之间的比率，Bergomi[1]称为“倾斜粘性比率”（SSR），在小到期期限内，饱和为线性模型的值2，在长到期期限内收敛为1。我们表明，对于更一般的非线性模型（如对称GARCH模型），Bergomi的结果必须修改，对于小型到期债券，其结果可以大于2。这种差异来自这样一个事实，即波动率偏差通常不同于标的资产的偏差。我们使用期权市场和标普500和DAX基础价格序列的数据，将我们的理论与实证结果进行比较。我们发现，除其他外，尽管隐含杠杆率和偏差在期权市场上似乎都太强，但它们的比率可以用该理论很好地解释。我们观察到，对于小型到期债券，SSR指数变得大于2。I.简介关于期权微笑最著名的“程式化事实”包括a）它们的偏差，即下行波动率通常高于上行波动率，反映了市场波动的预期负偏差，以及b）“隐含杠杆效应”，即当基础市场下跌时，货币波动率增加的趋势。大量研究致力于建立一个理论框架，定量地解释这些特征（参见[2-5]）。

做市商使用简单的“经验法则”将这两种影响联系起来。其中之一是“粘性罢工”规则，该规则假设期权的隐含波动率仅取决于其罢工K。假设微笑在货币周围是局部线性的，则定义如下：σBS，T（K）≈ σATM，T[1+SkewTM]，其中M=ln（K/S）σATM，T√T 1，（I.1）和σATM，T=σBS，T（K=S）是“按货币”的隐含波动率，T是到期日，M是按比例计算的货币性，假设很小，而skewt是微笑的相对斜率，我们将称之为整个“skew”。因此，假设上文定义的“粘性走向”立即解释了σATM的变化与倾斜之间的以下关系：ΔσBS，T（K）=0=ΔσATM，T+倾斜TδSS√T-→ ΔσATM，T=-SkewTδSS√T.（I.2）更一般地说，L.Bergomi[1]建议引入（依赖于到期日的）倾斜粘性比率（SSR），定义为：ΔσATM，T:=-rttδSS√T、 （I.3）与RT≡ 1如果上述“粘滞罢工”规则成立，以及≡ 0表示所谓的“粘性增量”规则，其中波动率仅取决于货币性（因此，当M=0时，在货币上是微不足道的常数）。RTin（I.3）的定义应理解为ΔσATM、TagainstδS/S的标准回归。这些规则能否提供一些理论基础，以及人们应该期望RTin有什么价值？最近，Bergomi[1]和Ciliberti Bouchaud Potters[6,7]独立提出了RTA理论，并将结果与经验数据进行了比较。Bergomi对远期波动性动力学假设了一个一般的线性模型，并将其扩展到较低的vol of vol，而Ciliberti等人则使用累积量扩展来表示微笑。

这两个结果将为SSR[12]提供以下表达式：RT=PT`=1gL（`）PT`=1（1-`T） gL（`），（I.4），其中gL（`）是基础价格过程的杠杆相关函数[4,6,11]：gL（`）=E[riri+`]σ，（I.5），其中ri是时间I的回报，σ=E[ri]是过程的平均平方波动率。在gT（`）是一个简单的指数函数的情况下，给出RTI的显式表达式很有趣-经验(-`/τ）具有弛豫时间τ。对于主要股票指数来说，这个形状实际上是一个不错的近似值~ 0.2和τ~ 30- 50天[6]。然后SSR采用以下形式：RT≈T（1）- E-T/τ）T- τ(1 -E-T/τ，（τ） 1） ，（I.6），显示以下限制：RT≈ 2 (1  T τ） 还有RT≈ 1+τ/T（T τ). 如Bergomi[1]所示，这些极限值实际上与gL（`）无关，前提是它在足够大的范围内快速衰减。但是请注意，对于τ=50天和T=250天（1年的交易），RT≈ 1.25仍然远远大于统一。这些结果很有意思，但由于几个原因，获得这些结果的框架受到限制。首先，如[8]所示，微笑的累积量展开式（以及歪斜-歪斜的理论近似）在实践中非常不准确。在[8]中推导出了一个替代的、通用的微笑公式，该公式没有对基础模型进行任何假设（除了收益的所有6-2阶矩的存在）。这个新公式的一个显著特点是，二次展开式的系数包含回归分布的低阶矩，这不一定与标准累积量展开式给出的系数一致。其次，Bergomi[1]和Bergomi&Guyon[9]所考虑的线性模型无法处理似乎是股票指数回报特征的强大非线性杠杆效应。

