具有相依性和非相依性的拉丁超立方体抽样的中心极限定理

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英文标题：
《A central limit theorem for Latin hypercube sampling with dependence and
  application to exotic basket option pricing》
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作者：
Christoph Aistleitner and Markus Hofer and Robert Tichy
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We consider the problem of estimating $\\mathbb{E} [f(U^1, \\ldots, U^d)]$, where $(U^1, \\ldots, U^d)$ denotes a random vector with uniformly distributed marginals. In general, Latin hypercube sampling (LHS) is a powerful tool for solving this kind of high-dimensional numerical integration problem. In the case of dependent components of the random vector $(U^1, \\ldots, U^d)$ one can achieve more accurate results by using Latin hypercube sampling with dependence (LHSD). We state a central limit theorem for the $d$-dimensional LHSD estimator, by this means generalising a result of Packham and Schmidt. Furthermore we give conditions on the function $f$ and the distribution of $(U^1, \\ldots, U^d)$ under which a reduction of variance can be achieved. Finally we compare the effectiveness of Monte Carlo and LHSD estimators numerically in exotic basket option pricing problems.
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中文摘要：
我们考虑估计$\\mathbb{E}[f（U^1，ldots，U^d）]$的问题，其中$（U^1，ldots，U^d）$表示边缘均匀分布的随机向量。一般来说，拉丁超立方抽样（LHS）是解决这类高维数值积分问题的有力工具。在随机向量$（U^1，\\ldots，U^d）$的依赖分量的情况下，可以通过使用具有依赖性的拉丁超立方体抽样（LHSD）获得更精确的结果。通过推广Packham和Schmidt的结果，我们给出了$d$维LHSD估计的中心极限定理。此外，我们还对函数$f$和$（U^1，ldots，U^d）$的分布给出了条件，在此条件下可以实现方差的减少。最后，我们在数值上比较了Monte Carlo和LHSD估计在奇异篮子期权定价问题中的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_central_limit_theorem_for_Latin_hypercube_sampling_with_dependence_and_applica.pdf (162.76 KB)

2022-5-5 05:12:12 上传

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关键词：中心极限定理 中心极限 立方体 distribution Applications

带依赖的拉丁超立方抽样的中心极限定理及其在奇异篮子期权pricingChristoph-Aistletner中的应用*Markus Hofer+Robert TichyAbstracts我们考虑估计E[f（U，…，Ud）]的问题，其中（U，…，Ud）表示边缘均匀分布的随机向量。一般来说，拉丁超立方抽样（LHS）是解决这类高维数值积分问题的有力工具。在随机向量（U，…，Ud）的依赖分量的情况下，可以通过使用依赖超立方体抽样（LHSD）获得更精确的结果。通过推广Packham和Schmidt的结果，我们给出了d维HSD估计的中心极限定理。此外，我们还给出了函数f和（U，…，Ud）分布的条件，在此条件下可以实现方差的减少。最后，我们在数值上比较了Monte Carlo和LHSD估计在奇异篮子期权定价问题中的有效性。1导言在这篇文章中，我们考虑具有相依分量的随机向量的特殊泛函的蒙特卡罗（MC）估计的方差减少问题。对于这类问题，可以使用几种不同的技术，它们具有不同的优点和缺点（有关详细的比较，请参见[？，第4节]）。一种著名的技术是拉丁超立方体抽样（LHS），它是分层抽样方法的多维版本，由[？]引入。虽然这种方法适用于许多不同类型的问题，但它不能处理随机向量分量之间的依赖结构。因此，我们考虑由[？]并为许多问题提供方差缩减，尤其是在金融数学中。考虑估计E[f（U。

对于Borel可测且C-可积的函数f:[0，1]d→ R、 其中（U，…，Ud）是具有均匀分布的边值和copulaC的随机向量。让（Ui，…，Udi），1≤ 我≤ n、 表示来自该分布的i.i.d.样本。由1/nPni=1f（Ui，…，Udi）给出的标准蒙特卡罗估计是强一致的，并且根据独立随机变量和的中心极限定理，标度估计的分布收敛*格拉茨理工大学数学研究所，奥地利格拉茨斯泰尔加斯3010。电子邮件：aistleitner@math.tugraz.at.奥地利研究基金会（FWF）S9603-N23项目支持的研究+格拉茨理工大学数学研究所，奥地利格拉茨斯泰尔加斯3010。电子邮件：马库斯。hofer@tugraz.at.由奥地利研究基金会（FWF）和DOC（奥地利科学院博士研究生项目）S9603-N23项目支持的研究格拉茨理工大学数学研究所，奥地利格拉茨斯泰尔加斯3010。电子邮件：tichy@tugraz.at.奥地利研究基金会（FWF）S9603-N23项目支持的研究。数学学科分类：62H20（62G05 62G20 62K15 62P05 91B82）关键词：蒙特卡罗、方差缩减技术、拉丁超立方体抽样、期权定价、方差伽马、正态分布概率方法，即：√nnXi=1[f（Ui，…，Udi）- E[f（U，…，Ud）]]D-→N（0，σMC），其中σMC=Var（f（U，…，Ud））。特别是，这意味着估计值的标准偏差随速率收敛到零√n、 本文的目的是在copula C和函数f的一些附加条件下，为LHSD估计建立一个类似的结果通过使用[？]的结果。

