具有相依性和非相依性的拉丁超立方体抽样的中心极限定理

注释3.1使用函数BF代替f的原因是尺寸k=2，D- 1/9通常不会消失。由于函数Cn的特殊性质，有界变差f的每个右连续函数的一维积分都为零，有关更多详细信息，请参见[？]。特别是，这意味着在二维情况下，假设bf（x）=f（x），x是足够的∈ R.用这个假设代替（8）和d=2，定理3.1等价于[？，定理6]。我们使用函数BF来获得LHSD技术极限方差的更方便的表示，我们在下一个定理中说明了这一点。定理3.2在定理3.1的假设和符号下√nnXi=1f（Vi，n，…，Vdi，n）- E[f（U，…，Ud）]D-→N（0，σLHSD），（10）其中σLHSD=Z[0,1]2dEhGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）idbf（u，…，ud）dbf（u，…，ud）。（11） 证明：我们想把定理3.1和引理3.1一起应用，所以我们必须证明√NnXi=1hf（Vi，n，…，Vdi，n）- f（Fn（Ui），Fdn（Udi））i→ 0，作为n→ ∞.由[？，推论1]nXi=1hf（Vi，n，…，Vdi，n）- f（Fn（Ui），Fdn（Udi））i≤ 五（f）<∞,其中V（f）是f的哈代-克劳斯变数。因此√NnXi=1hf（Vi，n，…，Vdi，n）- f（Fn（Ui），Fdn（Udi））i→ 0，作为n→ ∞,它与引理3.1和定理3.1一起证明了方程（10）。为了推导方程（11），我们将富比尼定理应用于E[（R[0,1]dGC（u，…，ud）dbf（u，…，ud））]。根据[？，定理3]有界变量bf的函数总是可以写成两个完全单调函数g，h的差，因此关于tobf的积分可以写成关于正测度g，h的两个积分的差Z[0,1]dGC（u，…，ud）dbf（u，…，ud）i==EhZ[0,1]dGC（u，…，ud）dbf（u，…，ud）·Z[0,1]dGC（u，…，ud）dbf（u。

，ud）i=呃Z[0,1]dGC（u，…，ud）dg（u，…，ud）-Z[0,1]dGC（u，…，ud）dh（u，…，ud）·Z[0,1]dGC（u，…，ud）dg（u，…，ud）-Z[0,1]dGC（u，…，ud）dh（u，…，ud）i=呃Z[0,1]2dGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）dg（u，…，ud）dg（u，…，ud）-Z[0,1]dGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）dh（u，…，ud）dg（u，…，ud）-Z[0,1]dGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）dg（u，…，ud）dh（u，…，ud）+Z[0,1]dGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）dh（u，…，ud）i=Z[0,1]2dEhGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）idg（u，…，ud）dg（u，…，ud）-Z[0,1]dehcc（u，…，ud）GC（u，…，ud）idh（u，…，ud）dg（u，…，ud）-Z[0,1]dEhGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）idg（u，…，ud）dh（u，…，ud）+Z[0,1]dEhGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）idh（u，…，ud）dh（u，…，ud）=Z[0,1]2dEhGC（u，…，ud）GC（u，…，ud）idbf（u，…，ud）dbf（u，…，ud），其中Fubini定理的使用是正当的，因为cebf是有界的，而E[XY]∞ 对于两个随机变量X和Y。备注3.2请注意，通过（5）和（6），方程（11）中的σlhsd表达式可以用C表示。此外，还可以对以下术语进行进一步简化：E[BC（u，…，ud）·BC（1，…，1，uj，1，…，1）]=C（（u，…，uj）-1，uj∧uj，uj+1，ud）- C（u，…，ud）uj，E[BC（1，…，1，ui，1，…，1）·BC（1，…，1，uj，1，…，1）]=C（（1，…，1，ui，1，…，1，uj，1，…，1））- uiuj，E[BC（1，…，1，uj，1，…，1）·BC（1，…，1，uj，1，…，1）]=uj∧uj- ujuj，因为C（1，…，1，uj，1，…，1）=uj对于所有的j=1，d、 重要的是要知道LHSD估计量的方差是否小于蒙特卡罗估计量。标准蒙特卡罗估计量的方差由σMC=Z[0,1]df（u，…，ud）dC（u，…，ud）给出-Z[0,1]df（u，…，ud）dC（u。

