力矩变化的概率和统计特性及其应用

图1显示[R，R]t的样本均值比s-tochastic波动率模型下的s均值更快地收敛到第三时刻的理论预期。在模拟中，参数和初始值设置为κ=3，θ=0.04，γ=2，ρ=-0.5和V=0.05.03 6 9 12-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.50 x 10-3个月图2：偏差的期限结构：随机波动率模型下零漂移（实心）和恒定裂缝（虚线）的预期三阶矩3实现的矩变化和经验研究y3。1定义和基本性质由于无法直接观察到力矩变化，我们使用变化的实际版本进行实证研究。R的已实现三阶和四阶矩是分区0=t<·t<·tN=t乘以，即\\[R，R]t=NXi=1（Ri）表示的有限和近似值- 里-1） （Ri）- 里-1） ，（16）d[R]t=NXi=1（Ri- 里-1） 分别为（17）。为简单起见，Ri=Rti在上述等式中。根据半鞅理论，我们有\\[R，R]t→ [R，R]t，Eh\\[R，R]ti=E[[R，R]t]=E[Rt]，d[R]t→ [R] t，Ehd[R]ti=E[[R]t]=E[Rt]，随着分区大小变为零，概率受到限制。与已实现方差和积分方差之间的关系类似，已实现的矩变化是1.5[R，R]和1.5[R]t的无偏一致估计。此外，在R eturn过程的鞅条件下，已实现的第三和第四矩变化分别是返回Rt的第三和第四矩的无偏估计。研究表明，与传统的矩估计相比，矩的变化是相对有效的。利用2001年至2007年的标准普尔500指数系列，我们绘制了图3和图4中等式S（16）和（17）所定义的每日实现力矩的动态。

有限总和按一天内的五分钟间隔h orizon计算。更准确地说，每日实现的三阶矩变化是2001-2005-2007-4.-20246x10-5时间间隔=1天年实现的第三时刻图3:2001年至20072001年2003年2007012345x 10年间标准普尔500指数每日实现的第三时刻变化动态-6年实现的四阶矩时间间隔=1天图4:2001年至2007年标准普尔500指数每日实现的四阶矩变化的动态71.5\\[R，R]ti，ti+1，下标表示从时间tit到ti+1每ti+1观察到的数量- ti=1天，类似地，f为每日实现的第四时刻变化1.5d[R]ti，ti+1。此外，图5和图6绘制了t=1天时实现的RTA和RTA的动态。让我们比较图3和图5。实现的三阶矩变化因环境而异-6×10-5到6×10-5.相比之下，样本分布在世界各地-1 × 10-4到2倍-5，意味着RTM中的标准偏差比实现的三阶矩变化大得多。类似地，图E6中的样本RTI的标准偏差比图4中实现的四动量变化大得多。这些观察结果表明，已实现的力矩变化1。5\\[R，R]和1.5d[R]分别是相对有效的相关矩估计量，而不是随机数R的样本均值。表1中给出了Rt、RTA和已实现m变化的汇总统计数据。表中显示，已实现力矩变化的样本标准偏差约为RTA和Rt标准偏差的一半。RTI的样本平均值为正，而已实现第三个力矩的样本平均值为负。RTC的正样本平均值与财务资产回报分布通常呈负偏态这一事实相矛盾。

众所周知，否定的证据是2001年、2003年、2005年和2007年-1012x 10-4年3时间间隔=1天图5:2001年至20072001年2003年2005年标准普尔500指数的已实现RTO动态200700.20.40.60.811.21.4x 10-5年4时间间隔=1天图6:2001年至2007年标准普尔500指数的已实现RTO动态表1:2001年至2007年标准普尔500指数的已实现力矩变化的样本平均值和标准偏差[R，R]tRt[R]tRtmean-4.1626 × 10-71.1697 × 10-75.7238 × 10-86.8150 × 10-8std。偏差4.9957×10-69.7989×10-62.3661 × 10-74.5106 × 10-7与较长时间范围内的回报相比，每日回报的偏态性相当弱。然而，已实现的三阶矩变化的样本均值仍然为负，这可能支持日收益率的负偏态。我们进行了假设检验，以检验标准普尔500指数日收益率分布的负偏态。显然，与E[Rt]<0的替代假设相比，E[Rt]=0的无效假设的t检验结果可能不会以显著p值=0.6958的确切水平拒绝无效假设。相比之下，完全假设E[\\[R，R]t]=0与E[\\[R，R]t]<0的t检验的p值为1.7823×10-4我们在显著性水平0.01甚至更高水平上拒绝完全假设。由于实际三阶矩的分布不正态，在t检验中可能会出现错误。我们进行了Wilcoxon（1945）符号秩检验，假设实现的三阶矩中位数为零，而不是假设分布中位数为零。无效假设也被拒绝，报告的p值=0.0026，这是支持日收益率负偏态的证据。

