基于最优多重停止的最优保险购买策略

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英文标题：
《Optimal insurance purchase strategies via optimal multiple stopping
  times》
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作者：
Rodrigo S. Targino, Gareth W. Peters, Georgy Sofronov, Pavel V.
  Shevchenko
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we study a class of insurance products where the policy holder has the option to insure $k$ of its annual Operational Risk losses in a horizon of $T$ years. This involves a choice of $k$ out of $T$ years in which to apply the insurance policy coverage by making claims against losses in the given year. The insurance product structure presented can accommodate any kind of annual mitigation, but we present three basic generic insurance policy structures that can be combined to create more complex types of coverage. Following the Loss Distributional Approach (LDA) with Poisson distributed annual loss frequencies and Inverse-Gaussian loss severities we are able to characterize in closed form analytical expressions for the multiple optimal decision strategy that minimizes the expected Operational Risk loss over the next $T$ years. For the cases where the combination of insurance policies and LDA model does not lead to closed form expressions for the multiple optimal decision rules, we also develop a principled class of closed form approximations to the optimal decision rule. These approximations are developed based on a class of orthogonal Askey polynomial series basis expansion representations of the annual loss compound process distribution and functions of this annual loss.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了一类保险产品，其中投保人有权在$T$年的期限内为$k$的年度操作风险损失投保。这涉及到从$T$年中选择$k$年，通过对给定年份的损失提出索赔来应用保单覆盖范围。本文介绍的保险产品结构可以适应任何类型的年度缓解措施，但我们介绍了三种基本的通用保险单结构，它们可以组合起来创建更复杂的保险类型。按照泊松分布的年度损失频率和逆高斯损失严重度的损失分布法（LDA），我们能够在封闭形式的分析表达式中描述多个最优决策策略的特征，以最小化未来$T$年的预期操作风险损失。对于保险单和LDA模型的组合不会导致多个最优决策规则的闭式表达式的情况，我们还开发了一类原则性的最优决策规则的闭式近似。这些近似是基于年损失复合过程分布和年损失函数的一类正交Askey多项式级数基展开表示而发展起来的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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PDF下载：
--> Optimal_insurance_purchase_strategies_via_optimal_multiple_stopping_times.pdf (623.23 KB)

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关键词：Applications distribution Quantitative Econophysics Presentation

通过最优多次停止时间的最优保险购买策略Rodrigo S.TarginoGareth W.Peters1，2英国伦敦大学学院统计科学系乔治·索夫罗诺夫帕维尔诉舍甫琴科；电邮：gareth。peters@ucl.ac.uk（通讯作者）澳大利亚悉尼Cquarie大学统计系澳大利亚悉尼CSIRO数学、信息学和统计学10，2018年通过最优多次停止时间的最优保险购买策略Rodrigo S.TarginoGareth W.Peters1，2 Georgy SofronovPavel V.Shevchenko摘要在本报告中，我们研究了一类保险产品，其中投保人可以选择在T年内为其年度运营风险损失的k投保。这涉及到从T年中选择k年，通过对给定年份的损失提出索赔来应用保单覆盖范围。所述的保险产品结构可以适应任何类型的年度缓解措施，但我们提出了三种基本的通用保险单结构，可以组合起来创建更复杂的保险类型。按照泊松分布的年度损失频率和逆高斯损失严重度的损失分布法（LDA），我们能够用封闭形式的分析表达式来描述多个最优决策策略的特征，以最小化未来T年的预期操作风险损失。对于保险策略和LDA模型的组合不会导致多个最优决策规则的闭式表达式的情况，我们还开发了一类最优决策规则的闭式近似。

这些近似是建立在一类年损失的正交Askey多项式级数基展开表示的基础上的。年损失的过程分布和函数。关键词：多重停止规则、操作风险、保险2018年6月10日。简介自2004年新巴塞尔资本协议生效以来，操作风险（OpRisk）量化对金融机构的重要性与日俱增。然而，同样程度的关注还没有被投入到降低O pRisk损失的保险上，因此也没有投入到OpRisk中不同风险转移策略可能允许的潜在风险和资本减少的详细分析上。例如，从历史上看，通过信用衍生品和利率互换转移信用和市场风险一直是从业者和学者广泛研究的一个活跃主题，而在文献中只能找到一些关于风险转移和此类风险转移可能方法的参考文献（见Brandts（2004），Bazzarello等人（2006年）和Peters等人（2011年）。

