关于套利、近似套利和基本定理的注记

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英文标题：
《A note on arbitrage, approximate arbitrage and the fundamental theorem
  of asset pricing》
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作者：
Claudio Fontana
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We provide a critical analysis of the proof of the fundamental theorem of asset pricing given in the paper \"Arbitrage and approximate arbitrage: the fundamental theorem of asset pricing\" by B. Wong and C.C. Heyde (Stochastics, 2010) in the context of incomplete It\\^o-process models. We show that their approach can only work in the known case of a complete financial market model and give an explicit counterexample.
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中文摘要：
我们对B.Wong和C.C.Heyde（Stochastics，2010）在不完全It o过程模型背景下发表的论文《套利和近似套利：资产定价基本定理》中给出的资产定价基本定理的证明进行了批判性分析。我们证明了他们的方法只能在完全金融市场模型的已知情况下工作，并给出了一个明确的反例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_note_on_arbitrage,_approximate_arbitrage_and_the_fundamental_theorem_of_asset_.pdf (207.16 KB)

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关键词：Applications Quantitative Differential Fundamental Stochastics

关于套利、近似套利和资产定价的基本定理的说明Fontanalaboratoroire Analysis et ProbabilityéUniversitéd'Evry Val d’Essonne，23 bd de France，91037，'Evry（法国）电子邮件：claudio。fontana@univ-埃弗里。frThis version:2013年11月27日摘要我们对B.Wong和C.C.Heyde（Stochastics，2010）在不完全It过程模型背景下发表的论文《套利和近似套利：资产定价基本定理》中给出的资产定价基本定理的证明进行了批判性分析。我们证明，他们的方法只能在已知的完整金融市场模型的情况下工作，并给出了一个明确的反例。关键词：套利；资产定价基本定理；信息技术——过程；完全市场；等价局部鞅测度；鞅消去器。理学硕士（2010）：60G44、60H05、91B70、91G10。1简介数学金融的核心成果之一是资产定价基本定理（FTAP），在局部有界过程的情况下，断言了无风险午餐（NFLVR）条件与等价局部鞅测度（ELMM）的存在性之间的等价性，其中贴现资产价格是局部鞅（见[1]，推论1.2）。从局部鞅到σ-鞅，这一基本结果在[3]中被推广到一般半鞅模型。让我们回顾一下，NFLVR强化了经典的无套利条件，相当于[12,16]中考虑的无近似套利的概念（参见例如[5]，引理6.2）。尽管FTAP很重要，但[1,3]中给出的连续时间模型的FTAP证明在过去二十年中并未成功简化。

据我们所知，唯一的例外是经典论文[12]，其中FTAP是在一个完整的It过程模型的背景下，依靠纯概率参数证明的，论文[10]，在指数Lévy模型的背景下，以及最近的论文[13]，作者成功地给出了连续半鞅的FTAP的一个透明证明，其特征相对于勒贝格测度是绝对连续的。最近，[16]提出了基于信息技术过程的一般不完全金融市场背景下FTAP的概率和简单证明，从而扩展了[12]的分析。众所周知，FTAP证明中的困难步骤在于证明无套利（NFLVR意义上）意味着存在ELMM。[16]中给出的证明依赖于可实现索赔的一般特征以及随机指数族成对最大化下的封闭性，对应于ELMM的候选密度过程（见[16]，第3-4节）。在本文中，我们证明了[16]所采用的技术无法提供FTAP的新证明。更具体地说，我们证明了[16]所声称的一系列随机指数在最大化下的封闭性，以及[16]的方法本身，只能在完全金融市场的背景下产生FTAP，正如[12]所考虑的那样。此外，我们提供了一个明确的反例，表明一般来说，为了开发FTAP的替代证明，不可能采用[16]中的观点。本文的结构如下。为了方便读者，第2节回顾了[16]中考虑的金融市场模型。第三节批判性地分析了他们主要结果的证明，而第四节包含了反例。