这是一个例子，基于已实现的三阶矩变化的推理比使用日收益率立方的情况有更好的结果。3.2 SV模型的GMM估计在本节中，我们展示了基于实现的二阶和三阶矩变化的随机波动率模型的估计方法。我们的方法是Bollerslev和Zhou（2002年）、Bollerslev等人（2011年）和Garcia等人（2011年）的扩展，其中采用了随机波动率模型的综合方差基础。这些应用程序基于这样一个事实：尽管瞬时方差过程V是潜在的，但积分方差是可观测的，因此我们能够使用积分方差估计属于方差过程的参数。在本文中，我们有一个额外的可观测高频量，即实现的三阶矩变化。再考虑一下等式中的赫斯顿型随机波动率模型。（4） 和（5）。假设观测到实现的第二和第三个矩的总数为N，并且在[ti，ti+1]，i=0，M- 1.每一笔款项平均分配给 = ti+1- ti。对于后面的实证研究，我们设置 = 1天=1/252年。考虑以下力矩条件。首先，returnE[[R]t]=E的二次变化的期望值ZtVsds=1.- E-κtκ（V- θ） +θt.（18）秒，三阶矩变量e[[R，R]t]=3γρκ的1.5倍的期望值五、1.- E-κt（κt+1）κ+ θE-κt（κt+2）- 2κ+t. （19） 第三，命题1中综合方差平方的期望值。用等式中导出的动量条件。（18） ，（19）和（10），我们能够进行广义矩量法（GMM）估计。

然而，在进行GMM之前，我们展示了一种基于实现的二阶和三阶矩的随机波动率模型的简单估计方法。该方法可能有助于找到进一步GMM的起点。此外，我们将证明简单估计本身是好的，甚至比复杂的GMM更好。对于估计，有必要了解s-tochastic波动率模型中每个参数的特征。首先，参数θ是自E[Vs]以来的长r非平均值，或u条件变化→ θ为s→ ∞. 参数θ由标准化实现二阶矩的样本平均值^θ=MM估计-1Xi=0c[R]ti，ti+1其中c[R]ti，ti+1表示在[ti，ti+1]上观察到的已实现方差。其次，参数κ解释了即期方差或积分方差与其滞后值之间的关系。κ的估计比其他参数更困难，这些参数可以通过观察到的特定量（如已实现的二阶或三阶矩）的样本来估计。方差过程V遵循均值回复过程，其离散化版本遵循自回归滑动平均（ARMA）方案，积分方差也是如此。根据Etion（6）和Heste（18）模型-1[[R]ti，ti+1]=e-κEti-1[[R]ti-1，ti]+（1- E-κ)θ. （20） 更准确地说，注意d（eκuVu）=eκudVu+κeκuVudu=κθeκudu+γeκupvudvu，通过积分tito s的两侧，Vs=e-κ（s）-ti）（Vti）- θ） +θ+Zstiγe-κ（s）-u） pVudWvu。如果s=ti+1，那么上述方程是V的离散级数的AR表示，我们有Vti+1- θ=（Vti）- θ） e-κ+Zti+1tiγe-κ（ti+1）-u） pVudWvu。（21）通过积分从tito到ti+1的VS，Zti+1tiVsds=[R]ti，ti+1=1- E-κκ（Vti）- θ) + θ +Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds（22）=1- E-κκ（Vti）-1.- θ） e-κ+ θ+1.- E-κκZtiti-1γe-κ（ti）-u） pVudWvu+Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds（23），其中我们使用。