OpRisk资本缓释中保险单的使用缓慢，主要归因于四个一般因素：（a）对于当前可用OpRisk保险产品对资本缩减的影响，尤其是在复杂的多风险、多周期情况下，仍有其他有限的了解；（b） 特定年份内相对保守的巴塞尔协议II监管上限为20%（对于高级计量方法模型）；（c） 目前对OpRisk流程可用的产品和风险转移机制类型的了解有限；（d）主要针对OpRisk的保险产品竞争有限，在OpRisk中，年保费和进入此类产品市场所需的最低一级资本要求排除了许多司法管辖区的大多数银行和金融机构。这四个因素中的一些原因是，当人们意识到OpRisk在制定一般风险转移策略时尤其具有挑战性，由于其风险流程从传统意义上的可保险损失流程（见定义1.2）到偶尔发生的高频率损失流程，这些流程可能仅部分可保险，并且可能由通常由灾难性赔偿和其他类型的风险转移机制覆盖的极端损失造成。鉴于这些原因，在学术研究和行业中，被保险人为风险设置开发风险转移产品是一个相对较新且不断增长的领域，随着对灾难和高后果低频损失过程的更深入理解，新产品的开发也得到了更好的理解。要确定这些订单的质量，请考虑因素（d）。在特殊产品方面，瑞士再保险是一家在风险损失处理领域向全球市场提供大量产品的大型再保险公司。

他们的团队包括在美国的过剩和盈余市场伤亡小组，该小组专门从事“美国本土的盈余业务线，这些经纪人拥有初级、伞式和后续的过剩能力，难以在过剩和盈余市场中设定风险”。该集团旨在为s标准/公认市场以外的风险寻求保险解决方案。所提供的保险限额类型如下所示：雨伞限额为1000万美元，后续形式超额；每次事故的500万美元CGL限额；500万美元的总限额；500万美元的产品/完成的业务；以及500万美元的人身伤害和广告伤害。还有一些团体，比如瑞士再保险公司的专业和管理责任团队，提供定制产品，以“保护组织及其执行人员，就像我们和其他专业人员一样，免受不当行为、管理不善、疏忽和其他相关后果的指控。”除Van den Brink（2002）中使用的disc外，瑞士再保险公司（Swiss Re）还提供了一些特殊产品，用于操作风险保险，称为金融机构操作风险保险（FIORI），涵盖操作风险原因，如责任、保真度和未经授权的活动、技术风险、资产保护和外部欺诈。Chernobai等人（2008年）指出，此类专业产品的存在在范围和市场上是有限的，因为可能需要为此类保险产品支付的保费通常会产生非常大的成本，从一开始就消除了获得保险合同的实际成本。

因此，尽管保险在操作风险管理中的影响尚未完全了解，但很明显，它是风险管理的关键，应该更仔细地研究。在这个阶段，回顾保险单或合同的基本定义是非常必要的。定义1.1（保险单）。在基本层面上，人们可以认为保险是两个金融机构之间损失过程相关风险的公平转移。风险转移在法律保险合同中正式规定，由采取保险缓解措施的金融实体向保险人支付费用，以减少风险敞口。合同或保险单根据发生损失时，被保险人将获得经济补偿的条件和情况，依法规定了保险费的条款。因此，保险合同投保人以与合同成本相对应的保费支付的形式，承担保证的且通常为人所知的小部分损失，以换取保险人在发生损失时赔偿投保人的法律要求。在这种定义下，人们可以将保险的概念解释为一种风险管理过程，在这种过程中，金融机构可以对冲给定风险过程或一组风险过程的潜在损失。InMehr等人（1980年）和Berliner（1982年）在高水平上讨论了可保损失或风险过程的基本特征，我们在定义1.2中注意到了这一点。我们观察到，关于可保性的标准精算观点并不总是与经济学家的观点直接一致。定义1.2（可保损失）。在Mehr等人。

（1980）和（Chernobai等人，2008年，第3章）将可保险风险定义为应满足以下特征的风险：1。风险必须满足“大数定律”，即应存在大量类似风险。2.损失必须发生在已知的记录时间、地点，并由可报告的原因造成。3.损失过程必须考虑随机性。也就是说，导致索赔产生的事件应该是随机的，或者至少不在投保人的控制范围内。4.特定风险流程产生的损失金额必须与收取的保费以及相关的保险公司业务成本（如索赔分析、合同签发和处理）相称。5.与损失过程相关的估计保费必须是可预测的。这在高后果罕见事件环境中尤其重要，参见Peters等人（2011）的讨论，他们在一般环境中考虑了这个问题。6.对于给定的风险过程，以及一些描述典型、平均、中位数等损失金额的统计数据，应能够估计损失的概率。7.风险过程发生灾难性损失的可能性非常有限，这将导致保险人破产，此外，造成损失的事件以非聚集方式发生；或者保险公司将对总风险敞口设定上限。在Gollier（2005）中，他们认为还需要考虑可保风险的经济影响。尤其是，它们增加了可保风险的定义，需要考虑此类风险交易的经济市场。他们特别讨论了不可保险和部分可保险的损失，其中不可保险的损失发生在“……鉴于经济环境，消费者和保险供应商不能利用任何互利的风险转移”。