我们参考[5,7]对一般连续金融模型中的几种无套利条件进行统一分析，更具体地说，参考调查文件[6]，了解非金融条件不一定成立时It过程模型的性质。2基于给定概率空间的金融市场模型(Ohm, F、 P），让进程W={W（t）；0≤ T≤ T}是一个Rd值布朗运动，带T∈ (0, ∞) 表示固定的时间范围，并设F=（Ft）0≤T≤TBP——增强的自然过滤W。假设k+1（带k≤ d） 证券可以交易，其价格由Rk+1值连续半鞅X={X（t）；0表示≤ T≤ T}。通常，0thsecurity表示本地无风险储蓄账户流程：X（t）=expZtr（u）du, 尽管如此，t∈ [0，T]，对于渐进可测利率过程r={r（T）；0≤ T≤ T}与rt|r（T）|dt<∞P-a.s.剩下的k证券是有风险的，它们的价格是X，Xkare由下列SDE的解给出，对于i=1，k:dXi（t）=Xi（t）ui（t）dt+Xi（t）dXj=1σij（t）dWj（t），Xi（0）=Xi>0，（2.1）带u={u（t）；0≤ T≤ T}Rk值的渐进可测量过程，RTKu（T）kdt<∞P-a.s.和σ={σ（t）；0≤ T≤ T}an Rk×d值渐进可测过程满足pki=1Pdj=1RTσij（T）dt<∞ P-a.s.（注意[16]中缺少正方形）。这些假设证明了SDEs系统（2.1）存在唯一的强解。此外，在[16]中，我们假设矩阵σ（t）对于每个t都有（P-a.s.）满秩∈ [0，T]，这意味着金融市场不包含冗余资产（另见[6]，备注4.2.2）。定义2.1。一个渐进可测过程π={π（t）；0≤ T≤ 在Rkis中取值据说是一种可接受的交易策略π（t）u（t）- r（t）Ikdt<∞ P-a.s.（2.2a）ZTπ（t）σ（t）dt<∞ P-a.s。

（2.2b）如果过程r·X（t）-1π（t）（u（t）- r（t）Ik）dt+r·X（t）-1π（t）σ（t）dW（t）是P-a.s.一致有界的f，从下面开始，带表示换位和Ik:=（1，…，1）∈ Rk。我们用A表示所有可接受的交易策略族。对于π∈ A、 πi（t）表示在t时投资于资产i的财富金额，对于i=1，k和t∈ [0，T]。通常，我们假设交易是以自我融资的方式进行的。这相当于要求X贴现财富过程`Vx，π={Vx，π（t）；0≤ T≤ 与策略π相关的T}∈ A、 从x的初始捐赠开始∈ R+，满足以下SDE：（d’Vx，π（t）=X（t）-1π（t）u（t）- r（t）Ikdt+X（t）-1π（t）σ（t）dW（t），\'Vx，π（0）=x（2.3），依次为（x，π）∈R+×A，未贴现财富过程Vx，π={Vx，π（t）；0≤ T≤ T}，由Vx定义，π（T）：=X（T）~Vx，π（T），满足Vx，π（0）=X和dvx，π（T）=r（T）Vx，π（T）dt+π（T）u（t）- r（t）Ikdt+π（t）σ（t）dW（t）。（2.4）备注2.1。我们想指出[16]不需要可积条件（2.2a）。如果条件（3.2）成立，那么（2.2a）从（2.2b）开始，这可以通过简单应用柯西-施瓦兹不等式（参见[6]，引理4.3.21）来验证。然而，条件（2.2a）通常是必要的，以确保（2.3）和（2.4）中出现的dt积分得到很好的定义。定义2.2。交易策略π∈ 如果PV0，π（T）≥ 0= 1和PV0，π（T）>0> 0.备注2.2。在[16]中，如果P\'Vx，π（t）≥ -1.T∈ [0，T]= 1.可以很容易地检查到，当且仅当存在具有可接受交易策略的套利机会时（在定义2.1的意义上，根据[1,2,3]的术语），存在具有平淡策略的套利机会。我们指出σ（t）有P-a.s的假设。

每个t的满秩∈ [0，T]只能通过假设u（T）来放松- r（t）Ik∈ {σ（t）x:x∈ Rd}P-每t的a.s∈ [0，T]（对应于排除被称为增加利润的逻辑套利可能性；见[6]，命题4.3.4），Ik:=（1，…，1）∈ Rk，并替换矩阵σ（t）（σ（t）σ（t）)-1利用（3.1）中σ（t）的Moore-Penrose伪逆。3在分析本节[16]的主要结果时，我们批判性地分析了[16]中给出的FTAP的证明。我们首先表明，随机指数不具备[16]中引理3.3所述的封闭性，除了完整金融市场的特殊情况。3.1 ris k和鞅定义的市场价格，因为矩阵σ（t）被假定为每个t的满秩∈ [0，T]，我们可以定义风险过程的市场价格θ={θ（T）；0≤ T≤ T}如下所示，对于所有T∈ [0，T]：θ（T）：=σ（T）σ（t）σ（t）-1.u（t）- r（t）Ik. （3.1）如[16]第3-4节所述，我们介绍了以下关于θ的长期假设：ZTkθ（t）kdt<∞ P-a.s.（3.2）让我们简要地评论一下上述可积性条件的含义。定义3.1。严格正局部鞅Z={Z（t）；0≤T≤Z（0）=1的T}被认为是一个鞅变量，如果乘积Z\'Vx，π是一个局部鞅，对于所有π∈A和x>0。我们用D表示所有鞅定义的集合。只要（3.2）成立，我们总是可以定义严格正连续局部鞅Z={Z（t）；0≤ T≤ T}作为随机指数Z:=E-RθdW. 标准应用分部积分公式（见[6]，命题4.3.9），再加上（2.3）和（3.1），得出Z∈ D.这表明D 6= 如果条件（3.2）成立。备注3.1。我们想指出，在套利理论的背景下，鞅函数的存在具有精确的意义。