，ud）.我们利用这一事实来建立σmca和σLHSD之间的关系。命题3.3设（U，…，Ud）的copula C具有连续的偏导数，设f:[0，1]d→R是Hardy Krause意义下的有界变差的右连续函数，并在定理3.1中定义。设置jC（u，…，ud）=C（u，…，ud）ujandCi，j（ui，uj）=C（1，…，1，ui，1，…，1，uj，1，…，1），I6=jui∧uj，i=j。然后σLHSD=σMC+Z[0,1]2ddXj=1jC（u，…，ud）C（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj∧ uj，uj+1，（ud）+dXj=1dXi=1jC（u，…，ud）iC（u，…，ud）Ci，j（用户界面，uj）- uiujdbf（u，…，ud）dbf（u，…，ud）。（12） 证明：注意Z[0,1]df（u，…，ud）dC（u，…，ud）=Z[0,1]2df（u，…，ud）f（u，…，ud）dC（u∧ Uud∧ ud），函数C（u∧ Uud∧ ud）也是一个copula，后面是thatC（u∧Uud∧ ud）=P（U≤ U∧ UUd≤ ud∧ ud）=P（U≤ u、 u≤UUd≤ 乌德，乌德≤ ud）是一个具有均匀边缘的联合概率分布。通过像定理3.1那样的部分积分，蒙特卡罗估计量的方差σMC=Z[0,1]df（u，…，ud）dC（u，…，ud）-Z[0,1]df（u，…，ud）dC（u，…，ud）=Z[0,1]2df（u，…，ud）f（u，…，ud）dC（u，…，ud）∧ （u，…，ud）-Z[0,1]2df（u，…，ud）f（u，…，ud）dC（u，…，ud）dC（u，…，ud）=Z[0,1]2dC（u，…，ud）∧ （u，…，ud）dbf（u，…，ud）dbf（u，…，ud）-Z[0,1]2dC（u，…，ud）C（u，…，ud）dbf（u，…，ud）dbf（u，…，ud）。通过使用等式（5）、（6）、（11）和备注3.2完成证明。定理3.3假设C和f满足定理3.1中的假设，并将其定义为定理3.1中的假设。此外，让函数f在每个参数和maxx中都是单调的、非递减的∈[0,1]d（f（x））≤0.此外，假设C满足以下条件：C（u，…，ud）uj≥ jC（u。

，ud），j∈ {1，…，d}，（13）dXi=1，i6=jCi，j（uj，ui）uj≤ （d）- 2） uj+C（u，…，uj）-1，uj∧uj，uj+1，C（u，…，ud），（14）其中uj∈ [0,1]，（u，…，ud），（u，…，ud）∈ [0,1]d.然后σLHSD≤ σMC。证明：通过对f的假设，可以得出bf是右连续的，在HardyKraus意义下是有界变化的，并且在每个参数中是单调的不递减的。因此（12）足以证明dxj=1jC（u，…，ud）C（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj∧ uj，uj+1，（ud）+dXj=1dXi=1iC（u，…，ud）jC（u，…，ud）Ci，j（uj，ui）- 乌瑞≤ 0代表所有人（u，…，ud），（u，…，ud）∈ [0,1]d.如果C（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj∧ uj，uj+1，（ud）≤dXi=1iC（u，…，ud）乌瑞- Ci，j（uj，ui）适用于每一个j∈ {1，…，d}和所有uj∈ [0,1]，（u，…，ud）∈ [0，1]d.首先我们证明c（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj∧ uj，uj+1，（ud）≤ jC（u，…，ud）乌朱伊- uj∧ uj.注意，如果uj∧uj∈ {0, 1}. 现在假设0<uj≤ uj<1，那么c（u，…，ud）uj- C（u，…，ud）≤ jC（u，…，ud）ujuj- ujC（u，…，ud）（uj）- 1) ≤ jC（u，…，ud）uj（uj）- 1）C（u，…，ud）uj≥ jC（u，…，ud），这在假设（13）中是正确的。接下来假设0<uj<uj<1，那么c（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj，uj+1，（ud）≤ jC（u，…，ud）ujuj- ujC（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj，uj+1，（ud）≤ jC（u，…，ud）ujuj- 1.C（u，…，ud）-C（u，…，uj）-1，uj，uj+1，uj）uj≤ jC（u，…，ud）uj- 1.C（u，…，ud）-C（u，…，uj）-1，uj，uj+1，ud）uj≤C（u，…，ud）ujuj- 1.C（u，…，uj）-1，uj，uj+1，ud）uj≥C（u，…，ud）uj，自假设（13）起成立，意味着对于所有uj，C（u，…，ud）uji在uj中不增加∈ [0,1]，（u，…，ud）∈ [0，1]d.设C（u，…，ud）>0然后C（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj∧uj，uj+1。