当ISK转让交易的双方只能部分受益或利用风险转移的互利部分时，就会产生部分不可保险的损失，这已在许多研究中得到考虑，见Aase（1993）、Arrow（1953）、Arrow（1965）、Borch（1962）和Raviv（1979）。正如Gollier（2005）所指出的，从经济学家的角度来看，风险转移的基本模型涉及一个竞争性保险市场，在这个市场中，大数定律被用作评估风险转移的社会盈余的一部分。然而，与上述精算观点不同，在评估市场均衡下的风险转移规模时，最大潜在损失和与该损失相关的概率并不直接起作用。此外，在评估经济中风险的可保性时，经济模型增加了与市场参与者（代理人）的风险规避程度及其乐观程度相关的因素。经典地说，这些特征都被称为保险市场完美竞争的Arrow-Borch-Raviv经济模型所捕获，参见（Gollier，2005年，第2节）和Ghossoub（2012年）中的良好评论。在这里开展的工作中，我们提出了一个有趣的一般性问题，即如何构建满足上述公理和定义的保险产品，同时允许有效的一般保单类别，这些保单可能实际上适用于范围更广的金融机构和银行，而不是目前提供的专业产品。更具体地说，在本文中，我们讨论了一种保险产品的各个方面，该产品为其所有者提供了几个机会来决定应投保哪些年度风险损失。

这种产品可以被认为是一种降低其所有者向保险公司支付的成本的方法，类似于能源市场中的摇摆期权（例如，参见Jaillet et al.（2004）和Carmona and Touzi（200 8））：而不是在T年内购买T年保单，买方可以与保险公司协商一份仅涵盖T年中k年的合同（由业主选择）。这类结构性产品将降低风险损失的保险成本或部分保险成本，这一点在（Allen等人，2009年，第188页）中得到了强调，他们指出，“即使不考虑重大灾难的成本，保险范围也非常昂贵”。此外，我们认为，如果这些结构提供的灵活性导致此类产品在OpRisk保险范围内的使用增加，进一步降低保险费，并可能导致这些产品在市场上的更大竞争，那么开发此类结构可能会很有意思。此处介绍的一般保险产品可适用于任何形式的保险政策，但我们将重点介绍三种基本的“构建块”政策（见定义2.1至2.3），它们可以结合起来创建更复杂的保护类型。对于这三项基本政策，我们提出了年度风险的“适度尾部”模型，该模型导致保险产品的封闭式使用策略，回答了以下问题：何时要求保险公司承担年度损失是最佳的？在本报告的其余部分，我们假设一家金融机构在一年中会发生随机数目的损失事件，比如N，严重程度（损失金额）X，XN。

此外，我们假设该公司持有的保险产品有效期为T年，并授予该公司通过利用其保险索赔减少其T年损失的权利。要澄清，请考虑给定的年份t≤ T如果公司将遭受（T）损失，加起来Z（T）=PN（T）n=1Xn（T），假设公司尚未使用其所有的k保险缓解措施，则可以选择是否提出保险索赔。如果在本年使用保险索赔，则产生的年度损失将用EZ（t）表示。这种损失过程模型结构在O pRisk and insurance中是标准的，通常被称为损失分配方法（LDA），我们在图1中举例说明了该方法。时间t=1 t=2 t=3（以年为单位）损失X（1）X（1）X（1）Z（1）图1：LDA模型的示意图。每年的总损失以阴影表示。在这种情况下，公司的目标是从T中选择k个不同的年份，以尽量减少其在时间间隔[0，T]内的预期运营损失，但值得注意的是，如果Z>eZ ie，如果保险实际上是在对公司的损失进行评估，则应行使其所有k权利。然后必须解决的问题是，什么是最佳决策规则，即确定k组保险索赔的多个最佳停止时间。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了我们用作上述保险产品缓解措施的保单。第3节概述了在离散时间内独立观测的多重停止规则领域中有用的理论结果，特别是定理3.5，这是本节的主要结果。