集合年金基金中的精算公平与团结

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英文标题：
《Actuarial fairness and solidarity in pooled annuity funds》
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作者：
Catherine Donnelly
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Various types of structures that enable a group of individuals to pool their mortality risk have been proposed in the literature. Collectively, the structures are called pooled annuity funds. Since the pooled annuity funds propose different methods of pooling mortality risk, we investigate the connections between them and find that they are genuinely different for a finite heterogeneous membership profile.   We discuss the importance of actuarial fairness, defined as the expected benefits equalling the contributions for each member, in the context of pooling mortality risk and comment on whether actuarial unfairness can be seen as solidarity between members. We show that, with a finite number of members in the fund, the group self-annuitization scheme is not actuarially fair: some members subsidize the other members. The implication is that the members who are subsidizing the others may obtain a higher expected benefit by joining a fund with a more favourable membership profile. However, we find that the subsidies are financially significant only for very small or highly heterogeneous membership profiles.
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中文摘要：
文献中提出了各种类型的结构，使一组个体能够汇集他们的死亡风险。这些结构统称为集合年金基金。由于集合年金基金提出了不同的集合死亡风险的方法，我们研究了它们之间的联系，发现对于有限的异质成员组合，它们确实是不同的。我们讨论了精算公平的重要性，精算公平的定义是，在汇集死亡风险的背景下，预期收益等于每个成员的贡献，并评论精算公平是否可以被视为成员之间的团结。我们表明，由于基金中的成员数量有限，团体自年金计划在精算上是不公平的：一些成员补贴其他成员。这意味着，补贴其他成员的成员可能会通过加入一个具有更有利成员身份的基金而获得更高的预期收益。然而，我们发现，这些补贴仅对非常小或高度异质的会员个人资料具有财务意义。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Actuarial_fairness_and_solidarity_in_pooled_annuity_funds.pdf (285.82 KB)

2022-5-5 05:28:00 上传

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关键词：金基金 Quantitative Applications Contribution Optimization

基金公平与精算师团结年金*2018年7月20日摘要文献中提出了各种类型的结构，使一群个体能够汇集他们的死亡风险。这些结构统称为集合年金基金。由于集合年金基金提出了不同的集合死亡风险的方法，我们调查了它们之间的联系，并发现它们对于有限的异质成员身份确实是不同的。我们讨论了精算公平的重要性，在汇集死亡风险的背景下，定义了每个成员的预期收益等于供款，并评论精算公平是否可以被视为成员之间的团结。我们表明，由于基金中的成员数量有限，团体自年金计划在实际上并不公平：一些成员补贴其他成员。这意味着，通过以更优惠的会员资格加入基金会，补贴他人的会员可能会获得更高的预期收益。然而，我们发现，这些补贴仅对非常小或高度异质性的会员群体具有重要的财务意义。关键词：养老金；团体自年金；年金覆盖；相互分担风险；死亡风险。*精算数学和统计系，以及英国爱丁堡大学赫里奥瓦特分校麦克斯韦数学科学研究所EH14 4AS。电邮：C。Donnelly@hw.ac.uk.电话：+44 131451 3251。传真：+441314513249。集合年金基金中的精算公平和团结21简介随着越来越多的人被鼓励为退休储蓄，设计稳定、可靠和透明的养老金计划非常重要，使他们能够将风险集合在一起。

例如，目前在英国，没有参加固定福利养老金计划的个人在退休时主要有两种选择之一：购买终身年金或提取资产。对于他们来说，应该有其他选择，使他们能够从汇集死亡风险中受益，而不必购买人寿保险公司提供的终身收入担保。文献中提出了许多可供选择的养老金计划，允许人们共同承担死亡风险，我们对其中的一些进行了研究。他们各自明确或暗示地提出了基金成员分担死亡风险的规则。在这些集合养老基金中，计划参与者承担所有投资、死亡和寿命风险。没有任何赞助雇主或人寿保险公司可以向会员申请额外资金。精算公平性是这种集合年金基金中一个非常重要的概念。如果集合年金基金在精算上是公平的，那么一个成员支付的捐款的现值应等于该成员收到的福利的现值。收益可以表示为消费支出，也可以表示为会员在未来某个时间点的基金价值，具体取决于所考虑的集合年金基金的类型。精算公平之所以重要，是因为在任何集合年金基金中都没有保险方面。它们是共同的风险分担安排，不保证基金支付的收益金额。如果一个基金在精算上是不公平的，那么一个或多个成员将基金中的其他成员转为其他成员。