，ud）≤dXi=1i6=jiC（u，…，ud）乌瑞- Ci，j（uj，ui）C（u，…，ud）uj- C（u，…，uj）-1，uj∧uj，uj+1，（ud）≤dXi=1i6=jC（u，…，ud）用户界面乌瑞- Ci，j（uj，ui）（d）- 2） uj+C（u，…，uj）-1，uj∧uj，uj+1，ud）C（u，…，ud）≥dXi=1i6=jCi，j（uj，ui）ui，假设（14）为真。在C（u，…，ud）=0的情况下，C（u，…，ud）ui≤ 1对于所有（u，…，ud）∈ [0,1]d。备注3.3注意，在二维情况下，假设（13）相当于左尾递增性质，这意味着copula C具有正的象限依赖性。粗略地说，这意味着C的分量比独立情况下更可能同时小或模拟大。有关不同依赖属性的更多信息，请参见[？]和[？]。在下面的两句话中，我们给出了满足第3.3条假设的copula分布的例子。备注3.4考虑Farlie-Gumbel-Morgenstern（FGM）copula的多维单参数扩展，该copula由c（u，…，ud）=dYi=1ui！αdYi=1（1- ui）+1！α在哪里∈ [-1, 1]. 简单计算表明，如果α∈ [0, 1]. 现在考虑一下（14）dXi=1，i6=jCi，j（uj，ui）ui=dXi=1，i6=jujujuiui=（d）的右侧- 1） uj。最后假设（14）保持sinceC（u，…，uj）-1，uj∧uj，uj+1，ud）C（u，…，ud）=min1，C（u，…，uj）-1，uj，uj+1，ud）C（u，…，ud）= 闵1.Qdi=1，i6=juiujαQdi=1，i6=j（1-（1）- uj）+1Qdi=1uiαQdi=1（1-ui）+1= 闵1，ujαQdi=1，i6=j（1-（1）- uj）+1ujαQdi=1（1-ui）+1≥α的ujf∈ [0, 1].注意，独立copula C（u，…，ud）=Qdi=1是α=0的FGM copula的特例，因此定理3.3也适用于独立copula。注3.5阿里·米哈伊尔·哈克（AMH）copula的多维版本由C（u。

，ud）=Qdi=1ui1- αQdi=1（1- ui）α在哪里∈ [-1, 1]. 如前一个例子所示，如果α∈ [0, 1].为了证明（14），再次考虑右边的术语dXi=1，i6=jCi，j（uj，ui）ui=dXi=1，i6=jujui=（d- 1） uj。此外，定理3.3适用于sinceC（u，…，uj）-1，uj∧ uj，uj+1，ud）C（u，…，ud）=min1，C（u，…，uj）-1，uj，uj+1，ud）C（u，…，ud）= 闵1，ujQdi=1，i6=jui1.- αQdi=1（1-用户界面）Qdi=1ui1.- αQdi=1（1-（1）- （uj）≥uj4在期权定价中的应用本节我们将说明在基本期权定价问题中具有依赖性的拉丁超立方抽样的有效性。我们考虑的衍生品是亚洲和回望篮期权。让我们来看看≥0是资产价格过程的d维向量，let（Sjt）t≥0表示其第j个分量。然后，亚洲篮子看涨期权的价格由ABC=Ehe给出-rTmmXj=1ddXi=1Sitj- K+i、 其中K>0表示固定执行价，d表示标的资产数量，0=t<t<t<…<tm=T表示观察点，T表示期权到期日，r表示无风险利率。类似地，离散回望篮看涨期权的价格由DLC=Ehe给出-rTmaxj=1，。。。，mddXi=1Sitj- K+i、 作为资产价格过程（Sjt）的模型≥每个资产的0 j=1，d、 我们使用sjt=Sje（wj-r） t+Xjt，j=1，d、 t≥ 0，其中wj∈ R是常数，Sj>0表示恒定的初始资产值，xjt是j=1的方差伽马（VG）过程，d、 VG工艺（Xjt）t≥0参数（θj，σj，cj），由[？]产生，由Xjt=Xjt（θj，σj，cj）=bjjjt（cj，1）（θj，σj），j=1，…，定义为从属布朗运动，d、 t≥ 其中Bjt（θj，σj）是独立的布朗运动，具有漂移参数θjand和波动参数σj，j=1。

