日本企业间有偏扩散的平均场近似

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英文标题：
《Mean field approximation for biased diffusion on Japanese inter-firm
  trading network》
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作者：
Hayafumi Watanabe
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  By analysing the financial data of firms across Japan, a nonlinear power law with an exponent of 1.3 was observed between the number of business partners (i.e. the degree of the inter-firm trading network) and sales. In a previous study using numerical simulations, we found that this scaling can be explained by both the money-transport model, where a firm (i.e. customer) distributes money to its out-edges (suppliers) in proportion to the in-degree of destinations, and by the correlations among the Japanese inter-firm trading network. However, in this previous study, we could not specifically identify what types of structure properties (or correlations) of the network determine the 1.3 exponent. In the present study, we more clearly elucidate the relationship between this nonlinear scaling and the network structure by applying mean-field approximation of the diffusion in a complex network to this money-transport model. Using theoretical analysis, we obtained the mean-field solution of the model and found that, in the case of the Japanese firms, the scaling exponent of 1.3 can be determined from the power law of the average degree of the nearest neighbours of the network with an exponent of -0.7.
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中文摘要：
通过分析日本各地公司的财务数据，观察到商业伙伴数量（即公司间贸易网络的程度）与销售额之间存在指数为1.3的非线性幂律。在之前的一项使用数值模拟的研究中，我们发现，这种规模可以通过货币运输模型（企业（即客户）按照目的地的入度比例向其外部边缘（供应商）分配货币）和日本企业间交易网络之间的相关性来解释。然而，在之前的研究中，我们无法明确确定网络的哪些类型的结构属性（或相关性）决定1.3指数。在本研究中，我们通过将复杂网络中扩散的平均场近似应用于该货币运输模型，更清楚地阐明了这种非线性标度与网络结构之间的关系。通过理论分析，我们获得了该模型的平均场解，并发现，在日本企业的情况下，1.3的标度指数可以根据指数为-0.7的网络最近邻平均度的幂律确定。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Mean_field_approximation_for_biased_diffusion_on_Japanese_inter-firm_trading_network.pdf (140.67 KB)

2022-5-5 09:55:18 上传

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关键词：企业间 Quantitative correlations relationship Applications

日本企业间交易网络偏差的平均场近似值渡边捷夫1，*1 Hottolink Inc.，千代田区，日本东京* 电子邮件：h。watanabe@hottolink.co.jpAbstractBy通过分析日本各地企业的财务数据，发现商业伙伴数量（即企业间贸易网络的程度）与销售额之间存在指数为1.3的非线性幂律。在之前的一项使用数值模拟的研究中，我们发现，这种规模可以通过货币运输模型和日本企业内部交易网络之间的相关性来解释。货币运输模型中，企业（即客户）按照目的地的入市程度，向其外围（供应商）分配资金。然而，在之前的研究中，我们无法具体确定网络的结构属性（或相关性）决定1.3指数的类型。在本研究中，我们通过将复杂网络中扩散的平均场近似应用于该货币运输模型，更清楚地阐明了这种非线性标度与网络结构之间的关系。通过理论分析，我们获得了模型的平均场解，并发现，在日本企业的情况下，1.3的标度指数可以通过指数为-0.7的网络最近邻平均度的幂律确定。引言在过去十年中，复杂网络得到了广泛的研究[1-3]。复杂网络的传输问题是复杂网络物理中最基本的问题之一，也得到了广泛的研究。例如，从不同的角度研究了复杂网络上的随机游动[4-6]。传输在复杂网络上的一个应用是Agerank，它对应于由互联网上的随机游动引起的稳态传输密度。

