基于最优多重停止的最优保险购买策略

本文中使用的LDA模型的相关性质总结见第4节，并在第5节中介绍了这项工作的主要贡献，即所考虑的保险产品最优多重停止规则的闭式解。在第6节中，我们检查了第5节中导出的规则的理论合理性，并将其与预先定义的规则进行了比较。由于这些封闭形式的结果依赖于所考虑的随机损失模型，我们还提供了适用于任何损失过程的一般框架。因此，在第7节中，我们讨论了一种基于未知数级数展开的方法，用于在保单和严重性密度的组合不产生分析结果的情况下计算最优规则。第8.2节给出了结论和一些最终考虑。保险政策如前所述，此处所述的保险政策必须被视为更详细说明的基础，从而减轻更复杂的风险来源。还值得注意的是，所提供的保单只是实际销售保单的数学模型，尽管某些特征（如免赔额）可以纳入模型，但在现阶段并未提供。在续集中，我们将介绍这些公司可以在保险产品中使用的基本保险单。为了简单起见，如果一个过程Z（t）Tt=1是i.i.d.随机变量的序列，我们将删除时间索引，并将此过程中的通用r.v.表示为Z。对于本文的其余部分，IA将表示事件a上的指示器函数，即，如果a有效，IA=1，否则为零。定义2.1（个人损失保险单（ILP））。

本政策对第三年的损失过程采用恒定的折减，其中个人损失经历了EZ=NXn=1max（Xn）规定的最高承保限额（TCL）- TCL，0）。定义2.2（累积损失保单（ALP））。ALP为超过一年的员工提供规定的最高薪酬。如果最高赔偿额由ALP表示，则年度投保流程定义为aseZ=NXn=1Xn- 阿尔卑斯山！我PNn=1Xn>ALP.定义2.3（附着点后覆盖率（PAP））。附着点是被保险人的保留点，在此点之后，保险人开始赔偿公司在P APeZ=NXn=1Xn×I{Pnk=1Xk点的累积损失≤P AP}。为了描述此类政策的年度应用，我们在图2至图4中提供了这些政策的示意图，假设损失与图1相同。保险单减轻的（部分）损失用白色条表示，因保险产品所有者造成的剩余损失用灰色条表示。如图1所示，年度损失用灰色条表示。时间t=1 t=2 t=3（以年为单位）损失X（1）X（1）Z（1）TCL=1.5X（1）图2:TCL水平为1.5的个人损失保单（ILP）。时间t=1 t=2 t=3（以年为单位）损失X（1）X（1）Z（1）ALP=2X（1）图3：ALP水平为2.0的累积损失政策（ALP）。Timet=1 t=2 t=3（以年为单位）损失X（1）X（1）Z（1）PAP=3X（1）图4：PAP水平为3.03的后附着点覆盖政策（PAP）。多个最优决策规则假设一个代理连续观察一个过程W（t）Tt=1，对于固定T<+∞ 为了最大化（或最小化，见备注3.7）所选观测值的预期总和，希望选择这些观测值的k<T。对于k=1，该问题在文献中被称为ho使用销售问题（更新的文献综述见Sofronov（2013）），因为其解释之一如下。