事实上，如[11]的定理4所示，D6=当且仅当不存在第一类套利时成立，在[11]定义1的意义上（与[5]定理5.4进行比较）。下一个结果阐明了[16]中考虑的随机指数类的重要性。我们用K（σ）表示所有Rd值的渐进可测过程的族ν={ν（t）；0≤ T≤ T}使得rtkν（T）kdt<∞ P-a.s.和σ（t）ν（t）=0 P-a.s.表示a.e.t∈ [0，T]。提议3.2。严格正局部鞅Z={Z（t）；0≤ T≤ Z（0）=1的T}当且仅当存在一个Rd值过程ν={ν（T）；0≤ T≤ T}∈ K（σ）如此，对于所有的t∈ [0，T]：Z（T）=E-Z（θ+ν）dWt=Z（t）E-ZνdWt=：Zν（t）。（3.3）此外，元素Z∈ D是一个ELMM的密度过程当且仅当它是一个（统一整数）鞅，即当且仅当e[Z（T）]=1。证据回顾过滤F是由W生成的，该主张遵循鞅表示定理和分部积分公式，使用（2.3）和（3.1）（与[6]相比，引理4.3.15）。最后一个断言来自Bayes规则以及正局部鞅Zν、f或ν的超鞅性质∈ K（σ）。在他们的研究中，[16]主要依赖于以下说法（见他们的引理3.3）：存在一个过程λ={λ（t）；0≤ T≤ T}∈ K（σ）使得zλ（t）=ess supν∈K（σ）Zν（t），对于所有t∈ [0，T]。（3.4）不幸的是，属性（3.4）不能成立，除了平凡的情况K（σ）={0}，根据命题3.2，它反过来等价于D={Z}。事实上，在证明他们的MMA 3.3时，[16]试图证明{Zν（t）：ν∈ 对于所有t，K（σ）}在成对最大化下是闭合的∈ [0，T]。

然而，正如我们现在要展示的那样，这不是事实。对于两个不同的元素，K（σ）6={0}和∈ K（σ），让我们定义可测集χ（t）：={Zν（t）≥ Zν（t）}，每t∈ [0，T]。然后定义过程ν={ν（t）；0≤ T≤ T}∈ K（σ）如下，对于所有t∈ [0，T]：ν（T）：=ν（T）1χ（T）+ν（T）1χ（T）c。很明显，Zν（0）=1，使用符号（3.3）：dZν（t）=-Zν（t）θ（t）+ν（t）dW（t）。（3.5）另一方面，对于所有∈ [0，T]，我们有：Zν（T）∨ Zν（t）=Zν（t）1χ（t）+Zν（t）1χ（t）c=Zν（t）+Zν（t）- Zν（t）+. （3.6）通过田中迈耶公式（见[8]，第4.1.8节），我们得到以下动力学：dZν（t）- Zν（t）+= 1{Zν（t）>Zν（t）}dZν（t）- Zν（t）+Lν，ν（t），（3.7），其中Lν，ν={Lν，ν（t）；0≤ T≤ T}表示连续局部鞅的局部时间- 0级的Zν。从（3.6）-（3.7）我们得到：dZν（t）∨ Zν（t）= -Zν（t）1χ（t）cθ（t）+ν（t）dW（t）- Zν（t）1χ（t）θ（t）+ν（t）dW（t）+Lν，ν（t）=-Zν（t）∨ Zν（t）θ（t）+ν（t）dW（t）+Lν，ν（t）。（3.8）通过比较（3.5）和（3.8），我们立即看到Zν（t）∨ 因此，与[16]第193页的主张相矛盾。还请注意，作为Skorokhod引理的结果（见[8]，引理4.1.7.1），它认为Lν，ν（t）=sups≤T-北区（s）, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中局部鞅N={N（T）；0≤ T≤ T}定义为：N（T）：=ZtsignZν（u）- Zν（u）Du（νZ）- Zν（u）, 尽管如此，t∈ [0，T]。这意味着（3.8）中出现的局部时间Lν，ν当且仅当Zν=Zν时消失，即当且仅当ν（t）=ν（t）P-a.s.对于a.e.t∈ [0，T]。事实上，如果后一个条件成立，那么很明显Lν，ν消失了。相反，如果Lν，ν（t）=0 P-a.s.对于所有t∈ [0，T]，然后他们的身份Lν，ν（T）=sups≤T-北区（s）这意味着局部鞅N是P-a.s.非负的，因此，作为Fatou引理的结果，它是一个超鞅。因为N（0）=0，这意味着N=0 P-a.s.反过来，hZν- Zνi=hNi=0 P-a.s。