?, 命题5.9还表明，在对Copula函数C更严格的条件下，二元LHSD估计量的方差不超过标准蒙特卡罗估计量的方差。蒙特卡罗积分技术的一个重要应用在于金融数学领域。金融领域的许多问题都会导致高维积分的数值计算，而CHMC方法提供了有效的解决方案。两个例子是对几个可能相关资产的亚洲和离散回望期权的定价。我们将在最后一节的数字样本中研究这些特殊导数。本文组织如下：在第二部分中，我们介绍了LHSD的主要思想，并回顾了一些重要的结果。我们的主要结果在第三节中给出，我们陈述了一个中心极限定理，并说明在哪些条件下，与标准蒙特卡罗方法相比，方差的减少是可能的。最后一节是在数值例子中比较LHSD和MCSD的有效性。2初步在本节中，我们回顾了分层抽样的概念及其对拉丁超立方体抽样和依赖拉丁超立方体抽样的扩展。我们还陈述了一个一致性结果，该结果由[？]证明。2.1分层抽样和假设我们要估计E（f（U）），其中U是区间[0,1]上的均匀分布随机变量（从现在起用U（[0,1]），其中f:[0,1]→ R是一个Borel可测且不可捕获的函数。通过简单的事实e（f（U））=nXi=1E（f（U）|U∈ U（Ai）∈ Ai），其中间隔A，An（所谓的层）构成[0，1]的一个划分，我们通过对事件{U）有条件地采样U，得到一个估计量forE（f（U））∈ Ai}，i=1，n、 选择形式层=[i]-1n，in）我们可以简单地变换独立样本U。

. . , 通过设置vi:=i，从U（[0，1]）中取出- 1n+Uin，i=1，n、 这意味着Vi∈ 哎，我=1，n、 npni=1f（Vi）给出的E（f（U））的结果估计是一致的，并且根据独立随机变量和的中心极限定理，极限方差小于标准蒙特卡罗估计的极限方差。有关分级采样技术的更详细分析，请参见[？，第4.3.1节]。这种方法可以以不同的方式扩展到多变量情况。如果我们要求每个地层中必须有一个样本，我们需要绘制ndsamples，这对于高维d是不可行的。避免这个问题的一种方法是拉丁超立方体采样。假设我们想要估计（f（U，…，Ud）），其中f:[0，1]d→ R是一个Borel可测可积函数。对于固定n，我们生成n个独立样本，用（Ui，…，Udi），i=1，n、 其中Uji，j=1，在[0,1]上均匀分布。此外，我们生成了{1，…，n}的d个独立置换，用π，πd，从所有可能置换集合上的离散均匀分布中得出。用π表示i通过第j置换映射到的值。然后，拉丁超立方体样本的第j分量由vji给出：=πji- 1n+Ujin，j=1，Di=1，n、 通过确定尺寸j，组分（Vj，…，Vjn）形成一个具有等长地层的分层样品。可以证明，E（f（U））的结果估计量是一致的，通过假设f（U，…，Ud）有一个有限的二阶矩，可以得出LHS估计量nnxi=1f（Vi，…，Vdi）的方差小于标准MC估计量的方差，前提是样本点的数量足够大，见[？]。

例如，通过选择在[0,1]上均匀分布且与Uji无关的所有ηji，Vji在其地层中的分布是均匀的。这种选择的缺点是需要生成2n个随机变量，而不是只生成n个。就计算时间而言，有效的选择是ηji，n=1/2，这意味着每个Vji正好位于其地层的中心。在本节剩余部分，我们简要回顾了[？]的一个结果关于E（f（U））的LHSD估计值的一致性，其定义为nnxi=1f（Vi，n，…，Vdi，n）。（3） 通常的独立随机变量和的大数定律不适用于这种情况，原因有两个：首先，由于秩统计量的应用，样本在每个维度上都不独立；其次，将样本大小n增加1会改变总和的每个项，而不是仅仅加1。然而，可以证明以下一致性结果成立，参见[？，命题4.1]：命题2.1让f:[0，1]d→ R是有界且连续的C-a.e。那么LHSD估计量（3）是强一致的，即：nnXi=1f（Vi，n，…，Vdi，n）pa.s。---→ E（f（U，…，Ud）），作为n→ ∞.3.中心极限定理和方差缩减在本节中，我们研究LHSD估计的收敛速度，并讨论使用LHSD导致方差缩减的情况。这已经在[？]对双变量情况下完成。他们还猜测了主定理的高维版本，但没有给出严格的证明。