如果代理人愿意出售一栋房子，并且最多可以看到T个出价，他希望选择最佳时间τ，以便以尽可能高的价格出售房子。当k>1时，这个问题的扩展被称为多套房子出售问题，代理想要出售k套相同的房子。值得注意的是，在我们的保险问题中，代理人有兴趣在短期内执行保险政策，以尽量减少损失，这一点在本文中很快就会明确。形式上，这个问题的数学框架由一个过滤的概率空间组成Ohm, F、 {Ft}t≥0，P,式中Ft=σW（t）是由W（t）生成的西格玛代数。在这个框架内，我们假设信息流仅由观察到的W值给出，很明显，在时间t的任何决策都应该只考虑到时间t之前的过程W值。同时，还要求两个动作不能同时发生，也就是说，我们不允许在同一离散时间瞬间发生两个停止时间。这些假设在以下定义中得到了精确的阐述，但关于多重最优停止规则理论的更多细节，我们请读者参考Nikolaev和Sofronov（2007）以及Sofr onov（2013）。定义3.1。如果下列条件成立，整数值随机变量（τ，…，τi）的集合称为i-多重停止规则：（A）{ω∈ Ohm : τ（ω）=m，τj（ω）=mj}∈ Fmj，mj>mj-1> . . . > M≥ 1，j=1，我（b） 一,≤ τ< τ< . . . < τi<+∞, （P-a.s.）。考虑到停止规则的数学定义，这些规则的最优性概念可以在以下定义中变得精确。定义3.2。对于给定的多重停止规则τ=（τ，…，τk），本文中使用的增益函数u采用以下加性形式：g（τ）=W（τ）+。

+W（τk）。定义3.3。设Smbe多个停止规则的类τ=（τ，…，τk），使得τ≥ m（P-a.s.）。函数vm=supτ∈SmE[g（τ）]定义为游戏的m值，特别是如果m=1，则定义为游戏的价值。定义3.4。多重停止ruleτ*∈ Smis在Smif E[W（τ）中称为最优多重停止规则*)]存在与E[W（τ）*)] = 虚拟机。以下结果（首次出现在Nikolaev和Sofronov（2007）的定理3中）提供了使观测值之和的期望值最大化的最佳多重映射规则。定理3.5。设W（1），W（2），W（T）是具有已知分布函数F，F，…，的独立随机变量序列，增益函数g（τ）=Pkj=1W（τj）。设vL，lbe为一个游戏的值，其中允许代理停止l次（L6K），剩余l步（L6T）。如果存在[W（1）]，E[W（2）]，E[W（T）]然后游戏的值由v1，1=E[W（T）]，vL，1=E给出max{W（T）- L+1），vL-1,1}, 1<1≤ T、 vL，l+1=Emax{vL-1，l+W（T）- L+1），vL-1，l+1}, l+1<l≤ T、 vl，l=Evl-1，l-1+W（T）- l+1）.如果我们把τ*= 最小{m:16 m6t- k+1，W（m）>vT-m、 k- 及物动词-m、 k-1};τ*i=min{mi:τ*我-1<MI6T- k+i，W（mi）>vT-米，k-i+1- 及物动词-米，k-i} ，i=2，K- 1.τ*k=min{mk:τ*K-1<mk6 T，W（mk）>vT-mk，1}；（1） 然后τ*= (τ*, . . . , τ*k） 是最佳的多重选择规则。在这种情况下，我们认为最好是完全停止这一过程k次，但这可能不是真的，例如，如果产品持有人获得了不到k年的保险索赔的奖励。鉴于这些考虑，我们将一如既往地提出索赔。在定理3.5中，我们可以看到L>L的值函数是人工的，例如，v0,1没有解释。

另一方面，不能使用通用公式计算v1,1（取决于v0,1）。根据上述原因，在剩余一站和剩余一步的情况下，我们必须停止，因此，在计算v1,1时，没有最大化步骤，即v1,1=e[W（T- 1 + 1)]. 同样的参数对l>1有效，在这种情况下，vL，l=emax{vL-1，l-1+W（T）- L+1），vL-1，l}, 1.≤ L≤ 坦德，如果我们有我≤ （T）- 1） 向左走几步，然后我停下来，我们必须在剩下的所有步骤中停下来。所以，vl，l=Evl-1，l-1+W（T）- l+1）.从定理3.5和年损失的独立性假设中，我们可以看到，为了能够计算最优规则，我们只需要计算（无条件）期望值，如E[W]和E[max{c+W，c}]，以获得不同的c值。此外，由于≤ vL-1，l≤ vL-1，l+1，我们实际上只需要计算0的E[max{c+W，c}]≤ C≤ c、 图5：价值函数itera tio n.3.1的重新呈现示意图。在本文中，我们将考虑潜在被保险人的两个可能的一般群体。最重要的是，当团队中的人有能力采取行动时，他们总是有最佳的行动。在这种情况下，我们将考虑优化全局目标函数。第二组代表行为次优的有限理性被保险人。