PageRank是评价网页重要性最成功的指标之一，已经被互联网搜索引擎所利用。大多数关于复杂网络传输的研究都是基于理论方法；然而，近年来，人们也利用海量数据分析来研究复杂网络上的实际传输问题。此类问题的例子包括，全球机场网络上的机场交通[7]、印度铁路网络上的列车数量[8]、门户网站上的观众流量[9]和股权网络上的控制流量[10–12]。在之前的一项研究中，我们分析了来自企业间交易网络的经验数据，该网络由大约100万家日本企业组成，以及这些企业的销售额（销售额相当于流入一个节点的总流量），以调查复杂网络中的实际运输现象[13]。这种企业间交易网络是一个典型的复杂网络，具有幂律程度分布[13,14]、负度相关性[13,15]、小世界属性[14]、社区结构[16]、货币流动的幂律[15,17]以及基于优先依附规则的网络演化模型[18,19]解释的当局和中心的不对称行为。更准确地说，我们从参考文献[13]中获得了以下结果：（i）通过分析数据，我们发现一个非平凡的经验幂律，在一家公司的商业伙伴数量和其销售额之间的指数为1.3；（ii）我们引入了一个简单的货币运输模型，在该模型中，企业（即客户）向其外部边缘（即。

供应商）与目的地的程度成比例；（iii）通过数值模拟，我们发现，从该模型得出的上述企业间交易网络的稳定流量可以近似地再现指数为1的幂律标度。3.业务合作伙伴的数量（即网络的学位）与销售额之间的关系。此外，实际企业的销售分布服从幂律分布，指数约为1。此外，根据货币运输模型得出的单个企业的销售额与平均实际销售额成正比。然而，我们也表明，简单的随机游走模型（即PageRank）假设一家公司均匀分布到其所有外向的邻居，并没有重现指数为1.3的经验标度。这一结果意味着PageRankdoes与销售额不符。请注意，通过分析上述日本财务数据，不仅可以观察到销售额和学位之间的比例，还可以观察到其他重要的企业规模指标之间的比例，例如销售额和员工数量之间、利润和员工数量之间、利润和学位之间的比例[20]。在之前的研究[13]中，我们无法具体确定日本企业间交易网络的哪些类型的结构属性（或相关性）决定了1.3指数，尽管我们发现我们需要使用数值模拟在我们的框架中重现特定的网络结构。因此，本研究致力于文献[13]结果的理论研究。特别是，我们将平均场近似应用于模型，以阐明幂律关系的指数，尤其是企业间交易网络（即。

业务合作伙伴的数量）和销售额取决于网络结构。在本文中，我们从第2节开始，回顾之前研究的模型和数值结果。接下来，我们将介绍这些模型的平均场近似，并在第3节中揭示幂律指数、模型和网络之间的关系。最后，我们在第4节中总结并提出我们的结论。企业间交易网络差异的幂律在本节中，我们回顾了参考文献[13]的结果。为了理解学位和销售额之间指数为1.3的经验标度，我们引入了以下货币运输模型[13]。模型-1（等分模型）：xm（t+1）=NXi=1aink（out）ixi（t），（1）模型-2（加权分模型）：xm（t+1）=NXi=1aink（in）mPNj=1Aijk（in）jxi（t），（2）其中xm（t）表示节点m在时间步t的销售额，是邻接矩阵，k（in）表示节点m的入度，k（out）表示节点m的出度，N表示网络上的节点数。请注意，对于式（1）中的k（out）i=0或式（2）中的nj=1Aijk（in）j=0，我们省略了节点i的贡献。在模型1中，假设代表企业的节点在下一个时间步将其在时间t的总流入（即销售额）最终分配给其所有输出邻居。在没有随机自发跳跃的情况下，这种传输相当于PageRank模型的简单概率扩散[4]。然而，对于Model-2，一个节点将其销售分配给其即将离任的邻居，这与目标的度数成比例。该模型是所谓的有偏随机游动模型[21]之一。我们在数值实验中使用了两种类型的网络，以澄清对网络的依赖性[13]。参考文献中用于网络生成和数据分析的数据集。[13,20]由东京昭子研究有限公司提供。