本文的主要目的是证明在一大类非线性高斯模型中，可以解析地导出展开式的偏态项。我们专门研究了完全非对称GARCH模型的一般结果，该模型被认为能很好地描述股票指数的（非线性）杠杆效应。最后，我们将理论结果与经验数据进行比较，并对剩余的差异进行评论。二、主要理论结果。该框架与[3]类似，我们选择直接建模全正向方差曲线{vi+`i}`>0。这种方法是通用且灵活的，因为它不会假设瞬时方差曲线的任何形状；特别是，可以选择在市场前向方差曲线上校准模型（使用期权市场），或者使用历史数据或基础方差模型为前向方差曲线假设某种形式。我们引入一个序列(i） 我∈佐菲。i、 d.标准高斯变量和满足E[f]的任意函数f(i） ]=0。LetFi=σ{Jj 6 i}是相关过滤。我们采用以下（对数）价格框架：ri：=lnSi+1Si=σii、 vi+`i+1- vi+`i=νλi+`i（{vui}u>i）f(i） （II.1）式中vi+`i=Eσi+`Fi-1.是远期方差（含σi）≡ vii），ν是一个展开参数（vol的vol），λi+`i（{vui}u>i）的集合是描述方差曲线与当前剩余收益耦合的任意函数i、 这可能取决于当前远期方差曲线{vui}u>i。初始（t=1）方差曲线为vj，j>1，到期前的总预期方差为VT=PTj=1vj。在线性情况下，即f（x）=x，我们（在离散设置中）恢复Bergomi&Guyon[9]的框架。

在续集中，当我们在本文中关注微笑展开（I.1）中的歪斜项时，我们将限制在ν中的一阶展开。在这种近似下，函数λi+`i是初始（确定性）曲线vj的函数。我们将使这种依赖性隐式化，因为这会减轻符号。请注意i i.i.d高斯变量与E[f](i） ]=0，我们推导出以下等式，将λi+`与杠杆相关函数联系起来：E[riri+`]=νqviiλi+`iE[f(i） ]。（II.2）B.微笑公式我们得到如下微笑公式，顺序为1，单位为ν（见附录中的证明）：σBS，T=rVTT+ν√vttxi=1i-1Xj=1λijEFqvvt自然对数KS+及物动词+ Yj（II.3）其中Yja为中心的高斯变量方差E[Yj]=1- vj/VT。因此，我们在1阶下得到如下微笑展开式，单位为ν，在修正的重标度矩M中：=（ln（K/S）+VT）/σATM，T√T：σBS，T=σATM，T[1+SkewTM]，σATM，T≡rVTT，（II.4），其中倾斜由一般表达式kewt=ν2V3/2TTXi=1i给出-1Xj=1qvjλijE[f（Yj）]（II.5）注意，我们的方法实际上使我们能够导出M中的二阶和V中的二阶微笑公式。为了简单起见，我们不在这里编写相应的（繁琐的）表达式。然而，在线性情况下f（x）=x，我们精确地恢复了BergomiGuyon[9]在连续设置下建立的公式，方法是对时间步长δt进行计算，然后将该极限取为δt→ 0.C.Skew和Skewness回想一下，使用标准累积量展开式，可以得出以下微笑公式（[2,4,10]）：σBS=σATM，T1+STM, σATM，T≡rVTT（II.6），其中STI是ln（ST/S）的偏度，即从现在到到期之间的回报。在目前的框架内，在ν中1阶的偏度可以计算为：ST=ν2V3/2TTXi=2i-1Xj=1qvjλijE[f()], （II.7）接近但不同于上述歪斜公式。

然而，对于线性模型，其中f（x）≡ 1.这两个公式完全一致。因此，对于一般的线性模型来说，在ν中的一阶，旋转的偏斜和微笑的偏斜是相同的：f（x）=x-→ 斯克特≡ST.（II.8）D.隐含杠杆系数和SSROne也可以在我们的一般非线性模型中轻松计算隐含杠杆。对于到期日为T的ATM期权，明天的波动率和今天的波动率之间的差异由以下公式得出：TδVT=TT+1Xj=2vj-TXj=1vj=T（vT+1- v） +νf()TT+1Xj=2λj（II.9）使用δVT=2TσATM，TδσATM，T，E[rf()] ≡ σE[f()] 以及高斯变量的分段积分[13] 最后，我们推导出隐含杠杆率γT的公式，即收益率与隐含ATM波动率变化之间的相关性为：γT:=e[ΔσATM，T·r]e[r]=νe[f()]pTσVTT+1Xj=2λj. （II.10）我们使用E的地方() = 0.在这里，我们忽略了任何漂移效应，这对于风险中性框架下的期权定价是合理的。平均SSR定义为：RT:=γT，与公式（I.3）一致√茨克特。（II.11）在偏斜和偏斜相同的线性模型中（高达系数6），因此SSR的最终表达式为：bRTlin.=VTσPT+1j=2λjPTi=2Pi-1j=1qvjλij，（II.12），这正是Bergomi在离散时间设置下的结果[1]。注意，对于前向方差曲线和时平移不变模型，vj=v≡ σ、 VT=tv和λij∝ gL（j）- i） 其中gLis是上面介绍的杠杆相关函数。在这种情况下，onerecovers完全符合上述等式（I.4）。然而，在一般情况下，RTI不是由上述表达式给出的，而是由一个因子进行修正，该因子解释了倾斜和倾斜之间的差异：RT=bRT林×街/6号斜街。（II.13）我们将在非对称GARCH模型和使用实证数据的情况下研究该修正系数。最后请注意，使用Eq。