（21）第二次平等。使用等式（22）的滞后版本，我们得到1- E-κκ（Vti）-1.- θ） =[R]ti-1，ti- θ -Ztiti-1Zsti-1γe-κ（s）-u） pVudWvuds，并将上述等式代入式（23），[R]ti，ti+1=e-κ[R] 钛-1，ti+（1- E-κ)θ +1.- E-κκZtiti-1γe-κ（ti）-u） pVudWvu+Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds- E-κZtiti-1Zsti-1γe-κ（s）-u） pVudWvuds=e-κ[R] 钛-1，ti+（1- E-κ)θ+Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds+e-κZtiti-1Ztisγe-κ（s）-u） PVUDWVUD上述公式最后两次积分表示的误差项近似为anMA（1）过程。有关综合方差和已实现方差的ARMA表示的详细信息，请参阅Meddahi（2003）。我们利用这个事实来估计斜率参数e-κ[R]ti，ti+1-[R] =e-κ（[R]ti-1，ti- [R] ）+ni+bni-其中[R]表示综合方差的样本平均值，我们使用n表示MA（1）误差项。目前，ARMA模型的估计过程是由几个统计包提供的。让^κ表示通过该方法获得的κ的估计量。第三，参数γ表示方差的波动性。作为t→ ∞, E[Vt]- E[Vt]→γθ2κ由等式（8）确定。利用这个事实和等式（9），我们得到[R] t→ θt+γθκE-κtκ+t-κ.换言之，这是通过假设V开始为负（或至少很久以前）并在t处处于静止状态，对s q二阶矩的预期。因此，γ的估计值为^γ=Vuutmpm-1i=0d[R]ti，ti+1-^θ^θ^κE- ^κ^κ+  -^κ.第四，为了估计杠杆参数ρ（考虑回报的偏度），我们使用上一节推导的三阶矩变化预期公式。

因为三阶矩变化的长期预期是由[R，R]t= 2ZtE[RuVu]du→2γρθκE-κtκ+t-κ（24）因此，杠杆参数ρ由^ρ=MPM估计-1i=0\\[R，R]ti，ti+12^γ^θ^κE- ^κ-1^κ+ .现在，我们开始一个GMM程序，已知为一致和渐近正态估值器，根据动量与其滞后值之间的精确关系来估计赫斯顿模型。这种方法与之前基于长期近似的简单估计略有不同。为了简单起见，我们重写[Vti+1 | Fti]=e-κVti+θ（1）- E-κ) = : aVti+b.（25）考虑式（19），我们将α=2γρκ1.- E-κ(κ + 1),β=2γρκE-κ(κ + 2) - 2κ+ θ、 然后，通过将结果组合在等式中。（19） 和（25），E[[R，R]ti，ti+1 | Fti]=a[R，R]ti-1，ti- aβ+αb+β（26）同样，通过考虑等式（10），putC=κ（e-κ- 1） D=-κθ +γκE-κ+4θκe-κ-2θκ+γκE-2κ+2θκ -2θκ+γκE=2θκθ +γκE-κ+ 2.γθκ-θκE-κ+θκ+γθ2κE-2κ+ θ+γθκ-2θκ +θκ-5γθ2κ和等式（8），putc=e-2κd=2κθ+γκ（e-κ- E-2κ)f=θ（2κθ+γ）κ- E-κ+E-2κ.然后我们有[R]ti+1，ti+2 | Fti+1i=c[R]ti，ti+1+Cd+（a- c） Dα[R]ti，ti+1-βα（Cd+）（a- c） D）+Cf+bD+（1）- c） E=：c[R]ti，ti+1+F[R]ti，ti+1+G（27），其中α=（1）- E-κ)/κ和β=（1）- α)θ.现在我们在等式中有三个精确的关系。（20） （26）和（27）之间的变化及其滞后值。