它包含大约100万家公司，实际上覆盖了日本所有活跃的公司。对于每家公司，数据集包含2005年的年度销售额和业务伙伴名单，分为供应商和客户[13,14,20]。第一个网络是真正的企业网络，其节点是企业，其边缘由以下规则定义：如果企业i从企业j购买商品和/或服务，或者，同等地，如果资金从企业i流向企业j，我们通过定向链接将节点i连接到节点j（有961318个节点和3783711个边缘）[13,14]。该网络是使用上述数据集中的业务伙伴数据生成的。企业网络是一个典型的复杂网络，其主要特性如下：（i）指数为1.3的幂律度分布，（ii）负度相关性和（iii）小世界特性（节点之间的平均距离为5.62，最大距离为21）[13,14,16]。第二个网络是shu-frege Firm网络，这是一个几乎不相关的网络，其度分布与Maslov-Sneppen算法生成的Firm网络相同[22,23]。注意，我们在每个网络的最大强连通分量（LSCC）上模拟了模型的时间演化，以忽略边界效应。然后，两个网络的LSCC上的总资金是守恒的，PNi=1xi（t）=PNi=1xi（1）。对于模型和网络的所有组合，我们通过数值模拟获得了以下大k（in）（t>>1）[13]：x（k（in））的幂律∝nk（in）oβ。（3） 这里，x（k（in））是给定k（in）作为k（in）函数的x的条件平均值，由x（k（in））=Pl定义∈nl | d（一）≤k（in）l<d（i+1）oxlPl∈nl | d（一）≤k（in）l<d（i+1）o，（4）其中d（i）是方框i的分隔符，在对数空间中均匀地取，例如d（i）=2i（i=0，1，2，···），右侧的k（in）由几何平均数pd（i）·d（i+1）表示。

指数β取决于网络和模型。表1总结了这些依赖关系。请注意，企业网络的模型2再现了指数为1.3的经验标度。模型的平均场近似在本节中，我们将平均场近似应用于模型，以了解指数、模型和网络结构之间的关系，如表1所示。在这里，为了简单起见，我们忽略了网络的方向（可以通过数值模拟获得与上一节中给出的结果几乎相同的缩放，无论是否忽略边缘方向）。假设模型的存在概率为xM（t），xM（t+1）=NXi=1QMi·xi（t），（5）其中QMi（t）是从节点i到节点m的转移概率[13]。请注意，尽管我们在本文中忽略了边的方向，但通过添加一些假设和计算，以下讨论可以扩展到定向网络的情况。一般来说，由转移矩阵定义的马尔可夫过程的平均场解之一qmi=AiM·g（kM）PNr=1Air·g（kr）（6）在参考文献[24]byR（k）=kPk（k）g（k）Pk′g（k′）Pk′|k（k′|k）PqPk qPk（q）g（k′）Pk q（k′）| k（k′|q）中给出，其中g（k）是到节点的转移概率的权重，其程度为afk的函数，R（k）是步行者在稳定状态中处于k度节点的概率，Pk（k）是k度的概率密度函数，Pk′|k（k′|k）是k度节点连接到k′度节点的条件概率。为了得到这个解，参考文献[24]的作者主要采用了两种近似方法。