由于蒙特卡罗技术适用的大多数金融问题都是高维积分问题，因此在多变量情况下研究收敛速度和方差（渐近）值也是合理的。在续集中，LetCn表示由Cn（u，…，ud）给出的LHSD样本的经验分布：=nnXi=1{Vi，n≤UVdi，n≤ud}，这是一个分布函数。此外，我们定义了CnasCn（u，…，ud）：=nnXi=1{Fn（Ui）≤UFdn（Udi）≤其中fjn（u）=nnXi=1{Uji≤u} ，u∈ Uj是基于经验分布的，对于j=1，d、 为了建立一个中心极限定理，我们需要一些关于被积函数f和copulaC的正则性条件。定义3.1（Hardy Krause有界变差）函数f:[0,1]d→ 如果V（f）<∞ 其中v（f）=dXk=1X1≤我<ik≤dV（k）（f；i，…，ik）。这里，函数V（k）（f）表示仅限于k维面f（k）（i，…，ik）={（u，…，ud）的f的维塔利意义上的变化∈ [0,1]d:uj=1表示j6=i，ik}。函数f在生命意义上的变化由v（k）（f；i，…，ik）=supPXJ定义∈P（i，…，ik）|（f；J）|，其中上确界在f（k）（i，…，ik）的所有分区P（i，…，ik）上扩展为子区间Jand（f；J）表示f的值在J的顶点处的交替和。有关此主题的更多信息，请参阅[？]。定义3.2函数f:[0,1]d→ 对于任意序列（un，un，…，udn）n，R是右连续的∈Nwith ujn↓ uj，j=1，d、 林恩→∞f（un，un，…，udn）=f（u，u，…，ud）。下一个关于随机序列收敛性的陈述将用于证明命题3。1和定理3.2。

更多细节见eg[？，定理18.8]。引理3.1 Let（Xn）n≥1和（Yn）n≥1be R值随机变量序列，带XnD-→X和| Xn- Yn | P-→0.然后是YnD-→十、[？]的下列命题是[？]早期结果的推广和[？]。它是证明我们主要定理的重要依据。命题3.1假设C是连续偏导数可微的jC（u，…，ud）=C（u，…，ud）对于j=1，d、 然后√NeCn（u，…，ud）- C（u，…，ud）D-→GC（u，…，ud），其中ecn（u，…，ud）=nnXk=1{Uk≤一层楼-n（u），。。。，Udk≤Fd-n（ud）}，表示经验copula函数和Fj-注：对于j=1，…，Fjn的广义分位数函数，d、 由FJ定义-n（u）=inf{x∈ R | Fjn（x）≥ u} 。此外，gc是由gc（u，…，ud）=BC（u，…，ud）给出的中心高斯随机场-dXj=1jC（u，…，ud）BC（1，…，1，uj，1，…，1），（5）BC是[0，1]d上的一个d维钉扎布朗片，其协方差函数为[BC（u，…，ud）·BC（u，…，ud）]=C（（u，…，ud）∧（u，…，ud）-C（u，…，ud）C（u，…，ud），（6）其中（u，…，ud）∧ （u，…，ud）表示部件最小值。对于序列Cn，我们可以得出类似的结果。提案3.2在提案3.1的条件下，√N中国（u，…，ud）- C（u，…，ud）D-→GC（u，…，ud）（7）持有，其中所有定义如提案3.1所示，Cn（u，…，ud）在（4）中给出。证明：我们只需要证明n的Cn和Cn之差的上确界为零→ ∞ 到applyLemma 3.1，这就完成了证明。注意，cnandecn在网格{（i/n，…，id/n），1上重合≤我身份证件≤ n} 。接下来是苏普，。。。，ud | eCn（u，…，ud）- 中国（u，…，ud）|≤ max1≤我身份证件≤NeCn在里面idn公司-eCn我- 1n，身份证件- 1n≤dn。因此，苏普，。。。，ud | eCn（u，…，ud）- Cn（u，…，ud）|→ 0代表n→ ∞ （7）如下。