注意，这取决于变量的连续关系，与s IMPLE方法相比，s IMPLE方法在很大程度上取决于表2的样本平均值：赫斯顿模型的估计结果和s&P 500返回赫斯顿模型s&P 500模型I简单GMM模型II简单GMMSPLE GMMθ0.05 0.0493 0.0475 0.02 0.0202 0.0196 0.0194（0.0076）（0.0022）（0.0056）κ5 6.14667.2500 15 14.320 13.40410.047 9.28（1.7295）（2.6344）（13.909）γ0.8 0.7708 0.5792 0.7 0.6571 0.50750.8483 0.4168（0.0065）（0.0422）（0.2216）ρ-0.5-0.6719-0.7937 0.3 0.3957 0.5551-0.6189-0.9891（4.9118）1.5832）（5.6924）变化。根据这些关系，我们考虑η={κ，θ，γ，ρ}的客观函数来执行矩估计的广义方法：g（η）=[R] ti+1，ti+2- E-κ[R] ti，ti+1- (1 - E-κ)θ{[R]ti+1，ti+2- E-κ[R] ti，ti+1- (1 - E-κ)θ}[R] 钛-1，ti{[R]ti+1，ti+2- E-κ[R] ti，ti+1- (1 - E-κ)θ}[R] 钛-2，ti-1[R，R]ti+1，ti+2- a[R，R]ti，ti+1+aβ- αb- β（[R，R]ti+1，ti+2）- a[R，R]ti，ti+1+aβ- αb- β） [R，R]ti-1，ti[R]ti+1，ti+2- c[R]ti，ti+1- F[R]ti，ti+1- G[R]和[R，R]的滞后值用作工具变量，如ARMA（1,1）模型的GMM估计。表2给出了2003年至2007年赫斯顿随机波动率模型和标准普尔500指数收益率序列的估计结果。在表格的第二列和第五列中，我们假设了模型的参数值，第三列和第六列通过简单方法报告了相应的估计值，第四列和第七列通过GMM报告了估计值。在标准普尔500指数收益率序列遵循随机波动模型的假设下，最后两列用简单方法和GMM方法给出了参数估计。括号表示标准误差，f或γ除外，其中报告了γ的标准误差。

对于标准普尔500指数数据的GMM，我们使用简单估计的结果作为起点。简单方法的结果与仿真研究中的原始参数设置非常接近。GMM的估计结果与简单方法的结果相比没有太大改善，参数γ和ρ的GMM估计更差。这是因为参数θ、γ和ρ考虑了过程的长期特性。与GMM方法中的连续关系相比，简单方法中的样本平均具有更好的性能，因为连续关系的信息量不足以解释长期预期。因此，当基于连续关系（如等式）进行估计时，很难提高估计性能。（26）和（27）。此外，GMM的估计结果对工具变量的选择非常敏感。我们得出结论，基于变量长期预期的简单估计方法足以估计参数θ、γ和ρ。对于κ的估计，我们需要一个二阶矩的连续关系，而传统的ARMA估计是足够的。用我们的简单方法估算的标准普尔500指数的ρ在量级上大于Bollerslev和Zhou（2002）中估算的ρ，后者是-0.0243. 然而，本文中的数据是1986年至1996年的德国马克-美元即期汇率，这与我们的不同。我们的结果与Ait-Sahalia等人（2013）的结果非常相似，他们使用了2004年至2007年的标准普尔500指数数据，ρ的估计值为-0.77.在Bollerslev和Zhou（2002）中，κ的估计值约为0.14，但本文中模型的单位为每日，但我们的模型为每年。

比较经验是有用的(-κ) 这解释了[R]ti，ti+1和[R]ti之间的关系-1，式（20）中的TIA。通过匹配比例，在我们的简单方法中，-κ = 0.0399和d exp(-κ) = 0.9609 andin Bollerslev和Z hou（2002），经验值(-κ) = 0.8637. 这意味着在我们的实证分析中，方差过程中存在较弱的均值回复特性（即更强的持续性）。4结论和未来工作推导了三阶和四阶矩变化的基本性质。我们提出了两种基于已实现的二阶和三阶矩的随机波动率模型估计方法。一种是基于长期矩样本平均和ARMA型估计的简单方法。另一种是基于GMM和二阶和三阶矩之间的精确关系。与复杂的GMM相比，简单的估计方法表现出良好的性能。我们的策略可以应用于其他有效模型，有趣的扩展将是一个多资产的多维金融和经济模型。参考文献Ait-Sahalia，Y.，Fan，J.，和Li，Y.（2013）。杠杆效应之谜：在高频率下解开债务的来源。《金融经济学杂志》，109:224–249。安徒生，T.G.，博勒斯列夫，T.，迪博尔德，F.X.，和拉布斯，P.（2003）。建模和预测灰色波动。《计量经济学》，71:579-625。Bakshi，G.，Kapadia，N.，和Madan，D.（2003年）。股票收益率特征、倾斜定律和个人股票期权的差异定价。金融研究回顾，16:101-143。巴恩多夫-尼尔森，O.E.和谢泼德，N.（2002）。已实现波动的计量经济学分析及其在估计随机波动模型中的应用。英国皇家统计学会期刊：B辑（统计方法），64:253-280。巴恩多夫-尼尔森，O.E.和谢泼德，N.（2004）。随机波动和跳跃的功率和双功率变化。