首先，他们使用退火网络近似，其中他们将原始网络中具有公共度的公司集合视为近似网络的节点，并且近似网络的加权边与两个k度和k′度的节点连接的概率相关联，\'a（k，k′）=NPk（k）NPk（k′）Xi∈kXj∈凯伊，（8）我在哪里∈ k表示为k阶节点集上的和[24]。其次，他们用k度和k′度节点之间相互作用的平均概率代替qmi，定义为‘Q（k′，k）=[NPk（k）’-1Pi∈kPj∈k′g（kj）Aij[NPk（k）]-1Pi∈kPrg（kr）空气。（9） 然后，我们可以用R（k；t+1）=R（k；t）代替等式5给出的马尔可夫过程-Xq′Q（Q，k）R（k；t）+Xq′Q（k，Q）R（Q；t），（10）其中R（k；t）是步行者在时间t处于k度的任何节点的概率。通过将等式7代入该等式，并使用度详细平衡条件，k′Pk k（k′）Pk k′k）=kPk Pk k′k（k）Pk k′k（k′）k，我们确认等式7是等式10的稳态。参考文献[24]中提供了关于这些近似值的更多详细信息。接下来，我们将等式7应用于等式给出的模型。1和2。在模型1中，转移概率是一致的；也就是说，式6中的g（k）=1。因此，给定度k（即每个节点的R（k））的销售条件平均值x（k）写为x（k）=R（k）NPk（k）=k·1·Pk（k）·1Pqq·1·Pk（q）·1·NPk（k）∝ k、 （11）该比例与模型1对固定网络和固定网络的模拟结果一致。类似地，通过将等式7应用于等式6（对应于模型2）中的g（k）=k的情况，我们得到了r（k）=kPk（k）knn（k）pqpk（q）knn（q），（12），其中我们将最近邻的平均度表示为knn（k）≡pqpk′|k（q|k）[25]。因此，我们发现x（k）=kPk（k）knn（k）PqqP（q）knn（q）·NPk（k）∝ kknn（k）。（13） 从参考文献[13]中的图1（a）中，我们可以看到knn（k）∝ K-0.7对于企业网络而言，大k度。我们将这个经验结果代入等式。

13至获得X（k）∝ kknn（k）∝ k1。3.（14）该比例对应于模型2对企业网络和经验观察的模拟结果。注意，等式13意味着指数β取决于模型2最近邻域的平均度knn（k）。对于模型2的树状网络，其为参考文献[13]图1（a）所示的不相关网络（即knn（k）=常数），我们从下面的等式中得到∝ k·1=k.（15）该方程与数值结果一致。最后，我们使用指数为1.3的幂律度分布和最近邻幂律平均度（如固定网络）的不同人工网络对近似值进行了数值检验。人工网络满足以下条件：o度服从幂律分布Pk（k）∝ K-α-1.o最近邻的平均度数表示为度数的幂函数knn（k）∝kγ。为了生成满足上述条件的网络，我们对配置模型进行了如下修改：1。指定度序列{ki}，服从指数幂律-α到节点{i}。例如，ki=楼层[（i/M）-1/α]（i=1，2，··M），其中M是节点数，floor[x]是不大于x.2的最大整数。从具有最大{ki}的节点集中随机抽样一个由v表示的节点。更新kv；千伏← 千伏- 1.4. 从除节点v以外的所有节点中随机抽样一个以w表示的节点，概率与{qi}成正比，其中qi=kβ+1i。5.更新kw；千瓦← 千瓦- 1.6. 用一条边（无向）连接节点v和w。

重复步骤2到6，直到ki=0（i=1,2,M）。图1和图2显示了度函数的累积分布，对应于参数α=1.3（经验参数），γ=-0.7（经验参数）、0.0和0.7。此外，图3和图4显示了销售额的平均值作为阶数x（k）的函数，该函数由等式数值推导而来。1和2对应的艺术网络。从这些图中，我们可以确认，所有从数值上获得的标度指数与模型1的公式11和模型2的公式13给出的近似结果一致。此外，从图4中，我们确认只有情况γ=-0.7是企业网络knn（k）的经验观测值，重现了经验标度1.3。结论和讨论在本研究中，通过将平均场近似应用于等式给出的货币运输模型。1和2，我们能够始终如一地理解表1中总结的幂律指数、模型和网络结构之间的关系。特别是，我们给出了指数为1.3的非平凡幂律标度（对于固定网络，在模型2中）与最近邻knn（k）的平均度之间的关系，这是网络的基本特征之一。这一结果解释了商业合作伙伴数量和销售额之间的指数为1.3的经验标度关系。此外，在销售和员工数量l，s（l）之间，指数为1.3的非平凡经验标度∝ l1。参考文献[20]中观察到的3可能连接到网络结构。