在续集中，所有Ui，i=1，d是[0,1]上的均匀分布随机变量，所有积分都可以理解为勒贝格-斯蒂尔特耶斯意义上的积分。注意，下一个定理是[？，定理6]从二元情形到多元随机向量U=（U，…，Ud）情形的扩展。定理3.1设（U，…，Ud）的copula C具有连续的偏导数，并设f:[0，1]d→R是哈代·克劳斯意义下有界变差的右连续函数。然后√nnXi=1f（Fn（Ui），Fdn（Udi））- E[f（U，…，Ud）]D-→Z[0,1]dGC（u，…，ud）dbf（u，…，ud），其中函数bf:[0,1]d→ R定义为：bf（u，…，ud）=如果至少有一个uj=1，则为0，对于j=1，d、 f（u，…，ud）否则。（8） 此外，极限分布是高斯分布。证明：根据定义，BF是正确连续的，在哈代·克劳斯的意义上是有界变化的。此外，几乎可以肯定的是√nnXi=1f（Fn（Ui），Fdn（Udi））- E[f（U，…，Ud）]=√nnXi=1bf（Fn（Ui），Fdn（Udi））- E[bf（U，…，Ud）],由于C在[0,1]d上是连续的，我们使用了[？，命题2]提出的多维分部积分技术。使用[？]我们得到√nnXi=1bf（Fn（Ui），Fdn（Udi））- E[bf（U，…，Ud）]=√新西兰[0,1]dbf（u，…，ud）d（Cn）- C） （u，…，ud）=√ndXk=0(-1） kX1，。。。，DK*jk+1，。。。，jdZ[0,1]k（Cn）- C） （u，…，ud）dj，。。。，jkbf（u，…，ud）。（9） 在这里，。。。，Dkdenotes将集合{j，…，jd}的所有可能划分的和分别划分为k的两个子集{j，…，jk}和{jk+1，…，jd}- k元素，其中每个分区都是精确的。在k=0和k=d的情况下，总和被解释为减少到一项。此外，操作员dj，。。。，jk表示积分只适用于变量j，jk。

注意，在对dj应用积分之后，。。。，jkbf（u，…，ud），集成函数是d中的函数- k变量。此外，对于d的函数g- k变量，运算符*jk+1，。。。，jdis由*jk+1，。。。，jdg（jk+1，…，jd）=X{i，…，id-k}∈{0,1}d-k(-1） 镁（i，…，id）-k） ，其中m表示{i，…，id中的零数-k} 。这意味着，对于j/∈ {j，…，jk}*jZ[0,1]d-k（中国）- C） （u，…，ud）dj，。。。，jkbf（u，…，ud）=Z[0,1]d-k（中国）- C） （u，…，uj）-1，1，uj+1，dj，。。。，jkbf（u，…，uj）-1，1，uj+1，（ud）-Z[0,1]d-k（中国）- C） （u，…，uj）-1,0，uj+1，dj，。。。，jkbf（u，…，uj）-1,0，uj+1，（d）及*jk+1，。。。，jd=*jk+1。*jd。因此√ndXk=0(-1） kX1，。。。，DK*jk+1，。。。，jdZ[0,1]k（Cn）- C） （u，…，ud）dj，。。。，jkbf（u，…，ud）=√钕-1Xk=0(-1） kX1，。。。，DK*jk+1，。。。，jdZ[0,1]k（Cn）- C） （u，…，ud）dj，。。。，jkbf（u，…，ud）+√n(-1） dZ[0,1]d（Cn）- C） （u，…，ud）dbf（u，…，ud）=√n(-1） dZ[0,1]d（Cn）- C） （u，…，ud）dbf（u，…，ud）。术语√钕-1Xk=0(-1） kX1，。。。，DK*jk+1，。。。，jdZ[0,1]k（Cn）- C） （u，…，ud）dj，。。。，jkbf（u，…，ud）消失，因为其每个项都等于零，原因至少有以下两个：首先，至少一个uj，j=1，d等于1，因此bf（u，…，ud）=0，或者，第二，至少一个uj，j=1，d等于零，因此Cn（u，…，ud）=C（u，…，ud）=0。因此，通过连续映射定理和（7），可以得出√nnXi=1f（Fn（Ui），Fdn（Udi））- E[f（U，…，Ud）]= (-1） d√新西兰[0,1]d（中国）- C） （u，…，ud）dbf（u，…，ud）D-→Z[0,1]dGC（u，…，ud）dbf（u，…，ud）。SinceR[0,1]dGC（u，…，ud）dbf（u，…，ud）是紧高斯过程的连续线性变换，因此极限分布为高斯分布。