这意味着，从概率意义上讲，基金中的一些人可能会预期收到的钱比他们向基金捐款的钱少。相应地，同一基金中的其他人可以预期获得更多。令人惊讶的是，我们发现，由于有足够多的成员，使死亡风险完全多样化，并且假设没有长寿风险，集合年金基金结构在精算上都是公平的。然而，由于成员数量有限，这已不再是事实。这一点很重要，因为我们不知道如何在实践中构建这些基金。例如，固定福利养老金计划是汇集死亡风险的结构。然而，英国有2000多个固定养老金计划，成员不到100人（养老金保护基金，2013年）。根据作者的经验，此类小型计划（可能是高度异质性的）无法充分汇集死亡风险的情况很少得到充分考虑（参见Donnelly 2014，以了解有限福利养老金计划中未充分整合死亡风险的潜在影响分析）。应对集合年金基金中共享死亡风险的个人成员的财务后果进行检查、分析并告知他们。我们可以将缺乏精算公平解释为成员之间的团结。共享死亡风险的规则是预先确定的。然而，在一个精算不公平的基金中，团结只是一种方式。该基金的成员并没有相互提供真正的相互支持：我们提前知道哪些成员在补贴（预期）其他成员。因此，我们似乎不应该将精算不公平重新定义为团结，因为不确定是谁定义了死亡风险，而是知道某个人未来寿命的概率分布，而不是该个人的确切未来寿命。

我们将其与长寿风险区分开来，长寿风险是由于不知道某人未来寿命的概率分布而产生的风险。死亡风险可以通过汇集足够多的生命来消除，而长寿风险则不能。集合年金基金中的精算公平和团结承担由于精算不公平而产生的预期损失。相反，由于精算公平性被定义为“预期公平性”，因此产生了团结。在世界未来的一些州，一名成员可能会因为共同承担死亡风险而蒙受财务损失。在世界其他发达国家，同一成员国可能会从财政上获益。团结源于基金成员愿意接受他们个人所遭受的任何收益或损失，而你事先不知道会是什么。正如我们在本文中所定义的，精算公平意味着每个成员都可以期望从基金中获得与其贡献或投入风险相同的金额。这是基金成员之间公平的概念：一个成员不应受益于另一个成员的支出。公平还有其他可能的定义。在Piggott等人（2005年，第504-505页）中，精算公平性的概念是基于死亡风险的完美组合：未来消费支出的计算假设死亡风险完全分散，与真正的计划成员资格文件不一样。尽管消费支出是根据观察到的s模式死亡率经验与完美合并情况的偏差进行调整的，解释仍然是，这种替代定义的公平性与死亡率风险完全分散的方案有关。我们考虑以下死亡率风险分担方案：GSA，Piggott等人的集团自年金方案。

（2005），这是针对任何异质成员群体提出的。PAF Th the Poolled Annium fund of Stamos（2008年）。该基金仅适用于同质群体，即每个成员投资相同数量的财富，消费相同数量，具有相同的风险偏好，并且建模未来寿命的随机变量是独立且相同分布的。Donnelly等人（2014年）提出的年金覆盖基金，适用于任何异质成员群体。假设模拟未来寿命的随机变量是独立且相同分布的，Donnelly等人（2014）表明，基金在每个时刻都是精算公平的。因此，在每个成员的一生中，这在精算上是公平的。大体上，这些计划有着相似的目标：它们是一种在个体群体中分担死亡风险的机制。那么，它们能有多大区别呢？本文有两个动机：o确定上述方案之间的联系。o确定这些计划在精算上是否公平。这一问题仅在Donnelly等人（2014年）的年金叠加基金中得到了回答。如果没有，那么成员之间必须存在交叉补贴。这些交叉补贴在财务上是否重要？在不存在长寿风险的假设下，我们展示了以下内容：对于同质群体，Stamos（2008）的集合年金基金（具有特定的消费率选择）相当于Piggott等人（2005）的群体自年金计划。虽然我们怀疑这已经为人所知（例如，seeQiao和Sherris 2013），但我们还没有看到明确的声明对于同质群体，Stamos（2008）的集合年金基金，以及Piggott等人的群体自我年金计划。

（2005年），在精算上是公平的。集合年金基金中的精算公平和团结4o对于成员人数有限的异质群体，Piggott等人（2005年）的群体自我年金计划在精算上并不公平。s chemebene中较贫穷的成员从较富裕的成员中受益，而年轻人则从老年人的补贴中受益（另请参见Sabin 2010附录一中的数字示例）。然而，这些补贴仅在财务上对非常小或高度异质的成员有重要意义。我们在本文中没有考虑的另一种死亡风险分担方法是Sabin（2010），他提出了死亡风险分担规则所需满足的条件，该规则将死者的财富分配给基金的幸存者，以便在精算上公平。2 GSA与PAFIn的联系Piggott等人（2005年）提出的团体自年金计划（GSA），其基本理念是消费率是在预期投资和死亡率的基础上计算的。然而，消费率会随着时间的推移而变化，与集团的实际投资和死亡经验相一致。正如我们接下来看到的，斯塔莫斯（2008）的集合养老基金（PAF）与GSA是相同的，用于在PAF和同质人群中选择特定的消费率。请注意，PAF仅针对同质人群定义，因此我们无法将其与GSA f或异质人群进行比较。2.1同质群假设有一群个体在时间0时还活着，时间以年为单位。这些个体是彼此独立且完全相同的副本。例如，它们具有相同的未来寿命分布和相同的风险偏好。