，d和Gjt（cj，1）是独立于Bj的伽马过程，j=1，d漂移等于1，波动率cj>0。为了确保资产投资组合的贴现值是鞅，我们选择Wj=log（1-ujcj- （σj）cj/2）/cj，j=1，d、 通过[？]VG过程也可以表示为两个独立伽马过程的差，ieXjt=G+，jt- G-,jt，j=1，d、 设（uj+，νj+）和（uj-, νj-) 表示伽马过程G+，j，G的参数-,j、 分别。这些参数对可以从方程（15）中的参数通过uj±=（p（θj）+2（σj）/cj±θj）/2，νj±=（uj±）cj，j=1，d、 由于伽马过程具有非递减路径，G+，jt对应于xjt和G的正运动-,JT对应于Xjt的负向运动。我们的假设是，Xt=（Xt，…，Xdt）各分量的所有正运动都是相依的，Xt各分量的所有负运动都是相依的，但第j分量的正（负）运动独立于所有其他分量的负（正）运动，对于所有j=1，d、 正运动和负运动之间的依赖结构将分别由copulae C±建模。总之，d维伽马过程在区间[ti]中的增量-1，ti]由（G±，1ti）给出- G±，1ti-1.G±，dti- G±，dti-1） 具有累积分布函数C±（F-11,±, . . . , F-1d，±），其中f-1j，±是伽马分布的逆累积分布函数，具有第j项资产的特定参数。4.1数值结果在本小节中，我们比较了LHSD与标准蒙特卡罗方法在期权定价问题上的性能。数值示例的参数SVG参数：uj，j=1，d-0.2859σj，j=1，d0.1927cj，j=1。

，d 0.2505选项参数：资产数量d 10成熟度T 1初始资产价格Sj，j=1，d 100无风险利率r 0.05监测点数量k 4监测点之间的时间ti- 钛-1，i=1，k 0.25模拟参数：每个估计器的模拟期权价格数量n 8000估计器的模拟数量m 100参数选择ηji，n，j=1，d、 i=1，n 0.5表1：VG过程、选项和模拟的参数设置。表1中说明了基础VG过程的参数，并且（St）t的所有组件的参数相同≥0.参数值根据S&P 500指数上的选项通过[？]对VG过程进行校准。我们在价格评估中观察到，一个LHSD估计器的计算时间大约是相应蒙特卡罗估计器的1.4倍，我们在这里没有详细说明。然而，在我们的具体实现中，最耗时的部分是将均匀分布的随机变量转换为伽马分布的随机变量。对于所有LHSD估计，这只能进行一次，因为在（2）中ηji，n=1/2，j=1，d、 i=1，n人们只需要伽马分布的固定分位数。因此，4000个LHS估计器的计算速度大约是4000个蒙特卡罗估计器的五倍。另一方面，对于蒙特卡罗估计量，必须对每个估计量执行转换dn次。使用表1中的参数，每个选项值的评估包括计算一个80维积分。根据LHSD和MC估计器的m=100次计算标准差和方差。

各表第6列和第7列中的比率计算为MC值和LHSD值的商。很明显，与MC相比，LHSD的有效性随着履约价格K的增加而降低。同样的现象也在[？]中观察到在多维Black-Scholes模型中，通过[？]对于标准LHS估计器。具有不同行使价格的亚洲篮子看涨期权的价格KαK价格LHSD价格MC标准偏差LHSD标准偏差MC标准偏差比率Var.ratio 0。580 22.0542 22.0448 0.00071 0.00748 10.419 108.5750.5 90 12.5511 12.5419 0.00080 0.00748 9.270 85.9440.5 100 3.79294 3.78732 0.00241 0.00621 2.577 6.6420.5 110 0.17227 0.17210 0.00119 0.00140 1.174 1.3790.5 120 0.00024 0.00040.00041 1.018表2：亚洲篮子看涨期权价格，其中，正运动和负运动的依赖结构由参数为α的FGM copula建模。回望篮看涨期权的价格，具有不同的执行价格KαK价格LHSD价格MC标准偏差LHSD标准偏差MC标准偏差比率Var.ratio 0。580 25.662 25.658 0.00294 0.00839 2.850 8.1250.5 90 16.151 16.147 0.00294 0.00839 2.850 8.1250.5 100 6.893 6.890 0 0.00322 0.00760 2.356 5.5530.5 110 1.192 1.192 0.00305 0.00406 1.332 1.7750.5 120 0.060 0 0 0 0 0 0.060 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00086 0.00089 1.029 1.060表3：回望看涨期权的价格，其中篮子期权的依赖性结构由一个α参数用FGM建立模型。