（II.2），隐含的杠杆率也可以用杠杆率相关函数的形式重写为：γT=pTσVTT+1Xj=2E[rrj], （II.14）或，对于远期方差曲线；γT=2TσT+1Xj=2E[rrj]. （II.15）事实上，γ皮重的表达式（II.14）和（II.15）非常普遍，并且在比我们在这里考虑的更一般的设置中有效；事实上，他们不依赖任何回报率ri的建模假设。三、 非对称GARCH模型为了在与经验相关的非线性价格变化模型的背景下对上述公式进行一些解释，我们考虑以下所谓的完全非对称GARCH模型：ri=σii、 σi+1=v+ρ（σi- v） +vσi我i<0-（III.1）在哪里(i） 我∈Zare i.i.d.标准高斯随机变量。

在上面的符号中，f（x）=xx<0- 1/2.我们设置σi=v（1+Xi），使上述等式等价于下面的递归式Xi+1=ρXi+ν（1+Xi）(我i<0-) （III.2）通过迭代上述表达式，我们得到了σi（i>2）的精确表达式：σi=v（1+ρi）-1X）+νi-1Xj=1ρi-1.-jσjJj<0-（III.3）因此，对于任意j和带j的i，我们得到- i>1：σj=v（1+ρj）-iXi）+νVj-1Xk=iρj-1.-k（1+ρk）-iXi）Kk<0-（III.4）这导致正向方差曲线[14]vji=E[σj | Xi]=v（1+ρj]的以下表达式-iXi）（III.5）到第一阶，我们还得到：vji+1- vji=νvρj-我-1（1+Xi）我i<0-=νρ（v（ρj）-我- 1） +vji）我i<0-因此，我们最终得到λji（它确实明确地依赖于远期利率）：λji=ρ（v（ρj-我- 1） 最后，由于f（x）=2x1x<0，我们得到了关于偏度和偏度[15]的以下表达式：-rπν2V3/2Txj=2j-1Xi=1qviλjis1-viVT=-rπνv2V3/2Txj=2j-1Xi=1p1+ρi-1X（ρj）-我-1+ρj-2X）s1-viVTandST=-rπν2V3/2Txj=2j-1Xi=1qviλji=-rπνv2V3/2Txj=2j-1Xi=1p1+ρi-1X（ρj）-我-1+ρj-2X）这里，方差VT由以下公式给出：VT=TXi=1vi=vT+1- ρT1- ρX,因此导致以下偏度/偏度比：ST/6SkewT=PTj=2Pj-1i=1p1+ρi-1X（ρj）-我-j+1ρ-2X）PTj=2Pj-1i=1p1+ρi-1X（ρj）-我-1+ρj-2X）r1-1+ρi-1XT+1-ρT1-ρX（III.7）当初始波动率等于平均波动率，即X=0时，该表达式大大简化。在这种情况下，只需获得：ST/6SkewT=rTT- 1，（III.8）对于T=2等于2，当T=2时趋于统一→ ∞. 我们清楚地看到，在这个模型中，偏差系统地小于其第三个累积量估计，即偏差。因此，除以偏斜度而不是偏斜度会导致低估“真实”SSR。最后，隐含杠杆由γT给出≈ -ν√1+X√2πqT（T+1-ρT1-ρX）1- ρT1- ρ. （III.9）IV。

数据分析：歪斜、歪斜和SSR我们论文的中心结果由等式给出。（II.12，II.13），这将Bergomi的偏粘比（SSR）与经验上可测量的量联系起来。我们想解决的三个问题是：1。我们的中心结果等式（II.13）如何解释指数期权市场的SSR？2.非线性效应引起的校正系数ST/6歪斜有多大？3.上述部分研究的（非线性）非对称GARCH模型在多大程度上再现了这些特征？为了讨论这些问题，我们需要期权市场和基础合约的数据。我们专注于两个市场，标准普尔500指数和DAX，我们对这两个市场有关于各种到期日的基础和期权的完整信息。标准普尔500指数的数据集从2000年到2013年，DAX指数的数据集从2002年到2013年。我们从数据中提取各种统计量。1.根据基础指数的历史收益率Rio，我们测量：o杠杆相关函数gL（`），作为比率riri+/σi的时间平均值获得，其中σi是过去平方收益的20天指数移动平均值（EMA）T天内收益分布偏态的低阶矩估计，定义为：βT=rπ[1]- 2P（erT>0）]，（IV.1），其中erT是去趋势T日收益率，P（erT>0）是erTispositive的概率。我们使用时间刻度为T=1000天的EMA过滤器确定局部漂移。事实证明，微笑的倾斜度SkewT平均应等于公平定价选项的βt[8]。此外，收益率的标准偏斜度ST可以从杠杆相关函数[4]ST=ζ中获得√T+√TTX`=11.-`TgL（`）（IV.2），其中ζ是每日收益的偏斜度。2.