关于套利、近似套利和基本定理的注记

不幸的是，如第3.1节所示，（3.4）未能保持的事实使[16]中提出的FTAP的上限无效。事实上，可以证明，当且仅当金融市场是完整的，即每英尺可测量的非负随机变量B，使得B/X（T）是有界的是可附加的，性质（3.4）以及[16]中定理1.1的证明中使用的参数是有效的。事实上，如果金融市场是完整的，[15]的结果（另见[4]，理论4.5.13）暗示D={Z}。由于命题3.2，后一个性质等价于toK（σ）={0}，在这种情况下，性质（3.4）基本成立。相反，如果财产（3.4）成立，则含义（ii）=>（i） 提案3.5立即表明金融市场是完整的。特别是，如果金融市场是完整的，那么收益X（T）可以由组合风险投资π乘以c=E[Z（T）]和π∈ A.在这种情况下，[16]第4节中使用的相同论证允许证明，没有套利机会意味着这是（唯一）ELMM的密度过程。因此，我们已经证明了[16]提出的证明仅在完整金融市场的背景下有效，正如[12]最初所考虑的。我们想指出的是，鉴于其含义（ii）=>（i） 在命题3.5中，[16]中的定理1.1的证明实际上并不需要（不真实）性质（3.4）的全部强度，而只需要过程λ的存在∈ K（σ）使得E[Zλ（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）]。

然而，这一过程并不一定存在于不完整的市场中（如果套利机会不是先验排除的话），第4节将通过一个明确的反例说明这一点。这意味着[16]的方法（或其扩展）不能在基于It流程的一般不完全金融市场的背景下产生FTAP的替代证明。4反例本节展示了一个不完整金融市场的简单模型，其中FTAP无法通过依赖[16]中采用的技术（或其扩展）来证明。鉴于上一节末尾的讨论，我们将构建一个市场模型f，其中不包含λ元素∈ K（σ）使得E[Zλ（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）]。更准确地说，我们将证明E[Zν（T）]<1f或全部ν∈ K（σ），而supν∈K（σ）E[Zν（T）]=1。让(Ohm, F、 F，P）是给定的过滤概率空间，其中F表示实值布朗运动W的自然P-增强过滤，F=FT。对于固定常数a>0，定义停止时间τ：=inf{t∈ [0，T]：W（T）≥ a}∧ T很明显，P（τ<T）>0。假设≡ 0，并将单个风险资产的价格过程S作为以下SDE的解给出：（dS（t）=1{t>τ}1/S（t）dt+1{t>τ}dW（t），S（0）=1。引理4.1。SDE（4.1）允许一个唯一的强解S={S（t）；0≤ T≤ 那个isP-a.s.绝对是肯定的。此外，{τ<T}上的E[1/S（T）|Fτ]<1p-a.S。证据让我们来定义fifiltrationef=（eFt）0≤T≤TbyeFt:=F（τ+t）∧T、 对于T∈ [0，T]，进程fW={fW（T）；0≤ T≤ T}byfW（T）：=W（τ+t）∧ T- W（τ），对于t∈ [0，T]。很明显，过程fw是连续的、eF适应的，并且满足fw（0）=0。

此外，布朗运动W的强马尔科夫性质意味着FW也是布朗运动（stopped atT）- τ）关于过滤系数（尤其是，它独立于过滤系数=Fτ）。关于过滤概率空间(Ohm, F、 eF，P），让我们考虑以下SDE：（deS（t）=1/eS（t）dt+dfW（t），eS（0）=1。（4.2）SDE（4.2）允许一个唯一的强解={eS（t）；0≤ T≤ T- τ} ，称为三维贝塞尔过程（见[8]，第6.1节），它满足（t）>0 P-a.s.的所有t∈ [0，T- τ ]. 然后定义一个过程S={S（t）；0≤ T≤ T}by S（T）：=1{T≤τ} +1{t>τ}eS（t- τ） ，尽管如此∈ [0，T]。显然，由于τ是F-停止时间，F是右连续的，因此过程是F-适应的，P-a.s.严格正的，满足s（0）=1。此外，sinceeS是连续的：dS（t）=1{t>τ}deS（t- τ）=1{t>τ}1/eS（t）- τ)dt+1{t>τ}dfW（t- τ）=1{t>τ}1/S（t）dt+1{t>τ}dW（t），从而表明过程S解SDE（4.1）。在集合{τ<T}:E[1/S（T）| Fτ]=E上，引理的第二个a序列可以证明如下1/eS（T）- τ）|eF= E1/eS（美国）u=T-τ= 2 Φ√T- τ- 1<1，（4.3），其中，由于W和F的独立性，第二个等式以及τ的可测性，以及[8]练习6.1.5.5中的第三个等式，其中Φ（·）表示标准高斯随机变量的分布函数。根据第3.1节中介绍的符号，风险过程θ的市场价格由θ（t）=1/S（t）1{t>τ}给出，对于t∈ [0，T]。由于S的连续性，长期假设（3.2）得到满足，因此，通过I^ot^o的公式：Z（t）=exp-ZTτS（t）dW（t）-ZTτS（t）dt=S（T）。（4.4）在本文中，实值渐进可测过程ν={ν（t）；0≤ T≤ T}属于K（σ）当且仅当它满足ν（T）=ν（T）1{T≤τ} P-a.s.适用于所有t∈ [0，T]和rτν（T）dt<∞ P-a.s。

命题3.2、方程（4.4）和引理4.1则意味着，对于每一个ν∈ K（σ）：E[Zν（T）]=EZ（T）E-ZνdWτ= ES（T）E-ZνdWτ= EES（T）FτE-ZνdWτ< EE-ZνdWτ≤ 1，其中最后一个不等式是由于E的上鞅性质-RνdW, 为了ν∈ K（σ）。由于命题3.2的最后一个断言，这意味着本节中考虑的金融市场模型不支持ELMM。此外，不存在元素λ∈ K（σ）使得E[Zλ（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）]，正如我们现在要展示的。每n∈ N、 设νN:=n1[[0，τ]]。显然，我们有∈ K（σ）和E-RνndW是一个一致可积鞅（在τ处停止），对于所有n∈ 因此，根据命题3.2和方程（4.3）-（4.4），我们得到，对于任何N∈ N:E[ZνN（T）]=EZ（T）E-ZνndWτ= ES（T）E-ZνndWτ= EE-ZνndWτ+ EE-ZνndWτS（T）- 1.{τ<T}= 1.- 2 EE-ZνndWτ1.- Φ√T- τ{τ<T}= 1.- 2 E经验-nτaτ+n1.- Φ√T- τ{τ<T}.通过支配收敛，最后一个等式意味着：1=limn→+∞E[Zνn（T）]≤ supν∈K（σ）E[Zν（T）]≤ 1，从而表明supν∈σ（η）T[1]。特别是，上确界不是由任何元素ν获得的∈ K（σ）。致谢这项研究得到了玛丽·居里欧洲内部研究金的支持，该研究金属于第七个欧洲共同体框架项目，根据PIEF-GA-2012-332345赠款协议。作者感谢两位匿名推荐人的宝贵意见，这些意见有助于改进论文。这项研究的一部分是在作者是MATHRISK团队的博士后研究员atINRIA Paris Rocuncourt时进行的。基于三维贝塞尔过程的模型是金融市场的经典例子，这些金融市场提供了机会，例如[2]、[4]中的例子6.8和[6]中第59页的例子。参考文献[1]Delbaen，F.和Schachermayer，W。

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