这一群体代表的是那些无法或缺乏资源/知识来理解如何在决定最佳行为/行动时采取最佳行动的企业，他们将被当地行为所吸引。因此，这两个群体将被编码在两个目标函数中：一个是最优（全局）的，另一个代表有界理性群体可能采用的次优（局部策略）。对于第一组和第二组，这些行为可以分别通过以下实施策略进行预防。1.全球风险转移策略：将[0，T]期间的（预期）总损失降至最低；2、本地风险转移策略：将保险时间（即停止时间）的损失（预计）总和降至最低。这两个不同的群体可以被理解为，例如，大公司，员工致力于充分理解这种合同的数学细微差别，小公司，获取信息的渠道有限。具有“有限理性”的集团可以决定（启发式地，不使用任何数学工具）遵循所谓的局部风险转移策略，这将在[0，T]期间产生较小的收益。正如我们将在第6节中所述，这两个不同的目标函数可能会导致完全不同的行使策略，我们相信销售本合同的保险公司应该了解这些不同的行为。对于第一个loss函数，形式目标是最小化text=1t/∈{τ，…，τk}Z（t）+kXj=1eZ（τj）=TXt=1Z（t）-TXt=1t∈{τ，…，τk}nZ（t）-eZ（t）o.SincePTt=1Z（t）不依赖于τ。

，τk，这实际上等于最大化kXj=1W（τj）=kXj=1nZ（τj）-eZ（τj）o，其中过程W定义为W（t）=Z（t）-eZ（t）。对于第二个目标函数，公司的目标不是在[0，T]期间将总损失降至最低，而是仅在决定投保并因此对给定范围内的损失提出索赔时，kXj=1eZ（τj），在这种情况下，过程应为W（T）=-eZ（t）。备注3.6。注意，如果代理试图最大化第一损失函数（使用W=Z-eZ），那么W是非负随机过程，只需要计算一种期望，因为如果c=c=0，那么E[max{c+W，c}]=E[W]。备注3.7。如果代理试图最小化Ez（t）随机变量之和的预期收益（而不是最大化它），可以将问题重写如下。定义一个过程W（t）=-eZ（t）并注意到最小E[Pkj=1eZ（τj）]=最大E[Pkj=1W（τj）]。因此，使过程W的预期总和最大化的最佳s打顶时间与使过程Z的预期总和最小的最佳s打顶时间相同。虽然这项工作主要致力于研究保单和严重性分布的组合，从而得出封闭形式多重最优停止规则所需的值函数积分的封闭形式结果，但我们也展示了如何开发原则性近似程序，用于计算投保过程的分布（见第7节）。在本节的剩余部分中，我们使用第二（局部）目标函数给出了一个非常简单的示例，其中我们假设年度保险损失e s被建模为对数正态随机变量。例3.8（对数正常）。假设被保险人损失了（1），eZ（T）形成i.i.d.随机变量序列~ 对数正常（0,1）。

要计算使预期无损us定义W最小化的多重最优规则：-简单使用定理3.5中的方程的游戏值见表1。请注意，表1给出了我们停止时的预期损失值，即EhPkj=1-eZ（τj）i，所以它只会使同一列中的值进行比较。这样做可以看到，对于固定的停站次数l，游戏的价值随着剩余步数的增加而增加。换言之，人们等待决定在哪一步停止的时间越长，预期损失就越小。1.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-8.91-13.19 0.009-0.38-0.94-1.69-2.65-3.88-5.45-7.50-10.34-14.8410-0.36-0.88-1.56-2.43-3.52-4.87-6.58-8.78-11.78表1：对数正态样本中不同L（剩余步数）和L停止的值函数表。如果我们假设T=7，并且我们被授予四个止损点，则预期损失为v7,4=-3.3 2.