这意味着对于a.e.t.，ν（t）=ν（t）P-a.s∈ [0，T]。因此，与（3.5）和（3.8）一起，我们已经证明了平凡的caseK（σ）={0}是（3.4）可以成立的唯一情况。更一般地说，过程λ的不存在性∈ 满足（3.4）的K（σ）也可以从以下（几乎微不足道的）结果中推导出来。引理3.3。设Mi={Mi（t）；0≤ T≤ T}是右连续局部鞅，对于i=1，2，M（0）=M（0）P-a.s，那么M:=M∨ Mis是局部鞅当且仅当MandMare不可区分。证据如果M=M∨ 如果是局部鞅，则过程N={N（t）；0≤ T≤ N（T）：=M（T）-M（t）+M（t）/2.尽管如此∈ [0，T]是一个非负局部鞅，根据Fatou引理，它也是一个超鞅。因为N（0）=0 P-a.s.，所以对于所有的t，超级鞅属性将N（t）=0 P-a.s∈ [0，T]，意味着所有T的M（T）=M（T）P-a.s∈ [0，T]。右连续性意味着PM（t）=M（t），T∈ [0，T]= 1.逆向含义是ev ident。备注3.2。除了{Zν（t）：ν族成对极大化下的闭性失效∈ K（σ）}，[16]中引理3.3的证明来自另一个技术问题。事实上，在[16]中，作者定义了一个过程Z*= {Z*（t） )；0≤ T≤ T}asZ*（t） ：=ess supν∈K（σ）Zν（t），对于所有t∈ [0，T]和[0，T]值随机变量序列{τk}k∈Nbyτk:=inf{t∈ [0，T]：Z*（t）≥ k}∧ T代表k∈ 然而，我们先验地不知道这个过程*可逐渐测量（或至少允许正确的连续修改），因此τkc不能作为停止时间。3.2可实现的cla ims和[16]中定理1.1的证明[16]中给出的FTAP的证明依赖于可实现权利要求的特征。

[16]第3节含蓄采用的可达到性概念对应于以下定义。我们总是认为长期假设（3.2）成立。定义3.4。如果存在π，则可以得到FT可测的非负随机变量B∈ A和x∈ R+使得Vx，π（T）=bpa.s，如果存在一个鞅函数Zν∈ 使得ZνVx，π是鞅。只要D6=, 在[15]的定理3.2中的一般半鞅设置中，已经建立了可实现权利要求的以下特征（在当前设置中，还与[9]、定理8.5和[14]、第3章的定理5进行比较）。特别要注意的是，不一定假设ELMM的存在。提案3.5。设B为可测非负随机变量。那么，在假设（3.2）下，以下是等价的：（i）B是可实现的；（二）λ ∈ K（σ）使得e[Zλ（T）B/X（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）B/X（T）]<∞.此外，最初的捐赠∈ 复制可实现的权利要求B所需的R+由x=supν给出∈K（σ）E[Zν（T）B/X（T）]。在[16]第4节中，含义（ii）=>（i） 命题3.5的B=X（T）与性质（3.4）一起使用，以得到元素π的存在性∈ 从初始投资c开始，π（T）=X（T）P-A.s:=E[Zλ]。如果不存在任何ELMM，那么c<1（见命题3.2的最后一个主张）和组合过程V0，π={V0，π（t）；0≤ T≤ 定义为V0，π（T）：=Vc，π（T）- cX（t），代表所有t∈ [0，T]从定义2.2的意义上认识到了一个不可预测的机会，因为V0，π（T）=（1-c） X（T）>0 P-a.s.这将证明，没有套利机会（连同不包括第一类套利的长期假设（3.2），见备注3.1）意味着存在无利率市场模型。