每个人有一个单位。让我们记下在整数时间n时的预期现值，即每年支付1个单位的终身年金，从时间n开始在每年年初支付，并根据实际投资和死亡率进行计算。为了简单起见，我们将投资回报设置为零。2.2 PAF支持同质群加入PAF，如Stamos（2008）所述。然后在时间0，在任何消费之前，每个成员的财富isFPAF=1。随着小组成员的死亡，他们的财富将在幸存者中平等分享。例如，在该群体第一次死亡时，每个surv ivor的财富从1个单位增加到1+1个单位- 1.用N表示第一年年底前发生的死亡人数。然后，基金中幸存者的财富累积为toFPAF=1+1- 1.1+1- 2.· · ·1+1- N= 1+NL- 集合年金基金中的实际公平和团结5次1。在PAF中，成员可以随时取款，但必须同时取款。换句话说，在每个时间点从基金中提取多少资金是一个集体决定。假设每个成员在时间0消耗cPAFat的量，在时间1之前不消耗其他任何东西。每个成员在0时的剩余财富为1- cPAF。在时间1，幸存成员的财富为FPAF=1+NL- N(1 - cPAF）（1）在时间1.2.3的任何消费之前，同质GSA反对同质群体加入GSA，如Piggott等人（2005年，“GSA计划的简单精算分析”一节所述。GS A的描述侧重于参与者的消费。然而，通过在幸存者中名义上分配GSA中的基金价值，我们可以看到，对于后者消费率的特定选择，它与PAF是相同的。每个成员贡献1个单位，因此在一年开始时，GSA的基金总价值为1个单位。

名义上，将基金总价值分配给各成员，得出每个成员的初始名义基金价值ofFGSA=1。在时间0时，每个成员收到一笔GSA=FGSA–a=–a的付款。剩余的GSA基金总价值为L（1）-cGSA）联合国。由于假设投资回报率s在本年度为零，GSA在本年末的总基金价值仍为L（1-cGSA）单位。名义上，将年终基金分配给- 每名成员的名义值为1- cGSA）L- N=1+NL- N(1 - cGSA）。（2） 这与PAF中每个成员的名义基金相比如何？通过比较等式（1）和（2），我们发现，对于同质群体，GSA与PAF相同，消费率CPAF=cGSA=¨a。集合年金基金的精算公平性和团结62.4进一步了解GSA尽管GSA是一种允许个人将其死亡风险集中在一起的结构，但随着时间的推移，它不会平滑投资回报。我们可以通过考虑一群不朽的个体来说明后一点。让用来计算永生的恒定有效利率r>-1.因此=∞Xk=0（1+r）k=1+rr，对于n=0，1，2。。因此，在时间0时，在GSA中，每个成员在时间0时的消费iscGSA=¨a=r1+r。假设GSA乐趣d实现了r>-1年内通过投资债券。然后基金总价值增长到（1- cGSA（1+R）=L1+R1+R，在时间1时，名义上分配给L个不朽者，给出了GSA=1+R1+R的个人名义f值。因此，在时间1时，向每个成员支付iscGSA=FGSA–a=R（1+R）（1+R）。由于r是常数，向每个成员支付的时间1款项可以通过在时间0时将金额r（1+r）投资在债券中来保证。

用Rn表示>-1基金在n年通过投资债券获得的年回报，n=1，2。，因此，可以通过将时间0时的金额（1+r）n+1投资于债券，来保证在时间n of r（1+r）n+1nYk=1（1+Rk）时的消费付款。这意味着GSA在不同时间段内没有投资平滑。2.5 PAF是精算公平的我们表明，PAF在每个单位时间段内都是精算公平的，这意味着它在每个人未来的一生中实际上是公平的。在不丧失一般性的情况下，假设时间0时没有消耗，因此cPAF=0。具体而言，我们表明，个人从PAF中受益的预期价值——即时间1时的基金价值FPAF——与个人的初始出资FPAF=1相等。由于第一个时间段没有什么特别之处，因此结果可以推广到未来的时间段。请注意，我们已将利率设置为零。集合年金基金中的精算公平性和团结度7P∈ （0，1）成员从时间0到时间1存活的概率，且setq=1- p、 我们假设，如果基金中的每个人在时间1时死亡，那么他们的遗产将获得各自的基金价值，并且不存在死亡风险分担。由于在时间0时，基金中有L个成员，因此发生此类事件的概率为qL。根据该假设，一个成员在时间1时的预期基金价值为FPAF= qL+pe1+NL- N成员生存到时间1= qL+pL-1Xn=0LL- NL- 1nqnpL-1.-n=1=FPAF。因此，PAF的分摊规则在第一个单位时间内是精算公平的，无论集团中有多少成员：两个、十个、一百个或一万个。因此，在任何单位时间内，PAF实际上是公平的，因此在每个人的未来寿命内，它在精算上是公平的。