在这种情况下，最佳停止规则由τ给出*= min{m:16 m6 4，W（m）>v7-m、 四,- v7-m、 3}τ*= min{m:τ*< m6 5，宽（米）>v7-m、 三,- v7-m、 2}τ*= min{m:τ*< m6 6，宽（米）>v7-m、 二,- v7-m、 1}τ*= min{m:τ*< m6 7，宽（米）>v7-m、 1}。例如，如果我们观察序列W=-0.57，w=-0.79，w=-4.75，w=-1.07，w=-1.14，w=-5.5.6，w=-1.59那么最佳停止时间由以下公式得出：τ*= 1，因为w=-0.57≥ v7-1,4- v7-1,3= -三点八七- (-2.34) = -1.53;τ*= 2，因为w=-0.79≥ v7-2,3- v7-2,2= -二点七六- (-1.43) = -1.33;τ*= 4，因为w=-1.07≥ v7-4,2- v7-4,1= -二点一九- (-0.77) = -1.42;τ*= 因为我们必须停下来整整四次。在这种情况下，停止时间的实际损失为-0.57-0.79-1.07-1.59 = -4.02，wich应与最佳规则下的预期损失相比较：-3.32.4. 损失过程模型vi损失分配方法在讨论定理3.5在第1节中出现的选择保险产品的多个行使日期的问题之前，在本节中，我们提出了LDA模型，该模型在第5节中给出了闭式解。OpRisk中的服务水平分配法（LDA）假设在一年内，一家公司承受N（t）个运营损失，其中N（t）遵循某种计数分布（通常为泊松分布或负二项分布）。这些损失的严重程度用X（T）表示，XN（t）（t）和t年末的累积损失由z（t）=PN（t）n=1Xn（t）给出。为了对风险损失进行建模，重要的是严重程度密度允许发生极端事件，因为这些事件通常发生在实践中，如中所示（Peters等人，2013年，第1.1节）。

按照（Franzetti，2011，表3.3）中的命名法，逆高斯分布具有“中等尾部”，这使得它成为许多风险类型的风险损失的合理模型，并在实践中经常使用。这类分布还具有在卷积下闭合的优点，如果要获得多重最优停止问题的闭式解，这一特性是必不可少的。在不同保单的闭式解中，我们使用了逆高斯分布的性质及其与广义逆高斯分布的关系。下面的引理将贯穿始终；更多细节见《乡亲与奇卡拉》（1978）和《约根森》（1982）。在下面，让X，Xnbe参数为u，λ>0，即fX（x；u，λ）的i.i.d.逆高斯n（IG）随机变量序列=λ2π1/2倍-3/2exp-λ（x）- u）2ux, x>0。设G是参数α，β>0，p的广义逆高斯n（GIG）r.v∈ R、 fG（x；α，β，p）=（α/β）p/22Kp(√αβ）xp-1exp-（αx+β/x）, x>0，其中kpi是第三类修正贝塞尔函数（有时称为第二类修正贝塞尔函数），定义为kp（z）=z+∞向上的-1e-z（u+1/u）/2du。引理4.1。逆高斯随机变量族在卷积下是闭合的，其和的分布由n:=nXl=1Xl给出~ IG（nu，nλ）。（2） 引理4.2。任何逆高斯随机变量都可以表示为广义逆高斯，对于引理4.1的特殊情况，关系为fsn（x；nu，nλ）≡ fG（x；λ/u，nλ，-1/2). （3） 引理4.3。第三类修正贝塞尔函数在参数p中围绕零对称。特别是当p=1/2，K1/2（nλu）K时-1/2（nλu）=1。（4） 引理4.4。逆高斯r.v.的密度。